2025高考數(shù)學考二輪復(fù)習 直線與圓（三大考向）專項訓練（含解析）

2025高考數(shù)學考二輪專題復(fù)習-第七講-直線與圓（三大考向）-專項訓練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對直線的考查，重點是2023?新高考□卷，

直線的傾斜角與斜率、直線方6

程的求法、兩條直線的位置關(guān)2022?新高考□卷，

系、距離公式、對稱問題等。15

2.高考對圓的考查，重點是圓直線與圓的位置關(guān)系2023?新高考□卷，

的標準方程與一般方程的求15

法，除了待定系數(shù)法外，要特2024?新高考□卷，

別要重視利用幾何性質(zhì)求解圓10（多選題的一個

的方程。同時，除了直線與選項中考查）

圓、圓與圓的位置關(guān)系的判2022?新高考口卷，

圓與圓的位置關(guān)系

斷，還特別要重視直線與圓相14

交所得弦長及相切所得切線的

問題。2022?新高考□卷，

直線的斜率

3.其他就是直線、圓與其他知3

識點的交匯。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未直接考查直線與圓的相關(guān)知識點，口卷在多選題的一個

選項中考到了直線與圓相切的問題，其實在壓軸題中也有直線斜率的影子，后續(xù)專題

再呈現(xiàn)。其實直線與圓直接考查的話，難度一般是較易的，一般計算不出錯即可。在

一些上難度的題型中，往往有直線斜率的一些影子。直線與圓考查應(yīng)關(guān)注：直線、圓

的方程及位置關(guān)系，直線方程的求解、直線過定點問題的求解、含參直線方程中參數(shù)

取值范圍求解、直線與圓的位置關(guān)系中涉及的弦長與切線方程的求解。以常規(guī)題型、

常規(guī)解法為主要方向，常結(jié)合基本不等式、函數(shù)、三角形面積等知識考查最值問題。

預(yù)計2025年高考還是主要考查直線與圓的位置關(guān)系。

一、多選題

1.（2024新高考□卷TO）拋物線C：丁=4尤的準線為/,尸為C上的動點，過尸作

OA:d+（y一4-=1的一條切線，。為切點，過P作/的垂線，垂足為3,貝IJ（）

A./與相切

B.當尸，A,3三點共線時，|尸。|=后

C.當|PB|=2時，PAYAB

D.滿足的點P有且僅有2個

高考真題練

一、單選題

1.（2023新高考口卷-6）過點（。,-2）與圓父+y-4x-l=0相切的兩條直線的夾角為。，

貝（Jsina=（）

A.1B.巫C.叵D.顯

444

2.（2022新高考□卷-3）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AAm,CC',r>D是桁，

相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意

圖.其中。2,CG，84,44,是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

為籌配器=&，普=%.已知左&&成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線

UL）XCOjD/\

Q4的斜率為0.725,則收=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

二、填空題

3.（2022新高考口卷?14）寫出與圓/+>2=1和（>_3）2+。-4）2=16都相切的一條直線

的方程.

4.（2022新高考口卷T5）設(shè)點A（-2,3）,8（0,a）,若直線AB關(guān)于對稱的直線與圓

（x+3y+（y+2）2=1有公共點，則a的取值范圍是.

5.（2023新高考□卷T5）已知直線/：尤一⑺+1=0與。C:（x—l）2+y2=4交于/,B兩

Q

點，寫出滿足面積為:'的他的一個值_____.

知識點總結(jié)

一、直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線/與無軸相交，則以尤軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與/重合所成的

角稱為直線/的傾斜角，通常用分，/,…表示

（1）若直線與x軸平行（或重合），則傾斜角為0

（2）傾斜角的取值范圍ae[O,乃）

2、直線的斜率

設(shè)直線的傾斜角為a,則a的正切值稱為直線的斜率，記為左=tana

（1）當夕=工時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的

2

（2）傾斜角a與斜率左的關(guān)系

當左=0時，直線平行于軸或與軸重合；

當左＞0時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨左的增大而增大；

當左＜0時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨左的增大而增大；

3、過兩點的直線斜率公式

已知直線上任意兩點，4（網(wǎng)，外）,8（尤2，%）則女=上——

x2-xl

（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關(guān).

