2025高考數(shù)學(xué)考二輪復(fù)習(xí) 雙曲線 專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第十六講-雙曲線-專項(xiàng)訓(xùn)練

-：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)雙曲線的考查，重點(diǎn)

是

(1)雙曲線的定義、幾何圖

2023?新高考I卷，

形和標(biāo)準(zhǔn)方程。

16

(2)雙曲線的幾何性質(zhì)(范雙曲線的離心率2024?新高考I卷，

圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、

12

漸近線)。

(3)直線和雙曲線的位置關(guān)

系及綜合應(yīng)用。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查應(yīng)用定義求解雙曲線的離心率，難度較易。n卷是雙

曲線與數(shù)列的綜合問題，后續(xù)專題會(huì)解讀。雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體

上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，在雙曲線的試題中，最為重要的是三

點(diǎn)是：方程、漸近線、離心率。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查雙曲線的定義和離心

率、漸近線。

三：試題精講

一、填空題

1.(2024新高考I卷-12)設(shè)雙曲線口二-4=15>0/>0)的左右焦點(diǎn)分別為aF2,過

ab

與作平行于V軸的直線交C于A,B兩點(diǎn)，若W4|=13，M2|=10,則C的離心率

為.

高考真題練

一、填空題

1.（2023新高考I卷T6）已知雙曲線C:=-g=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

耳耳.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)3在7軸上，F(xiàn)\A±F\B,F^A=--F\B,則C的離心率

為.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)￡,月的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于惘月|）的點(diǎn)的軌

跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為

；（）｝

[M\||MFI-\MF21|=2a0<2a<\FXF2|

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當(dāng)2a=|可聞時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以耳和與為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a=0時(shí)，點(diǎn)的軌

跡是線段耳鳥的垂直平分線.

（3）2a>|耳圖時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①條件"|百心|>2"”是否成立；②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定/,b2

的值），注意的應(yīng)用.

二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程=一餐=1（口>0,6>0）土/1（八°。>°）

ab

b

*

圖形

*y=~-x

焦點(diǎn)坐標(biāo)耳(-c,0),名(c,0)耳(0,-c),g(0,c)

對(duì)稱性關(guān)于x,y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

頂點(diǎn)坐標(biāo)4（一〃,0）,4（。,0）4(0,a),4(0,-〃)

范圍|x|>a此a

實(shí)軸、虛

實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b

軸

離心率e=*=\

ava

22

人Y丁b

令二一三=0=畔±7，令4-a=o=y=±%，

漸近線方aba

程

焦點(diǎn)到漸近線的距離為6焦點(diǎn)到漸近線的距離為6

點(diǎn)和雙曲

'〉1,點(diǎn)（/jo）在雙曲線內(nèi)'>1,點(diǎn)（X。,%）在雙曲線內(nèi)

線

22（含焦點(diǎn)部分）（含焦點(diǎn)部分）

-x----y-<

a1b2=1,點(diǎn)（%,九）在雙曲線上/一F,=1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線上

的位置關(guān)

<1,點(diǎn)（%,y0）在雙曲線外<1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線外

系

共焦點(diǎn)的

2222

雙曲線方T--------Y—=1(一。2<k<b2)/-------Y—=1(-/<k<b2)

a2+kb2-ka2+kb2-k

程

共漸近線

2222

的雙曲線?-3=4(4wO)彳一爸=〃4。0)

abab

方程

切線方程‘號(hào)-碧^=1,(%Jo)為切點(diǎn)“亭—^^=L(Xo/o)為切點(diǎn)

abab

對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程,只需將雙曲線方程中/換為x°x,/換成JV

切線方程

便得.

理-萼=1,（%,%）為雙曲線外一

切點(diǎn)弦所ab駕^一警=],（%,為）為雙曲線外一點(diǎn)

ab

在直線方點(diǎn)

程

點(diǎn)（%,盟）為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)

設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為/（』J1）,例＞2/2），k/B=k.

貝！J弦長(zhǎng)\AB\=A/1+k2,卜—馬|二+后，—巴|?！?/p>

弦長(zhǎng)公式

2

^i-x2^=y/（xI+x2）-4xIx2=y^,其中“a”是消“y”后關(guān)于“x”的一元二次方程的

\a\

6tX2”系數(shù).

