2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：橢圓【含答案】

對點練60橢圓

【A級基礎(chǔ)鞏固】

22

1.橢圓言+女=1上點尸到上焦點的距離為4,則點P到下焦點的距離為（）

A.6B.3

C.4D.2

?2

2.“4<女<10”是“方程亡+彌耳=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

V2V2

3.（2023?新高考I卷）設(shè)橢圓Ci：u+〉2=l（a>D，Q：五+V=1的離心率分別為

ei,ei,若62=小61,則a=（）

A.辛B,V2

C.小D.y[6

2

4.（2021?全國乙卷）設(shè)3是橢圓C：x彳+>2=1的上頂點，點p在C上，貝1]|尸引的最

大值為（）

A.1B.y/6

C.\[5D.2

5.（2024?蘇州四市統(tǒng)考）已知橢圓C：孑+:=1（0<6<2）的左焦點為〃是C上

的動點，點N（0,?。?，若|MN|十|"W的最大值為6,則C的離心率為（）

A.gB.^

23

C3D4

6.（多選）（2024.石家莊調(diào)研）如圖所示,用一個與圓柱底面成《0〈詞角的平面截圓

柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓的長軸長等于4

、歷

B橢圓的離心率為學(xué)

27

C橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是++5=1

D.橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為4-273

7.（多選）已知橢圓E：^+^=1的左、右焦點分別為A,F2,左、右頂點分別為

Ai,4.P是橢圓上異于Ai,4的點，則下列說法正確的是（）

的周長為4

B.APF1F2面積的最大值為小

C.國1+戌2|的最小值為2小

D.若△以必2的面積為2,則點P的橫坐標(biāo)為土坐

8.已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點卜|,|）,（小，一小），

則橢圓的方程為.

9.已知橢圓?+y2=i的左、右焦點分別為乃，F(xiàn)2,過八作直線交橢圓于A,5兩

點，若五2為線段的中點，則△ABB的面積為..

?2

10.（2024.濟(jì)南質(zhì)檢）已知橢圓%+%=13＞。＞0）的右焦點為F（c,0）,上頂點為A（0,

b）,直線上存在一點尸滿足（砂+或）4＞=0,則橢圓的離心率的取值范圍為

72

11.如圖所示，已知橢圓了+方=13＞。＞0）,F1,仍分別為橢圓的左、右焦點，A

為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點3.

(1)若NBA3=90。，求橢圓的離心率；

(2)若橢圓的焦距為2,且祓=2助，求橢圓的方程.

12.已知橢圓E：，+，=l(a>0>0),若橢圓上一點P與其中心及長軸一個端點構(gòu)

成等腰直角三角形.

(1)求橢圓E的離心率；

(2)如圖，若直線/與橢圓相交于A,B,且A3是圓M：(x—1)2+。+1)2=5的一

條直徑，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【B級能力提升】

13.(2023?全國甲卷)設(shè)。為坐標(biāo)原點，F(xiàn)\,改為橢圓C：卷+著=1的兩個焦點,

3

點尸在C上，COSZFIPF2=5，則|0尸|=(

13

AA-TB.

*

。5

14.已知橢圓A：16x的焦點到準(zhǔn)線的

距離，橢圓A的離心率是方程2f—3小x+3=0的一個實數(shù)根.

(1)求橢圓A的方程;

(2)若及分別是橢圓的左、右焦點，“是橢圓上的一點.求加1?擊的取值范

圍.

對點、練60橢回答案

92

1.A［由橢圓方程讀+去=1，

得次=25,即a=5,

設(shè)下焦點為Fi,上焦點為Fi,

則歸為|+|「仍|=2。=10,

因為|P尸2|=4,所以|P尸i|=6,

即點P到下焦點的距離為6」

,,儼一4〉0,

2.B［若方程冷+需7=1表示焦點在y軸上的橢圓，則110—%>0,解

上——410—K'

〔10—左〉女一4,

得4〈kV7,

92

故"4〈女<10”是“方程/+77匕=1表示焦點在y軸上的橢圓”的必要不充

分條件.］

3.A［由已知得e尸寫I62=耳=坐,

因為ei=y［3ei,所以坐=市X"^^,

解得。=亭」

一

4.A［法一(消元轉(zhuǎn)化法)設(shè)點P(x,y),則根據(jù)點P在橢圓會+y2=i上可得一

=5—5y2.易知點5(0,1),所以根據(jù)兩點間的距離公式得

|P3|2=f+(y—1>=5—5/+(y—I)2

(、2

=—4y2—2y+6=—4卜+/+y.

當(dāng)y+1=0,即y=—/滿足|y|Wl)時，|PBF取得最大值,，所以|PB|max=|.

法二（利用橢圓的參數(shù)方程）因為點尸在橢圓1+產(chǎn)=1上，

所以可設(shè)點P（小cos仇sin。）.

