江蘇省徐州市2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末抽測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題

2017一2018學(xué)年度第一學(xué)期期末抽測(cè)高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（理）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置1.命題“”的否定是____________.【答案】【解析】原命題是全稱命題，其否定為.2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___________.【答案】【解析】試題分析：一次項(xiàng)系數(shù)除以4得焦點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，所以焦點(diǎn)考點(diǎn)：拋物線焦點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：的焦點(diǎn)3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間____________.【答案】【解析】，令，則，故所求減區(qū)間為，填.4.直線與直線垂直的充要條件是____________.【答案】【解析】?jī)芍本€垂直，故填.5.橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，過(guò)橢圓上頂點(diǎn)作，垂足為，則直線的斜率為_(kāi)___________.【答案】【解析】右焦點(diǎn)為，又，而，故，故，填.6.已知知一個(gè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，其側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為，則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積為_(kāi)________.【答案】【解析】設(shè)正四棱柱的高（側(cè)棱長(zhǎng)）為，因側(cè)面為矩形，故，，側(cè)面積為，填.7.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線.的焦距為_(kāi)___________.【答案】【解析】漸進(jìn)線方程為，故即，從而，焦距為.填.8.己知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)；當(dāng)，，故在為增函數(shù)，所以在上，，因?yàn)樵谟薪猓?，所以?shí)數(shù)的取值范圍，填.9.己知圓與圓相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.【答案】1或11【解析】圓心距為，因兩圓內(nèi)切，故，解得或，填.10.設(shè)是上的單調(diào)增函數(shù)，則的值為_(kāi)___________.【答案】【解析】試題分析：，因?yàn)槭巧系膯握{(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立，則即，所以；考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用；11.點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，若為常數(shù)，且的值是與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的常數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】由題設(shè)有對(duì)圓上的任意的點(diǎn)，總有，而圓始終在直線的下方，所以，也就是，故圓應(yīng)該在直線的上方（可以相切），故，解得，填.點(diǎn)睛：直線與圓的位置關(guān)系往往隱含在已知條件中，解題時(shí)注意挖掘這些性質(zhì).12.己知是橢圓的焦點(diǎn)，是橢圓的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，又，故，所以，即離心率的取值范圍是，故填.13.已知點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，若圓一上存在點(diǎn)，使得，則正數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，故又，解得，設(shè)到直線的，則距離為，而，故也即是，所以，整理得到，所以（舎）或，綜上，.點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化幾何對(duì)象到圓心的距離的問(wèn)題去考慮.14.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則整數(shù)的值為_(kāi)_________.【答案】或【解析】令，，當(dāng)時(shí)，恒成立且也恒成立，故的圖像始終在軸上方且函數(shù)為上的增函數(shù)，其圖像如下：點(diǎn)睛：對(duì)方程的根的估計(jì)，可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)去判斷，必要時(shí)需借助導(dǎo)數(shù)去刻畫(huà)函數(shù)的圖像.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或計(jì)算步驟.15.在四棱錐中，底面為矩形，平面分別為的中點(diǎn)．求證：(1)平面；(2)平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）由平面可以得到，結(jié)合可以得到平面．（2）設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，，則可證四邊形為平行四邊形，從而，也就是平面．解析：（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以．因?yàn)榈酌鏋榫匦危裕忠驗(yàn)?，平面，所以平面．?）取中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且．因?yàn)闉榫匦?，所以，且，故．所以為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?6.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在第一象限，線段的垂直平分線交圓于點(diǎn),且．（1）求直線的方程；（2）求圓的方程；（3）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的斜率.【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】試題分析：（1）求出的中點(diǎn)和的斜率就可以得到中垂線的方程為．