2025高考數學：導數必考經典壓軸解答題匯編（含解析）

導撤檢老強舞密“修拳皴匯"

----------------------°(KES°----------------------

命題城................................................................................1

知識機.................................................................................1

舉一反三................................................................................4

【慝型1函數的切假問題】.................................................................4

【題型2（含參）圖數的單調性問題】........................................................6

【典型3函數的極值與就值問題】...........................................................8

【慝型4導數中隔數零點（方程根）同慝】...................................................10

【題型5導數中不等式的證明】...........................................................12

【題型6利用導數研究不等式恒成立問題】.................................................14

【慝型7利用導數研究能成立問慝】.......................................................16

【題型8雙變式問題】....................................................................18

【題型9導數中的極值點偏移問慝】.......................................................20

I：題型10導數與其他知識的綠合問題】....................................................22

【題型11導數新定義問慝】...............................................................24

課后提升...............................................................................27

（命題規(guī)律）

導數是高考數學的重要內容,是高考必考的重點、熱點內容.從近幾年的高考情況來看,在解答題中試題

的難度較大，主要涉及導數的幾何意義、函數的單調性問題、函數的極值和最值問題、函數零點問題、不等式恒

成立與存在性問題以及不等式的證明等內容,考查分類討論、轉化與化歸等思想，屬綜合性問題，解題時要靈

活求解.

其中，對于不等式證明中極值點偏移、隱零點問題和不等式的放縮應用這三類問題是目前高考導數壓軸

題的熱點方向.

【知識點1切線方慳的求法】

1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：

①求出函數5=/3）在多=g處的導數，即曲線夕=/3）在點（&,/（g））處切線的斜率；

???

②在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'M(x-g).

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

①設出切點坐標T(gJ(g))(不出現為)；

②利用切點坐標寫出切線方程：y=f(x0)+/'(g)Q-Xo)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識點2導數中函數單調性問題的解題策略】

1.含參函數的單調性的解題策略：

(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)若導函數為二次函數式，首先看能否因式分解,再討論二次項系數的正負及兩根的大小;若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數的正負，兩根的大小及根是否在定義域內.

2.根據函數單調性求參數的一般思路：

(1)利用集合間的包含關系處理：在(a,6)上單調，則區(qū)間(a,b)是相應單調區(qū)間的子集.

(2)/(0為增(減)函數的充要條件是對任意的刀e(a,6)都有((尤))0(/(工)W0),且在(a,6)內的任一

非空子區(qū)間上，/儂)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略,否則會漏解.

(3)函數在某個區(qū)間上存在單調區(qū)間可轉化為不等式有解問題.

【知根點3函數的極值與最值問題的解題思路】

1.運用導數求函數大①)極值的一般步驟：

(1)確定函數/(①)的定義域；

(2)求導數直3)；

(3)解方程/3)=0，求出函數定義域內的所有根；

(4)列表檢驗r(i)在—(c)=0的根g左右兩側值的符號；

(5)求出極值.

2.根據函數極值求參數的一般思路：

已知函數極值，確定函數解析式中的參數時,要注意：根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方

程組，利用待定系數法求解.

3.利用導數求函數最值的解題策略：

(1)利用導數求函數/Q)在［a,b］上的最值的一般步驟：

①求函數在(a,b)內的極值；

②求函數在區(qū)間端點處的函數值/(a),/(b)；

③將函數/Q)的各極值與/(a),/(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

(2)求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：

求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性

和

極值情況,畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.

【知識點4導數的綜合應用】

1.導數中的函數零點（方程根）問題

利用導數研究含參函數的零點（方程的根）主要有兩種方法：

（1）利用導數研究函數/（⑼的最值，轉化為/（⑼圖象與非軸的交點問題,主要是應用分類討論思想解

決.

（2）分離參變量，即由/（必）=0分離參變量，得a=gQ）,研究夕=o■與y=g（力）圖象的交點問題.

2.導數中的不等式證明

（1）一般地，要證/3）>gQ）在區(qū)間（a,b）上成立，需構造輔助函數F（c）=/Q）—g（M，通過分析F

3）在端點處的函數值來證明不等式.若F（a）=0,只需證明尸（⑼在（a,b）上單調遞增即可;若尸⑹

=0,只需證明F（x）在（a,b）上單調遞減即可.

（2）在證明不等式中,若無法轉化為一個函數的最值問題，可考慮轉化為兩個函數的最值問題.

