2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：離心率的范圍問(wèn)題 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

微專題37離心率的范圍問(wèn)題

［考情分析］圓錐曲線離心率的范圍問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)題型，對(duì)圓錐曲線中已知特征關(guān)系的

轉(zhuǎn)化是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問(wèn)題求解更簡(jiǎn)潔.

-思維導(dǎo)圖

圓錐曲線的定義一

一利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍

圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一常見(jiàn)

一利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍

橢圓、雙曲線的離心率一題型

-利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍

基本不等式一

利用圓錐曲線的定義構(gòu)建”,Ac的齊次不等—

式求離心率的范圍常見(jiàn)

忽略離心率的自身范圍

利用已知條件的幾何圖形構(gòu)建凡兒。的齊次_誤區(qū)

不等式求離心率的范圍

考點(diǎn)一利用圓錐曲線的定義求離心率

【典例1】（1）（2023?懷仁模擬）已知尸1,凡為橢圓G：J匕=l（m>6i>0）與雙曲線。2：三一二=

axbiaibi

1（?2>0,62>0）的公共焦點(diǎn)，M是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且el,02分別為曲線Cl,

C2的離心率，則eie2的最小值為（）

A.*B.SC.1D.-

22

答案A

解析假設(shè)

所以由橢圓、雙曲線定義得

］MFi\+\MF\=2ai,ljWFi|=ai+a,

■2解得?一2

\MF\\—\MF2\=2a29\\MF2\=cn—aZ,

△MFib2

所以在中，|FIF2|=2C,由余弦定理得

尸得2=叱葉嶼2_tCOS$

即4c*2=（6Z1+（72）2+（6Z1—。2）2—2（41+。2>（。1—6Z2）COS$

化簡(jiǎn)得4c2=4彳+3況，

因?yàn)?/=山+3龍三23防。2,

所以衛(wèi)N維=近，

6Z16Z242

即egN—，

2

當(dāng)且僅當(dāng)01=43。2時(shí)，取等號(hào).

故eie2的最小值為重.

2

(2)過(guò)拋物線C：y2=20xg>0)的焦點(diǎn)F的直線I,交拋物線C的準(zhǔn)線于點(diǎn)/,與拋物線C的一

個(gè)交點(diǎn)為8,且益=滋妗物.若/與雙曲線H=l(a>0,6>0)的一條漸近線垂直，則

層〃

該雙曲線離心率的取值范圍是.

答案(1,仍]

解析依題意可知，直線/的斜率存在且不為0,不妨設(shè)直線/的斜率為正數(shù)，如圖,

過(guò)3作與拋物線的準(zhǔn)線垂直，垂足為C,

y2=2px

根據(jù)拋物線的定義可知出廠|=

因?yàn)榍?溢也2W),

所以14gl=川8F|=向8。|,

所以l=l^C|=cos//3C,

k\AB\

110返

因?yàn)槿酥?2」，

所以cos/ABCe[°'TJ,

匹￡)

所以/ABCe]，2J,

所以tanN/2Ce[l,+8),即直線/的斜率的取值范圍為口，+8),

又/與雙曲線三一b>0)的一條漸近線尸一與垂直，

a1b1a

所以Ql,

層+尻

所以雙曲線的離心率e=~=

a2

又e>l,所以"W啦,

即該雙曲線離心率的取值范圍是a,a

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知橢圓C：［+，=1(心6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,尸2,點(diǎn)尸在橢圓C

上，若離心率6=解，則橢圓。的離心率的取值范圍為(

)

rIo,隹|

A.(0,V2-1)B.l2J

至1］「

CL2'JD.W2-1,1)

答案D

解析因?yàn)?=款，所以|PB|=e|P92|,

由橢圓的定義得|尸乃|十|尸理=2%

解得尸死尸區(qū)，

e+1

因?yàn)椤ㄒ籧W|尸BIWa+c,所以q—

e+1

兩邊同除以Q得1一eW—2—Wl+e,解得也一1,

e+1

因?yàn)镺〈e<L所以也一IWevl,

所以該離心率e的取值范圍是［也一1,1).