（2）圓心必在直線上，故可設(shè)，利用垂徑定理可以得到，從而解出或，圓心為或（舎），故圓的方程為：．（3）設(shè)切線的方程為，利用圓心到直線的距離為半徑得到或．解析：（1）因?yàn)椋裕值闹悬c(diǎn)在直線上，故直線的方程為，即．（2）由題意知為圓的直徑，設(shè)圓心，則，解得或．故圓心為或（舍）．所以圓的方程為．（3）切線的斜率必存在，設(shè)切線的斜率為，則切線為，故，解得或．17.在直三棱柱中，己知.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.............試題解析：如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，所以，，，．（1）因?yàn)椋援惷嬷本€與夾角的余弦值為．4分（2）設(shè)平面的法向量為，則即取平面的一個(gè)法向量為；所以二面角平面角的余弦值為．10分考點(diǎn)：利用空間向量求線線角及二面角18.在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取兩個(gè)高度均為的圓柱，其軸截面如圖所示．設(shè)兩個(gè)圓柱體積之和為．(1)求的表達(dá)式，并寫(xiě)出的取值范圍；(2）求兩個(gè)圓柱體積之和的最大值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】試題分析：（1）圓柱的高、底面的半徑和球的半徑是一個(gè)直角三角形的三邊，故可以得到兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為，，由此可以計(jì)算出兩個(gè)圓柱的體積之和以及的取值范圍．（2）因?yàn)?，利用?dǎo)數(shù)討論該函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的最大值為．解析：（1）自下而上兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為：，．它們的高均為，所以體積之和．因?yàn)?，所以的取值范圍是?2)由，得，令，因?yàn)?，得．所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值也是最大值，的最大值為．答：兩個(gè)圓柱體積之和的最大值為．19.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2）若動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，問(wèn)：以線段為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在點(diǎn).【解析】試題分析：（1）先求出橢圓的焦點(diǎn)為，則由題設(shè)有，從中解出可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓相切，故聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用判別式為零得到和，又，設(shè)，則對(duì)任意的恒成立，但，因此，從而也就是點(diǎn)符合題意．解析：（1）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）聯(lián)立消去，得，所以，即．設(shè)，則，，即．假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，因?yàn)?，則，，所以，恒成立，故解得所以存在點(diǎn)符合題意．點(diǎn)睛：動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，一般是找出動(dòng)圓的一般式方程，它含有一個(gè)參數(shù)．而對(duì)于含多個(gè)參數(shù)的圓的一般方程，考慮其過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可先設(shè)出定點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的一般方程得到一個(gè)恒等式，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程組，解這個(gè)方程組即可．20.設(shè)函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)．(l）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2）當(dāng)時(shí)，若為函數(shù)圖像上一點(diǎn)，且直線與相切于點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值；(3)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，若在定義域內(nèi)恒成立，則稱函數(shù)具有某種性質(zhì)，簡(jiǎn)稱“函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，試問(wèn)函數(shù)是否為“函數(shù)”？若是，請(qǐng)求出此時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不是，清說(shuō)明理由．【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）是“函數(shù)”，.【解析】試題分析：（1）求出，分別令和可以得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間．（2）由題設(shè)，曲線在處的切線過(guò)原點(diǎn)，故，整理得到，根據(jù)函數(shù)為增函數(shù)以及得到．（3）函數(shù)在處的切線方程為：，構(gòu)造函數(shù)其導(dǎo)數(shù)為分別討論和時(shí)的符號(hào)以及進(jìn)一步討論的單調(diào)性可知在和上不是“函數(shù)”，故，經(jīng)檢驗(yàn)符合．解析：（1）由，得，（），，由得：；由得：．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）由，得，．，所以切線的斜率．又切線的斜率為，所以，，即，設(shè)，，所以，函數(shù)在(0,＋∞)上為遞增函數(shù)，且是方程的一個(gè)解，即是唯一解，所以，．（3）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)在其圖象上一點(diǎn)處的切線方程為，令設(shè)，則．且當(dāng)時(shí)，，則在上有，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)有，所以在有；當(dāng)時(shí)，，則在上有，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)有，所以在有