3.導數中的恒（能）成立問題

解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：

（1）分離參數法解決恒（能）成立問題，根據不等式的性質將參數分離出來,得到一個一端是參數，另一

端是變量表達式的不等式，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題,即可解決問題.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數進行分

類討論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意,據此進行求解即可.

4.導數中的雙變量問題

破解雙參數不等式的方法：

一是轉化,即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的

不等式；

二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.

【知識點5極值點偏移問題及其解題策略】

1.極值點偏移

極值點偏移的定義:對于函數y=/（⑼在區(qū)間（a,b）內只有一個極值點明，方程/（⑼的解分別為g、

22,且a<電<工2<b.

⑴若號也Wg,則稱函數g=/（力在區(qū)間（◎,g）上極值點而偏移；

⑵若*1；電>g,則函數夕=/圓）在區(qū)間（/i,g）上極值點g左偏，簡稱極值點g左偏；

（3）若，1；電Vg,則函數g=f（x）在區(qū)間（xlfx2）上極值點g右偏，簡稱極值點g右偏.

2.極值點偏移問題的一般題設形式

(1)函數/(%)存在兩個零點g,劣2且力1￥力2,求證：/i+g>2g(g為函數/(力)的極值點)；

(2)函數/(名)中存在0,電且為1W62,滿足/(劣1)=/(力2)，求證：力1+22>2%()(20為函數/(為)的極值點);

(3)函數f3)存在兩個零點為，電且電W◎，令四)二，求證：/'(g)>0；

(4)函數f(x)中存在g,g且gWg,滿足f3J=f(*2)，令g=，求證：((g)>o.

3.極值點偏移問題的常見解法

(1)(對稱化構造法)：構造輔助函數：

①對結論/1+g>2g型，構造函數斤(宓)=/㈤—/(2g—c).

②對結論為芯>嗡型,方法一是構造函數F(X)=f(x)-/(逋),通過研究F(T)的單調性獲得不

X

等式;方法二是兩邊取對數，轉化成lnxr+InN2>21ng,再把In^,Ing看成兩變量即可.

(2)(比值代換法):通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換t=也化為單變量的函數不等式,

力2

利用函數單調性證明.

------------------------------------O［舉一反三)

【題型1函數的切線問題】

1.(2024?廣東?二模)已知函數/(a?)=e"-1—ajlnrr.

(1)求曲線夕=/(⑼在點(1,/(1))處的切線方程;

⑵證明：/3)>o.

2.（2024?四川雅安?一模）已知函數/（乃二口士1,其中aER,

ex

（1）當a<0時，求/（比）的單調區(qū)間；

（2）當a=1時，過點（―l,m）可以作3條直線與曲線夕=/（2；）相切，求nz的取值范圍.

3.（2024?湖北黃岡?一模）已知函數/（2）=2alnx+^-2：2—（a+3）rr,（aER）

（1）若曲線夕=/（力）在點（1,/（1））處的切線方程為/（1）=-a?+b,求a和b的值;

（2）討論了（為的單調性.

4.（2024.廣東惠州.模擬預測）已知函數/（0=,+工3>0）.

X

（1）當。=0時，求曲線g=/（c）在點（1,/（1））處的切線方程;

（2）設g（rc）=/'（/）?力2,求函數gQ）的極大值.

【題型2（含弁）函數的單調性問題】

5.（2024.浙江金華?一模）已知函數/（力）=-^-x2—a\nx+（1—Q）N,（a>0）.

（1）若Q=l,求/（為的單調區(qū)間；

（2）若/（乃>—g,求a的取值范圍.

?M

6.(2024.上海靜安.一模)設函數/(為=刀+4,4G(—8,0)U(0,+8).

X

(1)求函數"=/(/)的單調區(qū)間；

(2)求不等式/(切V2①的解集.

7.(2024?廣東?模擬預測)已知函數/(①)=T3+y(a—3)T2—&2：+4.

(1)當a=6時，求/(立)的極值；

(2)討論/(0的單調性.

8.（2024.貴州六盤水?模擬預測）已知函數/㈤=ex—ax+l（aC玲.

（1）求函數/3）的單調區(qū)間；

（2）若Vc>0,/Q）>〃+2,求實數a的取值范圍.

【題型3函數的極值與最值問題】

9.（2024.云南大理?一模）已知函數/（①）=lnx+^-1.

⑴當a=1時，證明：/（x）>0；

（2）若函數/Q）有極小值，且/Q）的極小值小于a—a?,求a的取值范圍.

