第三章 函數(shù) 第3節(jié) 反比例函數(shù) 學案（含答案）2025年中考數(shù)學人教版一輪復習

第3節(jié)反比例函數(shù)

回歸教材·過基礎

【知識體系】

【考點清單】

知識點1反比例函數(shù)的概念

形如y=(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)叫作反比例函數(shù),其中x是自變量,y是

定義k

x

函數(shù).自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)

標準形式y(tǒng)=,其他表達形式:y=kx-1或xy=k(k為常數(shù),k≠0)

反比例函數(shù)k

x

結構特征k≠0,以分式的形式出現(xiàn),分母中x的指數(shù)為1

函數(shù)關系判定兩個變量是否成反比例函數(shù)關系,需看它們能否寫成反比例函

判斷數(shù)的表達式,或者兩個變量的積是不是一個固定且不為0的常數(shù)

知識點2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

反比例函數(shù)y=

k

x

k的符號k>0k<0

圖象

圖象的兩個分支分別位于第

圖象的兩個分支分別位于第一、三象限,

性質(zhì)②象限,在各個分支

在各個分支上,y隨x的增大而①

上,y隨x的增大而③

是中心對稱圖形——關于④成中心對稱

對稱性

是軸對稱圖形——既關于直線y=x對稱,也關于直線⑤對稱

比較反比例函數(shù)值的大小時,首先要判斷自變量的取值是否同號,即看它們

易錯警示是否在同一個象限內(nèi),若不在,則不能運用性質(zhì)進行比較,此時可以通過畫

草圖直觀地判斷

技巧提醒

1.反比例函數(shù)的圖象是由兩條曲線組成的,且關于原點成中心對稱;

2.連線時,注意要用平滑的曲線連接各點;3.隨著|x|的增大,雙曲線逐漸向坐標軸靠近,但永遠不

與坐標軸相交,因為在反比例函數(shù)y=中,x≠0且y≠0.

k

x

知識點3反比例函數(shù)中“k”的幾何意義

一點一垂線(及變形):S陰影=

|k|

2

兩點一垂線:S陰影=⑦

一點兩垂線(及變形):S陰影=⑥

兩點兩垂線:S陰影=⑧

知識點4利用函數(shù)圖象確定不等式ax+b>或ax+b<的解集的方法(三線四區(qū)法)

??

?在Ⅰ、?Ⅲ部分,反比例函數(shù)圖象位于一次

函數(shù)圖象的上方,則不等式ax+b<的解

k

x

集為x<xb或0<x<xa

在Ⅱ、Ⅳ部分,反比例函數(shù)圖象位于一次

如圖過交點分別作軸的垂線它們連

,A(xa,ya),B(xb,yb)x,函數(shù)圖象的下方,則不等式ax+b>的解

k

同y軸把平面分為四部分,相應標為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳx

集為⑨

【基礎演練】

1.(原創(chuàng))已知反比例函數(shù)y=.

2

x

(1)在平面直角坐標系中畫出y=的圖象.

2

x

(2)該反比例函數(shù)的圖象在第象限,且在每個象限內(nèi),y隨x的增大而.

(3)當y>1時,x的取值范圍為;當x>2時,y的取值范圍為.

(4)若(-3,a),(1,b),(2,c)是該反比例函數(shù)圖象上的點,則a,b,c的大小關系是(用“<”連接).

(5)在同一平面直角坐標系中,若一次函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點A,B,

2

x

點A的坐標為(1,2),則點B的坐標為.

2.如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,頂點A,C在雙曲線y=(k1>0)上,頂點B,D在雙曲

k1

x

線y=(k2<0)上,且BD經(jīng)過點O.若k1+k2=8,則菱形ABCD面積的最小值是.

k2

x

真題精粹·重變式

考向1反比例函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)及k的幾何意義6．年．3．考．

1.(2024·福建)如圖,在平面直角坐標系xOy中,反比例函數(shù)y=的圖象與☉O交于A,B兩點,且點A,B

k

x

都在第一象限.若點A(1,2),則點B的坐標為.

