中考數(shù)學(xué)-幾何熱考題（三） 四邊形熱考模型(5種類型19種模型詳解+專題訓(xùn)練)(含答案)

Page第五章四邊形重難點09幾何熱考題三四邊形熱考模型（5種類型19種模型詳解+專題訓(xùn)練）【題型匯總】題型01中點四邊形模型【基礎(chǔ)模型】已知點E、F、G、H分別為任意四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點，則①四邊形EFGH是平行四邊形②CEFGH=AC+BD③【名師總結(jié)】1）順次連接任意四邊形各邊中點所組成的四邊形是矩形.2）順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所組成的四邊形是矩形.3）順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是菱形.4）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是正方形.速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.1．（2024·山西·中考真題）在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，EG，F(xiàn)H交于點O．若四邊形ABCD的對角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為()A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等2．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1BA．a(chǎn)b2n B．a(chǎn)b2n?1 C．3．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD互相垂直，AC=4，BD=6，則AD+BC的最小值是．

4．（2024·云南·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是各邊的中點，且AB∥CD，AD∥(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若矩形EFGH的周長為22，四邊形ABCD的面積為10，求AB的長．5．（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD，DA的中點，順次連接E,F,G,H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點P,Q，過點D作DM⊥AC于點M，交HG于點N．∵H,G分別為AD,CD的中點，∴HG∥AC,HG=1

∴DNNM=DGGC．∵DG=GC∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據(jù)2）∴S?HPQG∵S△ADC=1任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,BD長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

6．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）綜合與實踐順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究．【探究一】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點．求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形．證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，∴EF、GH分別是△ABC和△ACD的中位線，∴EF=12AC，GH=同理可得：EH=FG．∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．（1）請你補(bǔ)全上述過程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形AC=BD菱形從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【探究三】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形AC⊥BD②________（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【歸納總結(jié)】（5）請你根據(jù)上述探究過程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形．原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．

題型02垂美四邊形模型已知四邊形中AC⊥BD如圖，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點，連接AP、BP如圖，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點，連接AP、BP，CP，DP圖示結(jié)論S四邊形ABCD=12?AC7．（2020·四川雅安·中考真題）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=2，BC=4，則AB28．（2024·山東泰安·二模）小明學(xué)習(xí)了四邊形后，對有特殊性質(zhì)的四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)了這樣一類特殊的四邊形：兩條對角線互相垂直的四邊形，叫做垂美四邊形，如圖：已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，對角線AC=4，BD=6，設(shè)S=AD+BC，則S的最小值等于．9．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．猜想：AB2+C（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE10．（2023·江蘇常州·二模）【知識感知】：我們把對角絲互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”如圖1所示．【概念理解】：①在下列四邊形中，①正方形；②矩形：③菱形；④平行四邊形，是垂美四邊形的是；②三邊長為2的垂美四邊形周長為．【性質(zhì)探索】：若記垂美四邊形ABCD面積為S，試直接寫出S與AC、BD之間的關(guān)系；【性質(zhì)應(yīng)用】：嘗試用兩個全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△BED）如圖2擺放，其中B、C、E在一條直線上，若假設(shè)直角三角形三邊長為x，y，z11．（2024·浙江杭州·三模）（1）認(rèn)識研究對象：如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形②菱形③矩形④正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是．（2）探索研究方法：如圖1．已知四邊形ABCD是垂美四邊形，求證：AB（3）嘗試問題解決：已知AB=52，BC=42，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE①如圖2，當(dāng)∠ACB=90°，連接DE，求DE的長；②如圖3．當(dāng)∠ACB≠90°，點G、H分別是AD、AC中點，連接GH．若GH=26，求S12．（2023·江蘇徐州·中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c．求證：BO【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點P在邊AD上，則PB2+P題型03正方形熱考模型1）十字架模型【基礎(chǔ)模型-兩邊過頂點】使用場景：在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，AE與BO相交于點O,互相推導(dǎo)①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF圖示：大招結(jié)論：相等則垂直，垂直則相等.【模型進(jìn)階-一邊過頂點】條件：在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是BC，AB，DC上的點，AE與FG相交于點O,圖示：結(jié)論：正方形十字模型中，構(gòu)成“十”字形的兩條線段，知垂直推相等，知相等推垂直.【模型進(jìn)階-兩邊均不過頂點】圖示：結(jié)論：正方形十字模型中，構(gòu)成“十”字形的兩條線段，知垂直推相等，知相等推垂直.【易錯點】以上結(jié)論成立的條件是:四點必須位于四邊，否則不成立.類型矩形的十字架模型（兩邊過頂點）矩形的十字架模型（兩邊不過頂點）條件在矩形ABCD中，E是AD上的點,CE⊥BD交于點O在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BC，AB，CD上的點,EF⊥GH交于點O,圖示結(jié)論△CDE∽△BCD△EMF∽△GNH①正方形兩邊過頂點13．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=12，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點G，若BE=CF=5，則BG的長為．14．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，正方形ABCD中，點M，N分別在AB，BC上，且BM=CN，AN與DM相交于點P．