（2）若則直線鉆的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°

4、三點共線

兩直線AB,AC的斜率相等一A、B、C三點共線；反過來，AB、C三點共線，則直線

AB,AC的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在.

二、直線的方程

1、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y(tǒng)-y,=k[x-x^不含垂直于x軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

y一y=％一7

兩點式不含直線工=藥（%w%）和直線＞=%（y力%）

截距式”=i不含垂直于坐標軸和過原點的直線

ab

Ax+Bj+C=0

一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用

(A2+4w0)

2、求曲線（或直線）方程的方法

在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直

接法則需找到兩個點，或者一點一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線

方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）

3、線段中點坐標公式

若點勺，鳥的坐標分別為（占，%）,（%,%）且線段￡￡的中點M的坐標為a，丁），貝?

,2,此公式為線段々己的中點坐標公式.

[2

4、兩直線的夾角公式

k?—k]

若直線y=《x+4與直線y=&v+&的夾角為a，貝ljtana=

1+k]k?

三、兩直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

4：Ax+Ay+G=0A不-44=o且

44+B]B?—0

1?:42%+B?y+C?—0eg—不。1

4:y=k,x+b,人、一―一、

;-,,（斜率存在）

/:y=kx+b&=k,bWb2或

2222{匕?左2=-1或勺與心中有一個為0,

L:x=x,…一_一一，X=X,X=x,xW%2另一個不存在.

'"（斜率不存在）121

l2:x=x2

四、三種距離

1、兩點間的距離

平面上兩點4(和%),￡(%,%)的距離公式為|<鳥|=J(X1—%)2+(%一%)2.

特別地，原點0(0,0)與任一點尸(X,了)的距離|。尸=&2+廣

2、點到直線的距離

|Ax+By+C|

點用(%,%)到直線/:Ar+比y+C=O的星巨離4=00

特別地，若直線為/：x=m,則點400，%)到/的距離1=|7"-尤0|；若直線為/：y=n,則

點片(七,%)到/的距離d—\n-y0\

3、兩條平行線間的距離

已知/”4是兩條平行線，求44間距離的方法：

(1)轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離.

(2)設(shè)4:Ax+By+G=04：Ax+By+C2=0,則與11之間的距離C=華,之1

A/A2+B2

注：兩平行直線方程中，x,歹前面對應(yīng)系數(shù)要相等.

4、雙根式

雙根式/。)=冊/+*+4土Md+g+c2型函數(shù)求解，首先想到兩點間的距離，或

者利用單調(diào)性求解.

五、圓

1、圓的四種方程

(1)圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=嚴，圓心坐標為Q,b),半徑為r(r>0)

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>Q),圓心坐標為

(-士-昌，半徑一?

(22)2

(3)圓的直徑式方程：若4網(wǎng),必),8(馬,％)，則以線段N3為直徑的圓的方程是

(%-%)(工一馬)+(丫一%)(丁一%)=0

2、點與圓的位置關(guān)系判斷

2

⑴點P(x0,y0)與圓(x-a『+(y-6)2=r的位置關(guān)系：

仃(無一4+(y-6)2點尸在圓外；

□(x-a)2+(y-b)2=r2o點尸在圓上；

□(x-a)2+(y-b)2</o點尸在圓內(nèi).

(2)點尸(%,%)與圓f+9+瓜+Ey+尸=0的位置關(guān)系：

□x；+y；+Dx0+￡%+廠>0o點P在圓外；

□考+y；+￡>Xo+或0+P=0=點P在圓上；

□x；+y；+Dx0+Ey0+F<0u>點、P在圓內(nèi).