2/j2

通徑通徑（過焦點(diǎn)且垂直于耳耳的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為工

a

雙曲線上一點(diǎn)尸（/,"）與兩焦點(diǎn)耳片構(gòu)成的"叫成為焦點(diǎn)三角形，

2b2

設(shè)/耳尸鳥=夕，|尸周=4，\PF2\^r2,貝Ijcos6=l----,

r\r2

焦點(diǎn)三角

形

fyol父丫

1

o1.Csin。,2b1c%,焦點(diǎn)在x軸上

AP印i一2徑sin_1_cos。b一tang一1cx0,焦點(diǎn)在y軸上，

2

焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

.歸聞-1尸馬|=2a（2a＞2c）

^=||^|-|^|sinZ^

?2

國工『=|尸聞2+|產(chǎn)工『一2|尸引產(chǎn)工|cosN取寫

等軸雙曲等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線oa=6o離心率e=

線兩漸近線互相垂直o漸近線方程為y=±x=方程可設(shè)為x2-/=2（2豐0）.

【雙曲線常用結(jié)論】

1、雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑.通

徑長(zhǎng)為2生b2.

a

2、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系

對(duì)于雙曲線［一《=1（。＞人＞0）,點(diǎn)尸（x。，％）在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于再-白＞1.

abab

點(diǎn)尸（X。，%）在雙曲線外部，等價(jià)于可一4＜1結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來分析.

ab

3、雙曲線?？夹再|(zhì)

性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)6；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)

ab

c

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)尸到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)

a2b2

2

4、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為，（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越

tan—U

2

小，面積越大）

5、雙曲線的切線

22

點(diǎn)在雙曲線（°>0,6>0）上，過點(diǎn)M作雙曲線的切線方程為

ab

22

理一寫=1.若點(diǎn)/（%,%）在雙曲線3-4=1（a>0,b>0）外，則點(diǎn)/對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方

abab

程為警-理1

ab

名校模擬練

一、單選題

22

1.（2024?甘肅蘭州?三模）已知雙曲線C:」--土=1（加>0）的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的

3m+2m

2倍，則C的漸近線方程為（）

]/n

A.y=±-xB.y=±—xC.y=±2xD.y=±V2x

22

22

2.（2024?浙江紹興?三模）已知片，鳥為曲線C：?+匕=1（加W4）的焦點(diǎn)，則下列說

法錯(cuò)誤的是（）

A.若俏=1,則曲線C的離心率6=走

2

B.若加=-1,則曲線C的離心率6=且

2

C.若曲線C上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/6/”=90。，貝京=2

D.若〃?<0,則曲線C上存在四個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/耳尸&=90。

22

3.（2024?安徽?三模）過雙曲線C:烏-三=1（°>6>0）的下頂點(diǎn)尸作某一條漸近線的垂

ab

線，分別與兩條漸近線相交于兩點(diǎn)，若標(biāo)=2而，則C的離心率為（）

A.—B.V3C.2^/3D.3

3

22

4.（2024?全國?三模）已知雙曲線C：［一方=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，

且，且離心率為e=&,過點(diǎn)外的直線/與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)。，則

tanZ.DFXF2=（）

A.1B.yC.2D.3

22

5.（2024?四川成都?三模）已知雙曲線4=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為耳，點(diǎn)。

ab

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線漸近線上一點(diǎn)且滿足|九陰|=過月作X軸的垂線交漸

近線于點(diǎn)N,已知阿司=半卜斤則其離心率為（）

A.2B.V3C.日D.V5

6.（2024?山西陽泉?三模）已知雙曲線。：0-與=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

Ft,F2,雙曲線的右支上有一點(diǎn)4,々與雙曲線的左支交于點(diǎn)B,線段/月的中點(diǎn)為

7T

M,且滿足工，若/耳則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.V6C.V?D.V13

22

7.（2024?寧夏銀川?三模）已知雙曲線￡：］=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

大，耳，過點(diǎn)外的直線與雙曲線￡的右支交于4B兩點(diǎn),若|/同=|/周，且雙曲線

E的離心率為百，則cos/8/片二（）

A.邁B.--C.-D.--

8488

22

8.（2024?湖南永州?三模）已知耳，耳分別是雙曲線6>0）的左、右

ab

焦點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過耳的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在X