?M

10.（2024?廣東肇慶?一模）已知函數/Q）=萼+姐+!.

（1）當Q=0時，求/（C）的最大值；

（2）若/（力）存在極大值，求Q的取值范圍.

11.（2024?陜西榆林?模擬預測）已知函數/（6）=Q/—ln（N+l）+1.

⑴當a=1時，求/Q）的最小值；

⑵求/（化）的極值；

（3）當Q&2時，證明：當一IV力V0時，/（X）＞ex.

12.（2024.河南.二模）已知函數/㈤=/+2（a—3）力+2加強（（^7?）在定義域內有兩個極值點

（1）求實數a的取值范圍；

（2）證明：/（21）+/（曲）>-10.

【題型4導數中函數零點（方程根）問題】

13.（2024.貴州黔南?一模）已知函數/Q）=ae，—很+l（aCR）.

（1）討論函數/（⑼的單調性；

（2）若當a>0時，函數/（土）有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍.

???

14.（2024?山東煙臺?三模）已知函數/（力）=x+aex（aER'）.

（1）討論函數/Q）的單調性；

（2）當a=3時,若方程一—+坐二=m+l有三個不等的實根,求實數m的取值范圍.

15.（2024?四川?一模）設/（力）=ex3~x—ax

（1）若a=0,求/（力）的單調區(qū)間.

（2）討論了（0的零點數量.

16.(2024?甘肅白銀?一模)已知函數/(c)=槍2—21n2—L

(1)若曲線夕=/(力)在C=2處的切線的斜率為3,求九

(2)已知/(2)恰有兩個零點◎，電(21〈電).

①求力的取值范圍；

②證明：出+生V2—21/.

力2t

【題型5導數中不等式的證明】

17.(2024.廣東廣州?模擬預測)已知函數/(力)=ex—kx2—x.

⑴若力=],求證：當力>0時，/(x)>1；

(2)若c=0是/(/)的極大值點，求k的取值范圍.

18.(2024?四川?一模)已知函數/(/)=x\nx—ax2+1.

(1)若/Q)在(0,+oo)上單調遞減,求a的取值范圍;

(2)若aV0,證明：/3)>0.

19.(2024?山西?模擬預測)已知函數了+—t+

(1)若函數/Q)在定義域上單調遞增，求a的取值范圍；

/l.c6—2

(2)若a=0；求證:/(2)<.....—

xz

(3)設/1，62(/1〈劣2)是函數/(加)的兩個極值點，求證：/(力1)一/(62)<一/2).

13

20.（2024.安徽安慶.三模）已知函數/（乃=（In㈤）2一缶+工）+2,記/㈤是/Q）的導函數.

（1）求r（D的值；

（2）求函數/（c）的單調區(qū)間；

（3）證明：當比＞1時，（立一1升6-工+0；111（1+2）］＞Ina??ln（a;+l）.

【題型6利用導數研究不等式恒成立問題】

21.（2024?河南?模擬預測）已知函數/（①）=e"—2elnx+ax+lna（a＞0）.

⑴若a=l,證明：/（乃＞-|-x；

（2）若/（尤）＞2e+1恒成立,求實數a的取值范圍.

22.(2024?福建?三模)函數/(力)=(1一為嚴一①一1,其中a為整數.

(1)當a=1時，求函數/(X)在c=1處的切線方程；

(2)當a；e(0,+oo)時,/Q)V0恒成立，求a的最大值.

23.(2024?浙江臺州?一模)已知函數/㈤=爐+4/—5c.

(1)求函數y=4⑼的單調遞減區(qū)間；

(2)若不等式且也—61ncWa(a;—1)2對任意［1,+8)恒成立，求實數a的取值范圍.

X

24.(2024?四川德陽?模擬預測)已知函數/Q)=lmr+&

X

(1)若曲線y=/(⑼在點(1J(1))處的切線為①+沙+6=0,求實數6的值；

(2)已知函數gQ)=/(x)+與，且對于任意a;G(0,+oo),g(x)>0,求實數a的取值范圍.

X2

【題型7利用導數研究能成立問題】

25.(2024?四川樂山?三模)已知函數/㈤=ax-\-ln%,gQ)=Q(十一n—1)+l—x

⑴討論/Q)的單調性；

⑵令H(G=/(T)+gQ),若存在x0E(1,+8),使得HQ)<-一:人成立,求整數Q的最小值.