(2)已知雙曲線C：三一三=1(心0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸i(—c,0),凡(c,0),點(diǎn)N的坐標(biāo)

a2-爐

為［—C'五］若雙曲線C左支上的任意一點(diǎn)M均滿足|班|+|孫>46,則雙曲線C的離心率

的取值范圍為()

B.琲，V13)

「四

C.I'3Ju(^5,+8)

D.(1,G)U(而,+8)

答案C

解析由已知可得|g|一|MFi|=2a,^\MF2\+\MN\>4b,

即附F\|+|血W|+2a>46,左支上的點(diǎn)”均滿足此42|十|跖叩>46,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)"位于X點(diǎn)時(shí)，］吠1|+也見(jiàn)最小，

"2

故一~+2q>4b,即3b2+4a2>Sab,

2a

3b2—Sab+4?2>0,(2a—b)(2a—3b)>0,

2a>3b或2a<b,4a2>9b2或412Vb2,

9c2V13層或。2>5〃2,.?.或

a3a

雙曲線。的離心率的取值范圍為I'3JU(A/5,+°°).

考點(diǎn)二利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率范圍

【典例2】（1）已知雙曲線￡—￡=1（介0,6>0）的右焦點(diǎn)為歹，若過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角為60。的直線

與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是.

答案［2,+°°）

解析過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)可能與右支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)或2個(gè)，取決于這條直線與右漸近線

的關(guān)系，如果這條直線的斜率為左小于等于右漸近線了=々的斜率，則與雙曲線的右支只有

a

一個(gè)交點(diǎn)，故

a

源+扶

所以雙曲線的離心率e=￡

a6Z2

（2）雙曲線三一5=1（心0,6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸1,尸2,若尸為雙曲線上一點(diǎn)，且—-——

22

absinZPFiF2

————，則雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_______

sinN尸尸2尸］

答案（1,1+也）

解析依題意，不妨設(shè)P點(diǎn)為雙曲線的右支上的一點(diǎn)，下1為左焦點(diǎn)，正2為右焦點(diǎn),

sinN尸尸汨

在△PF1尸2中,由正弦定理得

sinNPFiB\PF2\

—tuc

又---------

sinZPFiF2sin/PBFi

.sin/PF2Fic

sinZPFiF2a

...用=2由假設(shè)可知f|>『仍|,

\PF2\a

?\PFj\-\PF2\_c-a

?,\PF2\—a'

2ac一a

由雙曲線的定義知

a

\PF2\

2〃2

：.\PF\=——,由題意知|尸明|>。一。，

2c-a

?2層

.?------>c~a,

c-a

整理得c2—2ac-a2<0,

即e2—2e—l<0,.'.l<e<l+^2.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知雙曲線c：-上一-其中加>0,%。0),若卜0,則雙曲線。離心率

mm+1

的取值范圍為()

A.(1,也)B.(也,+8)

C.(1,2)D.(2,+8)

答案A

解析由雙曲線C：上一二^=〃其中機(jī)>0,%<0),

mm+1

22

得一3v———一x^=1,

—2(m+1)~km

則雙曲線C的離心率e=A+

—A(m+1)\m+1\jm+1\]m+1

因?yàn)闄C(jī)>0,所以冽+1>1,貝!J0<一-一<1,

m+1

所以1<2——二<2,

m+1

所以l<e〈也，即雙曲線C離心率的取值范圍為(1,仍).

(2)(2023?杭州模擬)已知橢圓C：，+"=1(心6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B,F2,若與橢圓C

無(wú)公共點(diǎn)的直線x=3上存在一點(diǎn)P,使得tan/EPB的最大值為2也，則橢圓離心率的取值

范圍是?

答案憶1]

解析不妨設(shè)尸(3,。(介0),Fi(-c,O),尸2(%0),

設(shè)直線尸用傾斜角為明直線PF2傾斜角為￡,

則tan/E/y2=tan$_a)=tanS—tana=1二一左用

1+tanoctan￡1+kPF^kPFi

tt

3—c3+c(3+C)L(3—c)E2ct——江

,,tt(3-c)(3+c)+f29~c2+t2

3—c3+c

若tanZFiPF2的最大值為26,則/+匕土有最小值，

t

又f十七6三249二2,當(dāng)且僅當(dāng)/=七^(guò),即/=A/9二2時(shí)取等號(hào),

tt

則2A/^^=2也即。2=8(9—4),解得c=2啦,

又橢圓C與直線-3無(wú)公共點(diǎn)，則“<3,所以

所以橢圓離心率的取值范圍是

考點(diǎn)三利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率范圍

22

【典例3](1)(2023?重慶模擬)已知P為圓。：爐+產(chǎn)—6了=40上一點(diǎn)，橢圓環(huán)]+《=13>6>0)