軸上，赤=3可，BF。平分NF&C,其中一條漸近線與線段48交于點(diǎn)尸，則

smZPOF2=（）

'國nV42「回n2VH

7777

9.（2024?天津河西?三模）已知片，鳥是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公

TT

共點(diǎn)，且/耳/”=§,若橢圓的離心率為G，雙曲線的離心率為e?,則e；+e；的最小值

為（）

A.3+6B.C.D.4

22

22

10.（2024?浙江杭州?三模）已知雙曲線1-右=1（d6>0）上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的

ab

兩點(diǎn)4,B,以及雙曲線上的另一點(diǎn)C,使得“8c為正三角形，則該雙曲線離心率的

取值范圍是（）

A.（拒,+■?）B.（后+℃）C.（2,+oo）D.——,+00

二、多選題

22

11.（2024?河北邯鄲?三模）已知雙曲線C:」---匚=1,則（）

A+63-2

A.4的取值范圍是（-6,3）B.C的焦點(diǎn)可在x軸上也可在7軸上

C.C的焦距為6D.C的離心率e的取值范圍為（1,3）

22

12.（2024?河北保定?三模）已知雙曲線C：^-方=l（a>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

耳，F(xiàn)2,過點(diǎn)耳的直線與C的左支相交于尸，。兩點(diǎn)，若PQLPB，且

4\PQ\=3\PF2\,則（）

A.pe|=2aB.所=-2函

c-c的離心率為平

D.直線尸。的斜率為±4

13.（2024?貴州貴陽三模）雙曲線C:，-2=1（°>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)

ab

用片，斜率為正的漸近線為4,過點(diǎn)鳥作直線4的垂線，垂足為點(diǎn)A,交雙曲線于點(diǎn)

24

P,設(shè)點(diǎn)M是雙曲線C上任意一點(diǎn)，若忸瑪|='/閭,邑呻小耳，則（）

A.雙曲線C的離心率為后

B.雙曲線C的共朝雙曲線方程為/一二=1

4

C.當(dāng)點(diǎn)M位于雙曲線C右支時(shí)，三好

\MF2\I2J

4

D.點(diǎn)〃到兩漸近線的距離之積為w

22

14.（2024?山西呂梁?三模）已知橢圓會(huì)+%=1（%>4>0）的離心率為6,雙曲線

22

2-方=1（g>0也>0）的離心率為02,兩曲線有公共焦點(diǎn)用片，尸是橢圓與雙曲線的一

個(gè)公共點(diǎn)，ZFtPF2=60°,以下結(jié)論正確的是（）

A.a」-—b：_b；

131

B

-荷+福=1

C.b；=3b；

D.若則qe誓,，

22

15.（2024?重慶?三模）已知雙曲線C:1-匕=l（a>0）的左，右焦點(diǎn)分別為々，丹，尸為

a16

雙曲線C上點(diǎn)，且△尸片工的內(nèi)切圓圓心為/（3,1）,則下列說法正確的是（）

B-直線叨的斜率為:

A.a=3

64

c.西￡的周長(zhǎng)為當(dāng)D.的外接圓半徑為￡

三、填空題

丫2

16.（2024?湖北荊州三模）已知雙曲線。:q-/=1俗＞0）經(jīng)過點(diǎn)（2」），則c的漸近線

a

方程為-

17.（2024?寧夏石嘴山?三模）已知雙曲線。：』-『1（。＞0力＞0）的左右焦點(diǎn)分別為片、

ab

--------71

片,曲線C上的點(diǎn)M滿足，F(xiàn)、MEM=0,AMFF=~,則雙曲線的離心率

-{26

為.

22

18.（2024?安徽馬鞍山?三模）已知雙曲線「:\-==l（a＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為

K，F(xiàn)2,過點(diǎn)鳥的直線與「的右支交于A,B兩點(diǎn)，若以耳1=8,忸圖=5,//甲?=60。，

則a=.

19.（2024?浙江金華?三模）若圓。:丁+/一5了+4=0被雙曲線

22

E:1r-3=1（。＞0,6＞0）的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為2,則雙曲線E的離心率

為.