(1)求證：△ABN≌△DAM；(2)求∠APM的大?。?5．（2023·山東·中考真題）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．

【問題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF，延長BC到點H，使CH=DE，連接DH．求證：∠ADF=∠H．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的長．②正方形一邊過頂點16．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段FC的長為

17．（2022·貴州貴陽·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點，連接BE，BE的垂直平分線交AB于點M，交CD于點N，垂足為O，點F在DC上，且MF∥(1)求證：△ABE≌△FMN；(2)若AB=8，AE=6，求ON的長．18．（2024·河南·一模）綜合與實踐數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，已知AE⊥BF，求證：AE=BF．

甲小組同學(xué)的證明思路如下：由同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE．再由AB=DA，∠BAF=∠D=90°，證得△ABF≌△DAE（依據(jù)：________），從而得AE=BF．乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知AE=BF，同樣可證得AE⊥BF，證明思路如下：由AB=DA，BF=AE可證得Rt△ABF≌Rt△DAEHL，可得完成任務(wù)：（1）填空：上述材料中的依據(jù)是________（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）【發(fā)現(xiàn)問題】同學(xué)們通過交流后發(fā)現(xiàn)，已知AE⊥BF可證得AE=BF，已知AE=BF同樣可證得AE⊥BF，為了驗證這個結(jié)論是否具有一般性，又進(jìn)行了如下探究．【遷移探究】（2）在正方形ABCD中，點E在CD上，點M，N分別在AD,BC上，連接AE,MN交于點P．甲小組同學(xué)根據(jù)MN⊥AE畫出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)MN=AE畫出圖形如圖3所示．甲小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知MN⊥AE仍能證明MN=AE，乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知MN=AE無法證明MN⊥AE一定成立．①在圖2中，已知MN⊥AE，求證：MN=AE；②在圖3中，若∠DAE=α，則∠APM的度數(shù)為多少?【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在正方形ABCD中，AB=3，點E在邊AB上，點M在邊AD上，且AE=AM=1，點F，N分別在直線CD，BC上，若EF=MN，當(dāng)直線EF與直線MN所夾較小角的度數(shù)為30°時，請直接寫出19．（2024·山西·模擬預(yù)測）閱讀與思考下面是小逸同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．用“平移法”解答幾何問題解答幾何問題常常需要添輔助線，其中平移圖形是重要的添輔助線的策略．如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是BC，AB，CD上的點，F(xiàn)G⊥AE于點Q．求證：AE=FG．

圖1小逸在分析解題思路時想到了兩種平移法：方法一：平移線段FG使點F與點B重合，構(gòu)造全等三角形．如圖2，平移線段FG至BH交AE于點K，由平移的性質(zhì)得FG∥

圖2∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥∴四邊形BFGH是平行四邊形（依據(jù)1），∴BH=FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE=90°，∴∠KBE+∠BEK=90°，∵∠BEK+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBH，在△ABE和△BCH中，∠BAE=∠CBHAB=BC∠ABE=∠C，∴∴AE=BH（依據(jù)2），∴AE=FG．方法二：如圖3，平移線段BC至FH交AE于點P，則四邊形BCHF是矩形，

圖3∴BC∥FH，BC=FH，∠FHG=90°，∴∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=90°，∴AB=FH，∠ABE=∠FHG，∵FG⊥AE，…

圖4任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指___________________，依據(jù)2________________．(2)補(bǔ)全材料中方法二的剩余證明過程．(3)如圖4，在正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D為格點（網(wǎng)格線的交點），AB交CD于點O．則tan∠AOC=③正方形兩邊均不過頂點20．（23-24八年級下·江蘇泰州·期中）閱讀與思考：下面是小姜同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：正方形中相等的線段如圖1，在正方形ABCD中，如果點E、F分別在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足為M，那么AE與BF相等嗎？證明你的結(jié)論．對于上面的問題，我是這樣思考的：（1）：______．反思1：對于兩個端點分別在正方形ABCD一組對邊上的線段，若這樣的兩條線段互相垂直，那么這兩條線段是否仍然相等呢？對此可以做進(jìn)一步探究：如圖2，在正方形ABCD中，如果點E、F、G、H分別在BC、AD、AB、CD上，且EF⊥GH，垂足為M，那么EF與GH相等嗎？證明你的結(jié)論．（2）：______．反思2：對于兩個端點分別在正方形ABCD一組對邊上的線段，若這樣的兩條線段相等，那么這兩條線段是否一定垂直呢？對此可以畫圖說明：如圖3，在正方形ABCD中，如果點E、F、G、H分別在BC、AD、AB、CD上，且EF=GH，那么EF與GH垂直嗎？證明你的結(jié)論．（3）：______．任務(wù)：(1)完成筆記中的“我是這樣思考的”；(2)回答筆記中反思1的問題，并證明；(3)回答筆記中反思2的問題，在圖3中畫圖并簡要說明．④矩形兩邊均不過頂點（含一邊過頂點）21．（2023·山東日照·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點P在對角線BD上，過點P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點M，N，過點M作ME⊥AD交BD于點E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)