六、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系判斷

(1)幾何法(圓心到直線的距離和半徑關(guān)系)

圓心(M)到直線—+a+C=0的距離，則d=?+刖+0：

VA2+B2

d<ro直線與圓相交，交于兩點尸,。，|尸。|二2，7下；

d二ro直線與圓相切;

d〉ro直線與圓相離

（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）

[Ax+By+C-Q

由\（x-d）2+（y-b）2=r2，

消元得到一元二次方程px2+qx+，=0，px1+qx+，=0判別式為△,則：

A>0<=>直線與圓相交；

A=0o直線與圓相切；

A<0o直線與圓相離.

七、兩圓位置關(guān)系的判斷

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：

設(shè)兩圓0,q的半徑分別是凡，（不妨設(shè)尺〉廠），且兩圓的圓心距為d,貝IJ：

d<R+ro兩圓相交；

d=R+r<=>兩圓外切；

R-r<d<R+r=兩圓相離

d=R-廠=兩圓內(nèi)切；

0<4<氏-廠=兩圓內(nèi)含（d=0時兩圓為同心圓）

設(shè)兩個圓的半徑分別為R,r,R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表

不：

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

幾何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解

公切線條數(shù)43210

【直線與圓常用結(jié)論】

一、直線

1、點關(guān)于點對稱

點關(guān)于點對稱的本質(zhì)是中點坐標公式：設(shè)點尸（X],%）關(guān)于點。（X。，%）的對稱點為

%+%2

2

P\x2,y2），則根據(jù)中點坐標公式，有＜

M+%

%=

2

可得對稱點P\x2，%）的坐標為（2%-X],2%-%）

2、點關(guān)于直線對稱

點P（Xi,%）關(guān)于直線/:Ar+By+C=O對稱的點為PT%,%），連接尸產(chǎn)'，交/于初點，

則/垂直平分PP，所以PP_L1，且〃為pp中點，又因為M在直線/上，故可得

kl-kpp>=—1

AX1+X2Ig-V1+j2IC-o'解出（％，%）即可,

22

3、直線關(guān)于點對稱

法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐

標，再由兩點式求出直線方程;

法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程.

4、直線關(guān)于直線對稱

求直線L:辦+外+c=0，關(guān)于直線4：公+ey+/=O（兩直線不平行）的對稱直線4

第一步：聯(lián)立4算出交點P（X。，%）

第二步：在4上任找一點（非交點）°（占，%），利用點關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出

對稱點Q,(X2，力)

第三步：利用兩點式寫出4方程

5、常見的一些特殊的對稱

點(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,-y),關(guān)于V軸的對稱點為(-x,y).

點(x,y)關(guān)于直線產(chǎn)x的對稱點為(y,x),關(guān)于直線y=r的對稱點為(-y,-尤).

點(x,y)關(guān)于直線x=。的對稱點為(2a-x,y),關(guān)于直線y=6的對稱點為

(x,26-y).

點(x,y)關(guān)于點(a,6)的對稱點為(2a-x,2b—y).

點、(x,y)關(guān)于直線x+y=%的對稱點為(左-y,k-x)>關(guān)于直線x-y=左的對稱點為

(k+y,x—k).

6、過定點直線系

過已知點尸(%,%)的直線系方程y-%=笈(％-尤0)(4為參數(shù)).

7、斜率為定值直線系

斜率為左的直線系方程y=Ax+6(6是參數(shù)).

8、平行直線系

與已知直線Ac+By+C=O平行的直線系方程Ax+為+4=0(彳為參數(shù)).

9、垂直直線系

與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程Bx-Ay+A=0(2為參數(shù))?

10、過兩直線交點的直線系

過直線4：4無+4v+G=0與6：4%+&丫+。2=0的交點的直線系方程：

A尤+4>+C]+4(4x+B2y+C2)=o(九為參數(shù))?

二、圓

1、圓的參數(shù)方程

□l2+/=r2(r>0)的參數(shù)方程為*"為參數(shù));

y=rsm，

°9oz?、[〃、u、r\X—ClYCOS0...、t“、

□0-4+（k32=產(chǎn)（廠＞0）的參數(shù)萬程為（。為參數(shù)）.