22

20.（2024?山東煙臺(tái)三模）已知雙曲線「：占=1（。＞0,6＞0）的漸近線方程

為y=上島,其右焦點(diǎn)為尸，若直線了=6與「在第一象限的交點(diǎn)為P且P尸，x軸，

則實(shí)數(shù)k的值為.

22

21.（2024?河南鄭州三模）已知雙曲線。：］-%=1（。＞0力＞0）的離心率為血,43分別

是它的兩條漸近線上的兩點(diǎn)（不與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合），點(diǎn)尸在雙曲線C上且

OA+OB^2OP,的面積為6,則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.

2

22.（2024?上海奉賢三模）若曲線「：［一/=i（x>0）得右頂點(diǎn)A,若對(duì)線段。/上任

a

意一點(diǎn)P,端點(diǎn)除外，在「上存在關(guān)于X軸對(duì)稱得兩點(diǎn)。、&使得三角形PQR為等邊三

角形，則正數(shù)。得取值范圍是.

23.（2024?四川南充三模）已知點(diǎn)R是雙曲線￡-4=1（。>0/>0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)￡是該

ab

雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)尸且垂直于無軸的直線與雙曲線交于43兩點(diǎn)，若

AAEB<120°,則該雙曲線離心率的取值范圍為

參考答案與詳細(xì)解析

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)雙曲線的考查，重點(diǎn)

是

（1）雙曲線的定義、幾何圖

2023?新高考I卷，

形和標(biāo)準(zhǔn)方程。

16

（2）雙曲線的幾何性質(zhì)（范雙曲線的離心率2024?新高考I卷,

圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、

12

漸近線）。

（3）直線和雙曲線的位置關(guān)

系及綜合應(yīng)用。

—：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查應(yīng)用定義求解雙曲線的離心率，難度較易。n卷是雙

曲線與數(shù)列的綜合問題，后續(xù)專題會(huì)解讀。雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體

上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，在雙曲線的試題中，最為重要的是三

點(diǎn)是：方程、漸近線、離心率。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查雙曲線的定義和離心

率、漸近線。

三：試題精講

一、填空題

1.（2024新高考I卷?⑵設(shè)雙曲線己馬-4=15>0,6>0）的左右焦點(diǎn)分別為aF2,過

ab

修作平行于V軸的直線交C于A,B兩點(diǎn)，若|44|=13,|/切=10,則C的離心率

為.

【答案】|3

【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出|/月|,結(jié)合雙曲線第一定義求出|N￡|,即

可得到a也c的值，從而求出離心率.

22

【詳解】由題可知4瓦外三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將x=c代入、一5=1

ab

得"土生，即故|力創(chuàng)=^-二10,-=59

又|力國—閶=2〃，得|/|二|盟|+2〃=2。+5=13,解得a=4,代入Q=5得〃=20,

a

故/=/+〃=36,,即c=6,所以e=￡6=36=：3.

a42

故答案為：f3

Tff

高考真題練

一、填空題

1.（2023新高考I卷-16）已知雙曲線C±-與=1（°>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

4,耳.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8在V軸上，F(xiàn)\A1F\B,F^4=--F^,則C的離心率

為.

【答案】吟H

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到H閭,忸心,|明|,■周

關(guān)于a,m的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得。=加，進(jìn)而利用余弦定理得到凡。的齊次

方程，從而得解.

52

方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得％=；0,％=-（/,r=402,

將點(diǎn)A代入雙曲線C得到關(guān)于a,6,c的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設(shè)|/閭=2m,則忸1=3加=忸片］14周=2。+2加,

在RM45片中，9m2+（2a+2m）2=25m2,貝?。?。+3機(jī)）（。一加）=0,故〃=加或。=一3根（舍

去），

所以周=4氏X引=2a,忸用=忸團(tuán)=3〃，則|/3|=5a,

AF4。4

故cos4/工=周

5a5

所以在中，8s4盟=寫點(diǎn)”。整理得5?,

依題意,得耳(-c,0),與(c,0),令/(%,%),8(0,/),

___2__?252

因?yàn)轼B/=—§鳥8,所以(%-c,%)=—§(—。/)，則%0=]GVo=-[,

又可,而，所以郎?麗=]|°,-})同)=|。2_m2=0,貝!|?=4/,

22222

又點(diǎn)A在C上，則—9c9—f_]，整理得當(dāng)?5c-事4戶=1,則”75r-筆16r=1,

—2----7T-19a-9b29a29b2

ab

22222222

所以25c262T6c/=9a2〃，即25c(c-?)-l6ac=9a(c-a),

整理得25c4-50/02+9/=o,則(Sc?一9°2)(5/j2)=0,解得5c2=9/或5c2=/,

又e>l,所以e=至或e=@(舍去)，故e=￡L

555

故答案為：述.

