2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識清單

第一章集合與常用邏輯用語、不等式

一、集合

1.集合的含義與表示

⑴集合的概念

把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合.集合三要

素:確定性、互異性、無序性.

⑵常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集,N*或N+表示正整數(shù)集,Z表示整數(shù)集,Q表示有理數(shù)

集,R表示實數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合M的關(guān)系是a￡M,或者a空M,兩者必居其一.

⑷集合的表示法

①自然語言法:用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法:把集合的所有元素二出來,寫在花括號內(nèi)表示集合.

③描述法：｛x|x具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法:用數(shù)軸或Venn圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.

②含有無限個元素的集合叫做無限集.

③不含任何元素的集合叫做空集I。1

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義

子集A￡B(或B3A)A中的任一元素都屬于B

AGB,且B

真子集A￡B(^B2A)

不屬于A

集合A中的任二元素都屬于B,B中的

A=B

相等任二元素都屬于A

⑵已知集合A有n(n2l)個元素,則它有至個子集,2仁1個真子

集,ZhL個非空子集,至2個非空真子集?

3.集合的基本運算

(1)并集：一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱

為集合A與B的并集,記作AUB.

⑵交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集

合,稱為A與B的交集,記作AAB.

(3)補集:[uA={x|xeU,且x空A}.

二、常用邏輯用語

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念(若A={x|x滿足條件

p},B={x|x滿足條件q})

若poq,則p是q的充分條件,q是p的必要條件ACB

P是q的充分不必要條件p=q且qbpASB

p是q的必要不充分條件p》q且q=pBSA

P是q的充要條件poqA=B

P是q的既不充分也不必要條件p奏q且q劣p——

2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

(1)全稱量詞命題:Vx￡此p(x),它的否定:mx￡M,「p(x).

⑵存在量詞命題：入￡M,p(x),它的否定:V2yM二M2①

全稱量詞命題的否定是存在量聞能題,存在量詞命題的否定是全稱量

詞命題.

三、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

a~b>Ooa>b,

a-b=Ooa=b,（a,bGR）.

{a-b<Ooa<b

2.等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性:如果a=b，那么師；

性質(zhì)2傳遞性:如果a=b,b=c,那么a=c;

性質(zhì)3可加（減）性:如果a=b,那么a±c=b土c;

性質(zhì)4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;

性質(zhì)5可除性:如果a=b,cWO,那么也2

CC

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性:a〉bo?包；

性質(zhì)2傳遞性:a>b,b>c=Q￡；

性質(zhì)3可加性:a〉boa+c>b+c;

性質(zhì)4可乘性:a>b,c>0。慫辿￡；a>b,c<0。膽?￡；

性質(zhì)5同向可加性:a>b,c>d=>更吠殳乜；

性質(zhì)6同向同正可乘性:a〉b>0,c>d>0=>變辿4；

性質(zhì)7同正可乘方性：2>13〉0=>211>13"（11￡'1122）.

四、基本不等式

1.基本不等式:而三審.

(1)基本不等式成立的條件:日洶地.

⑵等號成立的條件：當且僅當晅L時,等號成立.

(3)其中一叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),而叫做正數(shù)a,b的幾何平

均數(shù).

2.幾個重要的不等式

(1)a2+b2^2ab(a,bGR).

⑵3m22(為b同號).

ab3

⑶abW(半尸(a,b￡R).

⑷色!》(等/g,b￡R).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正數(shù),如果積xy等于定值P,那么當x=y時,和x+y

有最小值詼

⑵已知x,y都是正數(shù),如果和x+y等于定值S,那么當x=y時,積xy

有最大值；筮.

注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、

三相等”.

五、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

1.二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式:f(x)ua-Y+bix+c-l昆壬。］.

(2)頂點式:f(x)=a(x-m)2+n(aWO),頂點坐標為

(3)零點式:f(x)=a(x-xi)(x-X2)(aWO),xbX2為f(x)的零點.