2.(2022·福建)已知反比例函數(shù)y=的圖象分別位于第二、四象限,則實數(shù)k的值可以是(需寫

k

x

出一個符合條件的實數(shù)).

3.(2021·福建)若反比例函數(shù)y=的圖象過點(1,1),則k的值等于.

k

x熱點訓練

4.已知反比例函數(shù)y=(k≠0),且在各自象限內(nèi),y隨x的增大而增大,則下列點可能在這個函數(shù)圖象

k

x

上的是()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(3,0)D.(-3,0)

5.如圖,在平面直角坐標系中有P,Q,M,N四個點,其中恰有三點在反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象上.

k

x

根據(jù)圖中四點的位置,判斷這四個點中不在函數(shù)y=的圖象上的點是()

k

x

A.PB.QC.MD.N

核心方法

反比例函數(shù)圖象的3個重要特點

1.反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,它有兩個分支,它們關于原點成中心對稱.

2.反比例函數(shù)的圖象與x軸、y軸都沒有交點,即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸,但永遠不

能與坐標軸相交,在畫圖時要體現(xiàn)出圖象和坐標軸無限貼近的趨勢.

3.反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性,是由k的符號決定的;反比例函數(shù)的圖象位置和函

數(shù)的增減性可以判斷k的符號.

考向2反比例函數(shù)與一次函數(shù)

熱點訓練

6.如圖,直線y=x+m與雙曲線y=相交于A,B兩點,BC∥x軸,AC∥y軸,則△ABC面積的最小值

3

x

為.

考向3反比例函數(shù)與特殊四邊形6．年．3．考．

7.(2023·福建)如圖,正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y=和y=的圖象的四個分支上,則實

3n

xx

數(shù)n的值為()

A.-3B.-C.D.3

11

33

8.(2020·福建)設A,B,C,D是反比例函數(shù)y=圖象上的任意四點,現(xiàn)有以下結論:

k

x

①四邊形ABCD可以是平行四邊形;

②四邊形ABCD可以是菱形;

③四邊形ABCD不可能是矩形;

④四邊形ABCD不可能是正方形.

其中正確的結論是(寫出所有正確結論的序號).

9.(2019·福建)如圖,菱形ABCD的頂點A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,函數(shù)y=(k>3,x>0)的圖

3k

xx

象關于直線AC對稱,且經(jīng)過B,D兩點,若AB=2,∠DAB=30°,則k的值為.

熱點訓練

10.(拓展)如圖,矩形ABCD的四個頂點均在反比例函數(shù)y=的圖象上,且點A的橫坐標是2,則矩形

1

x

ABCD的面積為.

11.如圖,△OAB為等邊三角形,點B在x軸的正半軸上,S△OAB=4.若反比例函數(shù)y=(k≠0)圖象的

k

3x

一支經(jīng)過點A,則k的值是()

A.B.2

33

23

C.D.4

33

4

考向4反比例3函數(shù)的實際應用

熱點訓練

12.已知電燈電路兩端的電壓U為220V,通過燈泡的電流強度I(單位:A)的最大限度不得超過0.11

A.設選用燈泡的電阻為R(單位:Ω),下列說法正確的是()

A.R至少2000ΩB.R至多2000Ω

C.R至少24.2ΩD.R至多24.2Ω

13.密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳,當容器的體積V(單位:m3)變化時,氣體的密度ρ(單位:kg/m3)

隨之變化.已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關系,它的圖象如圖所示,當V=5m3時,ρ=1.98kg/m3.

(1)求密度ρ關于體積V的函數(shù)解析式.

(2)若3≤V≤9,求二氧化碳密度ρ的變化范圍.