5

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)月的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于國心|）的點(diǎn)的軌

跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為

）

[M\flMFi\-\MF2^=2a{0<2a<\FlF2\）j

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當(dāng)2a=|月閭時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以耳和耳為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a=0時(shí)，點(diǎn)的軌

跡是線段耳心的垂直平分線.

（3）2a〉|耳劇時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①條件"|耳心|>2a”是否成立；②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定力,b2

的值），注意/+人2=。2的應(yīng)用.

二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程臺(tái)萬（"°。>。）會(huì)-a=1(。＞0,6〉0)

圖形

.a

焦點(diǎn)坐標(biāo)耳(-c,0),F2(C,O)￡(0,-c),居(0,c)

對(duì)稱性關(guān)于x,y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

頂點(diǎn)坐標(biāo)4（一〃,0）,4（。,0）4（0,〃），4（°，—〃）

范圍|x|>a3”

實(shí)軸、虛

實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為26

軸

ll+A（e〉l）

離心率e=i=\

a

人歹2Va

令==±紇,令彳一二=0n〉=±￡X，

漸近線方a"b~aabb

程

焦點(diǎn)到漸近線的距離為6焦點(diǎn)到漸近線的距離為b

點(diǎn)和雙曲

’〉1,點(diǎn)Oo/o）在雙曲線內(nèi)>1,點(diǎn)（七,%）在雙曲線內(nèi)

線

x2y2

-------<（含焦點(diǎn)部分）亡—二（含焦點(diǎn)部分）

a2b2=1,點(diǎn)（/Jo）在雙曲線上/一乒=1,點(diǎn)（/Jo）在雙曲線上

的位置關(guān)

<1,點(diǎn)（天，隊(duì)）在雙曲線外<1,點(diǎn)（七,隊(duì)）在雙曲線外

系

共焦點(diǎn)的

2222

雙曲線方-3-------r—=1（-。2<k<b2）r—各一=1（-/<k<b2）

a2+kb2-ka2+kb--k

程

共漸近線

2222

的雙曲線十?…臺(tái)*…

方程

切線方程‘吟-碧^二1,（工0，為）為切點(diǎn)“亭-^^=l'（Xo/o）為切點(diǎn)

abab

對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中/換為產(chǎn)換成3V

切線方程

便得.

寫一等=1,（%,%）為雙曲線外一

切點(diǎn)弦所ab2/一警=],（/,%）為雙曲線外一點(diǎn)

ab

在直線方點(diǎn)

程點(diǎn)（X。,九）為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)

1殳直線與雙曲線兩交點(diǎn)為4（石,必），修乂,%），k.B=k.

"弦長(zhǎng)|，回=V1+k2?卜—馬|=+7,—外|（%w，

弦長(zhǎng)公式

2

1xl-x2\=/xy+x2'）-4xtx2其中是消“y”后關(guān)于“x”的一元二次方程的

\a\

i一”系數(shù).

2772

通徑通徑（過焦點(diǎn)且垂直于耳耳的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為二

a

>

僅曲線上一點(diǎn)尸（七,為）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的APFXF2成為焦點(diǎn)三角形，

2b2

1殳/月尸月二夕，|3|=「，忸月|二弓，貝（jcos9=l-----,

r{r2

yk^wo）

pyo|《彳

隹八、、占八'、二-?角zIJ

形

c1.八sine,2b23汽,焦點(diǎn)在X軸上

5一,an廠R,焦點(diǎn)在例上'

2

妾點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

‘歸囿一|尸用|=2a（2a>2c）

Sv/2=T尸用?忸用sin/與/第

吊尸2「=附「+附「-2附歸國cos/百空

等軸雙曲等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率e=&o

線兩漸近線互相垂直=漸近線方程為y=±x=方程可設(shè)為x2-y2=2（2豐0）.