22．（2023·河南·三模）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

(1)操作判斷如圖1，正方形紙片ABCD，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中BE與CF的數(shù)量關(guān)系：______．(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片ABCD中，AB:AD=m:n，在邊BC上任意取一點E，連接AE，過點B作BF⊥AE于點G，與邊CD交于點F，請求出BECF(3)拓展應(yīng)用如圖3，已知正方形紙片ABCD的邊長為2，動點E由點A向終點D做勻速運(yùn)動，動點F由點D向終點C做勻速運(yùn)動，動點E、F同時開始運(yùn)動，且速度相同，連接AF、BE，交于點G，連接GD，則線段GD長度的最小值為______，點G的運(yùn)動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）

23．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，求EGFH【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=45°，AB=322BC，點E，F(xiàn)分別在線段AB，【拓展提高】（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點E為AD上一點，過點E作FG垂直CD交AB于點F，交CD的延長線于點G．若AF=2，BF=3，CD=7，求AE的長．24．（2024·山東泰安·中考真題）綜合與實踐為了研究折紙過程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒樱咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點B的對應(yīng)點G恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，將紙片展平，連結(jié)BG，EF與BG相交于點H．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即EFBG【拓展延伸】（2）同學(xué)們對老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點A的對應(yīng)點G，點C的對應(yīng)點H都落在對角線BD上，折痕分別是BE和DF，將紙片展平，連結(jié)EG，F(xiàn)H，F(xiàn)G，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG∥CD，那么點G恰好是對角線BD的一個“黃金分劇點”，即BG25．（23-24九年級上·貴州貴陽·期末）如圖①，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB、BC上，DF⊥CE于點O，點G，H分別在邊AD、BC上，GH⊥CE．(1)問題解決：①寫出DF與CE的數(shù)量關(guān)系：；②GHCE的值為(2)類比探究，如圖②，在矩形ABCD中，ABBC=k（k為常數(shù)），將矩形ABCD沿GH折疊，使點C落在AB邊上的點E處，得到四邊形EFGH交AD于點P，連接CE交GH于點O．試探究GH與(3)拓展應(yīng)用，如圖③，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=6，AD=CD=4，BF⊥CE，點E、F分別在邊AB、AD上，求CEBF2）半角模型【模型介紹】從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連結(jié)它們與該頂點的兩對邊的交點構(gòu)成的基本平面幾何模型.已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點，∠EAF=45°，AE、AF分別與BD相交于點O、P，則：①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C?CEF=2倍正方形邊長④S?ABE+S?ADF=S?AEF⑤AB=AG=AD（過點A作AG⊥EF，垂足為點G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若點E為BC中點，則點F為CD三等分點⑧?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA⑨ABEP四點共圓、AOFD四點共圓、OECFP五點共圓⑩?APE、?AOF為等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S?AEF=2S?APO(13)AB2=BP×OD(14)CE?CF=2BE?DF(15)?EPC為等腰三角形(16)PX=BX+DP(過點E作EX⊥BD，垂足為點X)證明：①思路：延長CD到點M，使DM=BE，連接AM先根據(jù)已知條件?ABE≌?ADM(SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM而∠BAE+∠FAD=45°，所以∠DAM+∠FAD=45°，可證明?AEF≌?AMF(SAS)，由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF②思路：∵?AEF≌?AMF(SAS)∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF∴AF平分∠DFE又∵∠AMF=∠AEB∴∠AEB=∠AEF∴AE平分∠BEF③思路：C?CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+EC）+（DF+FC）=BC+DC=2BC④、⑤思路：過點A作AG⊥EF，垂足為點G根據(jù)②證明過程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG因此可以證明:?ABE≌?AGE(AAS),?AGF≌?ADF(AAS)所以AB=AG=AD，S?ABE=S?AGE，S?AGF=S?ADF則S?AEF=S?AGE+S?AGF=S?ABE+S?ADF⑥思路：繞點A將?APD逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到?ANB,使AD，AB重合因為?APD≌?ANB(AAS)所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN因為∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°因為∠BAE+∠PAD=45°所以∠NAB+∠BAE=45°則?ANO≌?APO(SAS)所以NO=OP在Rt?NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2，則OP2=OB2+OD2⑦思路：已知tan∠EAB=BEAB=12，且∴tan∠FAD=13（“12345型”），∴DF:AD=1:3，即點F為⑧思路：假設(shè)∠AEF的度數(shù)為α，∠AFE的度數(shù)為β.在右圖中已知表示45°角，表示角的度數(shù)為α，表示角的度數(shù)為β所以?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA⑨、⑩思路：1）∵∠EAP=∠EBO=45°，∴ABEP四點共圓∵∠EBA=90°，∴AE為直徑，∴∠APE=90°則AP⊥PE∴∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=45°∴?APE為等腰直角三角形2）同理AOFD四點共圓，∵∠ADF=90°，∴AF為直徑，∴∠AOF=90°則AO⊥OF∴∠AFO=180°-∠AOF-∠OAF=45°∴?AOF為等腰直角三角形3)∵∠EOF=∠EPF=∠ECF=90°，∴OECFP五點共圓(11)思路：∵?APO∽?AEF∴AEAP=EFOP,假設(shè)AP長為1，則AE=2,∴(12)思路：?APO∽?AEF相似比為22，則面積的比為12，S?AEF=2S(13)思路：∵?ABP∽?ODA∴ABOD=BPAD,∴AB×AD=BP×OD則AB2(14)思路：假設(shè)正方形的邊長為m，BE長為a，DF長為b，則EF長為a+b根據(jù)勾股定理可得EC2+FC2=EF2,則(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2化簡得(m-a)(m-b)=2ab所以CE?CF=2BE?DF(15)思路：根據(jù)⑩證明過程可知?APE為等腰直角三角形，所以AP=PE再證明?ADP≌?CDP(SAS)，所以AP=PC，則PE=PC所以?EPC為等腰三角形(16)思路：過點E作EX⊥BD，垂足為點X,過點A作AY⊥BD，垂足為點Y，連接PE先證明?APY≌?PEX(AAS)(“一線三垂直模型”)，所以AY=PX∵AY=12BD,∴PX=12BD①半角模型26．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若∠MAN=45°，則MN的最小值為．27．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點（點E不與點B，C重合），且∠EAF=45°．(1)當(dāng)BE=DF時，求證：AE=AF；(2)猜想BE，EF，DF三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖2，連接AC，G是CB延長線上一點，GH⊥AE，垂足為K，交AC于點H且GH=AE．若DF=a，CH=b，請用含a，b的代數(shù)式表示EF的長．28．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉(zhuǎn)三角尺時，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD，AB所在直線分別相交于點M，N，連接MN，可得△CMN．

