初中數(shù)學新定義題型練習題60道附解析

初中數(shù)學新定義題型練習題60道附解析一、選擇題.定義運算,則的值是()

A. B. C. D.若規(guī)定表示不超過的最大整數(shù),則等于()

A. B. C. D.定義,則的值是()

A. B. C. D.對有理數(shù),定義,則()

A. B. C. D.若表示的絕對值,定義新運算,則()

A. B. C. D.定義:,則()

A. B. C. D.定義:若表示的倒數(shù),則()

A. B. C. D.定義:,則()

A. B. C. D.定義:,則()

A. B. C. D.定義“平方差數(shù)”為兩個連續(xù)整數(shù)的平方差,下列哪個數(shù)不是平方差數(shù)()

A.5 B.7 C.9 D.10定義“同心圓”為半徑相差的圓.若小圓面積為,大圓周長為()

A. B. C. D.定義“黃金點”為滿足的點,則以下哪個點不是黃金點()

A.(1,8) B.(3,4) C.(4,3) D.(5,0)定義:若方程的"影子方程"為,且原方程一根為2,則影子方程的根為()

A.和 B.和 C.和 D.和定義:方程的"影子方程"為,已知原方程有一根為,則影子方程必有根()

A. B. C. D.目:定義“平衡方程”為的解為,則與的關系是().

A. B. C. D.定義“同解方程”為與解相同的方程.以下哪個方程與不是同解方程()

A. B. C. D.定義“對稱方程”為的兩根互為倒數(shù),則必有().

A. B. C. D.定義“黃金方程”為有實數(shù)根,則的取值范圍是().

A.或 B. C. D.二、填空題對于實數(shù)和,定義運算,則.定義新運算,則.若規(guī)定(),則.定義函數(shù),則.若規(guī)定,且,則______.定義函數(shù),若且,則______,______.定義:,則.定義:表示的整數(shù)部分與小數(shù)部分乘積,如,則.定義:若表示與的平方差,則.定義運算,則______..對應點和定義“折線距離”為.若,,則______.定義“幾何均值”為,若,,則幾何均值為______.定義:表示的調(diào)和平均數(shù),即,則的值為_______.定義:若關于的方程的"平衡系數(shù)"為,則當平衡系數(shù)為5時,.定義:對于方程,其"矛盾值"為使得方程無解的,則矛盾值是______.定義:若方程組的"和諧積"為,當解為時,和諧積是______.定義“雙倍方程”為形如的方程.若其解為,則______.定義“倍式方程”為,若其解為,則______.定義:對于三次方程,定義其"鏡像方程"為.已知原方程有一根為,則鏡像方程必有一根為______.定義“立方方程”為,若是根,則______..三、解答題.定義:若一個數(shù)的平方等于它本身與1的和,則稱它為“T數(shù)”.

①求所有“T數(shù)”;

②判斷5是否為“T數(shù)”.定義:在平面直角坐標系中,若點滿足,則稱為“K點”.

①判斷點是否為“K點”;

②若點是“K點”,求的值.定義:若直線與拋物線有且僅有一個公共點,則稱該直線為拋物線的“切線”.

①若直線是的“切線”,求;

②一般地,推導拋物線的“切線”方程形式.定義“平衡點”為函數(shù)的解.已知.

①求平衡點;

②若將向右平移個單位后,平衡點為,求.定義:對于實數(shù),若,且恒成立,求與的關系.題目:定義“階梯函數(shù)”為.

①求和;

②求的解.定義“光點”為滿足與的交點.

①求時的光點坐標;

②若光點在第一象限,求的范圍.定義:對分式方程,定義其"危險值"為使方程產(chǎn)生增根的值.

①求該方程的"危險值";

②當時,求方程的解;

③若方程無解,求的取值范圍.定義“差值方程”為.

①當,時,求方程的解集;

②若方程有唯一解,求的取值范圍;

③若解集包含和,求和.定義“分段方程”為.

①求和;

②解方程;

③若有2個解,求的范圍.定義“復合方程”為.

①將方程化簡為,求;

②求方程的解;

③若方程改為,求.定義“超立方運算”為.

①計算;

②若,求;

③證明:對任意實數(shù),.定義“旋轉(zhuǎn)方程”為將直線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后的新方程.