26.(2024.河南鄭州?模擬預測)已知函數/㈤=xlnx—ax2,g(z)=ax2—ax+1,h{x}=/(C)+gQ).

(1)討論:當Qg(—8,0]U"，+8)時，/(劣)的極值點的個數；

(2)當Q>1時，3xE(1,+8),使得無(力)<(e—l)a—3e+3,求實數Q的取值范圍.

27.(2024.湖北.模擬預測)已知函數/⑸=Inc,gQ)一1其中。為常數.

(1)過原點作〃力)圖象的切線Z,求直線I的方程；

(2)若m2e(0,+oo)，使/(力)<gQ)成立，求Q的最小值.

28.(2024.遼寧?模擬預測)已知函數/Q)=(CZT—l)ex+1+3(a^0).

(1)求/(力)的極值；

(2)設Q=1,若關于力的不等式—1》計1—%在區(qū)間［―1,+8)內有解，求b的取值范圍.

【題型8雙變量問題】

29.(2024?江蘇鹽城?模擬預測)已知函數/8)=三，其中a>0.

(1)若/(無)在(0,2］上單調遞增,求a的取值范圍；

(2)當a=1時，若61+電=4且0V力1V2,比較/(%)與f(g)的大小，并說明理由

2

30.(2024.河南商丘.模擬預測)已知函數/⑺的定義域為(0,+刈，其導函數尸(為=2刀+

2a(a67?)J(l)=l-2a.

(1)求曲線y=f(x)在點(1J(1))處的切線I的方程，并判斷I是否經過一個定點；

⑵若m.,22,滿足ovgv±2,且/'(21)=/'(④2)=0,求2/(電)—y(K2)的取值范圍.

31.(2024?四川成都?模擬預測)已知函數/(⑼=包些-m,xG(0,兀).

ex

(1)求函數/(⑼的單調區(qū)間；

(2)若gV力2,滿足/(劣1)=/(力2)=0.

(i)求館的取值范圍；

(ii)證明：/1+gV兀.

??

32.（2024?安徽阜陽?一模）已知函數/（力）=31nx—ax.

⑴討論/Q）的單調性.

⑵已知力1，/2是函數/（力）的兩個零點（gVg）.

（i）求實數Q的取值范圍.

（ii.e（0,/）,/（工）是/⑺的導函數.證明:r[而1+（1—“]<0.

【題型9導數中的極值點偏移問題】

33.（2024?江西?模擬預測）已知函數/儂）=土+色.

ex

（1）討論/（⑼的單調性；

（2）若Wg,且/（g）=/（/2）=2,證明：0V?nVe,且g+力2V2.

34.（2024?云南?二模）已知常數a>0,函數/㈤=-^-x2—ax—2a21nx.

（1）若V%>0JQ）>—4出,求a的取值范圍；

⑵若61、/2是/（力）的零點，且力1工/2,證明:61+力2>4。.

35.（2024?全國?模擬預測）已知函數/（/）=1—In/—￡（QG_R）.

⑴求/Q）的單調區(qū)間；

⑵若/（力）有兩個零點力1，%2,且力1<力2,求證：x1X2<e~a.

36.（2024?湖北武漢?三模）已知函數/（力）=ax+（a—l）lnx+—,aER.

x

（1）討論函數/（力）的單調性；

（2）若關于力的方程/（力）=/e，-ln/+?有兩個不相等的實數根g、3

（i）求實數Q的取值范圍；

（ii）求證：貯+包〉且.

力2

【題型10導致與其他知織的綜合問題】

37.（2024?江蘇南通?三模）已知函數/（力）=（1+x）k-kx-l（fc>1）.

（1）若力>一1,求/（力）的最小值；

（2）設數列｛an｝前幾項和S",若冊=（1+專），求證：Sn—n>2—九；「.

38.(24-25高三上?河北滄州?階段練習)已知函數/Q)=lnz的圖象與函數g(c)的圖象關于直線y=—工

+1對稱.

⑴求函數g(0的解析式；

(2)證明：VxE(1,4-00),/(x)—g(力)>0；

2

⑶若圓M\x-I)?+靖=r(r>0)與曲線g=\f(x)\相交于4,8兩點，證明：AAMB為銳角.

39.(2024.重慶.二模)已知函數/(力)=//、.

ln(2—rc)

(1)求/Q)的單調區(qū)間；

(2)當0V力V1時，/(力)>+a，求實數a的取值范圍；

x—1

(3)已知數列｛an｝滿足：Qi=^■，且斯=—+i).證明：一九4\.

o3,2nTtiZ

40.（2024?江蘇?一模）已知Q>0,函數/（力）=arcsine+cosax—1,0<rr<^-.