2.三個“二次”間的關(guān)系

判別式△=b2-4acA>0A=oA<0

y.X

二次函數(shù)y=ax2+bx+co/xi'x

(a>0)的圖象x\V

一元二次方程有兩相異實根有兩相等實沒有實

2X1,X(X1<X)

ax+bx+c=0(a>0)的根22根X1=X=~

22a數(shù)根

ax2+bx+c>0(a>0)的解集，[冬']/?甚或且<白1,1R

ax2+bx+c<0(a>0)的解

集00

3.分式不等式與整式不等式

⑴々>0(〈0)of(x)-g(x)>0?0).

gkx)

(2)半，0(WO)of(x)?g(x)20(W0)且g(x)WO.

gkx)

(3)黑治0筆弓>0。通分,再化為整式不等式.

4.簡單的絕對值不等式

x|>a(a>0)的解集為(-8,-a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集為

(~a,a).

第二章函數(shù)

一、函數(shù)的概念及其表示

1.函數(shù)的概念

⑴函數(shù):設(shè)A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意二個數(shù)X,

按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯二確定的數(shù)y和它對

應(yīng),那么就稱f:A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),

x￡A.

(2)一個函數(shù)的構(gòu)成要素為:定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.如果兩個函數(shù)

的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則稱這兩個函數(shù)相等.

2.函數(shù)的表示法

函數(shù)的三種表示方法:解析法、圖象法、列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同

的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

4.常用結(jié)論

(1)直線x=a與函數(shù)y=f(x)的圖象至多有1個交點.

(2)在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A,B,A即為函數(shù)的定義域,值域為B的

子集.

⑶分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的

定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,值域等于各段函數(shù)的值域的

并集.

二、函數(shù)的基本性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

①增函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間ICD,如果Vxi,x2e

I,當X《X2時,者」有f(Xi)(X2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)

遞增.

②減函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間ICD,如果Vxi,X2e

I,當X《X2時,都有f(xj>f(X2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)

遞減.

⑵單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)

y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)

區(qū)間.

⑶VXi,X2wI且Xi#X2,有f"i)小”2)?0)或(x-x2)?[f(X1)-

f(x2)]>0?0)of(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減).

2.函數(shù)的最值

一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果存在實數(shù)M滿足：

⑴Vx￡D,都有f(x)WM,

(2)x°￡D,使得f(x0)=M.

那么稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值;類比定義可得y=f(x)的最小值.

3.函數(shù)的奇偶性

⑴偶函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果Vx￡D,都有-x￡D,

且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)?

(2)奇函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果Vx￡D,都有-x￡D,

且f(-X)(X),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)?

⑶偶函數(shù)的圖象關(guān)于通對稱,奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標反點對稱.

4.周期性

(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(X)的定義域為D,如果存在一個非零

常數(shù)T,使得對每一個x￡D都有x+TED,且f(X+T)=f(x),那么函數(shù)

f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

⑵最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的

正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.

5.對稱性

(1)對稱軸:f(a+x)=f(a-x)of(x)圖象關(guān)于直線x=a對

稱,f(a+x)=f(b-x)o對稱軸

(2)對稱中心:f(a+x)+f(a-x)=2bof(x)圖象關(guān)于點(a,b)對

稱,f(a+x)+f(b-x)=0o對稱中心(§2,o).

⑶對稱性的四個常用結(jié)論

①若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a

對稱.

②若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心

對稱.

③若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線

x=.對稱.

特別地，當a=b,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)時,y=f(x)的圖象

關(guān)于直線x=a對稱.

④若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+f(2a-x)=2b,則y=f(x)的圖象關(guān)于點

(a,b)對稱.特別地，當b-0,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0

時,y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

6.常用結(jié)論

(1)在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù).

(2)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0或f(x)〈0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),

的單調(diào)性相反.

(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.

(4)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)

于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

⑸函數(shù)周期性的常用結(jié)論

對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x:

①若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).

②若f(x+a)-,則T=2a(a>0).

f(x)

③若f(x+a)=_,則T-2a(a>0).

f(x)

三、幕函數(shù)

1.幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)E叫做幕函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

2.常見的五種幕函數(shù)的圖象

3.幕函數(shù)的性質(zhì)

(1)塞函數(shù)在(0,+8)上都有定義.

⑵當a>0時,塞函數(shù)的圖象都過點和魚?，且在(0,+8)上單

調(diào)遞增.