【雙曲線常用結(jié)論】

1、雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑.通

2b2

徑長(zhǎng)為生.

a

2、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系

對(duì)于雙曲線鳥-4=1（。>6>0）,點(diǎn)P（x0,%）在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于馬一馬>1.

abab

點(diǎn)尸（X。，％）在雙曲線外部，等價(jià)于國■-4<1結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來分析.

ab

3、雙曲線?？夹再|(zhì)

性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)6；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)

ab

c

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)尸到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)

a2b2

c2

4、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為上（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越

U

tan—

2

小，面積越大）

5、雙曲線的切線

22

點(diǎn)M（%,九）在雙曲線，-==1（〃>0,6〉0）上，過點(diǎn)”作雙曲線的切線方程為

ab

22

理-理=1.若點(diǎn)在雙曲線鼻-多=1（a>0,6>0）外，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方

abab

程為岑-理=1

ab

名校模擬練

一、單選題

22

1.（2024?甘肅蘭州?三模）已知雙曲線C:二--土=1（加>0）的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的

3m+2m

2倍，則C的漸近線方程為（）

A.y=i—xB.y=±xC.y=±2xD.y=±v2x

2-2

【答案】C

【分析】先得到方程，求出加=2,得到雙曲線方程和漸近線方程.

【詳解】由題意得J3加+2,解得加=2,

22

c：匕-土=1,故漸近線方程為y=±2x.

82

故選：C

22

2.（2024?浙江紹興?三模）已知耳，耳為曲線C：3+±=1（加工4）的焦點(diǎn)，則下列說

法錯(cuò)誤的是（）

A.若比=1,則曲線C的離心率6=也

2

B.若加=-1,則曲線C的離心率e=1

2

C.若曲線C上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/6/”=90。，貝京=2

D.若〃?<0,則曲線C上存在四個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/耳尸8=90°

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)加=1時(shí)，曲線C是橢圓，離心率e="H=",A正確；

22

對(duì)于B,當(dāng)加=-1時(shí)，曲線C是雙曲線，離心率e=@+I=Xi,B正確；

22

對(duì)于C,當(dāng)a=8時(shí)，曲線C是橢圓，其短半軸長(zhǎng)6=2,半焦距c=V^Z=2,

顯然以線段片且為直徑的圓恰過這個(gè)橢圓短軸端點(diǎn)，即符合條件的加可以是8,C錯(cuò)

誤;

對(duì)于D,當(dāng)加<0時(shí)，則曲線是焦點(diǎn)在x上的雙曲線，貝！||丹瑞|>4,

以線段月互為直徑的圓與雙曲線有4個(gè)交點(diǎn)，即符合條件的點(diǎn)尸有4個(gè)，D正確.

故選：C

3.（2024?安徽?三模）過雙曲線C:與-]=ig>6>0）的下頂點(diǎn)尸作某一條漸近線的垂

ab

線，分別與兩條漸近線相交于",N兩點(diǎn)，若麗?=2屈，則C的離心率為（）

A.—B.V3C.2也D.3

3

【答案】A

【分析】過點(diǎn)尸作另一條漸近線的垂線乩r于ML借助雙曲線的對(duì)稱性計(jì)算可得

b

即可得離心率.

【詳解】過點(diǎn)尸作另一條漸近線的垂線五AT于由對(duì)稱性可得巴圖=|尸N[,

由而=2由，則有|N尸|=2|尸"|,則NFN"=g

6

故NNOM=1,故NNOFJ,故?=tanj,-g]=tan/=6,

36b6J3

22

4.（2024?全國?三模）已知雙曲線C：-方=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，

F2,且離心率為e=。，過點(diǎn)2的直線/與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)。，則

tanZDF[F2=（）

A.1B.yC.2D.3

32

【答案】A

【分析】設(shè)焦點(diǎn)匕（c,。），根據(jù)題意求點(diǎn)。的坐標(biāo)和2的值，進(jìn)而畫出圖象即可解決.

a

【詳解】不妨設(shè)焦點(diǎn)鳥（c,o）,其中一條漸近線為y=2x,則直線1的方程為

a

過點(diǎn)。作％軸的垂線，垂足為H,如下圖:

￡

3-

故選:A.