[y=b+rsm3

注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設(shè)為

（a+rcos0,b+rsinO'）（，為參數(shù)，（a,6）為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立

三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界

性求解最值.

2、關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論

2

（1）過圓/+=/上一■點產(chǎn)（%,%）的圓的切線方程為xox+yoy=r.

（2）過圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點尸（%,打）的圓的切線方程為

(玉-a)(x-a)+(%-b)(y-b)=r2

（3）過圓￡+y2+6+物+尸=0上一點P（x0,y0）的圓的切線方程為

xox+yoy+D-^^+E-^^+F=0

（4）求過圓/+/=/外一點尸（毛,為）的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解:

□所求切線一定有兩條；

口設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論.設(shè)切線方程為

y-y0=k（X-x0）,利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于人的方程，求出女值.若

求出的女值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的近直只有一個，則

說明斜率不存在的情形符合題意.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?江西新余?二模）已知直線》-分=。交圓C：/+>2一2氐-2y=0于M,N兩

點，貝『'△MOV為正三角形”是“a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?陜西西安三模）若過點川。,1）可作圓/+「-2》_4>+”0的兩條切線，則a

的取值范圍是（）

A.（3,+a>）B.（-1,3）C.（3,5）D.（5收）

3.（2024?北京?三模）已知4-1,0）,8（1,0）,若點尸滿足以J.P8,則點尸到直線

-石）+〃（y-l）=0的距離的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024?四川成都三模）已知直線/|“-/+1=0與。c：（x-ay+（y_l）2=l相交于

AB兩點，若AABC是直角三角形，則實數(shù)a的值為（）

A.1或-1B.括或-gC.--或-1D.--或Y

5.（2024?湖南邵陽三模）已知直線/：x-y-2=0與圓。：x2+y2=l,過直線/上的

任意一點P作圓。的切線R4,PB,切點分別為4,B,則/”8的最大值為（）

,3兀一2兀-兀c兀

A.—B.—C.-D.-

4326

6.（2024?重慶?二模）已知圓O:Y+y2=3,尸是圓。外一點，過點尸作圓。的兩條切

線，切點分別為AB,若尸4尸3=（貝”。P|=（）

A.-\/6B.3C.2石D.y/15

7.（2024?北京三模）已知圓C:（x-@2+（y_l）2=l和兩點A（fO）,即,0）”0）,若圓

C上存在點尸，使得西?麗=0,貝k的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

8.（2024?山東煙臺三模）若圓/+/+奴+石y+2a-3=0與x軸沒有交點，則實數(shù)。

的取值范圍為（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）U（5,6）D.（2,3）U（6,M）

9.（2024?北京，三模）已知直線/:依+（a+l）y+2=0,圓。:公+廣二⑹下列說法錯送

的是（）

A.對任意實數(shù)。，直線/與圓。有兩個不同的公共點；

B.當且僅當。=時，直線/被圓。所截弦長為40;

C.對任意實數(shù)。，圓0不關(guān)于直線,對稱；

D.存在實數(shù)。，使得直線,與圓。相切.

