專(zhuān)題08 簡(jiǎn)單事件的概率重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（八大題型）（解析版）

專(zhuān)題08簡(jiǎn)單事件的概率重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（八大題型）【題型目錄】題型一事件的可能性題型二根據(jù)概率公式計(jì)算概率題型三已知概率求數(shù)量題型四列表法求概率題型五列樹(shù)狀圖法求概率題型六用頻率估計(jì)概率題型七用頻率估計(jì)概率的綜合應(yīng)用題型八概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用【知識(shí)梳理】1.確定事件與隨機(jī)事件：（1）確定事:事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱(chēng)為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．（2）隨機(jī)事件:在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱(chēng)為隨機(jī)事件．（3）事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，①必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）=1；②不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可能事件）=0；③如果A為不確定事件（隨機(jī)事件），那么0＜P（A）＜1．2.可能性的大?。弘S機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法：3.概率的意義：（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率，會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p．

（2）概率是頻率（多個(gè)）的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．

（3）概率取值范圍：0≤p≤1．

（4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）=0．

（4）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0．

4.利用頻率估計(jì)概率（1）大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．（2）用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．（3）當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率．【經(jīng)典例題一事件的可能性】【例1】（2023春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）以下說(shuō)法：①擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后6點(diǎn)朝上是不確定事件；②將油滴入水中，油會(huì)浮在水面上是確定事件；③一個(gè)袋子中裝有紅球8個(gè)，白球2個(gè)，每個(gè)球除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的可能性大；④一粒種子埋在土里，給它陽(yáng)光和水分，它會(huì)長(zhǎng)出小苗是必然事件．正確的說(shuō)法有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)可能性的大小以及事件的分類(lèi)，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析,即可得出答案．【詳解】解：①擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后6點(diǎn)朝上是不確定事件，故該選項(xiàng)正確；②將油滴入水中，油會(huì)浮在水面上是確定事件，∵油的密度小于水的密度，故該選項(xiàng)正確；③一個(gè)袋子中裝有紅球8個(gè)，白球2個(gè)，每個(gè)球除顏色外都相同，任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的可能性大，∵紅球的個(gè)數(shù)更多，故該選項(xiàng)正確；④一粒種子埋在土里，給它陽(yáng)光和水分，它會(huì)長(zhǎng)出小苗是不確定事件，故本選項(xiàng)不符合題意．正確的說(shuō)法有①②③，共3個(gè)；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了可能性的大小以及事件的分類(lèi)，熟練掌握可能性的大小以及隨機(jī)事件的定義是解題的關(guān)鍵，可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·貴州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中正確的有（

