2025屆高考數(shù)學(xué)雙變量問題題型匯編（原卷版）

雙變量問題

【新高考專用】

【知識點1導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題】

1.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題往往以雙參數(shù)不等式的形式呈現(xiàn)，要想解決雙變量問題，就需要掌握破解雙參數(shù)

不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

【知識點2導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題的解題策略】

1,轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)解決雙變量問題

此類問題一般是給出含有尤1,X2,>1)，孔⑵的不等式，若能通過變形，把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式

相同的代數(shù)式，即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利用該函數(shù)單調(diào)性求解.

2.整體代換解決雙變量問題

(1)解此類題的關(guān)鍵是利用代入消元法消去參數(shù)a,得到僅含有尤1,無2的式子.

(2)與極值點為，X2有關(guān)的雙變量問題：一般是根據(jù)X1，尤2是方程/(尤)=0的兩個根，確定xi，X2的關(guān)系,

再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有XI或尤2的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)解題，即把所給條件轉(zhuǎn)化為尤1，X2的齊次式，然后

轉(zhuǎn)化為關(guān)于蔡的函數(shù)，把孩看作一個變量進行整體代換，從而把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決問題.

3.構(gòu)造函數(shù)解決雙變量問題的答題模板

第一步：分析題意，探究兩變量的關(guān)系；

第二步：合二為一，變?yōu)閱巫兞坎坏仁剑?/p>

第三步：構(gòu)造函數(shù)；

第四步：判斷新函數(shù)的單調(diào)性或求新函數(shù)的最值，進而解決問題;

第五步：反思回顧解題過程，規(guī)范解題步驟.

?舉一反三

【題型1雙變量單調(diào)性問題】

【例1】(2024?四川德陽?一模)已知函數(shù)/Xx)=上/_,/+32+2)x—U久〉]，若對任意刈<如

都有/(石)-f(久2)<2xi—2%2，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,—2)B.[1,+8)C.(-2,|]D.(一8,一那

【變式1-1](2024.四川內(nèi)江.模擬預(yù)測)定義在R上的函數(shù)/(%),對ER都有%"(%i)+%27(%2)>

(%1)若f(%。)>/Qoga%)(。>。且。。1)，則下列式子一定成立的是()

21

A.alna<-B.alna<-

ee

C.alna>-1D.alna>-2

ee

【變式1-2](24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)/(%)=21n%+/一0%.

(1)當a=l時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意0</<*2，都有"，2）-f（%）>1,求a的取值范圍.

%2—

【變式1-3]（23-24高二下?遼寧朝陽?階段練習(xí)）己知函數(shù)/（切=%—（a+2）lnx—亨.

⑴討論函數(shù)/（%）的單調(diào)性；

（2）設(shè)g（x）=Inx+2，對任意久1，冷G[3,+8）,且冷>久「使/'（久2）-/（刀1）Na[g（%2）-。（久力]恒成立，求

正實數(shù)a的取值范圍.

【題型2雙變量的最值（范圍）問題】

【例2】（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（久）=e*+x,g（x）=Inx+%,若/Oq）=。（右），則打久2的

最小值為（）

A.-eB.--C.-1D.--

e2

【變式2-1]（2024.河北滄州.模擬預(yù)測）己知函數(shù)/（x）=[若a<6,且/（a）=/（b）,貝防—a

1%INfX<U

的取值范圍是（）

A.（In2,l]B.（In2,l）C.（|ln2,l]D.[1,2）

【變式2-2]（2024.廣東廣州.模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（久）=e*—ax-

（1）若尸（久）20,求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若/■（久）2-|%2+%+匕，求（a+1）6的最大值.

【變式2-3](2024高三下?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=ae%——(awR)有三個極值點冗1，x3(久1V

%2<%3),

⑴求實數(shù)4的取值范圍；

(2)若第3>2牝，求實數(shù)a的最大值.

