中考數(shù)學-一次方程(組)及其應用(練習)(含答案)

Page第一章數(shù)與式第05講一次方程（組）及其應用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01等式的性質(zhì)??題型02一元一次方程的相關(guān)概念??題型03二元一次方程的相關(guān)概念??題型04二元一次方程組的相關(guān)概念??題型05已知二元一次方程組的解求參數(shù)??題型06解一次方程（組）??題型07一元一次方程解的綜合應用??題型08與一次方程（組）有關(guān)的污染問題??題型09與一元一次方程有關(guān)的新定義問題??題型10解二元一次方程組--特殊解法??題型11解二元一次方程組--錯解復原問題??題型12解二元一次方程組--同解方程組??題型13解二元一次方程組—拓展??題型14中考最熱考法之以注重過程性學習的形式考查一次方程組??題型15列方程（組）??題型16一元一次方程的應用??題型17二元一次方程組的應用??題型18中考最熱考法之以跨學科背景考查一元一次方程的實際應用??題型19洛書Page??題型01等式的性質(zhì)1．（2024·吉林長春·一模）已知a=b，下列式子不一定成立的是（

）A．a(chǎn)+2=b+2 B．a(chǎn)c=bcC．a(chǎn)-1>b-2 D．a(chǎn)2．（2024·河北邯鄲·三模）天平兩邊托盤中相同形狀的物體質(zhì)量相同，且兩架天平均保持平衡，如圖，則關(guān)于“□”“?”“△”質(zhì)量的大小關(guān)系，下列說法正確的是（

）A．△最重 B．?最重 C．□最重 D．無法比較3．（2024·安徽亳州·三模）設a,b,c為互不相等的實數(shù)，且a=37b+A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．a(chǎn)-b=6b-c D．4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）設x、y、c是實數(shù)，正確的是（

）A．若x=y，則x+c=c-y B．若x=y，則c-x=c-yC．若x=y，則xc=yc ??題型02一元一次方程的相關(guān)概念1．（2020·浙江·模擬預測）下列各式：①-2+5=3；②3x-5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2020·吉林長春·三模）關(guān)于x的一元一次方程2xa-2-2+m=4的解為x=1，則a+mA．9 B．8 C．7 D．53．（2024·廣東佛山·三模）小明做作業(yè)時發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：3x+12=2x+■電話詢問老師后知道：方程的解x=1A．32 B．-32 C．14．（2024·四川雅安·三模）已知x=2是關(guān)于x的一元一次方程m-1x+m2=1的解，則??題型03二元一次方程的相關(guān)概念1．（2022·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（

）A．xy=1 B．x2-1=0 C．x-y=1 2．（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a-b-3ya+b=2是關(guān)于x、yA．29 B．2 C．323．（2023·山東棗莊·模擬預測）若二元一次方程組x+y=33x-5y=1的解為x=ay=b，則a-b的值為4．（2024·河南駐馬店·模擬預測）已知方程2x+y=0，請寫出該方程的一組解：．??題型04二元一次方程組的相關(guān)概念1．（2020·浙江杭州·模擬預測）與方程5x+2y=-9構(gòu)成的方程組，其解為x=-3y=3的是（

A．x+2y=1 B．3x+2y=-8 C．3x-4y=-8 D．5x+4y=-32．（2022·貴州黔東南·模擬預測）在下列數(shù)對中：①x=2y=-2；②x=1y=0；③x=1y=-1；④x=5y=2，其中是方程x+y=0的解的是；是方程x-4y=5的解的是；既是方程x+y=0的解，又是方程x-4y=5的解的是3．（2020·浙江杭州·模擬預測）已知關(guān)于x，y的方程組3x+5y=m+22x+3y=m，給出下列結(jié)論：①x=3y=-4是方程組的解；②m=2時，x，y的值互為相反數(shù)；③無論m的x，y都滿足的關(guān)系式x+2y=2；④x，y的都為自然數(shù)的解有2對，其中正確的為??題型05已知二元一次方程組的解求參數(shù)1．（2024·廣東汕頭·一模）若關(guān)于x，y的方程組2x-y=2m-1x-2y=n的解滿足x+y=-4，則4m÷A．8 B．18 C．6 D．2．（2023·山東聊城·模擬預測）若關(guān)于x和y的方程組5x+4y=aax+by=c無解，則（

A．5a=4c B．4a=5b C．4a=5c D．5a=4b3．（2024·湖北荊州·一模）已知x=2y=1是二元一次方程組ax+by=8bx-ay=1的解，則3a-12b4．（2024·甘肅·一模）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+3y=kx+2y=-1的解滿足x>y，則k的取值范圍為5．（2023·山東濟寧·一模）已知關(guān)于x，y的方程組x+y-b=03x+y-2=0的解是x=-1y=m，則直線y=-x+b與直線y=-3x+2的交點坐標是??題型06解一次方程（組）1．（2024·四川攀枝花·模擬預測）解下列方程：(1)2x-13-5x+22．（2024·廣東·模擬預測）解方程組：(1)2x+y=-54x-5y=11(2)??題型07一元一次方程解的綜合應用1．（2023·河北石家莊·一模）已知P=A?B-C，(1)若A=-20，B=-13以下是佳佳同學的計算過程：P=第一步=1×3-第二步=3+5第三步=8上面的計算過程有錯誤嗎？如果有，請你指出是第幾步錯誤，并求出正確的P值；(2)若A=3，B=2x，C=2x+1，當x為何值時，P的值為72．（2023·浙江金華·一模）如圖是一道關(guān)于整式運算的例題及正確的解答過程，其中A，B是兩個關(guān)于x的二項式．【例題】先去括號，再合并同類項：2解：原式=4x-6-9x-15=________________(1)二項式A為_______，二項式B為_______．(2)當x為何值時，A與B的值相等？3．（2024·河北保定·三模）把式子-4x+3記作P，式子x-6記作Q，(1)當x=-3時，P=______，Q=______；(2)若P，Q的值互為相反數(shù)，求x．4．（2022·河北廊坊·二模）如圖，在數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為－2，1，P為A點左側(cè)上的一點，它表示的數(shù)為x．(1)用含x的代數(shù)式表示PB+PA2(2)若以PO，PA，AB的長為邊長能構(gòu)成等腰三角形，請求出符合條件的x的值．??題型08與一次方程（組）有關(guān)的污染問題1．（2022·河北保定·一模）對于題目：“若方程組x-y=p2x+y=0的解為x=1y=a，且整式A=a-3小明化簡求值時，將系數(shù)□看錯了，他求的A的值為0；小宇求的結(jié)果，與題的正確答案一樣，A的值為6．(1)小明將系數(shù)□看成的數(shù)是多少？(2)化簡整式A．2．（2022·浙江杭州·中考真題）計算：-6×(1)如果被污染的數(shù)字是12，請計算-6(2)如果計算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．3（2022·河北邯鄲·三模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x-12+＝3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)被污染了；(1)嘉淇猜是2，請解一元一次方程3x-12+2=3(2)若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？4（2022·河北保定·一模）已知整式a2-2ab-■ab-4(1)則■所表示的數(shù)字是多少？(2)小紅說該代數(shù)式的值是非負數(shù)，你認為小紅的說法對嗎？說明理由．??題型09與一元一次方程有關(guān)的新定義問題1．（2022·河北石家莊·三模）若兩個有理數(shù)A、B滿足A+B=8，則稱A、B互為“吉祥數(shù)”．如5和3就是一對“吉祥數(shù)”．回答下列問題：(1)求-5的“吉祥數(shù)”；(2)若3x的“吉祥數(shù)”是-4，求x的值；(3)x和9能否互為“吉祥數(shù)”？若能，請求出；若不能，請說明理由．2．（2023·河北滄州·模擬預測）定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有m☆n=mn-3n，例如(1)x☆2>4，求(2)若x☆-1(3)若方程x☆□=x-6，□中是一個常數(shù)，且此方程的一個解為3．（2024浦口區(qū)模擬）閱讀下列材料：讓我們來規(guī)定一種運算：ac