）①打開(kāi)電視，播放頻道正好是貴州衛(wèi)視是必然事件；②同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)；④三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形全等；⑤等腰三角形的高也是它頂角的中線．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)事件分類(lèi)，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂線的畫(huà)法，互補(bǔ)的意義判斷即可．【詳解】打開(kāi)電視，播放頻道正好是貴州衛(wèi)視是隨機(jī)事件，故①錯(cuò)誤；同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故②正確；互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，故③正確；三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等。故④錯(cuò)誤；等腰三角形的底邊上的高也是它頂角的角平分線，故⑤錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了事件分類(lèi)，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂線的畫(huà)法，互補(bǔ)的意義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用一副撲克牌中的張?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)翻牌游戲，要求同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件；（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；（2）翻出“方塊”的可能性比翻出“梅花”的可能性??；（3）翻出黑顏色的牌的可能性比翻出紅顏色牌的可能性小；解：我設(shè)計(jì)的方案如下：“紅桃”張，“黑桃”張，“方塊”張，“梅花”張【答案】【分析】根據(jù)各種花色的撲克牌被翻到的可能性的大小，推斷出各種花色的撲克牌的張數(shù)，再根據(jù)總張數(shù)為張，每一種都是整數(shù)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：一共有張撲克牌，滿(mǎn)足（1），說(shuō)明“黑桃”和“梅花”的張數(shù)相同，滿(mǎn)足（2）說(shuō)明“方塊”的張數(shù)比“梅花”的少，滿(mǎn)足（3）說(shuō)明黑顏色的牌（黑桃、梅花）的張數(shù)比紅顏色牌（紅桃、方塊）的張數(shù)要少，因此黑色的牌要少于張，黑色的兩種牌張數(shù)相同，于是：①黑色的為張，可以得到“黑桃”和“梅花”各張，“方塊”張，剩下的為“紅桃”張．∴“紅桃”張，“黑桃”張，“方塊”張，“梅花”張，②黑色的為張，可以得到“黑桃”和“梅花”各張，“方塊”張，剩下的為“紅桃”張．∴“紅桃”張，“黑桃”張，“方塊”張，“梅花”張，③黑色的為張，可以得到“黑桃”和“梅花”各張，“方塊”張，剩下的為“紅桃”張．∴“紅桃”張，“黑桃”張，“方塊”張，“梅花”張，因此可能為：，，，或，，，或8，，，（不唯一），故答案為：；；；．【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件發(fā)生的概率，理解可能性的大小是正確解答的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）在一個(gè)不透明的口袋中裝著大小、外形等一模一樣的個(gè)紅球、個(gè)藍(lán)球和個(gè)白球，它們已經(jīng)在口袋中被攪勻了．請(qǐng)判斷以下事情是不確定事件、不可能事件，還是必然事件．從口袋中任意取出一個(gè)球，是一個(gè)白球；從口袋中一次任取個(gè)球，全是藍(lán)球；從口袋中一次任意取出個(gè)球，恰好紅藍(lán)白三種顏色的球都齊了．【答案】不確定事件；不可能事件；必然事件【分析】（1）從口袋中任意取出一個(gè)球，可能是紅球、籃球或白球，即可判斷；（2）口袋中只有三個(gè)藍(lán)球，則從口袋中一次任取個(gè)球，不可能全是藍(lán)球，即可判斷；（3）由于口袋中有個(gè)紅球、個(gè)藍(lán)球和個(gè)白球，任意一種或兩種顏色的球的總數(shù)都小于9，所以從口袋中一次任意取出個(gè)球，必然是三個(gè)顏色都有，即可做出判斷．【詳解】（1）從口袋中任意取出一個(gè)球，可能是紅球、藍(lán)球或白球，所以這個(gè)事件是不確定事件；（2）口袋中只有三個(gè)藍(lán)球，則從口袋中一次任取個(gè)球，不可能全是藍(lán)球，所以這個(gè)事件是不可能事件；（3）由于口袋中有個(gè)紅球、個(gè)藍(lán)球和個(gè)白球，任意一種或兩種顏色的球的總數(shù)都小于9，所以從口袋中一次任意取出個(gè)球，必然是三個(gè)顏色都有，因此這個(gè)事件是必然事件．【點(diǎn)睛】本題考查了不確定事件、不可能事件、必然事件的概念，熟練掌握各種事件的概念是判斷此類(lèi)問(wèn)題的依據(jù)．【經(jīng)典例題二根據(jù)概率公式計(jì)算概率】【例2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）同一元素中質(zhì)子數(shù)相同，中子數(shù)不同的各種原子互為同位素，如與、與．在一次制取的實(shí)驗(yàn)中，與的原子個(gè)數(shù)比為，與的原子個(gè)數(shù)比為，若實(shí)驗(yàn)恰好完全反應(yīng)生成，則反應(yīng)生成的概率（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反應(yīng)的化學(xué)方程式，畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，找出反應(yīng)生成的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：反應(yīng)的化學(xué)方程式為，與的原子個(gè)數(shù)比為，與的原子個(gè)數(shù)比為，反應(yīng)后生成的中來(lái)自于反應(yīng)物C，而來(lái)自于反應(yīng)物O，畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：