⑶當a<0時,幕函數(shù)的圖象都過點&J),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

(4)當a為奇數(shù)時,y=x0為專函數(shù);當a為偶數(shù)時,y=x"為假函數(shù).

四、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)與指數(shù)運算

(1)根式的性質(zhì)

①(詆)n=g(a使皆有意義);

②當n是奇數(shù)時,VKa;當n是偶數(shù)時,V^=|a|=[°,°

(2)分數(shù)指數(shù)幕的意義

m__

①aK="a他(a>0,m,n￡N*,n>l);

②an(a>0,m,n￡N,n>l);

③0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)塞沒有意義.

⑶實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)：a「?金火，出)三簽,(ab)rm宜(其中

a>0,b>0,r,sWR).

2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

項目0<a<la>l

y

圖

象L

0X。

定義域:R

性值域：4上1

質(zhì)過定點或n

當x>0時,0<y<1;當x>0時,y>1;

當x<0時,y>l當x<0時,

在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)

3.常用結(jié)論

⑴指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(0,1),(1,a),

a

(2)如圖所示是指數(shù)函數(shù)①y=ax,②丫』',③丫=己@y=d'的圖象,則

c>d>l>a>b>0,即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且aWl)的圖象

越高,底數(shù)越大.

五、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)的概念

一般地,如果a=N(a>0,且aWl),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),

=

記作xlogaN,其中良叫做對數(shù)的底數(shù),此叫做真數(shù)?

以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),記作l^N.

以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù),記作InN.

2.對數(shù)的性質(zhì)與運算性質(zhì)

(1)對數(shù)的性質(zhì)：logal=。,logaa=1,alogaN=N(a>0,且aWl,N>0).

(2)對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a>0,且aWl,M>0,N>0,那么：

①1Oga(MN)=10,gaM+10gaN；

②]oga^=logaM-logaN;

③(n￡R).

(3)對數(shù)換底公式：logab=警四(a>0,且aWl;b>0;c〉0,且cWl).

logca

3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

項目a>l0<a<l

1J

彳二1尸log/X=1

圖象弋、。，0）一

17f(i^J

尸log/

定義域魚一±°°）

值域R

過定點（!?Q,即x=l時,y=0

性當x>l時,y>0;當X>1X<0；

質(zhì)

當0〈x〈l時,饃當0〈x〈l時，次

在(0,+8）上是增函數(shù)在(0,+8）上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0,且aWl）與對數(shù)函數(shù)a隰w（a>0,且aWl）互為

反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線與對稱.

5.常用結(jié)論

n

（1）logab?logba=l,logamb=^logab.

⑵如圖給出4個對數(shù)函數(shù)的圖象,則b>a>l>d>c>0,即在第一象限，

不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

(3)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且aWl)的圖象恒過點(1,0),(a,1),

六、函數(shù)的應(yīng)用

1.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

⑴平移變換

［y=7w+^l

上碌>0)個

移單位長度

{尸/⑺}

地>0)個‘

單位長度下及3>0)個單位長度

移單位長度

y=/(%)u

、yw\/vx/v?>/^

(2)對稱變換

①y=f(X)關(guān)于工軸對稱-yu匚g(戲.

②y=f(x)關(guān)于'軸時鞏y=￡(-立.

③y=f(x)關(guān)于原點對稱》y=—f(二x).

x

@y=a(a>0,且aWl)關(guān)于產(chǎn)“對稱》y=］州趙.32。2_且且壬］).

(3)翻折變換

保留H軸上方圖象

①y=f(x)將工軸下方圖象翻折上去.

保留y軸右側(cè)圖象，并作其,

②y=f(x)關(guān)于v軸對稱的圖象

2.函數(shù)的零點與方程的解

(1)函數(shù)零點的概念

對于一般函數(shù)y=f(x),我們把使￡應(yīng)過的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的

零y占八八.

(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系

方程f(x)=0有實數(shù)解o函數(shù)y=f(x)有委點=函數(shù)y=f(x)的圖象與x

獨有公共點.

(3)函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

f(a)f(b)〈O,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間魚垃內(nèi)至少有一個零點，即存

在c￡(a,b),使得f(c)=O,這個c也就是方程f(x)=0的解.