bd=ad-bc，例如：23

41(1)-24

-5(2)當x1

1-x2=0(3)將下面式子進行因式分解：x2-2x??題型10解二元一次方程組--特殊解法1．（2024·山東煙臺·一模）閱讀下列解方程的解法，然后解決有關(guān)問題.解方程組19x+18y=17??解：(1)-(2)，得2x+2y=2，即x+y=1(3).(3)×16，得16x+16y=16(4).(2)-(4)，得x=把x=-1代入(3)得-1+y=1所以原方程組的解是x=-1y=2以上解法的技巧是根據(jù)方程的特點構(gòu)造了方程(3)，我們把這種解法稱為構(gòu)造法，請你用構(gòu)造法解方程組7x+11y=913x+17y=212．（2024·山西大同·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應的任務．換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量，變量求出結(jié)果之后，返回去求原變量的結(jié)果，換元法是數(shù)學中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數(shù)學問題，若能根據(jù)問題的特點進行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，下面以一個例題來說明．例1：計算：20163解：設2016=x，則原式=x請你利用上述方法解答下列問題：(1)計算：123456789×123456786-123456788×123456787；(2)已知方程組2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，則方程組2x+23．（2024·廣東珠?！と＃╅喿x下面材料，并完成相應的學習任務.“整體思想”是數(shù)學解題中的一種重要思想方法，數(shù)學課上，張老師給出了一個問題：已知實數(shù)m，n滿足m+n-2=0①4m+n+n=5②小真：利用消元法解方程組，分別求出m，n的值后，再代入m+n和2m-n即可.小善：由①，得m+n=2，③將③代入②，得4×2+n=5，解得n=-3，把n=-3代入③，解得m=5，所以原方程組的解為m=5張老師對兩位同學的講解進行點評，指出小善同學的思路體現(xiàn)了數(shù)學中的“整體思想”的運用，請你參考小善同學的做法，完成以下兩個任務.(1)任務一：解方程組2a-3b-5=0(2)任務二：在（1）的前提下取a，b的值，若拋物線y=ax2+bx+c4．（2024煙臺市模擬）［閱讀理解]在解方程組或求代數(shù)式的值時，可以用整體代入或整體求值的方法，化繁為簡．（1）解方程組x+2x+y解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1，把x=1代入②得y=0，所以方程組的解為x=1y=0（2）已知x+3y+5z=30①9x+7y+5z=10②解：①+②，得③÷10，得x+y+z=4［類比遷移]（1）求方程組3a-b（2）若6x+5y+z=82x+y-3z=4求x+y+z??題型11解二元一次方程組--錯解復原問題1．（2024周口市三模）解方程組ax+by=2cx-7y=8時，一學生把c看錯而得到x=-2,y=2,而正確的解是x=3,y=-2,那么2．（2021·廣東汕頭·一模）甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15①4x-by=-10②，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=-3y=1乙看錯了方程②中的b（1）求a，b的值；（2）若關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+m=0兩實數(shù)根為x1，x2??題型12解二元一次方程組--同解方程組1．（2024·湖南長沙·一模）已知方程組2x-y=7x+y=a和方程組x-y=b3x+y=8有相同的解，求a，2．（2024·廣東江門·一模）已知方程組5x-2y=3mx+5y=4與x-4y=-3(1)求m和n值，(2)已知△ABC的兩邊AB，AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2m-7x-3n=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC??題型13解二元一次方程組—拓展1．（2024·福建龍巖·模擬預測）閱讀素材并解決問題．設而不求材料“設而不求”法又叫“增設輔助未知量法”或“設參法”，基本思路是先設定一個輔助未知量（輔助元），然后根據(jù)輔助元與未知量之間的關(guān)系，建立一個包含輔助元、未知量和已知量的方程或代數(shù)式，最后通過消元法或代換法來解決問題．問題1有麻料、棉料、毛料三種布料，若購買3匹麻料、7匹棉料、1匹毛料共需315元；若購買4匹麻料、10匹棉料、1匹毛料共需420元．現(xiàn)需購買麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？解：依題意，可設每匹麻料、棉料、毛料的價格各為x元、y元、z元．列出方程組：3x+7y+z=315通過①×3－②×2，直接可得x+y+z=．問題2如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°，∠A>45°，D,E為線段AC上的兩點，且BA=BE，BD平分∠CBE，設∠A=α，用α表示其它有關(guān)的角，可求∠ADB的度數(shù)，請寫出求解過程．問題3如圖，已知點P是第一象限位于雙曲線y=kx(k≠0)上方的一點，過點P作PA⊥x軸于點A，PA交雙曲線于點C；再過點P作PB⊥y軸于點B，PB交雙曲線于點D，設P(m,n)2．（2023·浙江臺州·三模）密度是物質(zhì)的重要屬性，生產(chǎn)、生活中常常需要測量各種液體的密度．某同學在綜合實踐活動中自制了測量液體密度的杠桿密度計，可以從杠桿上的刻度直接讀出液體密度的數(shù)值，受到了老師的肯定和表揚，結(jié)構(gòu)如圖所示．所用器材：輕質(zhì)杠桿（自身重力忽略不計）、兩種規(guī)格的空桶（100mL和200mL）、質(zhì)量為m的物體

(1)將杠桿在O點懸掛起來，空桶懸掛在B點，質(zhì)量為m的物體A懸掛在C點時，杠桿水平平衡．測出B點到O點的距離為l，C點到O點的距離為l0，此時滿足G桶?l=GA?l0(2)在B點的空桶內(nèi)注滿液體，空桶容積為V，移動物體A至C1位置，使杠桿在水平位置平衡．C1點到O點的距離為l1，此時滿足G桶+G液?l=GA(3)已知密度為1.0×103kg/m3刻度線與零刻度線之間的距離為4cm(4)要使制作的杠桿密度計測量精度更高一些，應選擇規(guī)格的空桶（選填“100mL”或“2003．（2023·山西大同·模擬預測）閱讀與思考小敏在九年級復習階段，針對“一次方程的解”整理得出以下幾種方法，請仔細閱讀并完成相應的任務.九年級總復習筆記引例：求一元一次方程23x+4=2+x和方程組基本步驟：去括號，去分母，移項合并同類項，化系數(shù)為基本思想：________________解答：2第一步：移項得：2第二步：合并同類項得：5第三步：化系數(shù)為1得：x=-x+y=2①由②-x=2，把x=2代入①中得2+y=2y=0所以原方程組的解為x=2方法二：利用兩條直線的交點坐標求得方程組的解為x=2