易知點3（0,1）,所以根據(jù)兩點間的距離公式得

|「那=（小cos8）2+（sine-1）2

=4cos20—2sin6+2=—4sin20—2sin8+6

=—{sin0+^+^.

易知當(dāng)sine+1=0,即sin6=—1時，|P3|2取得最大值今，所以|PJB|max='|.］

5.B［設(shè)橢圓C的右焦點為F,

由橢圓的定義，^\MF\+\MF'\=2a=4,

所以|MF|=4一|"嚴(yán)，

所以\MN\+\MF\=\MN\~\MF'\+4

W|N嚴(yán)+4,

當(dāng)且僅當(dāng)M,N,〃三點共線時等號成立，

則由題意，知此時|N/廿4=6,

即|N嚴(yán)=q（0—C）2+（小—0）2=2,解得c=1,

所以e=a=2^

6.CD［設(shè)橢圓的長半軸長為a,短半軸長為0,半焦距為c,橢圓長軸在圓柱底

面上的投影為圓柱底面圓直徑，

JT4

則由截面與圓柱底面成銳二面角6=］得2a=a/=8,解得。=4,A不正確；

顯然6=2,則0=y。2一,二2小,離心率e=\=坐，B不正確；

當(dāng)以橢圓長軸所在直線為y軸，短軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系時，橢

22

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為春+1=1,C正確；

lo4

橢圓上的點到焦點的距離的最小值為a—c=4—2小，D正確.］

7.BC［由題意得a=2,b=y/3,c=l,0）,F2（l,0）,短軸的一個端點

32（0,小），如圖所示.

對于A,|P尸1|+尸園=2。=4,

故△PRLF2的周長為4+2=6,故A錯誤；

對于B,利用橢圓的性質(zhì)可知△PBR2面積的最大值為92*小=小，故B正確;

對于C,|滋i+戌2|=2|舒|,

設(shè)尸(2cos仇^3sin0),

從而|麗＞|=yj4cos20+3sin2/9=^/3+cos20^3,

所以由1+戌2|min=24，故C正確；

對于D,因為SAFA1A2=^|AiA2||yp|=

2\yp\=2,所以網(wǎng)=1,

則竽+1=1,解得xp=土斗^,故D錯誤.]

2

8忐+看=1[設(shè)mx+盯2=1（機(jī)，n>0,m^ri）,

由卜-i)y,解得「

l3m+5n=l,"=而

所以橢圓的方程為顯+>L]

9.小[由題意可知B(一小，0),F2他,0),

因為點八為線段A3的中點，

2b2

所以所以履3|=二一=1,

所以SAAFIB=1|A5|-|FIF2|=V3.]

10.嚀2，1][取AP的中點Q,

則噸=；湃+兩，

所以（成+前）?屈=2或％>=0,

所以RQLAP,所以△AFP為等腰三角形，

即附|=尸尸|,且照|=亞不?=。

出

因為點尸在直線x=i"上，

a乙2a乙2

所以尸尸伊（一c,即a》《一c,

2

所以所以e2+e—1N0,

解得e酷’21或eW—當(dāng)一~

又0<e<1,故，之￡e<l.]

11.解（lY：\AFi\=\AF2\=a,

且NBAR2=90°,/1b|=2。，

???2〃2=4。2,：.a=y[^c,；.e=.

（2）由題知A（0,b）,尸2（1,0）,設(shè)5（%,y）9

Q1

由翁2=2疫，解得x=5，y=—2，

9尤

丫244

代入u+%=l，得了+烹=1，

91

即4片+4=1，解得。2=3,

b2=a2—c2=2.

22

.?.橢圓方程為5+5=1.

12.解（1）由題意不妨設(shè)橢圓上的點尸的坐標(biāo)為修，代入橢圓方程可得（十條

=1,

即/=3〃，.?./=3。2=3（/一，），

：.2a2=3c2,離心率e=坐.

22

⑵由⑴得橢圓E的方程為品十方=1,

易知直線/的斜率存在，設(shè)其方程為

y=k（x—l）—l,A（xi,yi）,B（X2,y2）.

y=k(%—1)—1,

聯(lián)立

x1+3y2=3b2,

.,.(3^+1)?-6k(k+1)x+3(左+1產(chǎn)-3〃=0.

6k(左+1)3(左+1)2~3b2

?*.Xl+%2=X1X2=

3廬+13^+1

、?116—9~2

XI\X2=2,.?%=],??X1X2~~9

則\AB\=11+左2.(%1+%2)2—4%1%2

?"2=￥，則42=10,

22

橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為吉+方=1.

T

13.B[依題意tz=3,b=乖,c=yja2—b2=yl3.

如圖，不妨令不（一審,0）,

放（小，0）.

設(shè)IPRll=m,

\PF2\=n,在△BPR2中，

由橢圓的定義可得m+n=2a=6.@

由①②，解得加〃=券.

法一設(shè)