【探究一】如圖②，把△CDM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，同時得到點H在直線AB上．求證：∠CNM=∠CNH；【探究二】在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點E，F(xiàn)．求證：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線BD與三角尺45°角兩邊CM，CN分別交于點E，F(xiàn)．連接AC交BD于點O，求EFNM29．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E在邊BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的長．解：如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD'，連接

由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△DAD=AD'，∠DAE=∠D∴___①___．∴DE=D又∵∠ECD∴在Rt△ECD'∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點．探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明．

【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、EF、DF的數(shù)量關(guān)系：______（直接寫出結(jié)論，不必證明）．

【問題再探】如圖5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點D、E在邊AC上，且∠DBE=45°．設(shè)AD=x，CE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

30．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以四邊形為背景，探究非動點的幾何問題．若四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD，BC上，且(1)【初步嘗試】如圖1，將△ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，得到△ABE，連接MN．用等式寫出線段DM，(2)【類比探究】小啟改變點的位置后，進(jìn)一步探究：如圖2，點M，N分別在正方形ABCD的邊CD，BC的延長線上，∠MAN=45°，連接MN，用等式寫出線段(3)【拓展延伸】李老師提出新的探究方向：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，點N，M分別在邊BC，CD上，∠MAN=60°，用等式寫出線段31．（2024·山東東營·模擬預(yù)測）【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN=45°．(1)將△AMD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點B重合，得到△ABE．從而可得：DM+BN=MN．請說明理由．(2)【實踐探究】在圖①條件下，若CN=6，CM=8，則正方形ABCD的邊長是(3)如圖②，在正方形ABCD中，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=13，求證：M(4)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=4，則32．（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實踐活動課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片ABCD，得到折痕AC，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊AD上選一點E，沿BE折疊，使點A落在正方形內(nèi)部，得到折痕BE；操作三：如圖③，在邊CD上選一點F，沿BF折疊，使邊BC與邊BA重合，得到折痕BF把正方形紙片展平，得圖④，折痕BE、BF與AC的交點分別為G、H．根據(jù)以上操作，得∠EBF=________°．【探究證明】（1）如圖⑤，連接GF，試判斷△BFG的形狀并證明；（2）如圖⑥，連接EF，過點G作CD的垂線，分別交AB、CD、EF于點P、Q、M．求證：EM=MF．【深入研究】若AGAC=1k，請求出②與半角模型有關(guān)的多結(jié)論問題33．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點H在AD邊上（不與點A、D重合），∠BHF=90°，HF交正方形外角的平分線DF于點F，連接AC交BH于點M，連接BF交AC于點G，交CD于點N，連接BD．則下列結(jié)論：①∠HBF=45°；②點G是BF的中點；③若點H是AD的中點，則sin∠NBC=1010；④BN=2BM；⑤若AH=A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤34．（2021·湖北黃石·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交BD于M點，AF交BD于N點．（1）若正方形的邊長為2，則△CEF的周長是．（2）下列結(jié)論：①BM2+DN2=MN2；②若F是CD的中點，則35．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的動點（不與端點重合），連接BE，BF，分別交對角線AC于點P，Q．點E，F(xiàn)在運(yùn)動過程中，始終保持∠EBF=45°，連接EF，PF，PD．以下結(jié)論：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPF為等腰直角三角形；⑤若過點B作BH⊥EF，垂足為H，連接DH，則DH的最小值為22?2．其中所有正確結(jié)論的序號是3)風(fēng)車模型使用場景：已知正方形ABCD，點O是對角線的交點，∠MON=90°圖示：大招結(jié)論：1)△OAE≌△OBF，△OBE≌△OCF2)BE+BF=AE+FC=AB3)△EOF為等腰直角三角形4)5)6)(當(dāng)OE⊥AB時OE取最小值)36．（2023·湖北襄陽·中考真題）【問題背景】人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形九年級數(shù)學(xué)興趣小組對上面的問題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對角線相交于點O，點P落在線段OC上，PAPC=k（