任務：(1)解方程的基本思想是（

）A．方程思想

B．轉(zhuǎn)化思想

C．數(shù)形結(jié)合

D．分類討論(2)解方程23(3)實際上，除了解二元一次方程組外，初中數(shù)學還有一些知識也可以用函數(shù)的觀點來認識.例如：可以用函數(shù)的觀點來認識一元一次方程的解，請你再舉出一例；??題型14中考最熱考法之以注重過程性學習的形式考查一次方程組1．（2024·寧夏銀川·模擬預測）以下是圓圓解方程x+12-解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1去括號，得3x+1-2x+3=1移項，合并同類項，得x=-3．(1)圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程；(2)請嘗試解方程x+10.22．（2023·廣西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應任務．解：x-2y=1第一步：由①得，x=2y+1③；第二步：將③代入②，得2×2y+1+2y=5第三步：解得y=第四步：將y=1代入③，解得x=7第五步：所以原方程組的解為x=任務一：小亮解方程組用的方法是________消元法．（填“代入”或“加減”）；任務二：小亮解方程組的過程，從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是________．任務三：請寫出方程組正確的解答過程．3．（2023·山西大同·模擬預測）（1）計算：--1（2）下面是小輝和小瑩兩位同學解方程組x-3y=-1,2x+3y=7解：令x-3y=-1小輝：由②得，3y=7-2x．③…………第一步將③代入①得，x-7-2x整理得，x-7-2x=-1．………………第三步解得x=-6．…………第四步將x=-6代入③，解得y=19∴原方程組的解為x=-6,y=小瑩：①+②得，3x=6．………………第一步解得x=2，…………第二步將x=0代入①得，2-3y=-1．…………第三步整理得，-3y=-1+2．………………第四步解得y=-1∴原方程組的解為x=2,y=-任務一：請你從中選擇一位同學的解題過程并解答下列問題．①我選擇___________同學的解題過程，該同學第一步變形的依據(jù)是___________；②該同學從第___________開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是___________；任務二：直接寫出該方程組的正確解；任務三：除以上兩位同學的方法，請你再寫出一種方法（不用求解）．??題型15列方程（組）1．（2024·河北·模擬預測）《九章算術(shù)》是人類科學史上應用數(shù)學的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問：人與車各幾何？大意：若3人坐一輛車，則兩輛車是空的；若2人坐一輛車，則9人需要步行，問：人與車各多少？小青根據(jù)題意列出方程組y+2=3xy-9=2x小云根據(jù)題意列出一元一次方程3A．小青正確，小云錯誤 B．小青錯誤，小云正確C．小青、小云都正確 D．小青、小云都錯誤2．（2024·廣西南寧·模擬預測）地理老師介紹道：長江比黃河長836千米，黃河長度的6倍比長江長度的5倍多1284千米，小東根據(jù)地理教師的介紹，設長江長為x千米，黃河長為y千米，然后通過列、解二元一次方程組，正確的求出了長江和黃河的長度，那么小東列的方程組可能是（

）A．x-y=8365x-6y=1284B．x-y=8366x-5y=1284C．x+y=8363．（2024·湖北·模擬預測）我國古代數(shù)學名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清酒、醑酒各幾斗？如果設清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（）A．x+y=510x+3y=30 B．x+3y=53x+10y=30 C．x+3y=30x4．（2023·四川成都·模擬預測）成語“朝三暮四”講述了一位老翁喂養(yǎng)猴子的故事，老翁為了限定猴子的食量分早晚兩次投喂，早上的糧食是晚上的34，猴子們對于這個安排很不滿意，于是老翁進行調(diào)整，從晚上的糧食中取2千克放在早上投喂，這樣早上的糧食是晚上的43，猴子們對這樣的安排非常滿意．設調(diào)整前早上的糧食是x千克，晚上的糧食是y千克，則可列方程組為（A．x=43yx+2=345．（2024·貴州貴陽·二模）某車間有20名工人，每人每天可以生產(chǎn)600個螺母或900個螺絲．一個螺絲需要配兩個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺絲與螺母剛好配套，設安排x名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意可列方程為．6．（2024·貴州·模擬預測）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，剛好每車坐滿后還剩余2輛車沒人坐；若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘只能步行，問共有多少人，多少輛車？設共有x輛車，則可列方程．??題型16一元一次方程的應用1．（2024·山西·模擬預測）2024年3月22日，“世界水日”、“中國水周”山西省宣傳活動在太原啟動，本1次活動，旨在調(diào)動全社會各方力量團結(jié)治水興水，吸引并推動社會公眾關(guān)心支持水利事業(yè)為貫徹落實本次活動精神，太原市現(xiàn)計劃修一條水渠便于引水用水．已知，甲工程隊活單獨修需20天完成，乙工程隊單獨完成需要的天數(shù)比甲工程隊單獨完成天數(shù)的35多少2(1)乙工程隊單獨完成需要多少天？(2)若甲先單獨修5天，之后甲乙合作修完這條水渠，求甲乙還需合作幾天才能修完這條水渠？2．（2024·河北·模擬預測）如圖，數(shù)軸上的A，B兩點分別表示a，b，且a，b分別是3，-2兩數(shù)中的一個．(1)求a-b的值；(2)若在數(shù)軸上添加點C，其表示的數(shù)為c，且a-b-c的值與a，b，c三數(shù)的平均數(shù)相等，求c的值，并在數(shù)軸上標出點C的位置．3．（2024·廣東·模擬預測）為助力環(huán)保事業(yè)，某企業(yè)先將該月銷售的A款產(chǎn)品所有營收的40%捐給中國環(huán)?；饡?，后同樣再次捐贈該月銷售的B款產(chǎn)品所有營收的50%，已知該月銷售A、B兩款產(chǎn)品共1000個，A款產(chǎn)品每個售價為100元，B款產(chǎn)品每個售價為120元，設該月銷售A款產(chǎn)品(1)該企業(yè)第一次捐贈元，第二次捐贈元；(用含x的式子表示)(2)該企業(yè)兩次共捐贈48000元，那么該企業(yè)月銷售A、B兩款產(chǎn)品各多少個？4．（2024·安徽六安·模擬預測）《孫子算經(jīng)》中記載：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人和車各幾何？”其大意是：“今有若干人乘車，每3人乘一車，最終剩余2輛空車；若每2人同乘一車，最終剩下9人因無車可乘而步行，問有多少人，多少輛車？”試求有多少人，多少輛車．??題型17二元一次方程組的應用1．（2024·廣東·模擬預測）每年5—7月份，某商家都會在線上平臺開設的網(wǎng)店銷售荔枝和龍眼兩種水果．下表是5月份某個星期兩種水果的銷售信息（荔枝2kg/箱，龍眼商品荔枝龍眼成本/(元/箱)3040售價/(元/箱)4860這個星期網(wǎng)店銷售荔枝和龍眼共1150kg2．（2024·湖南株洲·模擬預測）某學校課后服務開展有聲有色，這個學期因更多的學生選擇足球和籃球班，學校計劃購進若干個足球和籃球．已知籃球和足球的單價相差30元，且購買4個足球的費用與購買3個籃球的費用相同，求每個籃球和足球價格分別是多少元？3．（2024·安徽·模擬預測）為積極響應州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經(jīng)市場調(diào)查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．男裝、女裝的單價各是多少？4．（2024·廣東·模擬預測）（綜合與實踐）如圖，某綜合實踐小組在課后利用小球和水做實驗，根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問題：(1)放入一個小球水面升高cm，放入一個大球水面升高cm；(2)如果放入10個球且使水面恰好上升到52cm5．（2024·湖北·模擬預測）學校七年級為了開展球類興趣小組，需要購買一批足球和籃球．若購買4個籃球和3個足球需花費530元，若購買1個籃球和6個足球需花費500元．求籃球和足球的單價各是多少元？??題型18中考最熱考法之以跨學科背景考查一元一次方程的實際應用1．（2024·江西吉安·三模）小亮在實驗室做實驗時，沒有找到天平稱取實驗所需藥品的質(zhì)量，于是利用杠桿原理制作天平稱取藥品的質(zhì)量（杠桿原理：動力×動力臂=