⑷若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一

個零占

(5)二分法

對于在區(qū)間［a,b］上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通

過不斷地把它的零點所在區(qū)間二使所得區(qū)間的兩個端點逐步

逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

3.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),aWO)

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),aWO)

f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a#l,bW

與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型

0)

f(x)=blogx+c(a,b,c為常數(shù),a>0且aW

與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型a

l,b#0)

與幕函數(shù)相關(guān)的模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù)，aWO)

4.常用結(jié)論

(1)連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.

⑵左右平移僅僅是相對x而言的，即發(fā)生變化的只是x本身,利用

“左加右減”進行操作.如果x的系數(shù)不是1,需要把系數(shù)提出來,再

進行變換.

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

、導(dǎo)數(shù)的概念及意義、導(dǎo)數(shù)的運算

1.導(dǎo)數(shù)的概念

(i)函數(shù)y=f(x)在x=x()處的導(dǎo)數(shù)記作C/Q或y'

#(x0)=lim電二lim戶久。+Ax=a。).

4%-O&r一0

(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))記作*(x)或y，.

f(%+zix)-f(%)

Ax

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在x=x()處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點

P(xo,f(x。))處的切線的斜室，相應(yīng)的切線方程為y-f(xQ)-

f'(XO)?(X-XO),.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)氣(C為常數(shù))fz(x)=0

f(x)=xa(aWR,且awo)f'(x)

f(x)=sinxfz(x)=cos_x

f(x)=cosXf'(x)=-sinx

f(x)=ax(a>0,且aWl)f'(x)=axlna

f(x)=exf'(x)=E

f'(x)=：

f(x)=logax(a>0,且a#l)

f(x)=lnxf'(x)」

X

4.導(dǎo)數(shù)的運算法則

若尹(x),g，(x)存在，則有

[f(X)±g(x)]zm立士；

[f(x)g(x)]'域士￡G」g，.3、；

「/(%/_r(x)g(x)-f(x)g'(x)((\/n\.

L貳7」羨了雞⑶聲⑴，

[cf(X)]'=cf'(X).

5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為

y/,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)

的乘積.

6.常用結(jié)論

區(qū)分在某點處的切線與過某點的切線

(1)在某點處的切線,該點一定是切點,切線有且僅有一條.

⑵過某點的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.

二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件恒有結(jié)論

f'(x)>0f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增

函數(shù)y=f(x)在區(qū)

『(x)<0f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減

間(a,b)上可導(dǎo)

『(x)=0f(x)在區(qū)間(a,b)上是常數(shù)函數(shù)

2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

第1步,確定函數(shù)的定義域；

第2步，求出導(dǎo)數(shù)e(x)的零點;

第3步，用『(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給

出f'(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的單

調(diào)性.

3.常用結(jié)論

⑴若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增，則當x￡(a,b)時,f'(x)20恒

成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,則當xW(a,b)時,f'(x)<0

恒成立.

⑵若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當x￡(a,b)時,f'

(x)>0有解;若函數(shù)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當xe(a,b)

時,(x)〈0有解.

三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值

函數(shù)y=f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點處的

函數(shù)值都小,f'(a)=0;而且在點x=a附近的左側(cè)fz(x)<0,右側(cè)f

(X)>0,則a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極

小值.

(2)函數(shù)的極大值

函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點處的

函數(shù)值都大,f'(b)=0;而且在點x=b附近的左側(cè)fz(x)>0,右側(cè)f：

(W)《Q,則b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極

大值.

(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上有最值的條件

如果在區(qū)間［a,b］上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)丕斷的曲線,那么

它必有最大值和最小值.

⑵求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值與最小值的步驟

①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值；

②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值必以0比較,其中最

大的一個是最大值,最小的一個是最小值.

3.常用結(jié)論

對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f，(x0)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x。處有極值”

的必要不充分條件.

第四章三角函數(shù)、解三角形

一、任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

1.角的概念的推廣

⑴定義:角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角;

⑵分類:

按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成

一個集合5={8|B=a+k?360°,k￡Z},即任一與角a終邊相同的

角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義

長度等于生校長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符

號rad表示.