1

Q2b

的焦距為6,點(diǎn)尸關(guān)于直線x—y=0的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓M上，則橢圓離心率的取值范圍為

n$

答案L10'4_

解析圓C：9+8—3)2=49關(guān)于直線x—y=0對(duì)稱的圓為(X-3)2+V=49,

依題意，圓(x—3/+y2=49與橢圓“：￥+]=1(。>6>0)有交點(diǎn)，

又橢圓的右焦點(diǎn)(3,0)是圓的圓心，

所以Q+C27,且Q—cW7,

又。=3,

p_&

所以4<aW10,e=~^[10,4_.

a

⑵已知尸i,Ez是雙曲線三一三=1(心6>0)的左、右焦點(diǎn)，以尸2為圓心，。為半徑的圓與雙曲

線的一條漸近線交于4,3兩點(diǎn)，若|/句>止步,則雙曲線的離心率的取值范圍是()

答案A

解析設(shè)以凡(c,0)圓心，。為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線及一利=0交于43兩點(diǎn),

\bc\

則尸2到漸近線bx—ay=0的距離d==b

\ja2+b2

所以|4S|=2y]a2—b2,

因?yàn)橐?|>以2,

所以2勺/一

2

可得4a2—4b2>c2=a2-\-b2,

即3層>5抉=5/—5層，可得5c2V8a2,

所以H

a25

所以e<R^,又e>l,

5

fl叫

所以雙曲線的離心率的取值范圍是I'5J

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知橢圓C5+M=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為尸，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與C交于/,

出b1

3兩點(diǎn)，若//FB2150。,則。的離心率的取值范圍為_(kāi)_______________.

r0「

答案I4」

解析如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸'，連接/P,BF',

；4B,FF'互相平分，.?.四邊形/P3尸為平行四邊形，

/.ZAFB+ZFBF'=180°,

VZAFB^15Q°,：.ZFBF'W30。，

由條件知，當(dāng)8在短軸端點(diǎn)(不妨取上端點(diǎn)31)時(shí)，/FBP最大,

此時(shí)在RtZsBiOP中，NOBiF'=15°,

.,.e=sinZO5iF,=sin15°=-,

4

即ed4J.

⑵已知尸1,尸2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓

與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為P,若PR與雙曲線右支有交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍

為.

答案(/，+°°)

解析設(shè)雙曲線的方程為三一三=1（。>0,6>0）,Fi（-c,O）,

a'bL

設(shè)直線尸人的方程為y=-x+c）,即依一y+Ac=O,

聯(lián)立圓N+y2=c2與雙曲線方程三一片=1,

a2-bz

設(shè)交點(diǎn)p在第二象限，則』?T.

尤

可得此時(shí)k=----1。--->0,

a\b2+c2.

----------\-c

C

由題意可得

a

得a\jb2+c2<c2~ab,結(jié)合層+〃=c2,

化簡(jiǎn)可得6>2a,即有片2>4。2,

可得02>5層，即有e=C>Ys.

a

［總結(jié)提升］

關(guān)于圓錐曲線離心率（范圍）問(wèn)題處理的主體思想是：建立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程（或不等

式）.一般建立方程有兩種方法：（1）利用圓錐曲線的定義解決；（2）利用題中的幾何關(guān)系來(lái)解

決問(wèn)題.另外，不能忽略了圓錐曲線離心率的自身限制條件.

I.（2023?承德模擬）已知過(guò)點(diǎn)P（l,2）可作雙曲線C：三一三=1（心0,6>0）的兩條切線，若兩個(gè)

出bz

切點(diǎn)分別在雙曲線。的左、右兩支上，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）

A.叱,+8）B.（1,貼）

C.（1,3）D.（怎+°°）

答案B

解析要滿足題意，點(diǎn)P（l,2）必須在漸近線y=”與y軸圍成的區(qū)域，且不能在漸近線及y

a

軸上.所以必須滿足。<2,

a

所以e=±='壬^=1］+。2</,

a\la2

又e>l,1<￡<A/5.

2.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，Ai，久,Bi，屏為橢圓的頂點(diǎn)，正2為右焦

點(diǎn)，延長(zhǎng)囪凡與482交于點(diǎn)尸，若NB1P為為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

0,

A.IBl2

0,

cl2I〕D.l20

答案C

解析設(shè)51(0,~b),&(0,b),F2(C,0),股3,0).