2．（2024·河南漯河·二模）綜合與實踐：如何稱量一個空礦泉水瓶的質(zhì)量？如圖是一架自制天平，支點O固定不變，左側(cè)托盤固定在點A處，右側(cè)托盤（點P）可以在橫梁BC段滑動（點P不與B，C重合）．已知OA=OC=10cm，BC=25cm，砝碼的質(zhì)量為100g．根據(jù)杠桿原理，平衡時：左盤砝碼質(zhì)量×OA=(1)設右側(cè)托盤中放置物體的質(zhì)量為yg，OP的長為xcm，求y關(guān)于(2)由于一個空的礦泉水瓶太輕無法稱量，小組進行如下操作：左側(cè)托盤放置砝碼，右側(cè)托盤的點P由點C向點B滑動，向空瓶中加入28g的水后，發(fā)現(xiàn)點P移動到PC的長為153．（2024·河南商丘·二模）高鐵站候車廳的飲水機（圖1）上有溫水、開水兩個按鈕，示意圖如圖2所示．小明先接溫水再接開水，打算接500mL物理知識：開水和溫水混合時會發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量（開水體積×開水降低的溫度=溫水體積×溫水升高的溫度）．生活經(jīng)驗：飲水適宜溫度是37℃～44℃（包括37℃與44℃）．(1)若小明先接溫水19s(2)設接溫水的時間為xs，水杯中水的溫度為y℃①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；②求水杯中水的溫度為飲水適宜溫度時，至少需要接多少mL的溫水???題型19洛書1．（2024·四川廣安·模擬預測）幻方，相傳最早見于我國的“洛書”，如圖1的洛書，每一行、每一列以及每條斜對角線上的點數(shù)之和都相等，轉(zhuǎn)換為數(shù)字如圖2所示，它是一種三階幻方．根據(jù)三階幻方規(guī)則，由圖3中已知數(shù)求出x-y的值為（

）A．-3 B．3 C．-2 D．22．（2023·江蘇蘇州·二模）幻方是古老的數(shù)學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個幻方，圖（2）是一個未完成的幻方，則x與y的和是(

)A．13 B．12 C．11 D．103．（2024·河北邯鄲·二模）幻方的歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”中，有一種特殊的三角形幻方，是由4個較小的三角形和3個較大的三角形構(gòu)成，且滿足每個三角形三個頂點處的數(shù)之和相等．如圖1是這種特殊三角形幻方，陰影部分的三角形三個頂點處的數(shù)之和為7+3+5=15，該圖中每個三角形三個頂點處的數(shù)字之和都為15，圖2是這種特殊的三角形幻方．（1）若圖2滿足三角形三個頂點處的數(shù)之和為15，n=7，則m=；A處的數(shù)值為；（2）x的值為．4．（2024·四川德陽·二模）幻方是一種中國傳統(tǒng)游戲，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方—九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，表1是一個已完成的幻方．表2是一個未完成的幻方，其中A-B的值為．表1276951438表2x-7x+5-4-2AB5．（2020·河北·模擬預測）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”(如圖①)，是世界上最早的矩陣，又稱幻方．用今天的數(shù)學符號表示，洛書就是一個三階幻方(如圖②)．（1）觀察圖②，根據(jù)九宮圖中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出幻方需要滿足的條件是；（2）若圖③是一個幻方，求圖中a=，b=1．（2024·浙江·中考真題）有編號分別為①~⑧的8個球，其中6個球一樣重，另外兩個都輕1克，為了找出這兩個輕球，用天平稱了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+A．④⑤ B．③⑥ C．③⑤ D．③④2．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：a?b=a2-b,a≤0,-a+b,a>0,例如：-2?4=(-2)2-4=0，2?3=-2+3=13．（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+y=bcx-y=d的解是x=3y=-2，則關(guān)于x、y的方程組ax+2y=2a+bcx-2y=2c+d4．（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)A能寫成m2-n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2-n的過程，稱為“方減分解”．例如：因為602=252-23，25與23的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602=252-23的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個“方減數(shù)”A進行“方減分解”，即A=m2-n，將m放在n的左邊組成一個新的四位數(shù)B，若B5．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質(zhì)地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數(shù)為落入該小孔槽小球上所標的數(shù)字），完成第一次操作．再重復以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．6．（2024·山西·中考真題）健康中國，營養(yǎng)先行．今年5月12日-18日是第十屆全民營養(yǎng)周，社區(qū)食堂在全民營養(yǎng)周到來之際，推出系列營養(yǎng)套餐，其中營養(yǎng)套餐A的菜品如下圖所示．(1)該套餐中的蛋白質(zhì)和脂肪這兩類營養(yǎng)素主要來自清蒸魚塊和滑炒雞丁，每100克清蒸魚塊和滑炒雞丁中的蛋白質(zhì)和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸魚塊和滑炒雞丁兩道菜品提供的蛋白質(zhì)、脂肪量應分別為34克、24.8克、求每份該種套餐中清蒸魚塊和滑炒雞丁兩道菜品各有多少克；清蒸魚塊（每100克）滑炒雞?。?00克）蛋白質(zhì)（克）1615脂肪（克）814(2)按配餐要求，每份素炒時蔬中芹菜與西蘭花共260克，已知每100克芹菜與每100克西蘭花分別含有1.5克、2.5克的膳食纖維，若要使每份素炒時蔬中所含的膳食纖維不少于5克，則每份素炒時蔬中西蘭花至少有多少克？1．（2024·江蘇無錫·中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經(jīng)過多少天相遇？設經(jīng)過x天相遇，則下列方程正確的是（

）A．17x+19x=1 B．172（2024·四川宜賓·中考真題）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（

）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天3．（2024·山東日照·中考真題）我國明代數(shù)學家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托，問索、竿各長幾何？”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長5尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短5尺，問繩和竿各有多長？”設繩長x尺，竿長y尺，根據(jù)題意得（

）（注：“托”和“尺”為古代的長度單位，1托=5尺）A．x-y=5y-12x=5 B．y-x=5124．（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從A地勻速出發(fā)，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，駐足交流10?min后，繼續(xù)以原速步行前進；乙因故比甲晚出發(fā)30?min，跑步到達B地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離ym與甲出發(fā)的時間xmin那么以下結(jié)論：①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為20min；②甲出發(fā)86?min時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值3600?m；③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發(fā)后100?min；④A，A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④5．（2024·吉林·中考真題）鋼琴素有“樂器之王”的美稱，鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數(shù)．6．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間休息了兩次．跑步機上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關(guān)信息如表所示，跑步累計里程s（米）與小明跑步時間t（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．時間里程分段速度檔跑步里程小明16:00~16:50不分段A檔4000米小麗16:10~16:50第一段B檔1800米第一次休息第二段B檔1200米第二次休息第三段C檔1600米(1)求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；(2)求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求a的值．7．（2024·江蘇常州·中考真題）解方程組和不等式組：(1)x-y=03x+y=4(2)8．（2024·江蘇無錫·中考真題）某校積極開展勞動教育，兩次購買A,B兩種型號的勞動用品，購買記錄如下表：A型勞動用品（件）B型勞動用品（件）合計金額（元）第一次20251150第二次1020800(1)求A，(2)若該校計劃再次購買A，B兩種型號的勞動用品共40件，其中A型勞動用品購買數(shù)量不少于10件且不多于25件．該校購買這40件勞動用品至少需要多少元？（備注：A，9．（2024·河南·中考真題）為響應“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學校組織學生到郊外參加義務植樹活動，并準備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為50g