【特例證明】（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點P與點O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點M，N①填空：k=______；②求證：PM=PN．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM?△PBN；也可過點P分別作AB，BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說明理由．【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，點N在邊BC上，∠BPN=45°，延長NP交邊CD于點E，若EN=kPN，求k的值．37．（2024·四川眉山·中考真題）綜合與實踐問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心O處，并繞點O旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況．操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）若正方形邊長為4，當(dāng)一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為______；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為______．（2）若正方形的面積為S，重疊部分的面積為S1，在旋轉(zhuǎn)過程中S1與類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點O重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于E，F(xiàn)兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結(jié)論BE+DF=2拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中60°角的頂點與點O重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板的直角邊交AB于點M，斜邊交BC于點N，且BM=BN時，請求出重疊部分的面積．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=6?2438．（2022·江西·中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OF與OB重合時，重疊部分的面積為__________；當(dāng)OF與BC垂直時，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為__________(2)類比探究：若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點M，N．①如圖2，當(dāng)BM=CN時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)CM=CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號）；(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設(shè)∠GOH=α），將∠GOH繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，請直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含（參考數(shù)據(jù)：sin15°=4)一線三等角模型已知∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE圖示結(jié)論①一線三等角模型39．（2024·海南·中考真題）正方形ABCD中，點E是邊BC上的動點（不與點B、C重合），∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于點H，F(xiàn)G⊥BC交BC延長線于點G．

(1)如圖1，求證：△ABE≌(2)如圖2，EM⊥AF于點P，交AD于點M．①求證：點P在∠ABC的平分線上；②當(dāng)CHDH=m時，猜想AP與③作HN⊥AE于點N，連接MN、HE，當(dāng)MN∥HE時，若AB=6，求40.（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點A、B、M、E、F依次在直線l上，點A、B固定不動，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角邊MP恒過點C，直角邊MN恒過點H．(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點M與點B之間的距離；(2)如圖1，若BE=10，當(dāng)點M在點B、E之間運(yùn)動時，求HE的最大值；(3)如圖2，若BF=22，當(dāng)點E在點B、F之間運(yùn)動時，點M隨之運(yùn)動，連接CH，點O是CH的中點，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為_______．41．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式寫出線段AE，DE，CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在對角線BD和邊CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD的延長線上，AE⊥EF，AE=EF．用等式寫出線段BE，AD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②構(gòu)造一線三等角模型42．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形ABCD的頂點A，C在拋物線y=?x2+4上，點D在y軸上．若A，CA．m+n=1 B．m?n=1 C．mn=1 D．m43．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點E，連接AE，把AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，連接CF并延長與AB的延長線交于點G．則FGCE的值為（

A．2 B．3 C．322 44．（2023·海南·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=8，點E在邊AD上，且AD=4AE，點P為邊AB上的動點，連接PE，過點E作EF⊥PE，交射線BC于點F，則EFPE=．若點M是線段EF的中點，則當(dāng)點P從點A運(yùn)動到點B時，點M運(yùn)動的路徑長為

45．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD如圖所示，點A的坐標(biāo)(?1,0)，點D的坐標(biāo)是(?2,4)，則點C的坐標(biāo)是．

題型04特殊四邊形熱考模型1）最值模型①矩形對角相等求最值圖示解題策略結(jié)論根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知對角線相等，即EF=BD，則對角線EF的最小值為點B到斜邊AC的高BG46．（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點P是邊AB上任意一點，過點P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點D，E，連接DE，則DE的最小值是（

A．132 B．6013 C．12547．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°,P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運(yùn)動，則線段EF的值大小變化情況是（

A．一直增大 B．一直減小 C．先減小后增大 D．先增大后減少48．（2023下·天津河?xùn)|·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN

A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.849．（2022下·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則AM的最小值是(

)A．12 B．65 C．125②利用菱形的對稱性求最值圖示解題策略結(jié)論求DE+EF的最小值.連接BE，根據(jù)對稱性，可知DE=BE，則DE+EF=BE+EF≥BF，根據(jù)“垂線段最短”確定當(dāng)BF⊥CD時BF取最小值，再通過等面積法或勾股定理求出EF的長度.連接BF，當(dāng)BF⊥CD時BF取最小值50．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對角線BD上的一個動點，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．251．（2022·四川廣安·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（）A．2 B．3 C．1.5 D．552．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，菱形ABCD，點A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上，∠ABC=120°，點A?3,0，點E是CD的中點，點P是OC上的一動點，則PD+PE的最小值是（