⑵公式

角a的弧度數(shù)公式a1」(1表示弧長)

r

角度與弧度的換算①1。=—rad;(2)1rad=(―)°

180n

弧長公式l=￡gjr

扇形面積公式S=-lr=-ar2

22

3.任意角的三角函數(shù)

(1)設(shè)a是一個任意角，a￡R,它的終邊OP與單位圓相交于點

P(x,y),貝！Jsina=y,cosa=x,tana=((xW0).

⑵任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)：設(shè)P(x,y)是角a終邊上異于頂

點的任意一點，其到原點。的距離為r,則sina=】cosa=-,tan

rr

a=-(XT^0).

X

(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、

四余弦.

sinCLcosCLtanCL

4.常用結(jié)論

(1)象限角

象

限T第二象限角)[a|2E+^<a<2版+7T法eZ

角

的T第三象限角)同瓦+兀而卷

集23<21eZ

合

〈(第四象限角)何2而+羿“<2.+2兀,比e：

(2)軸線角

終邊落在工軸上的?。鸻|a=AMeZ)

線..

，一(終邊落在y軸上的角)a|a=尹而辰Z]

山7終邊落在坐標軸上的角)同a=挈辰Z|

二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.

⑵商數(shù)關(guān)系:"也tana(an+-,keZ).

cosa2

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(下表中kez)

公式sin(a+k,2Ji)=cos(a+k?2")=tan(a+k,2Ji)=

sinacosatana

公式sin(Ji+a)=cos(JI+a)=tan(JI+a)=

-sina-cosatana

公式sin(-a)=-sin

cos(-a)=cosatan(-a)=-tana

a

公式sin(n-a)=sincos(n-a)=-costan(n-a)=-tan

四aaa

續(xù)表

公式

sin(；-a)=cosacos(：:-a)=sina

五

公式

Sin(；■+a)=cosaCOS0+a)=-sina

八

溫馨提示:誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“奇變偶不變，符號看象限”，其中

的奇、偶是指］的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,變與不變是指函數(shù)名稱的變化.

三、三角恒等變換

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

(1)sin(a±B)=§上旦_acos_土CQGa,篁工~

⑵cos(a±B)=￡.OE.…,a,,c,o§…反王￡工口_,9,￡工口_月,..

⑶tan(a±」)=tan些a的.

1+tanatan^

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a.

2tana

⑶tan2a=■

l-tan2a

3.補充公式

⑴輔助角公式:一般地，函數(shù)f(a)=asina+bcosa(a,b為常數(shù))

可以化為f(a)=Va2+b2sin(a+0)(其中tan。=與或

a

f(a)=Va2+b2cos(a-。)(其中tan。節(jié).

(2)降幕公式:cos2a=1+c°s2a,sin2a2a

(3)升幕公式:1-cosa=2sin2p1+cosa=2cos2^.

(4)半角公式：sin

tan^=±Jl-cosa_sina_l-cosa

1+cosa1+cosctsina

四、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k￡Z)

函數(shù)二y=sinxy=cosxy=tanx

y

圖象0\n\/xu

i

24.空J半。供：2力

定義

RR

域x^kjn+-)

值域L二！LU]R

周期性2JI2JIJI

奇偶性奇函數(shù).偶函數(shù)奇函數(shù)

[2kJi-p

增區(qū)間、3二,"31

2kJI+H].LZK12'2k.J

減區(qū)間［縱工?怨工"」無

對稱

(KzizQJL專?(y,0)

中心(K

對稱

無

軸方程

2.用“五點法”畫丫=人5皿（3*+。）（A>0,3〉0）一個周期內(nèi)的簡圖時,

要找五個關(guān)鍵點

713n

3X+。0JI2n

2T

Tl3TT

o-(pIT-(P2TT-(P

XLL

0)0)0)0)3

y=Asin(ax+°)0A0-A0

3.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin（sx+0）（A>0,s〉O）的圖

象的兩種途徑

lS|^y=sin%的圖象TIS（出產(chǎn)sin式的圖象

橫坐標變?yōu)樵瓉淼模郾?/p>

向左（右座移配個單位長度

步

I得到莖jn（%+⑼的圖象卜驟

2T得到尸sinyc的圖象|

橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍向左（右評移圉個單位長度

得到尸sin?%+p）的圖象上H得到產(chǎn)sin（6；%+夕）的圖象

縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

?/V?