共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中反應(yīng)生成的結(jié)果數(shù)為2，∴反應(yīng)生成的概率為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：利用列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）將一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的表面涂成灰色，再把它分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體，從中任取一個(gè)小正方體，則取得的小正方體恰有三個(gè)面涂有灰色的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)題意得出恰有三個(gè)面涂有灰色的有8個(gè)，再利用概率公式求出答案．【詳解】解：由題意可得：小立方體一共有64個(gè)，恰有三個(gè)面涂有灰色的有8個(gè)，故取得的小正方體恰有三個(gè)面涂有灰色的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，正確得出三個(gè)面涂有灰色小立方體的個(gè)數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2023春·上海浦東新·八年級(jí)校考期末）不透明的布袋里有2個(gè)黃球、3個(gè)紅球，它們除顏色外其它都相同，那么（1）從布袋中任意摸出一個(gè)球，這個(gè)球恰好是紅球的概率是．（2）從布袋中一次摸出兩個(gè)球，這兩個(gè)球顏色相同的概率是．【答案】//【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，從中找出符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：從布袋中任意摸出一個(gè)球，這個(gè)球恰好是紅球的結(jié)果有3種，恰好是紅球的概率為：，故答案為：；（2）列表如下：紅紅紅黃黃紅（紅，紅）（紅，紅）（黃，紅）（黃，紅）紅（紅，紅）（紅，紅）（黃，紅）（黃，紅）紅（紅，紅）（紅，紅）（黃，紅）（黃，紅）黃（紅，黃）（紅，黃）（紅，黃）（黃，黃）黃（紅，黃）（紅，黃）（紅，黃）（黃，黃）由表知，共有20種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中另個(gè)顏色相同的結(jié)果有8種，所以這兩個(gè)球顏色相同的概率為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式和利用列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率，注意列表法和畫(huà)樹(shù)狀圖法不要遺漏和重復(fù)出現(xiàn)的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)不透明的袋子中裝有四個(gè)小球，這四個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是2，2，3，5，這些小球除標(biāo)有的數(shù)字外都相同．(1)從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是2的概率為_(kāi)_______；(2)先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再?gòu)拇须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用概念的公式直接計(jì)算即可；（2）先畫(huà)樹(shù)狀圖，找出所有的等可能結(jié)果和符合條件的等可能結(jié)果，再計(jì)算即可；【詳解】（1）解：從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，一共有4種等可能的結(jié)果，摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是2的結(jié)果有2種，因此，摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是2的概率，故答案為：（2）解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

從樹(shù)狀圖可以看出：一共有16種等可能的結(jié)果，摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是奇數(shù)的結(jié)果有4種，∴摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率為：，答：摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率．【點(diǎn)睛】本題考查了公式法求概率，畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求概率，正確畫(huà)出樹(shù)狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三已知概率求數(shù)量】【例3】（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)紅球和若干個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同．若從中任意摸出一個(gè)球是白球的概率是，則口袋中白球的數(shù)量是（