【題型3與極值點有關(guān)的雙變量問題】

【例3】(2024.福建泉州.一模)已知%1，%2，是函數(shù)/(%)=(%-一%兩個極值點，貝！J()

A./+上=—2B./+冷=1C./(%i)+/(%2)=-2D./(%i)+/(犯)=2

【變式3-1](2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(%)=aln%+|/_2%有兩個不同的極值點％L%2,且￡一/(%1)+

%2</(%2)-/恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為()

A.(—8,—5)B.(—8,—5]C.(—8,2—21n2)D.(—8,2—21n2]

【變式3-2](2024?四川德陽?二模)已知函數(shù)f(%)=In%+%2—2ax,a6R,

⑴當a>0時，討論f(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個極值點久L%2(%1<%2)，求2/(%1)-/(%2)的最小值.

【變式3-3](24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí))已知“久)=一較2，+4d-我一5.

(1)當a=3時，求/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若f(x)有兩個極值點久1，x2.

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：/(第J+/(冷)++%2Vo?

【題型4與切線有關(guān)的雙變量問題】

【例4X23-24高二下?湖南?期中)已知P(t,t2),過點P可作曲線/(x)=x—Inx的兩條切線,切點為(與,/%)),

(%2J(x2)),求修久2[%善)-1]的取值范圍()

A.(—1,0)B.[—1,0)C.(—2,—1)D.[—2,—1)

【變式4-1](2024?河北邢臺?二模)已知函數(shù)/0)=久2+21!!%的圖像在4014(久1)),B(X2"(%2))兩個不

同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是()

1010

=

A./+%2=2B.xr+x2=-C.%i%22D.xrx2——

【變式4-2](2024?廣東?二模)已知/(%)=1ax2+(1—2a)x—2\nx,a>0.

⑴求f(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵函數(shù)/(%)的圖象上是否存在兩點4(%1①),8(%2①)(其中久1。％2)，使得直線與函數(shù)/(%)的圖象在%0=

中處的切線平行？若存在，請求出直線A8；若不存在，請說明理由.

【變式4-3](2024.重慶.模擬預(yù)測)牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓

法.具體做法如下：如圖，設(shè)r是/(x)=0的根，首先選取X。作為r的初始近似值，若/(X)在點OoJOo))處

的切線與x軸相交于點(打,0),稱久1是廠的一次近似值；用/替代久。重復(fù)上面的過程，得到亞，稱右是廠的二

次近似值；一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：x0,x1,x2,-,xn,-.在一定精確度下，用四舍五入法取值，當

%?,1，%?(n￡N*)近似值相等時，該值即作為函數(shù)〃久)的一個零點r.

^x2lx\x0""

(1)若/(%)=x3+3x2+x-3,當%o=。時，求方程/(%)=0的二次近似值(保留到小數(shù)點后兩位)；

⑵牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)g(%)=e“-3在點

(2,g(2))處的切線，并證明：ln3<l+1；

(3)若九(%)=x(l-In%),若關(guān)于％的方程九(%)=a的兩個根分別為%<%2)，證明：x2-%i>e-ea.

【題型5與零點有關(guān)的雙變量問題】

【例5】(2024.河北衡水.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=In%+1-ax有兩個零點%1，汽2，且%1<%2，則下列命

題正確的是()

2

A.a>1B.+x2<-

i

C.?牝V1D.x2—x1>--1

【變式5-1](2024.四川南充.一模)已知函數(shù)〃久)=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有兩個不同的零點與，

%2，下列關(guān)于%1，七的說法正確的有()個

v7Q

①二<2m②％1>----③石④％62>

e?n+2e<x2<3—7n1

A.1B.2C.3D.4

【變式5-2](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=a]—J,a>0.

⑴若/(%)存在零點，求〃的取值范圍；

(2)若%1，%2為/(%)的零點，且％1<%2，證明：晨％1+%2￥>2.

【變式5-3](2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=/Ex-m有兩個不同的零點久1，%2,且力=

xf+%2?

(1)求實數(shù)機的取值范圍；

(2)求證:t<1；

(3)比較t與2及2爪+三的大小，并證明.

ee

【題型6雙變量的恒(能)成立問題】

axE

[例6](2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)==axe~,若存在無1G(0,1),x2(一8,0)使得

/(%i)=g(%2)，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-00,-2)B.(-2,-1)C.(-1,+8)D.(0,+oo)

【變式6-11(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=2%ln%—a/,若對任意的%],%2E(0,+8),當%1>x2

時，都有2/+/(%2)>2%2+/(%1)，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[卷，+8)B.[1,+8)C.[]1+8)D.[2,+8)

【變式6-2](2024.四川瀘州.一模)已知函數(shù)/(%)=ax+1—的圖像在％=1處的切線與直線％—y=0

平行.