（1）若a=2,證明：/（力）>0；

（2）若/（力）>0,求a的取值范圍；

（3）設集合P=｛anan=Vcos-—nGN*],對于正整數?n,集合。巾=｛劍加〈/〈2恒｝,記PPl

k=l2fc（fc+l）J

。山中元素的個數為鼠,求數列｛%｝的通項公式.

【題型11導數新定義問題】

2

41.（2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預測）已知函數/（力）=a0+arx+a2x4----Fa逆％其中a0,ai,a2,…，時不全為0,

2n

并約定冊+i=0,設既=（k+1）耿+i—耿,稱gQ）=bQ+bi①+b2xH----\-bnx為/（名）的“伴生函數”.

（1）若于（x）=5x4+3d+3力+1,求g（力）；

（2）若/（0>0恒成立，且曲線g=ln/Q）Q>0）上任意一點處的切線斜率均不小于2,證明：當力>0

時，gQ）>/（x）；

（3）若劭=0,證明:對于任意的恒e（0,+8）,均存在te（0,館），使得g（±）v八772）.

977TlT—11

42.(2024.四川成者B?模擬預測)定義運算：=rnq—g,已知函數/(⑼=,g(?=--

pqlax

1.

(1)若函數汽⑶的最大值為0,求實數a的值；

⑵證明：(l+^)(l+^)(l+^)-(l+^)<e-

(3)若函數4⑼=/(⑼+g(X)存在兩個極值點如電,證明：3)一&+2<0.

X1—X2

43.(2024?湖南長沙?模擬預測)定義:如果函數/(*)在定義域內，存在極大值/(g)和極小值/(t2)且存在

一個常數上使/(g)—/(g)=k(g—g)成立，則稱函數/(工)為極值可差比函數，常數k稱為該函數

的極值差比系數.已知函數/Q)=c—十一almu.

(1)當a=^時，判斷/(/)是否為極值可差比函數,并說明理由；

(2)是否存在a使/(①)的極值差比系數為2-a?若存在，求出a的值;若不存在，請說明理由；

(3)若卓■，求/(工)的極值差比系數的取值范圍.

44.（2024.上海.模擬預測）已知函數g=/（/）,/E。，如果存在常數河，對任意滿足gV/2V…〈N…V

為的實數"，…，g，其中如為2,???,xn_19xnE。，都有不等式21（3一/（刈-1）|恒成立，則

i=2

稱函數夕=/（力）心6。是“絕對差有界函數”

（1）函數/（C）=皿口）上是“絕對差有界函數”，求常數M的取值范圍；

xe

（2）對于函數沙=/（力），力E[a,b],存在常數k,對任意的如力2G[a,b]，有:⑶）一/3）|&砒1一恒

成立，求證:函數g=/（為以G[a,b]為“絕對差有界函數”

（3）判斷函數/（2）=2"'是不是"絕對差有界函數”？說明理由

、0,x=0

26

（課后提升）

一、解答題

45.（2024?海南省直轄縣級單位?模擬預測）已知函數/（力）=/—In/—2.

（1）求曲線夕=/（力）在（e,e—3）處的切線方程；

（2）若Q>0,g（力）=ax2-2（ax+l）—/（2）,討論函數g（%）的單調性.

46.（2024?湖北?一模）已知/（6）=（ax2+x+l）ex.

⑴當Q=1時,求曲線沙=/（6）在點（0,/（0））處的切線方程;

⑵若/（名）在區(qū)間（―3,—1）內存在極小值點，求Q的取值范圍.

M

47.（2024?重慶?模擬預測）設aCR,已知函數/⑺=1強+加—a2+2.

（1）當函數/（比）在點（2,/（2））處的切線m與直線l-.3x-2y-l=0平行時,求切線m的方程；

（2）若函數/（力）的圖象總是在紀軸的下方，求a的取值范圍.

48.（2024?河南?模擬預測）已知函數/（a;）=x3+ax（^aER）的一個極值點為rr=1.

⑴求a的值；

（2）若過點（3,m）可作曲線夕=/（2）的三條不同的切線,求實數m的取值范圍.

49.(2024?西藏拉薩?一模)已知函數/(6)=x2—{A+3)x-\-Alnx.