）A．20 B．24 C．30 D．36【答案】A【分析】設(shè)白球的個(gè)數(shù)是，根據(jù)概率公式列出方程，求得答案即可．【詳解】解：設(shè)白球的個(gè)數(shù)是，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，即：口袋中的白球有20個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)不透明的口袋中，裝有5個(gè)黃球、4個(gè)藍(lán)球和若干個(gè)紅球，每個(gè)球除顏色外都相同．從中任意摸出一個(gè)球是黃球的概率是，則從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先設(shè)口袋中紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意求得紅球個(gè)數(shù)即可求出摸到紅球的概率．【詳解】解∶設(shè)布袋中紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，∵任意摸出一個(gè)球是黃球的概率是，∴，解得∶x=1，∴P（摸到紅球）=．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單事件的概率，記住概率公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）一個(gè)不透明的口袋中裝有10個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，這些球除顏色外都相同，九年二班數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下試驗(yàn)：從口袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球記下它的顏色后，放回?fù)u勻，記為一次摸球試驗(yàn)，經(jīng)過(guò)大量試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則口袋中黃球大約有個(gè)．【答案】15【分析】設(shè)袋子中黃球約有x個(gè)，根據(jù)題意可知從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率為，由此根據(jù)概率公式建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)袋子中黃球約有x個(gè)，∵通過(guò)多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在附近，∴從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)紅球的概率為，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴袋子中黃球約有15個(gè)，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量問(wèn)題，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即概率值是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·陜西榆林·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）暑假期間，某商場(chǎng)為了吸引顧客，對(duì)一次購(gòu)物滿(mǎn)元的顧客可獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)得獎(jiǎng)券的機(jī)會(huì).如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)（轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成個(gè)扇形），轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，根據(jù)指針指向參照下表獲得獎(jiǎng)券（指針指向黃色區(qū)域不獲獎(jiǎng)，指向分界線時(shí)重轉(zhuǎn)，直到指向某一扇形為止）顏色紅藍(lán)黑獎(jiǎng)券金額（元）205080(1)甲顧客購(gòu)物元，他獲得獎(jiǎng)券的概率是___________；(2)乙顧客購(gòu)物元，并參與該活動(dòng)，他獲得元和元獎(jiǎng)券的概率分別是多少？(3)為加大活動(dòng)力度，現(xiàn)商場(chǎng)想調(diào)整獲得元獎(jiǎng)券的概率為，其余獎(jiǎng)券獲獎(jiǎng)概率不變，則需要將多少個(gè)黃色區(qū)域改為紅色？【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）用消費(fèi)的錢(qián)數(shù)和元比較即可確定能否參與抽獎(jiǎng)，不能參加抽獎(jiǎng)則獲得獎(jiǎng)金的概率為；（2）用概率公式求解即可；（3）設(shè)需要將個(gè)黃色區(qū)域改為紅色，根據(jù)元獎(jiǎng)券的概率為列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴小明購(gòu)物元，不能獲得轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，∴小明獲得獎(jiǎng)金的概率為；故答案為：．（2）解：乙顧客購(gòu)物600元，能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，由題意可知，每轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤(pán)，共有種等可能的結(jié)果，其中紅色的有種，黑色的有種，所以指針指向紅色的概率為，指針指向黑色的概率為，所以他獲得元和元獎(jiǎng)券的概率分別為，．（3）解：設(shè)需要將個(gè)黃色區(qū)域改為紅色，則由題意得，，解得：，所以需要將個(gè)黃色區(qū)域改為紅色．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，根據(jù)概率進(jìn)行計(jì)算，概率的意義，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四列表法求概率】【例4】（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，兩個(gè)相同的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)A和B，轉(zhuǎn)盤(pán)A被三等分2，0，；轉(zhuǎn)盤(pán)B被四等分3，2，，．如果同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)A，B，兩個(gè)指針指向轉(zhuǎn)盤(pán)A，B上的對(duì)應(yīng)數(shù)字分別為x，y（當(dāng)指針指在兩個(gè)扇形的交線時(shí)，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)）落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：203（2，3）（0，3）（，3）2（2，2）（0，2）（，2）（2，）（0，）（，）（2，）（0，）（，）由表可知，共有12種等可能結(jié)果，落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的情況有2種，所以點(diǎn)落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的概率是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查列表法或樹(shù)狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江大慶·九年級(jí)?？计谀┮豁?xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)定：拋擲一枚質(zhì)地均勻的六個(gè)面上的數(shù)字分別為1，2，3，4，5，6的正方體骰子，在第n關(guān)要拋擲骰子n次.如果第n次拋擲所得的點(diǎn)數(shù)之和大于n2就算過(guò)關(guān)，那么某人連過(guò)前兩關(guān)的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)概率公式求出第一關(guān)通過(guò)的概率，再用列表法列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于4的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求出第二關(guān)通過(guò)的概率，兩者相乘即可得出結(jié)論．【詳解】解：第一關(guān)通過(guò)時(shí)，擲出的點(diǎn)數(shù)必大于1，而1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中大于1的有5個(gè)，所以第一關(guān)通過(guò)的概率為：；再計(jì)算通過(guò)第二關(guān)的概率：列表如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112共有36種等可能的結(jié)果數(shù)，其中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于4的結(jié)果數(shù)為30，∴某人連過(guò)前兩關(guān)的概率是，所以，兩關(guān)全通過(guò)的概率為：．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）新高考“3+1+2”選科模式是指，除語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門(mén)科目以外，學(xué)生應(yīng)在歷史和物理2門(mén)首選科目中選擇1科，在思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門(mén)再選科目中選擇2科．某同學(xué)從4門(mén)再選科目中隨機(jī)選擇2科，恰好選擇地理和化學(xué)的概率為．【答案】【分析】表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再?gòu)闹姓业椒蠗l件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意列出表格如下：思想政治地理化學(xué)生物思想政治思想政治，地理思想政治，化學(xué)思想政治，生物地理地理，思想政治地理，化學(xué)地理，生物化學(xué)化學(xué)，思想政治化學(xué)，地理化學(xué)，生物生物生物，思想政治生物，地理生物，化學(xué)由表格可得，共有12種等可能的結(jié)果，其中該同學(xué)恰好選擇地理和化學(xué)兩科的有2種結(jié)果，某同學(xué)從4門(mén)再選科目中隨機(jī)選擇2科，恰好選擇地理和化學(xué)的概率為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率，列表法可以重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（2023春·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤(pán)如圖，游戲規(guī)則是：自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，若指針落在灰色扇形內(nèi)則獲獎(jiǎng)，落在白色扇形內(nèi)不獲獎(jiǎng)．已知灰色扇形的圓心角為120°．