得到尸4sin（0%+0的圖象

4.常用結(jié)論

⑴對稱性與周期性

①正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離

是;個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是;個周期.

②正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是稱個周期.

⑵奇偶性

若f(x)=Asin(sx+0)(A,?WO),則

①f(x)為偶函數(shù)的充要條件是。q+k”(k￡Z).

②f（x）為奇函數(shù)的充要條件是。二kn（kez）.

(3)函數(shù)y=Asin(3x+0)圖象的對稱軸由ax+。=knk￡Z確定;

對稱中心由ax+。=k口，k￡Z確定其橫坐標.

五、余弦定理和正弦定理

1.余弦、正弦定理的內(nèi)容及其變形

在4ABC中,若內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為4ABC的外接

圓半徑,則

定理余弦定理正弦定理

aJ.bjtc：二zbc.dA；

b?=c2tg2二2°或9§,巨；

內(nèi)容—=2R

sinAsinBsinC

c./a^+b2二2mbeos__c

Ab2+c2-a2

COSA=------------；

2bc(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

c2+a2-b2

變形COSBn=------------；(2)a:b:c=§j.qAJL英工B.wIR；

2ca

廠a2+b2-c2(3)——生空——=—=2R

COSC=------------sinA+sinB+sinCsinA

2ab

2.三角形常用面積公式

(l)s=|a?ha(ha表示邊a上的高).

(2)S=|absin旦』=%￡曳口―

(3)S=|r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑).

3.常用結(jié)論

在4ABC中，常有以下結(jié)論:

(1)a>boA>BosinA>sinB,cosA<cosB.

⑵三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.

⑶三角形的面積S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)(p=|(a+b+c)).

第五章平面向量、復(fù)數(shù)

一、平面向量的概念及線性運算

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量:既有大小又有方向.的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長

度(模).

⑵零向量:長度為9的向量,記作0.

⑶單位向量:長度等于1個單位長度的向量.

⑷平行向量:方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量,規(guī)定:零

向量與任意向量平行.

⑸相等向量:長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

定義法則(或幾何意義)運算律

空(1)交換律:a+b=b+a;

加法:求兩個向量三角形法則(2)結(jié)合律：一

和的運算

3(a+b)+c=a+(b+c)

a

平行四出形法則

減法:求兩個向量

差的運算.向量a

加上b的相反向a-b=a+(-b)

量,叫做a與b的a

差

(1)入a=m；

(2)當人＞0時，入a的方入(Pa)；

數(shù)乘:求實數(shù)人與向與a的方向相同；(入+u)a=A獻戛月;

向量a的積的運算當入〈0時，入a的方向入(a+b)=Xa+A,b

與a的方向相反；(入，R為實數(shù))

當人=0時，入a=0

3.常用結(jié)論

(1)一般地,首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指

~,―,—>—>—>

向最后一個向量終點的向量，即4"2+&43+4344+…+41V人/44，

特別地,一個封閉圖形,首尾連接而成的向量和為零向量.

(2)若F為線段AB的中點,0為平面內(nèi)任意一點，則。管(。4+。8).

—>—>—>

(3)若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點，則P4+PB+PC=0oP為4ABC的

重心，易胃(藍+啟.

(4)對于任意兩個向量a,b,都有||aHb||W|a土b|W|a|+|b|.

二、平面向量基本定理及坐標表示

1.平面向量基本定理

⑴定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一

平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)入1,入2,使a=入?+入2e2.

⑵基底:若以,e2不共線,我們把｛e1,e2｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向

量的一個基底.

2.向量的坐標運算

⑴向量加法、減法、數(shù)乘運算的坐標表示及向量的模

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,y2),入￡R,貝Ia+b=(xi+x2,yi+y2),a-b=(X1-X2,.

丫匚丫2),入a=(人工12Ayj,Ia|力好+資.

⑵向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

―>

②設(shè)點A(xi,yi),B(x2,y2),則4B=(x2-xby2-yi),

2-2

ABI=J(%2一石)+(y2yi).