①若原直線為,求旋轉(zhuǎn)后的方程;

②若旋轉(zhuǎn)后直線經(jīng)過點,求原直線的和.定義“動態(tài)拋物線”為,其頂點在直線上.

①用表示頂點坐標;

②求與的關系式;

③若拋物線經(jīng)過,求和.定義:稱函數(shù)與的交點為"平衡點"

①求平衡點坐標

②求兩直線與軸圍成的三角形面積

③若平移直線使其經(jīng)過原點,求新平衡點坐標.閱讀材料:對于任何數(shù),我們規(guī)定符號的意義是:．例如:．

①按照這個規(guī)定,請你計算的值．

②按照這個規(guī)定,當時,求的值．我們已經(jīng)學習了“乘方”運算,下面介紹一種新運算,即“對數(shù)”運算．

定義:如果(a＞0,a≠1,N＞0),那么b叫做以a為底N的對數(shù),

記作．

例如:因為,所以;因為,所以．

根據(jù)“對數(shù)”運算的定義,回答下列問題:

①填空:,________．

②如果,求m的值．

③對于“對數(shù)”運算,小明同學認為有“(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)”,他的說法正確嗎？如果正確,請給出證明過程;如果不正確,請說明理由,并加以改正．閱讀材料:求的值．

解:設,

將等式兩邊同時乘以2得:

將下式減去上式得

即

即

請你仿照此法計算:①;

(2)(其中為正整數(shù)).觀察下列兩個等式:,,給出定義如下:我們稱使等式成立的一對有理數(shù),為“共生有理數(shù)對”,記為(,),如:數(shù)對(,),(,),都是“共生有理數(shù)對”．

①數(shù)對(,),(,)中是“共生有理數(shù)對”的是;

②若(,)是“共生有理數(shù)對”,求的值;

③若(,)是“共生有理數(shù)對”,則(,)“共生有理數(shù)對”(填“是”或“不是”);

(4)請再寫出一對符合條件的“共生有理數(shù)對”為

(注意:不能與題目中已有的“共生有理數(shù)對”重復)．定義:若,則稱與是關于1的平衡數(shù).

(1)3與是關于1的平衡數(shù),

(2)與是關于1的平衡數(shù)(填一個含的式子);

(3)若,,判斷與是否是關于1的平衡數(shù),并說明理由.在平面直角坐標系中,將一點(橫坐標與縱坐標不相等)的橫坐標與縱坐標互換后得到的點叫這一點的“互換點”,如(-3,5)與(5,-3)是一對“互換點”．

①任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數(shù)的圖象上？為什么？

②M、N是一對“互換點”,若點M的坐標為,求直線MN的表達式(用含、的代數(shù)式表示);

③在拋物線的圖象上有一對“互換點”A、B,其中點A在反比例函數(shù)的圖象上,直線AB經(jīng)過點P(,),求此拋物線的表達式．.我們規(guī)定,若關于的一元一次方程的解為,則稱該方程為“差解方程”,例如:2=4的解為2,且2=4-2,則該方程2=4是差解方程．

請根據(jù)上邊規(guī)定解答下列問題:

①判斷3=4.5是否是差解方程;

②若關于的一元一次方程是差解方程,求的值．

初中數(shù)學新定義題型練習題60道解析一、選擇題.定義運算,則的值是()

A. B. C. D.

解答:

,選.若規(guī)定表示不超過的最大整數(shù),則等于()

A. B. C. D.

解答:

,,和為,選.定義,則的值是()

A. B. C. D.

解答:

,選.對有理數(shù),定義,則()

A. B. C. D.

解答:

,,差為,選.若表示的絕對值,定義新運算,則()

A. B. C. D.

解答:

,選.定義:,則()

A. B. C. D.

解答:

,選.定義:若表示的倒數(shù),則()

A. B. C. D.

解答:

,再次取倒數(shù)為,選.定義:,則()

A. B. C. D.

解答:

,選.定義:,則()

A. B. C. D.

解答:

,選.定義“平方差數(shù)”為兩個連續(xù)整數(shù)的平方差,下列哪個數(shù)不是平方差數(shù)()

A.5 B.7 C.9 D.10

解答:

平方差為,必為奇數(shù).