所以5洶2=(4,—b),FzBi=(—c,~b)

因?yàn)镹S尸&為鈍角，所以尸與5必2的夾角為銳角,

所以B2A2，F(xiàn)2B1=—4。+扶>0,

即6Z2—C2—(2C>0.

兩邊同時(shí)除以層并化簡(jiǎn)得e2+e—1<0,

解得?<e<

22

…T

又0〈e〈l,

22

3.設(shè)省,也是橢圓［+4=1上長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上恒存在一點(diǎn)P,使得tanN4iQ42

a

則橢圓離心率的取值范圍是（）

0,0,

A.I2Bl3

退1道，1l]

C.L2D.L3

答案D

2tanZOB4i

解析由題可知當(dāng)尸為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)N41F42最大，依題意得-

1—tan2ZO7^4i

可得tan/OPAi=即a=-b,

22

若橢圓上恒存在一點(diǎn)P滿足tan//iF42=-2#,

則心罵,即MW3c2,

2

所以￡》血，

a3

小<L

4.（2023?溫州模擬）設(shè)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60。的直線與雙曲線C：三一二=1（。>0,6>0）的左、

a2-爐

右支分別交于4,2兩點(diǎn)，尸是C的焦點(diǎn)，若的面積大于^/嬴/2工涼），則。的離心率

的取值范圍是（）

A.（1,詬B.（也，7）

C.（2,7）D.（2,田）

答案D

解析不妨設(shè)尸是雙曲線C的左焦點(diǎn)，如圖，由題可知，直線N5的方程為y=3x,

y=\j3x,

后一尻一

r

得X=^===,且/A>3Q2,

址2—3次

所以為

因?yàn)镾△/“=3義1°方IX做一y/=；><cX2\l^qb/abc

22

\jb—3a7b2-3Q2

且S^ABF^y/6a2^2+b2)=\j6ac,

所以住一

所以a2b32,也，解得°<e<S,

又因?yàn)椤?gt;3°2,解得e>2,所以2<e<、h

5.（2023?咸寧模擬）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為E，F(xiàn)2,

且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為尸，△尸尸1凡是以尸尸1為底邊的等腰三角形，若|尸人|=24,橢

圓與雙曲線的離心率分別為ei,e2,則3e?的取值范圍是（）

k+-1工

A.l9JB.（1,+8）

C.[?+T$+8]

答案B

解析設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為C,橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為。2,|尸招1=71

=24,\PF2\=r2,

二.△尸尸1尸2是以PE為底邊的等腰三角形，點(diǎn)尸在第一象限內(nèi)，

尸尸招尸

：.\PF2\=\F1F2\,\PF1\>\PF2\,I2|+|2Hp

即n=2c,n>r2,2r2>n,

2c<24,4c>24,解得6<c<12.

在雙曲線中,|尸尸1|一|尸尸2|=202,

._c_2c_2c_2c_c

??C2=—====.

。22a2ri一尸224—2c12—c

在橢圓中，\PFi\+\PF2\=2ai,

._c_2c_2c_2c_c

??C\.

Qi2QIn+r224+2C12+C

cc]

'.e\ei=,'=1/1/1；

12+c12-cJ44-1

c2

V6<c<12,.\36<c2<144,

貝ij1<號(hào)<4,.?.0<轡—1<3,

c2c2

11

可得不二>3，

J

「?3d?2的取值范圍為（1,+°°）.

6.（多選）設(shè)E,G同時(shí)為橢圓Ci：三+二=1（。汕>0）與雙曲線。2：6>0）的

相p2aibi

左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)橢圓C1與雙曲線。2的離心率

分別為ei,62,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若（）

A.\FF^2\MO\,則

Xe\ei

B.\FXF^2\MO\,則!+5=2

e\ei

C.\F!F2\=4\MF2\,則eg的取值范圍是（？J

2

D.\FIF2\=4\MF2\,則eg的取值范圍是]

答案BD

解析如圖，設(shè)眼口=加，\MF2\=n,焦距為2c,由橢圓定義可得加+"=2a,

由雙曲線足乂可得7〃一"=2ai,解得7〃=a+ai,n=a—<7i,

當(dāng)巧尸2尸2戰(zhàn)。|時(shí)，則/尸ig=90。，

所以m2+n2—4c2,

即02+況=202,由離心率的公式可得5+4=2,故B正確，A錯(cuò)誤;

eiei

當(dāng)尸LF2|=4|A/F2|時(shí)，可得〃=1°,即〃一。1=16可得^----

22e\ei2

由