2024-2025學(xué)年湖南省新邵縣高一上冊第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省新邵縣高一上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，集合，則（）A B.C. D.2已知命題，，命題，，則（）A.是真命題，是假命題 B.是假命題，是真命題C.和都是真命題 D.和都是假命題3.使成立的一個(gè)充分不必要條件的是（）A. B. C. D.4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.設(shè)集合M，N，P均為的非空真子集，且，，則（）A.M B.N C. D.6.已知集合滿足，且，則滿足條件的集合有（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.8個(gè) D.16個(gè)7.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.9 B.8 C.3 D.8.已知集合，，，則，，之間的關(guān)系是（）A. B.C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.解集為10.已知，，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.11.對任意，，記，并稱為集合，的對稱差.例如：若，，則.下列命題為真命題的是（）A.若，，則{或}B.若，且，則C.若，，則D.若，，，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知集合，且，則值為_________.13.若命題：“，不等式成立”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14.設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知集合，，其中實(shí)數(shù).（1）若，求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知集合和非空集合，.（1）若命題“，都有”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.如圖，長沙湘江新區(qū)有一塊半徑為10米的圓形景觀，圓心為，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路.最初規(guī)劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路.規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓相切的小道.設(shè)點(diǎn)到道路2的距離為米，點(diǎn)到道路1的距離為米.（1）當(dāng)，求的值；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)，的值.18.已知函數(shù)，.（1）若，當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）求關(guān)于不等式的解集；（3）當(dāng)時(shí)，已知，，若，求的取值范圍.19.已知二次函數(shù)，對，都有，且當(dāng)時(shí)，.（1）求，的值；（2）存在，對任意，都有，求正實(shí)數(shù)的最大值；（3）若，是否存在正整數(shù)，使得為正整數(shù)？2024-2025學(xué)年湖南省新邵縣高一上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用交集的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故A正確.故選：A2.已知命題，，命題，，則（）A.是真命題，是假命題 B.是假命題，是真命題C.和都是真命題 D.和都是假命題【正確答案】B【分析】舉出反例得到為假命題，舉出實(shí)例得到為真命題.【詳解】對于命題：當(dāng)時(shí)，，故為假命題；對于命題：當(dāng)時(shí)，，故為真命題.故選：B.3.使成立的一個(gè)充分不必要條件的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先解不等式得到，根據(jù)題意找到的一個(gè)真子集即可.【詳解】由得，對于A，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以是的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)槭堑恼孀蛹允堑某浞植槐匾獥l件，故B正確；對于C，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以是的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)榕c不是包含關(guān)系，所以是的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】D【分析】對A，B，C舉反例說明，對D，作差法求解判斷.【詳解】若，取，，則，故A錯(cuò)誤；若，當(dāng)時(shí)，則，故B錯(cuò)誤；若，取，，則，故C錯(cuò)誤；若，則，故D正確.故選：D.5.設(shè)集合M，N，P均為的非空真子集，且，，則（）A.M B.N C. D.【正確答案】D【分析】利用文氏圖，表示集合的關(guān)系，求解.【詳解】如圖，中間的陰影和左邊的空白是集合，中間的陰影和右邊的空白表示集合，如圖，表示兩邊空白區(qū)域，則表示集合的空白區(qū)域，即表示為故選：D6.已知集合滿足，且，則滿足條件的集合有（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.8個(gè) D.16個(gè)【正確答案】B【分析】根據(jù)子集和真子集的概念求解即可.【詳解】由題意可知，集合中一定包含元素1，2，一定不包含元素3，且是的真子集，所以或或或，即滿足條件的集合有4個(gè).故選：B.7.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.9 B.8 C.3 D.【正確答案】C【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可【詳解】由條件知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故選：C8.已知集合，，，則，，之間的關(guān)系是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】先將集合結(jié)構(gòu)化為一致，然后根據(jù)集合關(guān)系即可判斷.【詳解】，，，故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.的解集為【正確答案】BC分析】根據(jù)題意，由條件可得，，，即可判斷ABC，將不等式化簡可得，求解即可判斷D.【詳解】由不等式的解集為，得所以，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；因?yàn)椋?，則，解得，故解集為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知，，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.【正確答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式及其變形可判斷A；利用常值代換可判斷B；利用消元法可判斷C；根據(jù)重要不等式得到，代入即可判斷D.【詳解】對于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，則，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，故C錯(cuò)誤；對于D，由得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，故D正確.故選：BD.11.對任意，，記，并稱為集合，的對稱差.例如：若，，則.下列命題為真命題的是（）A.若，，則{或}B.若，且，則C.若，，則D.若，，，則【正確答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，求出，根據(jù)定義得到A正確；B選項(xiàng)，舉出反例；CD選項(xiàng)，可利用韋恩圖進(jìn)行說明.