(1)若要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，應選用A，(2)運動量大的人或青少年對蛋白質(zhì)的攝入量應更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90g第一章數(shù)與式第05講一次方程（組）及其應用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01等式的性質(zhì)??題型02一元一次方程的相關(guān)概念??題型03二元一次方程的相關(guān)概念??題型04二元一次方程組的相關(guān)概念??題型05已知二元一次方程組的解求參數(shù)??題型06解一次方程（組）??題型07一元一次方程解的綜合應用??題型08與一次方程（組）有關(guān)的污染問題??題型09與一元一次方程有關(guān)的新定義問題??題型10解二元一次方程組--特殊解法??題型11解二元一次方程組--錯解復原問題??題型12解二元一次方程組--同解方程組??題型13解二元一次方程組—拓展??題型14中考最熱考法之以注重過程性學習的形式考查一次方程組??題型15列方程（組）??題型16一元一次方程的應用??題型17二元一次方程組的應用??題型18中考最熱考法之以跨學科背景考查一元一次方程的實際應用??題型19洛書??題型01等式的性質(zhì)1．（2024·吉林長春·一模）已知a=b，下列式子不一定成立的是（

）A．a(chǎn)+2=b+2 B．a(chǎn)c=bcC．a(chǎn)-1>b-2 D．a(chǎn)【答案】D【分析】本題考查了等式和不等式性質(zhì)，根據(jù)等式性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：A、a=b，a+2=b+2成立，不符合題意；B、a=b，ac=bc成立，不符合題意；C、a=b，a-1>b-2成立，不符合題意；D、當a=b=0時，a2故選：D．2．（2024·河北邯鄲·三模）天平兩邊托盤中相同形狀的物體質(zhì)量相同，且兩架天平均保持平衡，如圖，則關(guān)于“□”“?”“△”質(zhì)量的大小關(guān)系，下列說法正確的是（

）A．△最重 B．?最重 C．□最重 D．無法比較【答案】C【分析】本題主要考查了三元一次方程組的應用，根據(jù)兩個托盤的質(zhì)量相等列出方程組是解題的關(guān)鍵．設“□”“?”“△”質(zhì)量的大小分別為x，y，z，通過理解題意，可知本題的等量關(guān)系為x=2y3y=2z．即x=2y【詳解】解：設“□”“?”“△”質(zhì)量的大小分別為x，y，z，根據(jù)題意可得，x=2y解得x=2yz=∴x>z>y即“□”最重，故選：C．3．（2024·安徽亳州·三模）設a,b,c為互不相等的實數(shù)，且a=37b+A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．a(chǎn)-b=6b-c D．【答案】D【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)得到7a=3b+c，則a-c=3b-6a，據(jù)此可判斷D；例如當a=2，b=3，c=5時，滿足7a=3b+c，據(jù)此可判斷A、C；例如當【詳解】解：∵a=3∴7a=3b+c，∴a-c=3b-6a，即a-c=3b-2a例如當a=2，b=3，∴此時a-b=-1，例如當a=-1，b=2，故選：D．4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）設x、y、c是實數(shù)，正確的是（

）A．若x=y，則x+c=c-y B．若x=y，則c-x=c-yC．若x=y，則xc=yc 【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，即可一一判定．【詳解】解：A.若x=y，則x+c=y+c，故該選項錯誤，不符合題意；B.若x=y，則c-x=c-y，故該選項正確，符合題意；C.若x=y且c≠0，則xcD.若x2c=y故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握和運用等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．??題型02一元一次方程的相關(guān)概念1．（2020·浙江·模擬預測）下列各式：①-2+5=3；②3x-5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐個判斷即可【詳解】解：①不含未知數(shù)，故錯②未知數(shù)的最高次數(shù)為2，故錯③含一個未知數(shù)，次數(shù)為1，是等式且兩邊均為整式，故對④左邊不是整式，故錯⑤不是等式，故錯⑥含一個未知數(shù)，次數(shù)為1，是等式且兩邊均為整式，故對故選：B【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握并理解一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵2．（2020·吉林長春·三模）關(guān)于x的一元一次方程2xa-2-2+m=4的解為x=1，則a+mA．9 B．8 C．7 D．5【答案】C【分析】先根據(jù)一元一次方程的定義可得出a的值，再根據(jù)一元一次方程的解定義可求出m的值，然后代入求值即可．【詳解】∵方程2xa-2-2+m=4∴a-2=1，解得a=3，∴方程為2x-2+m=4，又∵x=1是方程2x-2+m=4的解，∴2×1-2+m=4，解得m=4，則a+m=3+4=7，故選：C．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義、以及解定義，掌握理解一元一次方程的定義是解題關(guān)鍵．3．（2024·廣東佛山·三模）小明做作業(yè)時發(fā)現(xiàn)方程已被墨水污染：3x+12=2x+■電話詢問老師后知道：方程的解x=1A．32 B．-32 C．1【答案】A【分析】此題考查了一元一次方程的解．設被污染的常數(shù)■是a，把x=1代入計算即可求出a的值．【詳解】解：設被污染的常數(shù)■是a，把x=1代入3x+12=2x+a解得a=3故選A．4．（2024·四川雅安·三模）已知x=2是關(guān)于x的一元一次方程m-1x+m2=1的解，則【答案】2024【分析】本題考查了方程的解和求代數(shù)式的值，先將x=2代入一元一次方程，得出m2+2m=3，再將原式整理成2042-2m2m【詳解】解：∵x=2是關(guān)于x的一元一次方程m-1x+∴2m-1整理得m2∴2042-2=2042-2=2042-6=2042-6=2042-6×3=2024．故答案為：2024．??題型03二元一次方程的相關(guān)概念1．（2022·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（

）A．xy=1 B．x2-1=0 C．x-y=1 【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得答案．【詳解】解：A．含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；B．含有1個未知數(shù)，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意；C．含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1的整式方程，屬于二元一次方程，符合題意；D．是分式方程，不屬于二元一次方程，不符合題意．故選：C．【點睛】此題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．2．（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a-b-3ya+b=2是關(guān)于x、yA．29 B．2 C．32【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解出a、b的值即可求出ab的值．【詳解】解：∵方程x2a-b-3ya+b=2∴2a-b=1解得：a=∴ab=故選：A．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的定義和解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·山東棗莊·模擬預測）若二元一次方程組x+y=33x-5y=1的解為x=ay=b，則a-b的值為【答案】1【分析】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是觀察兩方程的系數(shù)，從而求出a-b的值．把x、y的值代入方程組，再將兩式相加即可求出a-b的值．【詳解】將x=ay=b代入方程組x+y=33x-5y=1，得：①+②，得：則a-b=1，故答案為1．4．（2024·河南駐馬店·模擬預測）已知方程2x+y=0，請寫出該方程的一組解：．【答案】x=0y=0【分析】本題考查了二元一次方程的解，令x=0，求出y值即可．【詳解】解：當x=0時，y=0，故答案為：x=0y=0??題型04二元一次方程組的相關(guān)概念1．（2020·浙江杭州·模擬預測）與方程5x+2y=-9構(gòu)成的方程組，其解為x=-3y=3的是（