A．3 B．5 C．22 D．③利用正方形的對稱性求最值條件：如圖，AC是正方形ABCD的對角線，點E在AC上正方形對角線，連接頂點對稱現(xiàn)圖示：正方形對角線，連接頂點對稱現(xiàn)解題大招：正方形是軸對稱圖形，具有4條對稱軸，圍繞對稱軸，有多組對稱型全等.53．（2021·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為54．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上，且BE=1，F(xiàn)為對角線BD上一動點，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為．

55．（2023·安徽合肥·三模）如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（

）

A．23 B．26 C．3 56．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，點P是對角線BD上的一點，PF⊥AD于點F，PE⊥AB于點E，連接PC，當(dāng)PE:PF=1:2時，則PC=（

）

A．3 B．2 C．5 D．557．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點（與點B,D不重合），GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足．連接EF,AG，并延長AG交EF于點H．

(1)求證：∠DAG=∠EGH．(2)判斷AH與EF是否垂直，并說明理由．④正方形與等邊三角形類型以正方形的一邊向內(nèi)構(gòu)建等邊三角形以正方形的一邊向外構(gòu)建等邊三角形條件在正方形ABCD中，△BCE為等邊三角形四邊形ABCD為正方形，△DCE為等邊三角形圖示結(jié)論△ABE，△DCE，△AED為等腰三角形△ABE≌△DCE，∠EAD=∠EDA=15°，∠BAE=∠CDE=75°△BCE為等腰三角形△ABF≌△ADF≌△EDF，△BCF≌△DCF，∠BEC=∠CBE=15°，∠AFD=∠AFB=75°58．（2024·山東青島·一模）如圖，正方形ABCD邊長為4，△ABP為等邊三角形，連接PC，PD，則∠PCD的正切值為（

）A．12 B．2?3 C．3259．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過點D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長為（

）A．23+2 B．5?33 C．60．（2024·廣東珠?！ひ荒＃﹫D，E是正方形ABCD內(nèi)一點，△BCE是等邊三角形，連接DE，AE，延長DE交AB于點F．(1)求證：△ABE≌(2)求∠AFD的度數(shù)．61．（2023·安徽黃山·模擬預(yù)測）如圖①，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．(1)連接MN，(2)求證：△AMB≌△ENB；(3)①當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最小；②如圖②，當(dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，請你畫出圖形，并說明理由．62．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動點（不與點A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對稱的線段為BF，連接AF．

(1)若∠ABE=15°，求證：△ABF是等邊三角形；(2)延長FA，交射線BE于點G；①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時∠ABE的度數(shù)；如果不能，請說明理由；②若AB=3+6，求△BGF2）折疊模型解題方法：與特殊平行四邊形有關(guān)的折疊問題與軸對稱的知識聯(lián)系緊密，解決這類問題有兩個“秘訣”:一是折疊前后的兩部分是全等的(對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等)；二是折疊前后的對應(yīng)點所連線段被折痕垂直平分.63．（2023·四川達(dá)州·中考真題）（1）如圖①，在矩形ABCD的AB邊上取一點E，將△ADE沿DE翻折，使點A落在BC上A'處，若AB=6,BC=10，求AE

（2）如圖②，在矩形ABCD的BC邊上取一點E，將四邊形ABED沿DE翻折，使點B落在DC的延長線上B'處，若BC?CE=24,AB=6，求BE（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足為點D,AD=10,AE=6，過點E作EF⊥AD交AC于點F，連接DF，且滿足∠DFE=2∠DAC，直接寫出BD+564．（2023·遼寧大連·中考真題）綜合與實踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知AB=AC,∠A>90°，點E為AC上一動點，將△ABE以BE為對稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨立思考：小明：“當(dāng)點D落在BC上時，∠EDC=2∠ACB．”小紅：“若點E為AC中點，給出AC與DC的長，就可求出BE的長．”實踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點D落在BC上時，求證：∠EDC=2∠ACB；（2）如圖2，若點E為AC中點，AC=4,CD=3，求BE的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成∠A<90°的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，則求BC的長．65．（2024·湖北·中考真題）在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A的對應(yīng)點P落在邊CD上，點B的對應(yīng)點為點G，PG交BC于點H．(1)如圖1，求證：△DEP∽△CPH；(2)如圖2，當(dāng)P為CD的中點，AB=2，AD=3時，求GH的長；(3)如圖3，連接BG，當(dāng)P，H分別為CD，BC的中點時，探究BG與AB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．66．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD上，點B的對應(yīng)點記為B'，折痕與邊AD，BC分別交于點E，F(xiàn)【活動猜想】（1）如圖2，當(dāng)點B'與點D重合時，四邊形BEDF【問題解決】（2）如圖3，當(dāng)AB=4，AD=8，BF=3時，求證：點A'，B'，【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時，始終有A'B'（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD，EF分別交于點O，P，試探究三條線段AP，B'D，67．（2023·遼寧沈陽·中考真題）如圖1，在?ABCD紙片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，點E為BC邊上的一點（點E不與點C重合），連接AE，將?ABCD紙片沿AE所在直線折疊，點C，D的對應(yīng)點分別為C'、D'，射線C'E與射線