(1)若4=—3,求/(力)的單調區(qū)間；

(2)若fQ)既有極大值，又有極小值，求實數4的取值范圍.

50.(2024?廣東?模擬預測)已知函數/(2)=x—1—a\nx,aER.

⑴判斷函數/(功的單調性；

(2)若/(力))0恒成立，求Q的值.

51.（2024.四川成都.二模）已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產一千件需另投入

2.7萬元，設該公司年內共生產該品牌服裝c千件并全部銷售完，銷售收入為RQ）萬元，且RQ）=

(10.8—^x2^x,（0<T<10）

（注:年利潤=年銷售收入-年總成本）

108-曙，

（1）寫出年利潤W（萬元）關于年產量W千件）的函數解析式；

（2）求公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大時的年產量.

52.（2024?江蘇?二模）已知函數/（l）=-+alnx（a€R）.

x

（1）當a=0時,證明：f（x）>1;

（2）若/（⑼在區(qū)間（1,+oo）上有且只有一個極值點,求實數a的取值范圍.

53.（2024?新疆?模擬預測）已知函數/（力）=（力—1）物匕

（1）當館=1時，求/（力）的單調區(qū)間及最值；

（2）若不等式/（為）>砂一名在［1,+8）上恒成立,求實數7n的取值范圍.

54.（2024.吉林長春.模擬預測）已知函數/⑸=?—］、（7>0）.

⑴證明：ov/Q）v。；

（2）證明：之方1丁VIn（九+1）V之=，九eN*.

M2F+1占卜

55.(2024?四川內江?一模)已知函數fQ)=a(x+a)—ln(x+l),aER.

(1)討論函數/(為的單調性；

(2)若/(⑼>1恒成立，求實數a的取值范圍.

56.(2024.河北邯鄲.模擬預測)已知函數/⑺=(lnx+x)(e--

(1)當Q=1時，求"=/(力)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)若/(力)有兩個不同的零點，求實數。的取值范圍.

32

57.(2024?四川樂山?三模)已知函數/(2)=ax+Inx—ax2

(1)當a=l時，討論/Q)的單調性；

(2)若存在&C(1,+8)，使得/(g)>0,求a的取值范圍.

58.(2024.云南昆明?模擬預測)已知函數/(①)=史處.

xa

⑴當a=2時，求/Q)的單調區(qū)間；

(2)證明:若曲線g=/(不與直線"=士有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

az

33

59.（2024?吉林?模擬預測）已知函數/（c）=x（ex—a）—alnx,aER.

（1）當a=e時,求函數/（⑼的單調區(qū)間與極值；

⑵若函數/（⑼有2個不同的零點為，g,滿足ge%>2ge%，求a的取值范圍.

60.（2024?河南?三模）設函數/（切的導函數為廣（口,廣（為的導函數為「3）/3）的導函數為r"（>）.若

/"（g）=0,且/”（次）￥0,則（g,/（g））為曲線夕=/（，）的拐點.

（1）判斷曲線是否有拐點,并說明理由；

（2）已知函數/⑸=謁一5/，若（掾,/（烏））為曲線y=/Q）的一個拐點，求/（①）的單調區(qū)間與

極值.

61.(2024?全國?模擬預測)已知函數，(2)=—x2+21na;,g(rc)=a(x2+2x).

(1)若曲線/(⑼在點(1,-1)處的切線與曲線g(c)有且只有一個公共點，求實數a的值.

(2)若方程gQ)-/(T)=1有兩個不相等的實數根0,g,

①求實數a的取值范圍；

②求證：Si+x2>2.

62.(2024.湖南郴州.模擬預測)已知函數/(0=2加112；+5〃一(&+2)2；,其中￡1為常數.

(1)當a>0時,試討論/(⑼的單調性；

(2)若函數/(c)有兩個不相等的零點電，電，

⑴求a的取值范圍；

(夜)證明：XI+X2>4.

63.（2024.全國.模擬預測）若函數/（/）在［a,b］上存在Ni,g（QVgVgVb），使得/（g）=―,

b—a

r（g）=嗎-Na），則稱/（力）是［Q,b］上的“雙中值函數”，其中如電稱為/（0在［Q,b］上的中值點.

（1）判斷函數/Q）=爐—3d+1是否是［-1,3］上的“雙中值函數”，并說明理由；

（2）已知函數=//2—Rn%—QN,存在7?2>n>0,使得/（771）=f（Tl），且/⑺是［幾,?71］上的“雙

中值函數”，如電是/（力）在［九,館］上的中值點.