10.（2024?江西鷹潭?三模）已知機eR,直線4:%x+y+2根=。與4：x-沖+4，w=。的交

點尸在圓C：（x—3）2+（>-4）2=/（r>0）上，貝卜的最大值是（）

A.40B.3啦C.2A/5D.3行

二、多選題

11.（2024?湖南長沙?三模）已知圓C:（x+2y+y2=4,直線

/:（7"+l）x+2y-l+7〃=O（meR）,則（）

A.直線/恒過定點

B.當〃7=0時，圓C上恰有三個點到直線/的距離等于1

C,直線/與圓C可能相切

D.若圓C與圓Y+y2_2x+8y+a=0恰有三條公切線，則a=8

12.（2024?山西臨汾?三模）已知瓦尸是以C（l,2）為圓心，血為半徑的圓上任意兩點,

且滿足CELCF,P是E尸的中點，若存在關(guān)于（3,0）對稱的A8兩點，滿足

PAPB=0,則線段A8長度的可能值為（）

A.3B.4C.5D.6

13.（2024?河南鄭州?三模）已知直線/：◎+勿+1=0（不同時為0）,圓

C:x2+y2-2x=0,貝!J（）

A.當巨-2“=1時，直線,與圓C相切

B.當。+6=-2時，直線/與圓C不可能相交

C.當。=1,6=7時，與圓C外切且與直線/相切的動圓圓心的軌跡是一條拋物線

D.當時，直線/與坐標軸相交于A8兩點，則圓C上存在點P滿足

PAPB=0

14.（2024?山東青島三模）已知動點"，N分別在圓G：（x-l）2+（y-2）2=l和

22

C2:（x-3）+（y-4）=3上，動點尸在x軸上，則（）

A.圓C?的半徑為3

B.圓G和圓c?相昌

c.|PM|+|PN|的最小值為2而

D.過點尸做圓G的切線，則切線長最短為g

15.（2024?浙江溫州?二模）已知圓G"y2=6與圓C2：d+y2+2x-a=0相交于48

兩點.若S.AB=2SQB,則實數(shù)。的值可以是（）

2214

A.10B.2C.—D.—

33

16.（2024?浙江紹興?三模）已知M,N為圓尤?+/=4上的兩個動點，點網(wǎng)一口），且

PM±PN,貝I］（）

A.\PM\=2+72

IImax

B.\MN\mm=14^

C.APMN外接圓圓心的軌跡方程為卜+g3

2

△PMN重心的軌跡方程為+2]_

D.

6

三、填空題

17.（2024?廣東汕頭?三模）已知圓C經(jīng)過A（2,0）,B（0,2）,C（2,4）三點，

（i）則圓C的標準方程為；

（ii）若直線A3關(guān)于＞=a對稱的直線與圓C有公共點，貝心的取值范圍是.

18.（2024?天津和平?三模）已知圓C以點（1,1）為圓心，且與直線3-丫-2M=0（加€11）

相切，則滿足以上條件的圓C的半徑最大時，圓C的標準方程為.

19.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）點尸關(guān)于直線x-y=O的對稱點在圓

（x-2）2+（y-4）2=13內(nèi)，則實數(shù)。的取值范圍是.

20.（2024?湖南?二模）已知直線/是圓。：爐+3=1的切線，點4（-2,1）和點3（0,3）至工

的距離相等，則直線/的方程可以是.（寫出一個滿足條件的即可）

21.（2024?浙江?三模）已知圓G：/+;/=2和圓C?：（x-3）2+（j；-4）2=16,過圓C?

上一動點尸作圓C2的切線，交圓C1于A,3兩點，當初03（點。為坐標原點）面積最

大時，滿足條件的切線方程為.（寫出一條即可）

22.（2024,上海,三模）已知圓G：（x-+（y-=1,圓C?:（尤-4）。+（y-5）~=9,點

M,N分別是圓G、圓C?上的動點，點尸為y=T上的動點，則IPMI+IPNI的最小值

是_______

參考答案與詳細解析

:考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對直線的考查，重點是2023?新高考□卷，

直線的傾斜角與斜率、直線方6

程的求法、兩條直線的位置關(guān)2022?新高考□卷，

系、距離公式、對稱問題等。15

2.高考對圓的考查，重點是圓直線與圓的位置關(guān)系2023?新高考口卷,

的標準方程與一般方程的求15

法，除了待定系數(shù)法外，要特2024?新高考□卷，

別要重視利用幾何性質(zhì)求解圓10（多選題的一個

的方程。同時，除了直線與選項中考查）

圓、圓與圓的位置關(guān)系的判2022?新高考口卷，

圓與圓的位置關(guān)系

斷，還特別要重視直線與圓相14

交所得弦長及相切所得切線的

問題。2022?新高考口卷，

直線的斜率

3.其他就是直線、圓與其他知3

識點的交匯。

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷未直接考查直線與圓的相關(guān)知識點，口卷在多選題的一個