(1)若苗苗和竇竇準(zhǔn)備各玩一次轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出兩人都獲獎(jiǎng)的概率．(2)圣誕節(jié)一天，參加該游戲的共有723人，估計(jì)當(dāng)天獲獎(jiǎng)的人數(shù)．【答案】(1)(2)241人．【分析】（1）列表法求概率即可；（2）利用概率公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：用表示灰色扇形，用表示白色扇形，列表如下：ABAA，AA，BBB，AB，B共有4種等可能的結(jié)果，其中苗苗和竇竇都中獎(jiǎng)的結(jié)果只有1種，∴；（2）由題意，玩一次轉(zhuǎn)盤(pán)游戲中獎(jiǎng)的概率為：，∴估計(jì)當(dāng)天獲獎(jiǎng)的人數(shù)為人．【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是掌握概率的計(jì)算公式以及列表法求概率．【經(jīng)典例題五列樹(shù)狀圖法求概率】【例5】（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）班主任邀請(qǐng)甲、乙、丙三位同學(xué)參加圓桌會(huì)議．如圖，班主任坐在C座位，三位同學(xué)隨機(jī)坐在三個(gè)座位，則甲、乙兩位同學(xué)座位相鄰的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有6種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果有4種，即，∴甲、乙兩位同學(xué)座位相鄰的概率為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了樹(shù)狀圖求概率，正確畫(huà)出樹(shù)狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南濮陽(yáng)·統(tǒng)考一模）某校舉行安全系列教育活動(dòng)主題手抄報(bào)的評(píng)比活動(dòng)，學(xué)校共設(shè)置了“交通安全”“消防安全”“飲食安全”“校園安全”四個(gè)主題內(nèi)容．一班推薦李明與張穎參加手抄報(bào)評(píng)比，他們兩人選取同一個(gè)主題的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中李明與張穎他們兩人選取同一個(gè)主題的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把“交通安全”“消防安全”“飲食安全”“校園安全”四個(gè)主題內(nèi)容分別記為A、B、C、D，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中李明與張穎兩人選取同一個(gè)主題的結(jié)果有4種，∴李明與張穎兩人選取同一個(gè)主題的概率是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2023春·上海徐匯·八年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谀┮粋€(gè)質(zhì)地均勻的正方形骰子的六個(gè)面上分別有到的點(diǎn)數(shù)，將骰子拋擲兩次，拋第一次，將朝上一面的點(diǎn)數(shù)記為，拋第二次，將朝上一面的點(diǎn)數(shù)記為，則點(diǎn)落在直線上的概率為．【答案】【分析】由題意畫(huà)樹(shù)狀圖，可得共有36種等可能的結(jié)果，然后求出在直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，最后計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有36種等可能的結(jié)果，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，∴在直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，共個(gè)，∴點(diǎn)、落在直線上的概率．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列舉法求概率，一次函數(shù)．解題的關(guān)鍵在于列舉所有可能存在的情況．3．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）黨的二十大報(bào)告再次將勞動(dòng)教育同“德育、智育、體育、美育”放在同等重要的戰(zhàn)略地位，明確了全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的重要性為落實(shí)勞動(dòng)教育，某校在寒假期間組織學(xué)生進(jìn)行“為家獻(xiàn)愛(ài)心”活動(dòng)活動(dòng)設(shè)置了四個(gè)愛(ài)心項(xiàng)目：A．為家人做早飯，B．洗碗，C．打掃家，D．洗衣服．要求每個(gè)學(xué)生必須且只能選擇一項(xiàng)參加，并且要堅(jiān)持整個(gè)寒假，為了了解全校參加各項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)所給信息，解答下列問(wèn)題：