①求Q的取值范圍；

②證明：0+/2>0+2.

導撤檢老強舞密“修拳皴匯"

----------------------°(KES°----------------------

命題...............................................................................1

知識杭理...............................................................................1

率一反三...............................................................................3

【題型1函數的切線問題】...............................................................3

【題型2（含，）函數的單調性問題】......................................................6

【題型3函數的極值與最值問題】........................................................9

【題型4導數中函數掌點（方程根）問題】.................................................12

【題型5導數中不等式的證明】.........................................................17

【題型6利用導致研究不等式恒成立問題】...............................................21

【題型7利用導致研究能成立問題】.....................................................25

【題型8雙變量問題】..................................................................28

【題型9導致中的極值點偏移問題】.....................................................31

【題型10導數與其他知識的綜合問題】..................................................36

【題型11導數新定義問題】.............................................................41

課后提升..............................................................................46

導數是高考數學的重要內容，是高考必考的重點、熱點內容.從近幾年的高考情況來看，在解答題中試題

的難度較大，主要涉及導數的幾何意義、函數的單調性問題、函數的極值和最值問題、函數零點問題、不等式恒

成立與存在性問題以及不等式的證明等內容,考查分類討論、轉化與化歸等思想，屬綜合性問題，解題時要靈

活求解.

其中，對于不等式證明中極值點偏移、隱零點問題和不等式的放縮應用這三類問題是目前高考導數壓軸

題的熱點方向.

【知識點1切線力程的求法】

1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：

①求出函數夕=/3）在c=g處的導數，即曲線夕=/（必）在點（3,/（g））處切線的斜率；

???

②在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'M(x-g).

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

①設出切點坐標T(gJ(g))(不出現為)；

②利用切點坐標寫出切線方程：y=f(x0)+/'(g)Q-Xo)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識點2導數中函數單調性問題的解題策略】

1.含參函數的單調性的解題策略：

(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)若導函數為二次函數式，首先看能否因式分解,再討論二次項系數的正負及兩根的大小;若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數的正負，兩根的大小及根是否在定義域內.

2.根據函數單調性求參數的一般思路：

(1)利用集合間的包含關系處理：在(a,6)上單調，則區(qū)間(a,b)是相應單調區(qū)間的子集.

(2)/(0為增(減)函數的充要條件是對任意的刀e(a,6)都有((尤))0(/(工)W0),且在(a,6)內的任一

非空子區(qū)間上，/儂)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略,否則會漏解.

(3)函數在某個區(qū)間上存在單調區(qū)間可轉化為不等式有解問題.

【知根點3函數的極值與最值問題的解題思路】

1.運用導數求函數大①)極值的一般步驟：

(1)確定函數/(①)的定義域；

(2)求導數直3)；

(3)解方程/3)=0，求出函數定義域內的所有根；

(4)列表檢驗r(i)在—(c)=0的根g左右兩側值的符號；

(5)求出極值.

2.根據函數極值求參數的一般思路：

已知函數極值，確定函數解析式中的參數時,要注意：根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方

程組，利用待定系數法求解.

3.利用導數求函數最值的解題策略：

(1)利用導數求函數/Q)在［a,b］上的最值的一般步驟：

①求函數在(a,b)內的極值；

②求函數在區(qū)間端點處的函數值/(a),/(b)；

③將函數/Q)的各極值與/(a),/(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

(2)求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：

求函數在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性

和

極值情況,畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.

【知識點4導數的綜合應用】

1.導數中的函數零點（方程根）問題

利用導數研究含參函數的零點（方程的根）主要有兩種方法：

（1）利用導數研究函數/（⑼的最值，轉化為/（⑼圖象與非軸的交點問題,主要是應用分類討論思想解

決.

（2）分離參變量，即由/（必）=0分離參變量，得a=gQ）,研究夕=o■與y=g（力）圖象的交點問題.

2.導數中的不等式證明

（1）一般地，要證/3）>gQ）在區(qū)間（a,b）上成立，需構造輔助函數F（c）=/Q）—g（M，通過分析F

3）在端點處的函數值來證明不等式.若F（a）=0,只需證明尸（⑼在（a,b）上單調遞增即可;若尸⑹

=0,只需證明F（x）在（a,b）上單調遞減即可.

（2）在證明不等式中,若無法轉化為一個函數的最值問題，可考慮轉化為兩個函數的最值問題.