22

5.（2024?四川成都?三模）已知雙曲線右=1（fl>0,b>0）的左焦點(diǎn)為耳，點(diǎn)。

ab

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線漸近線上一點(diǎn)且滿足|九名|=|。"|,過片作x軸的垂線交漸

近線于點(diǎn)N,已知|詢|=手L|,則其離心率為（）

A.2B.V3C."D.A/5

2

【答案】D

【分析】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式列方程求解即可.

則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-且過耳作x軸的垂線交漸近線于點(diǎn)N,

故設(shè)點(diǎn)

不妨設(shè)M,N均在y=2x上，貝［］必=一勺,%=一"，

a2aa

...|岫|=手|明|,F（-c,O）,

故選：D.

22

6.（2024?山西陽泉?三模）已知雙曲線C：7方=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

耳片，雙曲線的右支上有一點(diǎn)44月與雙曲線的左支交于點(diǎn)B,線段/g的中點(diǎn)為

TT

M,且滿足9，/月，若/月/居=巳，則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.76C.V?D.V13

【答案】C

【分析】根據(jù)條件得△/臺(tái)片是等邊三角形，設(shè)月的邊長(zhǎng)為“,結(jié)合雙曲線定義得

|/1=6d|/閶=%，在△明月中，由余弦定理求得離心率.

【詳解】

因?yàn)椤笆蔷€段/月的中點(diǎn)，且曲0，/巴，所以同=忸閭，

又/耳48=1,所以△NB鳥是等邊三角形，

設(shè)△』愿的邊長(zhǎng)為",由雙曲線的定義知，|/用-|/閱=2a,\BF2\-\BF^2a,

所以4|=加+2.,忸4|=加-2。，

又|/周一|明|=|/同=加,所以機(jī)+2”（刃-2°）=加，gpm=4a,

所以|44|=6a,|4周=4a,

在△四月中，由余弦定理知，閨居「=|超「+M8「-2|盟||/g|cosg,

所以（2c）2=36a2+16a2-2x6ax4ax|=28a2

即°=，7°,所以離心率e=￡=J7.

故選：c

22

7.(2024?寧夏銀川?三模)已知雙曲線E：二-斗的左、右焦點(diǎn)分別為

居,F2,過點(diǎn)巴的直線與雙曲線E的右支交于aB兩點(diǎn),若=H團(tuán)，且雙曲線

￡的離心率為血，則COSN詡片=()

A3療口311

A?-----D.—7C.-L).

8488

【答案】D

【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得忸用=2。，從而再得忸片|=4〃，由余弦定

理求得cos/Bg與，由誘導(dǎo)公式得cos44月月，設(shè)M工|=機(jī)，則|/胤=〃?+2°,再由余弦

定理求得加，從而利用余弦定理求解即可.

【詳解】因?yàn)殡p曲線E的離心率為行，所以c=0a,因?yàn)?/p>

所以忸川=|/同一|/閭=|/周一|/閭=2°,

由雙曲線的定義可得忸團(tuán)-忸閶=忸周-2a=2a9

所以阿|=4a=2|%|,

在ABg中,

二忸B『十|EB『T%『=4〃+8-2—16/=_旦

由余弦定理得cosNBF[F]

2忸7訃|片司2X2QX2后Q4

6

在△/百鳥中，cosAFXF2A=-COSZFXF2B=—^~

設(shè)加，則|力用=m+2°,

由］片閶2+M引2一2山馬用?OS/丹巴/得

222

(2a+m)=(2V2a)+m-2x272?-m-,解得加=勺，所以|必|中,

22

64a64a..2

_\AF^+\AB2-\BF^-----+--------16a1

所以cos/氏4片99

—2\AF^AB\八8a8a

2x—x——8

33

22

8.（2024?湖南永州?三模）已知耳，耳分別是雙曲線三-與6>0）的左、右

ab

焦點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過耳的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在X

軸上，CB=3F\A,BF2平分NF&C,其中一條漸近線與線段4B交于點(diǎn)P,則

sin/尸=()

AV41nV42「屈