A．x+2y=1 B．3x+2y=-8 C．3x-4y=-8 D．5x+4y=-3【答案】D【分析】將解x=-3y=3【詳解】解：A．x=-3y=3不是方程x+2y=1B．x=-3y=3不是方程3x+2y=-8C．x=-3y=3不是方程3x-4y=-8D．x=-3y=3是方程5x+4y=-3故選：D．【點睛】本題考查二元一次方程組的解，理解二元一次方程組的解的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·貴州黔東南·模擬預測）在下列數(shù)對中：①x=2y=-2；②x=1y=0；③x=1y=-1；④x=5y=2，其中是方程x+y=0的解的是；是方程x-4y=5的解的是；既是方程x+y=0的解，又是方程x-4y=5的解的是【答案】①③③③【分析】把四組值分別代入方程x+y=0和x-4y=5，然后根據(jù)二元一次方程的解的定義進行判斷．【詳解】解：∵2+(-2)=0；1+1≠0；1+(-1)=0；5+2≠0，∴①③是方程x+y=0的解；∵當x=2，y=-2時，x-4y=2-4×(-2)=10，∴①不是方程x-4y=5的解；∵當x=1，y=0時，x-4y=1-4×0=1，∴②不是方程x-4y=5的解；∵當x=1，y=-1時，x-4y=1-4×(-1)=5，∴③是方程x-4y=5的解；∵當x=5，y=2時，x-4y=5-4×2=-3，∴④不是方程x-4y=5的解．故答案為①③；③；③．【點睛】本題考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．3．（2020·浙江杭州·模擬預測）已知關(guān)于x，y的方程組3x+5y=m+22x+3y=m，給出下列結(jié)論：①x=3y=-4是方程組的解；②m=2時，x，y的值互為相反數(shù)；③無論m的x，y都滿足的關(guān)系式x+2y=2；④x，y的都為自然數(shù)的解有2對，其中正確的為【答案】②③④【分析】先解方程組用m表示出x與y，根據(jù)方程組解的情況即可作出判斷．【詳解】解：解出方程組得x=2m-6y=4-m①由x＝3得，2m-6＝3，解得m＝92由y＝-4得，4-m＝-4，解得m＝8，∴x=3y=-4故①不正確；②若x，y的值互為相反數(shù)，2m-6+4-m＝0，解得m＝2，故②正確；③∵2m-6+2（4-m）＝2，∴無論m取何值，x，y都是滿足關(guān)系式x+2y＝2，故③正確；④∵x，y的都為自然數(shù)，∴m＝3，4，共2個，即x=0y=1，x=2故④正確；故答案為：②③④．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．??題型05已知二元一次方程組的解求參數(shù)1．（2024·廣東汕頭·一模）若關(guān)于x，y的方程組2x-y=2m-1x-2y=n的解滿足x+y=-4，則4m÷A．8 B．18 C．6 D．【答案】B【分析】本題考查二次一次方程組含參問題，熟練掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵，利用①-②得：x+y=2m-n-1，即可得到2m-n=-3，再將【詳解】解：2x-y=2m-1①-②得：∴x+y=-4，∴2m-n-1=-4，∴2m-n=-3，∴4m故選：B．2．（2023·山東聊城·模擬預測）若關(guān)于x和y的方程組5x+4y=aax+by=c無解，則（