3.平面向量共線的坐標表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,y2),若bWO,則a,b共線⑵記

4.常用結(jié)論

已知P為線段AB的中點，若A(Xi,yJ,B(X2,y2),則點P的坐標為

(巖,在產(chǎn))；已知^ABC的頂點A(Xi,yJ,B(X2,y2),C(X3,y3),則

AABC的重心G的坐標為(%+；+的空管).

三、平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

1.向量的夾角

—>—>

已知兩個非零向量a,b,0是平面上的任意一點，作O4=a,OB=b,那么

NAOB稱為向量a與b的夾角，向量夾角的取值范圍是

2.投影向量

B

J__e__L

C41B、D

如圖，設(shè)a,b是兩個非零向量,AB=a,CD=b,考慮如下變換:過ZB的起

點A和終點B,分別作b所在直線的垂線,垂足分別為4,Bb得到

稱上述變換為向量a向向量b投影,4工1叫做向量a在向量b

上的投影向量,且a在b方向上的投影向量為|a|cos6/二當?b,

。為a與b的夾角.

3.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a,b,。為a,b的夾角，那么數(shù)量|a||b|cos。叫

做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a?b.

4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

⑴若e是單位向量,則a?e=e?a=|a|cos。(。為a,e的夾角).

(2)a±boa,b=0.

(3)當向量a,b同向時,a?b=|a||b|,當向量a,b反向時,a?b=

二［且］1bl.特別地,a,a=|a「或|a|=\a?a.

(4)cos。==7(。為2,1)的夾角).

\a\\b\

(5)|a,b<_|a||bj_.

5.平面向量數(shù)量積的運算律

⑴交換律:a,b=b,a;

(2)分配律：(a+b),c=a,c+b,c;

(3)對任意入￡R，(入a),b=A,(a,b)=a,(入b).

6.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標運算

若a=(xi,yi),b=(x2,y2)(。為a,b的夾角)，則:

(l)a?b^XiX2+yiy2;

(2)a±boxix2+yiy2=0;

a?bxx+yy

(3)cos9=.1212

“?J好+光,卜什禿

7.常用結(jié)論

有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論

(1)若a與b的夾角為銳角，則a?b>0;若a?b>0,則a與b的夾角為

銳角或0.

⑵若a與b的夾角為鈍角，則a?b〈0;若a?b〈0,則a與b的夾角為

鈍角或”.

四、復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的概念:形如a+bi(a,b￡R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)

單位,a,b分別是它的實部和虛部.當且僅當b=0時,a+bi為實數(shù)；當

bWO時,a+bi為虛數(shù)；當a=0且bWO時,a+bi為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+dio然以且￡^(a,b,c,d￡R).

(3)共輒復(fù)數(shù):a+bi與c+di共輒一蛇久口二二4(a,b,c,dWR).

―>

(4)復(fù)數(shù)的模:設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR),向量。Z

的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi做,bRR)的?；蚪^對值,記作|z|或|a+bi|,即

z|=|a+bi=Va2+b2.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi-—一對應(yīng)》復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b);

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi-一一對應(yīng)》平面向量

3.復(fù)數(shù)的運算

(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di,a,b,c,

d￡R.

1--------7(a+6i)±(c+</i)=(a±c)+(6±(/)i

1—；—T(a+6i)(c+(/i)=(ac-6</)+(a</4-6c)i

----,a+biac+bd.be—ad.

叼11k百="+西廣t

⑵復(fù)數(shù)加法的運算律:設(shè)乙,Z2,z3ec,則復(fù)數(shù)加法滿足以下運算律:

①交換律:Z1+Z2=Z2+Z1;

②結(jié)合律：(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

(3)復(fù)數(shù)乘法的運算律:設(shè)Z1,z2,z3ec,則復(fù)數(shù)乘法滿足以下運算律:

①交換律:Z1Z2=Z2Z1；

②結(jié)合律：(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3).;

③乘法對加法的分配律：Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.

4.常用結(jié)論

(1)(l+i)2=+2i;^=i;^=-i.

1-11+1

(2)i4n=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i(n￡N).

⑶關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程(不等式)在復(fù)平面上表示的圖形

①aW|z|Wb表示以原點0為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓

環(huán)；

②|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓.