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若E(。，+8),且%1〉％2時，/(%1)-/(%2)>加后一好)，求實數(shù)機的取值范圍.

【變式6-3](23-24高二下?湖南林K州?期末)已知f(%)=aln%+—2%(aER且aH0),g(%)=cos%+

xsinx.

(1)求。0)在|-兀,"]上的最小值；

(2)如果對任意的/e[-71,TT],存在久2e\-,e],使得9—aWgOi)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

LeJ%2

【題型7雙變量的不等式證明問題】

[例7](2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(%)=ax—%ln陽((%)為其導(dǎo)函數(shù).

(1)若f(%)41恒成立，求a的取值范圍；

(2)若存在兩個不同的正數(shù)%1，型，使得/(%1)=/(%2)，證明：尸(后石)＞。,

【變式7-1](2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(%)=%ln%

⑴分析/(%)的單調(diào)性和極值；

(2)設(shè)g(x)=/(%+，)+5若對任意的汽20,都有g(shù)(%)2血%成立，求實數(shù)機的取值范圍;

x

(3)若%1。&，且滿足/(%1)+/(%2)=|(好+2)-1時，證明：%i+%2＞2.

【變式7-2](2024.安徽合肥.模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=a(l-21nx)+4x6(aGR).

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

x4

(2)若久i，%2(i。X2)為函數(shù)0(%)=kx?+妥-In%的兩個零點，求證：(/冷尸＞12e.

【變式7-3](2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=詈一皿％€(0m).

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若%1<%2，滿足/(%1)=/(%2)=。.

(i)求租的取值范圍；

(ii)證明：/%2V1T.

【題型8雙變量的新定義問題】

mx1x

【例8】(2024.四川成都.模擬預(yù)測)定義運算:=mq-np,已知函數(shù)/(無)=~|,5()

P

X

(1)若函數(shù)/(?的最大值為0,求實數(shù)。的值；

(2)證明:(1+5)(1+!)(1+*)…(1+5)<e.

(3)若函數(shù)h(x)=/0)+90)存在兩個極值點%1，右，證明：ft(X1)-ft(X2)-a+2<0.

%1一%2

【變式8-1](2024.浙江紹興.三模)若函數(shù)a(%)有且僅有一個極值點zn,函數(shù)夕(%)有且僅有一個極值點九,

且m>n,則稱a(%)與/?(%)具有性質(zhì)a—/3//m>n.

x

(1)函數(shù)Wi(%)=sinx-/與02(%)=e-%是否具有性質(zhì)%-(p2//x0>0?并說明理由.

xx

(2)已知函數(shù)/(汽)=ae-ln(x+1)與g(%)=In(%+a)-e+1具有性質(zhì)/-g//xr>x2-

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：1goi)|>\x2\.

【變式8-2](2024?浙江溫州?二模)如圖，對于曲線「，存在圓C滿足如下條件:

①圓c與曲線「有公共點4且圓心在曲線r凹的一側(cè)；

②圓c與曲線「在點a處有相同的切線；

③曲線r的導(dǎo)函數(shù)在點a處的導(dǎo)數(shù)(即曲線r的二階導(dǎo)數(shù))等于圓c在點a處的二階導(dǎo)數(shù)(已知圓0-。)2+

(y一力)2=N在點A(%o，yo)處的二階導(dǎo)數(shù)等于益-)；

v^-yo)

則稱圓C為曲線r在4點處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑.

(1)求拋物線y=/在原點的曲率圓的方程；

(2)求曲線y=5的曲率半徑的最小值；

(3)若曲線y=e*在(X],e%)和(上,e*z)(xi豐町)處有相同的曲率半徑，求證：xr+x2<-ln2.