選項中考到了直線與圓相切的問題，其實在壓軸題中也有直線斜率的影子，后續(xù)專題

再呈現(xiàn)。其實直線與圓直接考查的話，難度一般是較易的，一般計算不出錯即可。在

一些上難度的題型中，往往有直線斜率的一些影子。直線與圓考查應(yīng)關(guān)注：直線、圓

的方程及位置關(guān)系，直線方程的求解、直線過定點問題的求解、含參直線方程中參數(shù)

取值范圍求解、直線與圓的位置關(guān)系中涉及的弦長與切線方程的求解。以常規(guī)題型、

常規(guī)解法為主要方向，常結(jié)合基本不等式、函數(shù)、三角形面積等知識考查最值問題。

預(yù)計2025年高考還是主要考查直線與圓的位置關(guān)系。

三：試題精講

一、多選題

1.（2024新高考□卷10）拋物線C：y2=4x的準線為/,尸為C上的動點，過尸作

（DA:f+（y-4）2=l的一條切線，。為切點，過尸作/的垂線，垂足為瓦則（）

A./與。A相切

B.當P,A,8三點共線時，

C.當|PB|=2時，PAYAB

D.滿足IPAHPSI的點尸有且僅有2個

【答案】ABD

【分析】A選項，拋物線準線為產(chǎn)-1,根據(jù)圓心到準線的距離來判斷；B選項，

尸,A,8三點共線時，先求出尸的坐標，進而得出切線長；C選項，根據(jù)|依|=2先算出

尸的坐標，然后驗證七AB=T是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，戶回=歸同，

于是問題轉(zhuǎn)化成|科=|依|的尸點的存在性問題，此時考察轉(zhuǎn)的中垂線和拋物線的交

點個數(shù)即可，亦可直接設(shè)尸點坐標進行求解.

【詳解】A選項，拋物線V=4x的準線為x=-1,

的圓心（。,4）到直線x=_l的距離顯然是1,等于圓的半徑,

故準線/和。A相切，A選項正確;

高考真題練

一、單選題

1.（2023新高考口卷—6）過點（0,-2）與圓/+/-以-1=。相切的兩條直線的夾角為。，

則sina=（）

A.1B.姮C.叵D.在

444

【答案】B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)

切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距

離公式可得左2+8左+1=0,利用韋達定理結(jié)合夾角公式運算求解.

【詳解】方法一：因為爐+丁-以-1=0,gp（x-2）2+/=5,可得圓心C（2,0）,半徑

r=y/59

過點尸（0,-2）作圓C的切線，切點為

因為|PC|=:22+（-2）2=20,則=Jpcf-y=也,

可得sinZAPC=~^==,cosZAPC=~^==,

2夜42724

貝!)sinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x---------X--------=----------

444

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

即NAP3為鈍角，

所以sina=sin（兀一ZAPS）=sinZAPB=；

法二：圓/+：/-4%-1=0的圓心C（2,0）,半徑r=心,

過點尸（0,-2）作圓C的切線，切點為連接A8,

可得I尸C|=百+（一2）2=2近，則\PA\=\PB\=5尸。2—1=y/3,

因為|+歸耳2-21cosZAPB=|C4「+1CB|2—2104"CB|cosZACB

日,ZACB=n-ZAPB,貝!j3+3—6cosZAPj5=5+5-10cos（7t-ZAP3）,

即3-cosNAP3=5+5cosNAP3,解得cos/APB=-工<0,

4

即/AP3為鈍角，則cosa=cos（7r-NAP8）=-cosNAPB=；,

且a為銳角，所以sina=41-cos2a='叵;

4

方法三：圓x」+y-=0的圓心C（2,0）,半徑廠=指，

若切線斜率不存在，則切線方程為X=0,則圓心到切點的距離d=2>r,不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為丫=米-2,即履-，-2=0,

|2左一2|r-

則」/,1=15,整理得乃+8左+1=0,KA=64-4=60>0

yjk2+l

設(shè)兩切線斜率分別為&國,則kl+k2=-8,k網(wǎng)=1,

可得歸_&|=J（.+Y）2-4.A=2A/15,

所以tana=?,1=岳,即豈吧=小，可得cosa=^

1+左危cosay/15

rn>|.22-2SIDOC

jJlUsin6z+cosa=sina+———=1,

且ae（0,兀），則sina>0,解得sina=—.