【詳解】A選項(xiàng)，，，故{或}，A正確；B選項(xiàng)，，不妨設(shè)，則，故，但不滿足，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)且A與B不是包含關(guān)系時(shí)，如圖1，①為集合且，②為集合且，③為集合，④為集合，表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集，為集合①，故為集合③④的并集，為集合①②的并集，故為集合③④的并集，故；當(dāng)時(shí)，如圖2，①為集合，表示集合①和集合的并集，表示集合①和集合的并集，為集合，故為集合①，為集合的并集，故為集合①，故；如圖3，當(dāng)時(shí)，表示集合①，集合，故為集合①和集合的并集，為集合的并集去掉的交集，即集合②部分，故為集合①和集合的并集，故；如圖4，當(dāng)時(shí)，②為且，①為，表示集合①和②的并集，，表示集合②，故為集合①和集合的并集，為集合的并集去掉的交集，即集合②部分，故為集合①和集合的并集，故.綜上，C正確；D選項(xiàng)，畫韋恩圖，如下：情況較多，我們就第一個(gè)圖進(jìn)行說明，①為且且，②為且且，③為且，④為，⑤為且，⑥為，⑦為且，⑧為且且，表示集合①⑤②⑦的并集，故表示集合①②⑥⑧的并集，表示集合②③⑤⑧的并集，表示集合①②⑥⑧的并集，故，當(dāng)滿足其他關(guān)系時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，也滿足，故D正確.故選：ACD.方法點(diǎn)睛：當(dāng)集合之間的關(guān)系較為復(fù)雜或解決容斥原理的題型時(shí)，常常使用韋恩圖來進(jìn)行求解，其直觀易懂，可減少思維量.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知集合，且，則的值為_________.【正確答案】0【分析】根據(jù)集合相等，列出關(guān)于m的方程，結(jié)合集合元素的互異性，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，而集合的元素具有互異性，故，所以，故013.若命題：“，不等式成立”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】{或}【分析】由題可知命題的否定為真命題，根據(jù)一元二次不等式在R上恒成立求解即可.【詳解】由題意得：，不等式成立為真命題，所以，即，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是{或}.故{或}.14.設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】由可知，因此當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，分類討論并數(shù)形結(jié)合求解即可.詳解】由知，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，的大致圖象如圖1所示，因?yàn)椋?，得，矛盾；②?dāng)時(shí)，恒成立，符合要求；③當(dāng)時(shí)，的大致圖象如圖2所示，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)椋?，得，矛盾；?dāng)，即時(shí)，因?yàn)?，所以，得；?dāng)時(shí)，由圖有則.綜上，的取值范圍是.故四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知集合，，其中實(shí)數(shù).（1）若，求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）根據(jù)集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算求解；（2）根據(jù)集合的交集的定義及空集的概念求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，{或}，又集合，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，則集合非空，因?yàn)?，所以或，解得或，又，所以，故?shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知集合和非空集合，.（1）若命題“，都有”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）1（2）.【分析】（1）由題意得到，分或或三種情況，得到方程，求出；（2）由題意得到，從而得到不等式，求出的取值范圍.【小問1詳解】由命題“，都有，”為真命題知，因?yàn)榧戏强?，所以或?當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，無解.綜上，實(shí)數(shù)的取值是1.【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以，所以，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.如圖，長沙湘江新區(qū)有一塊半徑為10米的圓形景觀，圓心為，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路.最初規(guī)劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路.規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓相切的小道.設(shè)點(diǎn)到道路2的距離為米，點(diǎn)到道路1的距離為米.（1）當(dāng)，求的值；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)，的值.【正確答案】（1）（2）最大值為平方米，米.【分析】（1）根據(jù)題意分別設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線長定理和勾股定理得到關(guān)系式，將代入即可求出的值；（2）利用（1）中得到的關(guān)系式結(jié)合基本不等式求出的范圍即可求出面積的最大值以及此時(shí)，的值.【小問1詳解】設(shè)圓與道路1、道路2、直線的切點(diǎn)分為，，，連接，，，由切線長定理可知，，則，由題知且，，，即，化簡得.①把代入①，解得；【小問2詳解】由題有，，因?yàn)?，所以，令，則，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，解得，此時(shí)，，則，所以的面積的最大值為平方米，此時(shí)米.18.已知函數(shù)，.（1）若，當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）求關(guān)于的不等式的解集；（3）當(dāng)時(shí)，已知，，若，求的取值范圍.【正確答案】（1）7（2）答案見解析（3）.【分析】（1）變形后，利用基本不等式求出最小值；（2）因式分解，得到，分，和三種情況，得到不等式的解集；（3）化為，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式恒成立問題，結(jié)合二次函數(shù)的開口方向，得到不等式，求出答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故當(dāng)時(shí)，的最小值為7.【小問2詳解】由題知，當(dāng)，即時(shí)，解原不等式得或，當(dāng)，即時(shí)，解原不等式得或，當(dāng)，即時(shí)，解原不等式得.綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為.小問3詳解】不等式可化為，因?yàn)?，所以不等式在時(shí)恒成立，又，結(jié)合二次函數(shù)圖象知，，解得.故的取值范圍是.19.已知二次函數(shù)，對，都有，且當(dāng)時(shí)，.（1）求，的值；（2）存在，對任意，都有，求正實(shí)數(shù)的最大值；（3）若，是否存在正整數(shù)，使得為正整數(shù)？【正確答案】（1）（2）8（3）不存在，證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)根的判別式和時(shí)，，得到方程組，求出，的值；（2）結(jié)合二次函數(shù)的開口方向，只需在，處都成立即可，從而得到不等式，求出，，求出最大值為8，從而得到答案；（3）反證法，假設(shè)為正整數(shù)，得到也為完全平方數(shù)，但，即介于兩個(gè)相鄰的完全平方數(shù)之間，得到