第六章數(shù)列

一、數(shù)列的概念

1.數(shù)列的定義

一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每

一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

2.數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛aj的第n項a”與它的反號口之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個

式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.

3.數(shù)列的遞推公式

(1)如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表

示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.

(2)由遞推公式求通項的常用方法：

方法轉(zhuǎn)化過程適合題型

----

累加法(a2ai)+(a3a2)+…+(anan-i)-anaian+i-an=f(n),f(n)

可求和

%i=f(n),f(n)可

a2^^3義...義口口-1義

累乘法an

。2?？?2?？讪D]求積

由an+i-pan+q化為an+i+m=p(an+m),構(gòu)

造區(qū)+m｝為等比數(shù)列，其中a+i=pa+q

構(gòu)造法p-1nn

(pWl)

4.數(shù)列的前n項和

數(shù)列｛aj的前n項和Sn=ai+a2+a3+???+an-i+an,則an=|J'_q；>?

(3九3九一1，幾N4?

二、等差數(shù)列

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

⑴定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的

差都等于同二個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做

等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表示為小

包段(n￡N*),d為常數(shù).

⑵等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是E等,其中A叫

做a與b的笠差史項.

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

等差數(shù)列｛aj的首項為ai,公差為d.

(1)通項公式:an=g吐當dWO時,等差數(shù)列｛a?｝的通項公式

an=dn+(a「d)是關(guān)于n的一次函數(shù).

(2)前n項和公式:Sn=n&+W^d=g%R當dWO時,等差數(shù)列｛aj

的前n項和公式Sn=$?+(a-鄉(xiāng)n是關(guān)于n的二次函數(shù)(沒有常數(shù)項).

3.等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：an=am+(n-m)d(n,m￡N*).

(2)若｛an｝為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則am+an=.ap+aq(m,n,p,qWN*).

⑶若｛aj是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mWN*)是公差為

色的等差數(shù)列.

(4)數(shù)列Sm,S211rsm,S3m-S2nl，…(mWN*)也是等差數(shù)列，公差為IDM.

⑸若數(shù)歹U｛aj,｛bn｝均為等差數(shù)列且其前n項和分別為Sn,Tn,則

an—^2n-l

如^2n-l

(6)關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)

s

①若項數(shù)為2n,則S偶-Sw=nd,目=工.

S偶an+i

_==—

②若項數(shù)為2nl,貝US偶二1)q,S奇二照5,S奇—Sfflan,--'—'

s偶n-1

4.【常用結(jié)論】

(1)已知數(shù)列｛為｝的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù))，則數(shù)列｛aj

一定是等差數(shù)列,且公差為P.

⑵在等差數(shù)列｛an｝中,ai>0,d<0,則出存在最大值;若a《0,d>0,則S」

存在最小值.

三、等比數(shù)列

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

⑴定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于

同二個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的

公比,公比通常用字母q表示(顯然qWO),定義的表達式為如，1

an

(n￡N*);

(2)等比中項:如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.

即G是a與b的等比中項=a,G,b成等比數(shù)列=G?=ab.

2.等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)通項公式:an=M].

⑵前n項和公式：

力的，q=1,

Sn=|ai(l-qn)a-aq一《

(二丁二不r廠n”「

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

已知｛4｝是等比數(shù)歹U,S”是數(shù)列｛aj的前n項和.

(1)若k+l=m+n(k,1,m,n￡N*),則有％?ai=am\an.

⑵相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak,ak+m,ak+2m,…仍是

等比數(shù)列，公比為小

(3)當qWT,或q=-l且n為奇數(shù)時,Sn,S2n-Sn,S3Tl-S2爐…仍成等比

數(shù)列，其公比為小

4.【常用結(jié)論】

n

(1)等比數(shù)列｛aj的通項公式可以寫成an=cq,這里cWO,qWO.

⑵等比數(shù)列｛aj的前n項和(可以寫成Sn=Aq-A(A#O,q#l,0).

⑶數(shù)列｛aj是等比數(shù)歹(J,樸是其前n項和.

①若ai?a2....an=Tn,則Tn,警,警,…成等比數(shù)列.

Tn^2n