A．5a=4c B．4a=5b C．4a=5c D．5a=4b【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據(jù)二元一次方程組無解時，即可得出a與b得關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組a1x+b【詳解】∵關(guān)于x和y的方程組5x+4y=aax+by=c∴5a∴4a=5b，故選：B．3．（2024·湖北荊州·一模）已知x=2y=1是二元一次方程組ax+by=8bx-ay=1的解，則3a-12b【答案】2【分析】本題考的是二元一次方程的解，以及立方根，解題的關(guān)鍵是求出a、b的值．先把x=2y=1代入方程組，求出a、b【詳解】解：∵x=2y=1是二元一次方程組ax+by=8∴2a+b=82b-a=1解得：a=3b=2∴3a-1∴3a-12b故答案為：2．4．（2024·甘肅·一模）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+3y=kx+2y=-1的解滿足x>y，則k的取值范圍為【答案】k>-53【分析】本題主要考查解二元一次方程組以及不等式，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)遠算法則進行計算即可．【詳解】解：∵2x+3y=kx+2y=-1∴x=2k+3∵x>y，∴2k+3>-k-2，解得k>-5故答案為：k>-55．（2023·山東濟寧·一模）已知關(guān)于x，y的方程組x+y-b=03x+y-2=0的解是x=-1y=m，則直線y=-x+b與直線y=-3x+2的交點坐標是【答案】(-1,5)【分析】將解代入方程3x+y-2=0，求得m，即得答案．【詳解】由題意知，3×(-1)+m-2=0，解得m=5，交點坐標為(-1,5)；故答案為：(-1,5)．【點睛】本題考查方程組解的定義，一次函數(shù)圖象與二元一次方程組的聯(lián)系，理解一次函數(shù)圖象交點與二元一次方程組解的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．??題型06解一次方程（組）1．（2024·四川攀枝花·模擬預測）解下列方程：(1)2x-13(2)x2【答案】(1)x=-1(2)x=3【分析】本題考查的是解一元一次方程以及二元一次飯方程，掌握方程的相關(guān)解法是解題關(guān)鍵．（1）依次去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，即可解方程；（2）利用加減消元法，即可解方程．【詳解】（1）解：2x-1去分母得：2(2x-1)-(5x+2)=3(1-2x)-12，去括號得：4x-2-5x-2=3-6x-12，移項得：4x-5x+6x=3-12+2+2，合并同類項得：5x=-5，系數(shù)化為1得：x=-1；（2）解：x由①得：3x-2y=8③，②+③得，6x=18，解得x=3，②-③得，4y=2，解得y=1∴方程組的解是x=3y=2．（2024·廣東·模擬預測）解方程組：(1)2x+y=-5(2)x-2【答案】(1)x=-1(2)x=【分析】本題考查了解二元一次方程組．（1）利用加減消元法進行計算即可；（2）先將方程組整理成一般式，再利用加減消元法求解可得．【詳解】（1）解：2x+y=-5①①×5+②，解得x=-1，把x=-1代入①，-2+y=-5，解得y=∴原方程組的解是x=-1y=-3（2）解：x-22化簡方程組可得，3x+2y=22①①+②得，解得x=9將x=92代入②，得∴方程組的解為x=9??題型07一元一次方程解的綜合應用1．（2023·河北石家莊·一模）已知P=A?B-C，(1)若A=-20，B=-13以下是佳佳同學的計算過程：P=第一步=1×3-第二步=3+5第三步=8上面的計算過程有錯誤嗎？如果有，請你指出是第幾步錯誤，并求出正確的P值；(2)若A=3，B=2x，C=2x+1，當x為何值時，P的值為7【答案】(1)第一步，-8(2)x=2【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，開平方，按照計算法則計算即可解答；（2）列方程，解出即可解答．【詳解】（1）解：第一步，P==1×=-3-5=-8；（2）解：當A=3，B=2x，C=2x+1時，P=3?2x-2x+1解得：x=2．【點睛】本題考查了零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，開平方，解一元一次方程，熟知計算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江金華·一模）如圖是一道關(guān)于整式運算的例題及正確的解答過程，其中A，B是兩個關(guān)于x的二項式．【例題】先去括號，再合并同類項：2解：原式=4x-6-9x-15=________________(1)二項式A為_______，二項式B為_______．(2)當x為何值時，A與B的值相等？【答案】(1)2x-3，3x+5(2)x=-8【分析】本題考查了整式的加減，解一元一次方程，掌握整式的加減運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意添括號，即可求解；（2）根據(jù)題意，列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵2=4x-6-9x-15=2∴A=2x-3,B=3x+5；（2）解：依題意，2x-3=3x+5，解得：x=-8．3．（2024·河北保定·三模）把式子-4x+3記作P，式子x-6記作Q，(1)當x=-3時，P=______，Q=______；(2)若P，Q的值互為相反數(shù)，求x．【答案】(1)15；-9(2)x=-【分析】本題考查了解一元一次方程，相反數(shù)的定義及代數(shù)式求值．（1）將x=-3分別代入-4x+3和x-6計算即可；（2）根據(jù)題意，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，當x=-3時，P=-4×-3+3=15，（2）解：根據(jù)題意，則-4x+3+即-4x+x=6-3解得：x=-14．（2022·河北廊坊·二模）如圖，在數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)分別為－2，1，P為A點左側(cè)上的一點，它表示的數(shù)為x．(1)用含x的代數(shù)式表示PB+PA2(2)若以PO，PA，AB的長為邊長能構(gòu)成等腰三角形，請求出符合條件的x的值．【答案】(1)-1-2x(2)x=-3或x=-5【分析】（1）將PA、PB表示出來，代入PA+PB2（2）將PO，PA，AB的長分別用x表示出來，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程，即可求得?！驹斀狻浚?）解：∵PB=1-x，PA=-2-x，∴PA+PB（2）解：PA=-2-x，PO=-x，AB=3,若以PO，PA，AB的長為邊長能構(gòu)成等腰三角形，則當PO=PA時，即-x=-2-x，方程無解，故不符合題意；當PO=AB時，即-x=3，解得x=-3，則三邊分別為3，3，1，滿足條件；當AB=PA時，即3=-2-x，解得x=-5，則三邊分別為3，3，5，滿足條件；滿足條件的值為：x=-3或x=-5．【點睛】本題主要考查列代數(shù)式，數(shù)軸上兩點間距離、等腰三角形的性質(zhì)，解一元一次方程，根據(jù)條件列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．??題型08與一次方程（組）有關(guān)的污染問題1．（2022·河北保定·一模）對于題目：“若方程組x-y=p2x+y=0的解為x=1y=a，且整式A=a-3小明化簡求值時，將系數(shù)□看錯了，他求的A的值為0；小宇求的結(jié)果，與題的正確答案一樣，A的值為6．(1)小明將系數(shù)□看成的數(shù)是多少？(2)化簡整式A．【答案】(1)小明將系數(shù)□看成的數(shù)是-1(2)A=【分析】（1）先求出a=-2p=3，設小明將系數(shù)□看成了m，則A=a2+m+1a-4，根據(jù)小明求的（2）設正確的□為n，則A=a2+n+1a-4，根據(jù)小宇求的A【詳解】（1）解：∵方程組x-y=p2x+y=0的解為∴1-a=p2+a=0，解得a=-2設小明將系數(shù)□看成了m，則A=a-3∵小明求的A的值為0，∴-22解得：m=-1，即小明將系數(shù)□看成的數(shù)是-1；（2）設正確的□為n，則A=a-3∵小宇求的A的值為6∴-22+n+1∴A=a【點睛】此題考查了二元一次方程組的解、一元一次方程的應用、整式的加減等知識，熟練掌握一元一次方程的的解法和整式的加減法則是解題的關(guān)鍵2．（2022·浙江杭州·中考真題）計算：-6×(1)如果被污染的數(shù)字是12，請計算-6(2)如果計算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．【答案】(1)-9(2)3【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)混合運算法則計算即可；（2）設被污染的數(shù)字為x，由題意，得-6×【詳解】（1）解：-6×23（2）設被污染的數(shù)字為x，由題意，得-6×23所以被污染的數(shù)字是3．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算、一元一次方程的應用，掌握相關(guān)運算法則和步驟是接替的關(guān)鍵．3（2022·河北邯鄲·三模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程3x-12+＝3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)被污染了；(1)嘉淇猜是2，請解一元一次方程3x-12+2=3(2)若老師告訴嘉淇這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？【答案】(1)x=1(2)2【分析】（1）由題意得方程3x-12（2）設被污染的正整數(shù)為m，得方程3x-12+m=3，求解得【詳解】（1）解：3x-12去分母，得3x-1+4=6；移項，合并同類項，得3x=3；系數(shù)化為1，得x=1．（2）解：設被污染的正整數(shù)為m，則有3x-12解之得，x=7-2m∵7-2m3是正整數(shù)，且m∴m=2．【點睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．4（2022·河北保定·一模）已知整式a2-2ab-■ab-4(1)則■所表示的數(shù)字是多少？(2)小紅說該代數(shù)式的值是非負數(shù)，你認為小紅的說法對嗎？說明理由．【答案】(1)■所表示的數(shù)字是2；(2)小紅的說法是正確的，理由見解析.【分析】（1）直接把a=-2，b=1代入代數(shù)式其值等于16，解關(guān)于■方程即可；（2）把（1）求得的■的結(jié)果代入代數(shù)式整理即可求解．【詳解】（1）（1）將a=-2，b=1代入a2可得4+4-(■×(-2)-4)=16，解得（2）（2）由（1）求得的結(jié)果可得該整式為，a2故小紅的說法是正確的．【點睛】本題考查了代數(shù)式的化簡求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解題的關(guān)鍵．??題型09與一元一次方程有關(guān)的新定義問題1．（2022·河北石家莊·三模）若兩個有理數(shù)A、B滿足A+B=8，則稱A、B互為“吉祥數(shù)”．如5和3就是一對“吉祥數(shù)”．回答下列問題：(1)求-5的“吉祥數(shù)”；(2)若3x的“吉祥數(shù)”是-4，求x的值；(3)x和9能否互為“吉祥數(shù)”？若能，請求出；若不能，請說明理由．【答案】(1)13(2)x=4(3)不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)由“吉祥數(shù)”的定義求解即可；（2）由題意知3x-4=8，計算求解即可；（3）依題意，x+9=-8【詳解】（1）解：由“吉祥數(shù)”的定義可知-5的“吉祥數(shù)”為8--5（2）解：由題意知3x-4=8解得x=4∴x的值為4．（3）解：若|x|和9互為“吉祥數(shù)”，則有x∵x∴x∴|x|和9不能互為“吉祥數(shù)”．【點睛】本題考查了新定義下的實數(shù)運算，解一元一次方程，絕對值的非負性等知識．解題的關(guān)鍵在于對新定義的理解．2．（2023·河北滄州·模擬預測）定義新運算：對于任意實數(shù)m、n都有m☆n=mn-3n，例如(1)x☆2>4，求(2)若x☆-1(3)若方程x☆□=x-6，□中是一個常數(shù)，且此方程的一個解為【答案】(1)x>5(2)x=-9(3)5【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式進行計算即可；（2）根據(jù)題意列出方程進行計算即可；（3）設□中的常數(shù)為y，根據(jù)題意列出關(guān)于y的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵x☆∴2x-3×2>4，解得：x>5．（2）解：∵x☆∴-1解得：x=-9．（3）解：設□中的常數(shù)為y，根據(jù)題意得：xy-3y=x-6，∵此方程的一個解為x=1，∴y-3y=1-6，解得：y=5【點睛】本題主要考查了新定義運算，解不等式，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意列出相應的不等式或方程．3．（2024浦口區(qū)模擬）閱讀下列材料：讓我們來規(guī)定一種運算：ac