答案D.定義“同心圓”為半徑相差的圓.若小圓面積為,大圓周長為()

A. B. C. D.

解答

小圓半徑,大圓半徑,周長,選A.

答案;.定義“黃金點”為滿足的點,則以下哪個點不是黃金點()

A.(1,8) B.(3,4) C.(4,3) D.(5,0)

解答

驗證選項:,選C.定義:若方程的"影子方程"為,且原方程一根為2,則影子方程的根為()

A.和 B.和 C.和 D.和

解答:

原方程代入得,影子方程為,因為,所以是影子方程的解.由韋達定理新根和為,積為,得根為和,選B.定義:方程的"影子方程"為,已知原方程有一根為,則影子方程必有根()

A. B. C. D.

解答:

將代入原方程得,影子方程代入得,與原式相加得,故必為根,選.目:定義“平衡方程”為的解為,則與的關系是().

A. B. C. D.

解答

將代入得,選B.定義“同解方程”為與解相同的方程.以下哪個方程與不是同解方程()

A. B. C. D.

解答:

原方程解為,選項D.

答案:D.定義“對稱方程”為的兩根互為倒數(shù),則必有().

A. B. C. D.

解答

由韋達定理,兩根乘積,選B.

答案:.定義“黃金方程”為有實數(shù)根,則的取值范圍是().

A.或 B. C. D.

解答

判別式,解得或,選A.

答案:.二、填空題對于實數(shù)和,定義運算,則

解答:

.定義新運算,則

解答:

先算,則.若規(guī)定(),則

解答:

.定義函數(shù),則

解答:

,,和為.若規(guī)定,且,則______.

解答:

由題意得,解得.

答案:.定義函數(shù),若且,則______,______.

解答

由題意得方程組:

解得,代入得.

答案:,.定義:,則

解答:

.定義:表示的整數(shù)部分與小數(shù)部分乘積,如,則

解答:

,整數(shù)部分,小數(shù)部分,乘積為,故.定義:若表示與的平方差,則

解答:

,,差為.定義運算,則______.

解答

,故.

答案:.對應點和定義“折線距離”為.若,,則______.

解答

.

答案:.定義“幾何均值”為,若,,則幾何均值為______.

解答

.

答案:.定義:表示的調(diào)和平均數(shù),即,求.

答案:.定義:若關于的方程的"平衡系數(shù)"為,則當平衡系數(shù)為5時,

解答:

,方程成立,.定義:對于方程,其"矛盾值"為使得方程無解的,則矛盾值是______.

解答:

化簡得,當即時無解,故.定義:若方程組的"和諧積"為,當解為時,和諧積是______

解答:

代入得,,和諧積為.定義“雙倍方程”為形如的方程.若其解為,則______.

解答:

將代入方程:

.

答案:.定義“倍式方程”為,若其解為,則______.

解答:

代入:.

答案:.定義:對于三次方程,定義其"鏡像方程"為.已知原方程有一根為,則鏡像方程必有一根為______

答案:.定義“立方方程”為,若是根,則______.

解答

代入:.

答案:.三、解答題.定義:若一個數(shù)的平方等于它本身與1的和,則稱它為“T數(shù)”.

①求所有“T數(shù)”;

②判斷5是否為“T數(shù)”.

解答:

①設,解得;

②,而,所以5不是T數(shù).

答案:①;②不是.定義:在平面直角坐標系中,若點滿足,則稱為“K點”.

①判斷點是否為“K點”;

②若點是“K點”,求的值.

解答:

①,所以不是;

②由定義,解得.

答案:①不是;②.定義:若直線與拋物線有且僅有一個公共點,則稱該直線為拋物線的“切線”.

①若直線是的“切線”,求;

②一般地,推導拋物線的“切線”方程形式.

解答:

①聯(lián)立方程得,判別式,解得;

②設切線為,聯(lián)立得,令,得,故方程為.

答案:①;②.定義“平衡點”為函數(shù)的解.已知.

①求平衡點;

②若將向右平移個單位后,平衡點為,求.

解答

①令,解得;

②平移后函數(shù)為,令,代入得.

答案:①;②.定義:對于實數(shù),若,且恒成立,求與的關系.

解答:

左邊,右邊,令二者相等得,即.題目:定義“階梯函數(shù)”為.

①求和;

②求的解.

解答:

①,;

②時無解;時.