核心突破·拓思維

考點1反比例函數(shù)與特殊四邊形

如圖,在矩形OABC和正方形CDEF中,點A在y軸正半軸上,點C,F均在x軸正半軸上,

點D在邊BC上,BC=2CD,AB=3.若點B,E在同一個反比例函數(shù)的圖象上,則這個反比例函數(shù)的表

達式是.

核心方法

對于反比例函數(shù)與特殊四邊形知識綜合考查的問題,解決的重點應在圖形和圖象都具有的對

稱性這一性質(zhì),通過解決特殊四邊形的點、線段、面積等問題,轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)圖象上的點的坐

標或反比例函數(shù)面積的相關問題,從而解決問題.

如圖,菱形ABCD的兩個頂點A,C在反比例函數(shù)y=的圖象上,對角線AC,BD的交點恰

k

x

好是坐標原點O,已知B(-1,1),∠ABC=120°,則k的值是()

A.5B.4C.3D.2

如圖,矩形OABC的頂點A在反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象上,頂點B,C在第一象限,對角

k

x

線AC∥x軸,且交y軸于點D.若矩形OABC的面積是6,cos∠OAC=,則k=.

2

3

考點2求反比例函數(shù)的比例系數(shù)k

如圖,矩形ABCD的邊AB與y軸平行,頂點A的坐標為(1,m),C(3,m+6),反比例函數(shù)y=(x>0)

k

x

的圖象同時經(jīng)過點B與點D,則k的值為.

如圖,一次函數(shù)y=x-1的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象相交于點A(m,2),與y軸交

1k

2x

于點B.

(1)求反比例函數(shù)的表達式.

(2)點D在一次函數(shù)y=x-1的圖象上,且橫坐標為4,過點D作y軸的平行線,交反比例函數(shù)的圖象

1

2

于點E,連接BE.求△BDE的面積.

參考答案

回歸教材·過基礎

考點清單

①減?、诙?、四③增大④原點⑤y=-x⑥|k|

⑦|k|⑧2|k|⑨xb<x<0或x>xa

基礎演練

1.(1)

(2)一、三減小(3)0<x<20<y<1(4)a<c<b

(5)(-1,-2)

2.16

3真題精粹·重變式

1.(2,1)解析:根據(jù)圓和反比例函數(shù)都是軸對稱圖形,點A與點B關于直線y=x對稱.

設直線AB的解析式為y=-x+b,

將點A(1,2)的坐標代入得2=-1+b,解得b=3,

∴直線AB的解析式為y=-x+3.

∵點A(1,2)在反比例函數(shù)圖象上,

∴反比例函數(shù)的解析式為y=.

2

x

聯(lián)立方程組

2

y=x,

解得或y=?x+3,

x=1,x=2,

∴點By(=2,12).y=1,

故答案為(2,1).

2.-23.14.B5.C6.6

7.A解析:如圖,連接正方形的對角線.由正方形的性質(zhì)知對角線交于原點O,過點A,B分別作

x軸的垂線.垂足分別為C,D,點B在函數(shù)y=上.

3

x

∵四邊形是正方形,

∴AO=BO,∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°,

∴∠CAO=90°-∠AOC=∠BOD,

∴△AOC≌△OBD(AAS),

∴S△AOC=S△OBD==.

3|n|

22

∵點A在第二象限,

∴n=-3.

故選A.

8.①④9.6+210.11.D12.A

15

32

13.解析:(1)設密度ρ關于體積V的函數(shù)解析式為ρ=(k≠0).

k

V

∵當V=5m3時,ρ=1.98kg/m3,

∴1.98=,∴k=9.9,

k

5

∴密度ρ關于體積V的函數(shù)解析式為ρ=(V>0).

9.9

V

(2)∵k=9.9>0,

∴當V>0時,ρ隨V的增大而減小,

∴當3≤V≤9時,≤ρ≤,

9.99.9

93

即二氧化碳密度ρ的變化范圍為1.1≤ρ≤3.3.

核心突破·拓思維