故選：B.

2.(2022新高考口卷-3)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA',BB',CC',DD'是桁,

相鄰桁的水平距離稱為步,垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意

圖.其中DA.CC*綜44,是舉，ORQG.Cg,%是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別

地=05&左"

5,kl，&，黃=%.已知KK&成公差為0」的等差數(shù)列，且直線

為OR'DC,CBl

Q4的斜率為0.725,貝=()

Ay

L

。01X

圖1圖2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】設(shè)。R=DC,=CBi=BA=l,則可得關(guān)于勺的方程，求出其解后可得正確的選

項.

【詳解】設(shè)。2=r>G=cq=%=i,則CG=.84=《,A4t=%,

DD]+CC]+BB]+Az4j

依題意，有/-0.2=左,/_0.1=&,且=0.725,

ODX+DCX+CBX+B\

所以"干空=°儂，故-。9,

故選：D

二、填空題

3.（2022新高考□卷T4）寫出與圓f+/=1和（無-3）2+“-4）2=16都相切的一條直線

的方程.

【答案】>=-3%+?5或yW725或L1

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】［方法一］:顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為x+6y+c=0,

工曰|c|］［3+4b+c|

于是亦=i，*7^=4

故/=1+82口，|3+4〃+（?|=|4。|.于是3+46+。=4?；?+46+。=^<7,

f,24r4

伍=0b=Fb=-

再結(jié)合「解得I或（或;，

c=l255

1c=-----c=——

I713

所以直線方程有三條，分別為x+l=0,7x-24”25=0,3x+4y-5=0.

（填一條即可）

［方法二］:設(shè)圓尤2+產(chǎn)=1的圓心0（0,0）,半徑為弓=1,

22

圓(X—3)+(y—4)=16的圓心C(3,4),半徑r2=4,

則|OC|=5=4+U，因此兩圓外切,

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+l=O符合題意；

又由方程。一3)2+4—4)2=16和/+9=1相減可得方程耳+4＞一5=0,

即為過兩圓公共切點的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x-3y=0,

4

直線OC與直線x+l=O的交點為

設(shè)過該點的直線為y+J=Mx+i),則H］,解得左=三，

3討24

從而該切線的方程為7x-24y-25=0.(填一條即可)

［方法三］:圓，+產(chǎn)=1的圓心為。(0,0),半徑為1,

圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心。1為(3,4),半徑為4,

兩圓圓心距為斤百=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

如圖,

當切線為1時，因為左g=4§,所以勺=-；3，設(shè)方程為y=-(3x+9>o)

o至！li的距離L，解得=］，所以1的方程為y=

V1+l6444

當切線為m時，設(shè)直線方程為履+y+〃=0,其中。>o,k<0,

舊T

k-

24725

由題意，，解得‘y=—x-----

佻+4+P|_42524'24

p=一

Jl+%224

當切線為n時，易知切線方程為x=-l,

故答案為：y=3+5J或y=7￡x-2g5或x=-l.

442424

4.(2022新高考口卷T5)設(shè)點A(-2,3),8(0,a),若直線A3關(guān)于V=。對稱的直線與圓

(x+3)2+(y+2)2=1有公共點，則a的取值范圍是.