(1)求證：AF=EF；(2)如圖2，當(dāng)EF⊥AF時，DF的長為______；(3)如圖3，當(dāng)CE=2時，過點F作FM⊥AE，垂足為點M，延長FM交C'D'于點N，連接AN、EN3）對角互補(bǔ)模型模型1兩90°的等鄰邊對角互補(bǔ)模型1.基礎(chǔ)類型條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.【注意】已知角平分線、鄰邊相等（非對稱）和對角互補(bǔ)中的兩個，可推導(dǎo)出第三個.2.模型引申條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③.模型2.含120°、60°的等鄰邊對角互補(bǔ)模型1.基礎(chǔ)類型條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.2.模型引申條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點D，結(jié)論：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③.69．（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，已知四邊形的面積為9，CD=2，則BC長為（

）A．5 B．4 C．113 70．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，兩個半徑長均為2的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形CFD的圓心C是AB的中點，且扇形CFD繞著點C旋轉(zhuǎn)，半徑AE，CF交于點G，半徑BE，CD交于點H，則圖中陰影面積等于（

）A．π2?1 B．π2?2 C．71．（2024·重慶江津·模擬預(yù)測）如圖，等腰Rt△ABC的斜邊AC的中點為D，∠B=90°，E是邊AB上一點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交BC于點F．若CF=2AE，四邊形BEDF的面積是9，則BE的長為72．（2020·湖南湘西·中考真題）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G，使CG=AE，連接BG，先證明△BCG≌△BAE，再證明△BFC≌△BFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是_______________；探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由．探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F．上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．實際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進(jìn)，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進(jìn)，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．73．（2021·貴州貴陽·模擬預(yù)測）如圖①，直線y=x(x>0)上有一點M(6,m)，反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)k≠0，x>0）的圖像經(jīng)過點M，作∠AMB=90°，且角兩邊分別與x軸，y軸的正半軸交于（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求四邊形AOBM的面積；（3）如圖②，點P(3,n)是反比例函數(shù)y=kx(x>0)圖像上的一點，點F在直線y=x(x>6)上，點E在x4）手拉手模型等腰三角形

手拉手模型等邊三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型【小結(jié)】1）頭頂頭，左手拉左手，右手拉右手，那么，頭左左≌頭右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.73．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，某小組將一個含45°的三角尺AEF利一個正方形紙板ABCD如圖1擺放，若AE=1，AB=2．將三角尺AEF繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α0°≤α≤90°【初步探究】如圖2，連接BE，DF并延長，延長線相交于點G,BG交AD于點M．問題1BE和DF的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________．【深入探究】應(yīng)用問題1的結(jié)論解決下面的問題．問題2如圖3，連接BD，點O是BD的中點，連接OA，OG．求證OA=OD=OG．【嘗試應(yīng)用】問題3如圖4，請直接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α從0°變化到60°時，點G經(jīng)過路線的長度．74．（2020·遼寧鐵嶺·模擬預(yù)測）如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，F(xiàn)是AC邊上的一個動點（點F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接(1)①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；②將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2、圖3的情形．圖2中BF交AC于點H，交AD于點O，請你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．(2)將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于點75．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，連接AE，CF．(1)如圖1，求證：△ADE≌△CDF；(2)直線AE與CF相交于點G．①如圖2，BM⊥AG于點M，BN⊥CF于點N，求證：四邊形BMGN是正方形；②如圖3，連接BG，若AB=4，DE=2，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．76．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點E在正方形ABCD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點A．(1)如圖1，當(dāng)點G在AD上，F(xiàn)在AB上，求2CE2(2)將正方形AFEG繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)，如圖2，求：CEDG(3)AB=82，AG=22AD，將正方形AFEG繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°)，當(dāng)C，G，77．（2020·廣東深圳·中考真題）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按背景圖位置擺放（點E，A，D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請給出證明．如若不能，請說明理由：（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖2）試問當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時，背景中的結(jié)論BE=DG仍成立？請說明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG題型05構(gòu)造中位線求解78．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AF，DE相交于點M，G為BC上一點，N為EG的中點．若BG=3，CG=1，則線段MN的長度為（）

A．5 B．172 C．2 D．79．（2023·廣西·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點，M，N分別是EF，AF的中點，則