3.導數中的恒（能）成立問題

解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：

（1）分離參數法解決恒（能）成立問題，根據不等式的性質將參數分離出來,得到一個一端是參數，另一

端是變量表達式的不等式，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題,即可解決問題.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數進行分

類討論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意,據此進行求解即可.

4.導數中的雙變量問題

破解雙參數不等式的方法：

一是轉化,即由已知條件入手，尋找雙參數滿足的關系式，并把含雙參數的不等式轉化為含單參數的

不等式；

二是巧構函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.

【知識點5極值點偏移問題及其解題策略】

1.極值點偏移

極值點偏移的定義:對于函數y=/（⑼在區(qū)間（a,b）內只有一個極值點明，方程/（⑼的解分別為g、

22,且a<電<工2<b.

⑴若號也Wg,則稱函數g=/（力在區(qū)間（◎,g）上極值點而偏移；

⑵若*1；電>g,則函數夕=/圓）在區(qū)間（/i,g）上極值點g左偏，簡稱極值點g左偏；

（3）若，1；電Vg,則函數g=f（x）在區(qū)間（xlfx2）上極值點g右偏，簡稱極值點g右偏.

2.極值點偏移問題的一般題設形式

（1）函數/（%）存在兩個零點g,劣2且力1￥力2,求證：/i+g>2g（g為函數/（力）的極值點）；

（2）函數/（名）中存在0,電且為1W62,滿足/（劣1）=/（力2），求證：力1+22>2%（）（20為函數/（為）的極值點）;

（3）函數f3）存在兩個零點為，電且電W◎，令四）二，求證：/'（g）>0；

（4）函數f（x）中存在g,g且gWg,滿足f3J=f（*2），令g=，求證：（（g）>o.

3.極值點偏移問題的常見解法

（1）（對稱化構造法）：構造輔助函數：

①對結論/1+g>2g型，構造函數斤（宓）=/㈤—/（2g—c）.

②對結論為芯>嗡型,方法一是構造函數F（X）=f（x）-/（逋）,通過研究F（T）的單調性獲得不

X

等式;方法二是兩邊取對數，轉化成lnxr+InN2>21ng,再把In^,Ing看成兩變量即可.

（2）（比值代換法）:通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換t=也化為單變量的函數不等式,

力2

利用函數單調性證明.

--------------------------------------------------------------O［舉一反三）

【題型1函數的切線問題】

1.（2024?廣東?二模）已知函數/（a?）=e"-1—ajlnrr.

⑴求曲線4=/（⑼在點（1,/⑴）處的切線方程；

⑵證明：/3）>o.

【解題思路】（1）求導，即可得直線斜率，進而可求解直線方程，

（2）對c分OVcVI和求導，即可根據單調性求解，或者將不等式變形為宜二〉叵，構造“0=

X2X

—,gQ）=巫，分別利用導數求解函數的單調性，求得最值求解.

X2X

【解答過程】（1）/（1）=e——Ini=1,

/'（力）=ex-1—（Ina;+1）,則fc=yz（l）=0,

曲線g=/3）在點（L/（l））處的切線方程為g=1.

（2）解法1:定義域為（0,+oo）.

①當0V/V1時，e^-1>e-1,xlnxV0,則e^-1>xlnx,即/（力）>0;

②當力>1時，（力）=e/T—（In力+1）=e^-1—Ina;-1.

設g{x）=（O）,g\x）=e/T—9,

由于g=e*T,g=--均在［1,+oo）上單調遞增，故城（力）在［1,+8）上單調遞增，。，⑴二0,

X

所以"（c）>0,

所以。3）在［1,+00）上單調遞增，g⑴=O,g（0）>O,即r（±）>0,

所以/（,）在［1,+8）上單調遞增，/⑴=1,則e“T-xlnx>1,

綜上所述，/3)>o.

解法2:定義域為(0,+00).

要證f(力)>0,只需證呼―1>￡cln力，只需證——>,

x2x

令從力=4，g㈤=皿，〃(/)=-S=2),

X2X力4爐

當力￡(0,2),h/(x)<0,h(x)單調遞減;

當/G(2,+00),h\x)>0,h(x)單調遞增，

無3)>九⑵—，

--X—\nX1Ina

上)=^—

當l€(0,e),g\x)>0,g[x)單調遞增;

當力G(6,+oo),g'[x)<0,g(x)單調遞減，

5W<5(e)=—,

ee

綜上所述，h{x}>4>—>gQ)，也就是‘二>—,即/(x)>0.

4