「13一

【答案】

【分析】首先求出點A關(guān)于y=。對稱點A的坐標，即可得到直線/的方程，根據(jù)圓心

到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；

【詳解】解：4(-2,3)關(guān)于>對稱的點的坐標為A(-2,2a-3),8(0,“)在直線Y

上,

所以48所在直線即為直線/,所以直線/為y=Wx+a9即（〃一3）x+2y-2a=0；

-2

圓C:（x+3）2+（y+2p=1,圓心。（一3,-2）,半徑丁=1,

”3)2+22

01313

即（5—5肅0K（a—3）2+22,解得白即”；

-13"

故答案為：

5.（2023新高考口卷T5）已知直線/：x-%y+l=0與。C：（x-iy+y2=4交于/,臺兩

Q

點，寫出滿足“AABC面積為1”的加的一個值_____.

【答案】2（2,-2[,-：中任意一個皆可以）

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長仙同，以及點C到直線的距離，結(jié)合

面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點C到直線A8的距離為d,由弦長公式得|4邳=2"^萬，

所以S△詼'xdxzE7],解得：/=述或/=也，

2355

,|1+1|_25246T226M相ST

由d==~i==^，所以]——十二—^-或=工-,解得：相=±2或

yjl+mvl+mVI+m5Jl+m5

故答案為：2（2,-2,-5中任意一個皆可以）.

知識點總結(jié)

一、直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線/與X軸相交，則以無軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與/重合所成的

角稱為直線/的傾斜角，通常用也萬,7,…表示

（1）若直線與x軸平行（或重合），則傾斜角為0

（2）傾斜角的取值范圍ae[O,為

2、直線的斜率

設(shè)直線的傾斜角為a,則a的正切值稱為直線的斜率，記為左=tanc

（1）當夕=生時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的

2

（2）傾斜角a與斜率左的關(guān)系

當左=0時，直線平行于軸或與軸重合；

當左＞0時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨上的增大而增大；

當左＜0時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨左的增大而增大；

3、過兩點的直線斜率公式

已知直線上任意兩點，4（占，%）,3（尤2，%）則％=&――

x2~Xj

Cl）直線的斜率是確定的，與所取的點無關(guān).

（2）若％=尤,，則直線A5的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90。

4、三點共線

兩直線AB,AC的斜率相等-4B、C三點共線；反過來，AB、C三點共線，則直線

AB,AC的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在.

二、直線的方程

1、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y(tǒng)-y^k(x-x^不含垂直于無軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

_一弘二

兩點式不含直線%=%（%W%）和直線y=x（xw%）

%一M々一%

截距式—=i不含垂直于坐標軸和過原點的直線

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用

(A2+序w0)

2、求曲線（或直線）方程的方法

在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直

接法則需找到兩個點，或者一點一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線

方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）

3、線段中點坐標公式

若點片，鳥的坐標分別為（再，/）,（9，％）且線段4g的中點〃的坐標為（無，，貝U

X.+X、

X=---------

<2,此公式為線段48的中點坐標公式.

7=2

4、兩直線的夾角公式

若直線y=《x+仿與直線，=%/+旬的夾角為a,則tana=4,，

1+印2

三、兩直線平行與垂直的判定

兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示.

兩直線方程平行垂直

4:Ax+gy+G=0—4與=o且

44+BB=o

—52clw0l2

/2：4%+32>+。2=。B'C?

I1：y=Iqx+h/人、

;?'（斜率存在）

l,.y=kx+b%=k,bA"或

2222x勺出=T或人與心中有一個為。，

另一個不存在.

4：x="（斜率不存在）x=x1,x=x2,x1W%2

k-X=X2

四、三種距離

1、兩點間的距離

平面上兩點6（X],X）,心（々，%）的距離公式為I461=4%-%）2+（乂-%）2-

特別地，原點。（0,0）與任一點尸（x,+/.

2、點到直線的距離

|Ac+By+C|

點々（為,%）到直線IAx+By+C=0的距圖d00

9+加

特別地，若直線為/：x=m,則點《（%,為）到/的距離d=|7"-與|；若直線為/：y=n,則

點片（七,為）到I的距離d=|%I

3、兩條平行線間的距離

已知/是兩條平行線，求44間距離的方法：

(1)轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離.

(2)設(shè)/|：Ar+Bv+G=0，：Ax+3y+C2=0,貝lj乙與之間的距離C=中一G1