80．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為25，點E是CD的中點，BE與AC交于點M，F(xiàn)是AD上一點，連接BF分別交AC，AE于點G，H，且BF⊥AE，連接MH，則AH=，MH=第五章四邊形重難點09幾何熱考題三四邊形熱考模型（5種類型19種模型詳解+專題訓(xùn)練）【題型匯總】題型01中點四邊形模型【基礎(chǔ)模型】已知點E、F、G、H分別為任意四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點，則①四邊形EFGH是平行四邊形②CEFGH=AC+BD③【名師總結(jié)】1）順次連接任意四邊形各邊中點所組成的四邊形是矩形.2）順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點所組成的四邊形是矩形.3）順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是菱形.4）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點所組成的四邊形是正方形.速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正.1．（2024·山西·中考真題）在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，EG，F(xiàn)H交于點O．若四邊形ABCD的對角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為()A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等【答案】A【分析】本題主要考查了中點四邊形、菱形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理，根據(jù)題意畫出示意圖，得出中點四邊形的形狀與原四邊形對角線之間的關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：如圖所示，連接BD，AC，∵點H和點E分別是AD和AB的中點，∴HE是△ABD的中位線，∴HE=1同理可得，GF=1∴HE=GF，HE∥∴四邊形HEFG是平行四邊形．∵HE=12BD，HG=∴HE=HG，∴平行四邊形HEFG是菱形，∴EG與HF互相垂直平分．故選：A．2．（2022·湖北荊州·中考真題）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1BA．a(chǎn)b2n B．a(chǎn)b2n?1 C．【答案】A【分析】利用中位線、菱形、矩形的性質(zhì)可知，每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半，由此可解．【詳解】解：如圖，連接AC，BD，A1C1∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AD=BC，AB=CD．∵A1，B1，C1∴A1∴A1∴四邊形A1∵A1C1∴四邊形A1B1同理，由中位線的性質(zhì)可知，D2C2D2A2∴四邊形A2∵AD⊥AB，∴C2∴四邊形A2∴四邊形A2B2∴每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半，∴四邊形AnBn故選:A．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，證明四邊形A1B13．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD互相垂直，AC=4，BD=6，則AD+BC的最小值是．

【答案】2【分析】設(shè)AC,BD的交點為O，AB,BC,CD,DA的中點分別是P,Q,R,S，連接PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS，先證AD+BC=2(OS+OQ)，由此得當(dāng)OS+OQ最小時，AD+BC最小，再根據(jù)“兩點之間線段最短”得OQ+OS≥QS，再證四邊形PQRS是矩形，且PQ=2,SP=3，根據(jù)勾股定理的OS=13，進(jìn)而求得AD+BC【詳解】解：設(shè)AC,BD的交點為O，AB,BC,CD,DA的中點分別是P,Q,R,S，連接PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS，∵AC,BD互相垂直，∴△AOD和△BOC為直角三角形，且AD,BC∴AD=2OS,BC=2OQ，∴AD+BC=2(OS+OQ)，∴當(dāng)OS+OQ最小時，AD+BC最小，再根據(jù)“兩點之間線段最短”得OQ+OS≥QS，∴當(dāng)點O在線段QS上時，OQ+OS最小，最小值為線段QS的長，∵P,Q分別為AB,BC的中點，∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ=1同理QR=1RS=1SP=1∴PQ∥∴四邊形PQRS是平行四邊形，∵AC⊥BD,PQ∥∴PQ⊥SP，∴四邊形PQRS是矩形，在Rt△PQS中，PQ=2,SP=3∴QS=P∴OQ+OS的最小值為13，∴AD+BC的最小值為213

故答案為：213【點睛】此題只要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，線段的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，兩點之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．4．（2024·云南·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是各邊的中點，且AB∥CD，AD∥(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若矩形EFGH的周長為22，四邊形ABCD的面積為10，求AB的長．【答案】(1)見解析(2)111【分析】（1）連接BD，AC，證明四邊形ABCD是平行四邊形，再利用三角形中位線定理得到GF∥BD，HG∥AC，利用矩形的性質(zhì)得到（2）利用三角形中位線定理和菱形性質(zhì)得到12BD+12AC=OA+OB=11【詳解】（1）解：連接BD，AC，∵AB∥CD，AD∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是各邊的中點，∴GF∥BD，∵四邊形EFGH是矩形，∴HG⊥GF，∴BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是各邊的中點，∴GF=EH=12BD∵矩形EFGH的周長為22，∴BD+AC=22，∵四邊形ABCD是菱形，即12∵四邊形ABCD的面積為10，∴12BD?AC=10∵OA+OB∴OA∴AB=O【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)和判定，菱形面積公式，勾股定理，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD，DA的中點，順次連接E,F,G,H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點P,Q，過點D作DM⊥AC于點M，交HG于點N．∵H,G分別為AD,CD的中點，∴HG∥AC,HG=1

∴DNNM=DGGC．∵DG=GC∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據(jù)2）∴S?HPQG∵S△ADC=1任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,BD長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）(2)答案不唯一，見解析(3)平行四邊形EFGH的周長等于對角線AC與BD長度的和，見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得妯結(jié)論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD長度的和，證明如下：∵點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點，∴EF=1∴EF+GH=AC．同理EH+FG=BD．∴四邊形EFGH的周長=EF+GH+EH+FG=AC+BD．即瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于對角線AC與BD長度的和．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．6．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）綜合與實踐順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究．【探究一】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點．求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形．證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，∴EF、GH分別是△ABC和△ACD的中位線，∴EF=12AC∴EF=GH．同理可得：EH=FG．∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．（1）請你補(bǔ)全上述過程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形AC=BD菱形從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【探究三】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形AC⊥BD②________（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【歸納總結(jié)】（5）請你根據(jù)上述探究過程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形．原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．【答案】（1）①中位線定理（2）證明見解析（3）②矩形（4）證明見解析（5）補(bǔ)圖