【變式8-3](2024?上海徐匯.二模)己知常數(shù)k為非零整數(shù)，若函數(shù)y=/(x),xe[0,1]滿足：對任意均用2G

kk

[0,1],|/(%!)<|(%1+l)-(x2+l)|,則稱函數(shù)y=/(*)為L(k)函數(shù).

(1)函數(shù)y=2x,xe[0,1]是否為L(2)函數(shù)？請說明理由；

(2)若y=f(x)為L(l)函數(shù)，圖像在x€[0,1]是一條連續(xù)的曲線，f(0)=0,/(I)=|,且/(久)在區(qū)間(0,1)上

僅存在一個極值點，分別記f(x)max、/0)1^為函數(shù)了=/(行的最大、小值，求/(久)max-f(x)min的取值范

圍；

(3)若a>0,/(%)=0.05/+o.lx+aln(x+1),且y=/(久)為>—1)函數(shù),g(x)=對任意％,yE[0,1],

恒有l(wèi)g(x)—g(y)lWM，記M的最小值為M(a),求a的取值范圍及M(a)關(guān)于a的表達式.

?課后提升練(19題

一、單選題

1.(2024.吉林長春.模擬預(yù)測)已知a,6滿足e&=—ae-2,b(lnb—2)=e3其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，

則ab的值為()

A.-eB.—e?C.-e?D.—e4

2.(24-25高三上?山西大同?開學(xué)考試)已知汽1，久2是函數(shù)/(%)=[a/-2%+In%的兩個極值點，若不等式

m>/(%i)+/(x2)+%i%2恒成立，則實數(shù)血的取值范圍是()

A.(—3,+oo)B.[—2,+oo)C.(2,+8)D.[e,+oo)

3.(23-24高三上?山東?階段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=e2%,g(%)=%—1,對任意久】ER,存在久2^(0,+8),

使/(%i)=0(%2)，則久2-％1的最小值為().

A.1B.V2

Q1

C.2+ln2D.-+-ln2

22

4.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知直線y=fcx+t與函數(shù)y=/sin(3%+0)Q4>0,3>0)的圖象恰有兩個

切點，設(shè)滿足條件的人所有可能取值中最大的兩個值分別為七和七，且七>的，則()

A.-<^<-B.-<^<-C.-<^<-D.-<^<-

5心75B33k235%3

x

5.(2024?山西晉中?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=xlnx,g(久)=xe,若存在式1E(0,+oo),%2eR,使得/Qq)=

g(%2)>0成立，則這的最大值為()

xi

A.-1B.1C.7-D.14

eeez

2

6.(23-24高三上?廣東江門?階段練習(xí))已知f(x)=alnx+jx(a>0)若對于任意兩個不等的正實數(shù)與、%2,

都有八七>八②>2恒成立，則a的取值范圍是()

xr-x2

A.(0,1]B.[1,+co)C.(0,3]D.[l,2e)

7.(23-24高三上?河北滄州?階段練習(xí))己知函數(shù)/(%)=眇―a婷的定義域為&2),且對以i，%2￡(1-2),%!豐

久2，"巧)-/3)<多+久?恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.存-1,+8)B.[Ve—1,+oo)C.(-D.

x

8.(23-24高二下?福建福州?期中)已知函數(shù)/(%)=(%-2)e,若/(/)=/(%2)?且%i。如xr-x2>0,

貝IJ()

13

A.>-B.x2<-C.%i%2>1D./+冷<2

二、多選題

9.(2024?重慶萬州?模擬預(yù)測)若函數(shù)f(x)=ln(ax)-1,g(久)=6*-匕，滿足對以€(0,+8)均有/(久)g(x)>

0,則ab的取值不可能為()

25r

A.eB.—C.e2D.9

4

10.(2024?廣東廣州?一模)已知直線y=々％與曲線y=In%相交于不同兩點可(%2，力)，曲線y=Inx

在點M處的切線與在點N處的切線相交于點P(%o，y°),則()

1

A.0<fc<-B.xrx2=ex0c.yi+y2=i+y。D.y，2Vl

11.(2024.海南海口.模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(%)=%ln%+(l—%)ln(l—X),則()

A./(x)=/(I