bd=ad-bc，例如：23

41(1)-24

-5(2)當x1

1-x2=0(3)將下面式子進行因式分解：x2-2x【答案】(1)14(2)1(3)x+1【分析】（1）先按新運算的規(guī)定方法計算，再作有理數(shù)的混合運算；（2）先按新運算的規(guī)定方法展開等號左邊，再解方程即可；（3）先按新運算的規(guī)定方法展開，再把x2-2x看作一個整體展開【詳解】（1）原式=(-2)×3-(-5)×4=-6+20=14，故答案為：14；（2）由題意得，2×x-(1-x)×1=0，解得：；（3）原式=(==(=x+1【點睛】本題主要考查了定義新運算，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義，有理數(shù)的運算，整式的運算，解方程，換元法，因式分解．??題型10解二元一次方程組--特殊解法1．（2024·山東煙臺·一模）閱讀下列解方程的解法，然后解決有關(guān)問題.解方程組19x+18y=17??解：(1)-(2)，得2x+2y=2，即x+y=1(3).(3)×16，得16x+16y=16(4).(2)-(4)，得x=把x=-1代入(3)得-1+y=1所以原方程組的解是x=-1y=2以上解法的技巧是根據(jù)方程的特點構(gòu)造了方程(3)，我們把這種解法稱為構(gòu)造法，請你用構(gòu)造法解方程組7x+11y=913x+17y=21【答案】x=【分析】本題考查了解二元一次方程組，②-①得出6x+6y=12，求出x+y=2③，①-③×7求出y=-54，把y=-5【詳解】解：7x+11y=9②-①得：6x+6y=12，即：x+y=2③，①-③×7得：4y=-5，解得：y=-5把y=-54代入③得：所以原方程組的解為：x=132．（2024·山西大同·模擬預測）閱讀下列材料，并完成相應的任務．換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量，變量求出結(jié)果之后，返回去求原變量的結(jié)果，換元法是數(shù)學中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數(shù)學問題，若能根據(jù)問題的特點進行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，下面以一個例題來說明．例1：計算：20163解：設2016=x，則原式=x請你利用上述方法解答下列問題：(1)計算：123456789×123456786-123456788×123456787；(2)已知方程組2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，則方程組2x+2【答案】(1)-2(2)x=6.3【分析】本題考查了換元法解復雜式子以及二元一次方程組，整式的乘法運算，解決本題（2）的關(guān)鍵是先求(x+2)、(y-1)的解，再求x、y的值．（1）仿照例題的思路，設123456786=x，分別表示原式=(x+3)?x-(x+2)(x+1)，然后進行整式乘法運算即可；（2）根據(jù)加減法，可得(x+2)、(y-1)的解，再根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）解：依題意，設123456786=x，123456789×123456786-123456788×123456787=(x+3)?x-(x+2)(x+1)===-2（2）解：∵方程組2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3同理∴方程組2(x+2)-3(y-1)=133(x+2)+5(y-1)=30.9中∴x=6.33．（2024·廣東珠?！と＃╅喿x下面材料，并完成相應的學習任務.“整體思想”是數(shù)學解題中的一種重要思想方法，數(shù)學課上，張老師給出了一個問題：已知實數(shù)m，n滿足m+n-2=0①4m+n+n=5②小真：利用消元法解方程組，分別求出m，n的值后，再代入m+n和2m-n即可.小善：由①，得m+n=2，③將③代入②，得4×2+n=5，解得n=-3，把n=-3代入③，解得m=5，所以原方程組的解為m=5張老師對兩位同學的講解進行點評，指出小善同學的思路體現(xiàn)了數(shù)學中的“整體思想”的運用，請你參考小善同學的做法，完成以下兩個任務.(1)任務一：解方程組2a-3b-5=0(2)任務二：在（1）的前提下取a，b的值，若拋物線y=ax2+bx+c【答案】(1)a=1(2)y=【分析】本題主要考查了解二元一次方程組、拋物線與x軸交點問題、一元二次方程根的判別式等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.（1）直接運用整體代入消元法解答即可；（2）先將a=1b=-1代入y=ax2【詳解】（1）解：2a-3b-5=0由①得2a-3b=5③將③代入②，得1+b=0，解得b=-1，將b=-1代入③，解得a=1，所以原方程組的解為a=1b=-1（2）解：將a=1b=-1代入y=ax∵拋物線與x軸有唯一的交點，∴Δ=(-1)∴拋物線的解析式為y=x4．（2024煙臺市模擬）［閱讀理解]在解方程組或求代數(shù)式的值時，可以用整體代入或整體求值的方法，化繁為簡．（1）解方程組x+2x+y解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1，把x=1代入②得y=0，所以方程組的解為x=1y=0（2）已知x+3y+5z=30①9x+7y+5z=10②解：①+②，得③÷10，得x+y+z=4［類比遷移]（1）求方程組3a-b（2）若6x+5y+z=82x+y-3z=4求x+y+z【答案】（1）a=5b=3；（2）【分析】（1）根據(jù)題干給出的方法解二元一次方程組即可；（2）利用整體的思想求出x+y+z=1即可．【詳解】（1）3a-b得3×2+4=2a，解得a=5．把a=5代入②，得b=3∴方程組的解為a=5b=3（2）6x+5y+z=8①①-②得：∴x+y+z=1．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解方程組的方法，準確計算，注意整體思想．??題型11解二元一次方程組--錯解復原問題1．（2024周口市三模）解方程組ax+by=2cx-7y=8時，一學生把c看錯而得到x=-2,y=2,而正確的解是x=3,y=-2,那么【答案】11【分析】將錯誤的解和正確的解分別代入方程組，得出b-a=1和3a-2b=2，c=-2，聯(lián)立關(guān)于a,b的方程組，解得a,b的值，即可得解.【詳解】將x=-2,y=2,代入方程組，得b-a=1將x=3,y=-2,代入方程組，得3a-2b=2②，①②聯(lián)立，得b-a=1解得a=4∴a+b-c=4+5+2=11故答案為：11.【點睛】此題主要考查利用二元一次方程組的解求參數(shù)的值，熟練掌握，即可解題.2．（2021·廣東汕頭·一模）甲、乙兩人同解方程組ax+5y=15①4x-by=-10②，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=-3y=1乙看錯了方程②中的b（1）求a，b的值；（2）若關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+m=0兩實數(shù)根為x1，x2【答案】（1）a=7b=-2；（2）【分析】（1）將x=-3y=1代入方程②求出b的值，將x=5y=-4代入方程①求得（2）再將a，b的值代入ax2-bx+m=0中，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到方程組，解出兩個根，即可得出【詳解】解：（1）根據(jù)題意得5a+5×-4=15（2）當a=7b=-2時，一元二次方程ax2由根與系數(shù)關(guān)系得x1+聯(lián)成方程組得x1+∴m=-5【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解和解二元一次方程組，一元二次方程以及根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．??題型12解二元一次方程組--同解方程組1．（2024·湖南長沙·一模）已知方程組2x-y=7x+y=a和方程組x-y=b3x+y=8有相同的解，求a，【答案】a=2，b=4【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法和步驟是解題關(guān)鍵．利用加減消元法解方程組2x-y=73x+y=8得到x、y的值，再把x、y【詳解】解：根據(jù)題意，可有2x-y=7①①+②，可得5x=15，解得x=3，x=3把代入①，可得2×3-y=7，解得y=-1，∴該方程組的解為x=3y=-1∵方程組2x-y=7x+y=a和方程組x-y=b∴a=3+-1=2，2．（2024·廣東江門·一模）已知方程組5x-2y=3mx+5y=4與x-4y=-3(1)求m和n值，(2)已知△ABC的兩邊AB，AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2m-7x-3n=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC【答案】(1)m=-1(2)S【分析】本題主要考查了同解方程組，解一元二次方程，解二元一次方程組，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同解方程組的定義，求出m、n的值．（1）解方程組5x-2y=3x-4y=-3得x=1y=1，根據(jù)同解方程組，得出方程組mx+5y=45x+ny=1的解為x=1y=1，代入求出（2）把m=-1n=-4代入x2m-7x-3n=0得出x2【詳解】（1）解：由方程組5x-2y=3x-4y=-3得：x=1∵方程組5x-2y=3mx+5y=4與x-4y=-3∴方程組mx+5y=45x+ny=1的解為x=1∴m+5=45+n=1解得：m=-1n=-4（2）解：把m=-1n=-4代入關(guān)于x的一元二次方程x2m解得：x1=3，∴△ABC的兩邊長分別為3，4，∵第三邊BC的長為5，又∵32∴△ABC為直角三角形，∴S△ABC??題型13解二元一次方程組—拓展1．（2024·福建龍巖·模擬預測）閱讀素材并解決問題．設而不求材料“設而不求”法又叫“增設輔助未知量法”或“設參法”