答案

①,;②.定義“光點”為滿足與的交點.

①求時的光點坐標;

②若光點在第一象限,求的范圍.

解答

①聯(lián)立,解得,;

②分和討論,解得且,綜合為.

答案

①;②.定義:對分式方程,定義其"危險值"為使方程產(chǎn)生增根的值.

①求該方程的"危險值";

②當時,求方程的解;

③若方程無解,求的取值范圍.

解答:

①增根為或.若代入化簡方程得;若代入得(不成立),故危險值為

②方程化簡為,解得,經(jīng)檢驗是解,故

③當化簡后方程無解或解為增根時:

化簡方程,若無解,則不可能;

若解為增根,則或,解得或.結合①知時增根為,綜上.定義“差值方程”為.

①當,時,求方程的解集;

②若方程有唯一解,求的取值范圍;

③若解集包含和,求和.

解答

①或;

②唯一解當且僅當;

③由,.

答案

①;②;③,.定義“分段方程”為.

①求和;

②解方程;

③若有2個解,求的范圍.

解答

①,;

②當時,;當時,;

③當時,方程有2個解.

答案

①,;②,;③.定義“復合方程”為.

①將方程化簡為,求;

②求方程的解;

③若方程改為,求.

解答

①;

②;

③化簡為,.

答案

①;②;③.定義“超立方運算”為.

①計算;

②若,求;

③證明:對任意實數(shù),.

解答

①;

②方程化簡為或;

③.

答案:①;②,;③證明見解答.定義“旋轉(zhuǎn)方程”為將直線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后的新方程.

①若原直線為,求旋轉(zhuǎn)后的方程;

②若旋轉(zhuǎn)后直線經(jīng)過點,求原直線的和;

解答

①旋轉(zhuǎn)后斜率為,過點旋轉(zhuǎn)為,方程為;

②設原直線旋轉(zhuǎn)后為,代入得方程,結合原直線截距求解;

答案

①;②,.定義“動態(tài)拋物線”為,其頂點在直線上.

①用表示頂點坐標;

②求與的關系式;

③若拋物線經(jīng)過,求和.

解答:

①頂點;

②代入直線方程得;

③代入得,.

答案①;②;③,.定義:稱函數(shù)與的交點為"平衡點"

①求平衡點坐標

②求兩直線與軸圍成的三角形面積

③若平移直線使其經(jīng)過原點,求新平衡點坐標

解答:

①解得,,故

②軸交點分別為和,面積

③平移后直線為,新交點解得,,故.閱讀材料:對于任何數(shù),我們規(guī)定符號的意義是:．例如:

①按照這個規(guī)定,請你計算的值．

②按照這個規(guī)定,當時,求的值．

解:①根據(jù)題中的新定義得:原式=-

②已知等式變形得:

.我們已經(jīng)學習了“乘方”運算,下面介紹一種新運算,即“對數(shù)”運算．

定義:如果(a＞0,a≠1,N＞0),那么b叫做以a為底N的對數(shù),

記作．

例如:因為,所以;因為,所以．

根據(jù)“對數(shù)”運算的定義,回答下列問題:

①填空:,________．

②如果,求m的值．

③對于“對數(shù)”運算,小明同學認為有“(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)”,他的說法正確嗎？如果正確,請給出證明過程;如果不正確,請說明理由,并加以改正．

解:①填空:1,4;

②由題意,得

∴

解得

∴.

③略.閱讀材料:求的值．

解:設,

將等式兩邊同時乘以2得:

將下式減去上式得

即

即

請你仿照此法計算:①;

(2)(其中為正整數(shù)).

解:①設

則

即

②設

則

即

.觀察下列兩個等式:,,給出定義如下:我們稱使等式成立的一對有理數(shù),為“共生有理數(shù)對”,記為(,),如:數(shù)對(,),(,),都是“共生有理數(shù)對”．

①數(shù)對(,),(,)中是“共生有理數(shù)對”的是;

②若(,)是“共生有理數(shù)對”,求的值;

③若(,)是“共生有理數(shù)對”,則(,)“共生有理數(shù)對”(填“是”或“不是”);

(4)請再寫出一對符合條件的“共生有理數(shù)對”為

(注意:不能與題目中已有的“共生有理數(shù)對”重復)．

解:①(,);

②由題意得:

解