(1)本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是人；(2)請(qǐng)將上述兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中缺失的部分補(bǔ)充完整；(3)該校參加活動(dòng)的學(xué)生共2600人，請(qǐng)估計(jì)該校參加A項(xiàng)目的學(xué)生有人；(4)小雯同學(xué)在整個(gè)寒假中每天都能堅(jiān)持洗碗，養(yǎng)成了很好的勞動(dòng)習(xí)慣，媽媽獎(jiǎng)勵(lì)帶她去看兩場(chǎng)電影，小雯聽(tīng)說(shuō)春節(jié)期間新上映的四部電影《流浪地球2》《滿(mǎn)江紅》《無(wú)名》《熊出沒(méi)之伴我熊芯》（依次記為a，b，c，d）都深受大家喜愛(ài)，很難做出決定，于是將寫(xiě)有這四個(gè)編號(hào)的卡片（除序號(hào)和內(nèi)容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗勻放好，從中隨機(jī)抽取兩張卡片．請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求抽到的兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿(mǎn)江紅》”的概率．【答案】(1)120(2)見(jiàn)解析(3)390(4)【分析】（1）用B組或D組的人數(shù)除以它們所占的百分比即可；（2）先求出C組人數(shù)和A組所占百分比，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）將A組所占百分比乘以參加活動(dòng)的學(xué)生總數(shù)即可；（4）用列表法或樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿(mǎn)江紅》”的結(jié)果數(shù)，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【詳解】（1）∵B組45人，占百分比為37.5%，∴接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：（人），故答案為：120；（2）C組人數(shù)為：（人），A組人數(shù)所占百分比為：，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

（3）∵（人），∴估計(jì)該校參加A項(xiàng)目的學(xué)生有390人，故答案為：390；（4）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

一共有12種等可能的結(jié)果，抽到的兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿(mǎn)江紅》”的有2種可能的結(jié)果，∴P（兩張卡片恰好是“a《流浪地球2》”和“b《滿(mǎn)江紅》”）．【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率，掌握相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖的意義和列表法和樹(shù)狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六用頻率估計(jì)概率】【例6】（2023秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖①所示，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），開(kāi)元同學(xué)想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，將不規(guī)則圖案圍起來(lái)，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長(zhǎng)方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長(zhǎng)方形區(qū)域外不計(jì)試驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此他估計(jì)不規(guī)則圖案的面積大約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題分兩部分求解，首先設(shè)不規(guī)則圖案面積為x，根據(jù)幾何概率知識(shí)求解不規(guī)則圖案占長(zhǎng)方形的面積大?。焕^而根據(jù)折線圖用頻率估計(jì)概率，綜合以上列方程求解．【詳解】解：假設(shè)不規(guī)則圖案面積為由已知得：長(zhǎng)方形面積為，根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：，當(dāng)事件A試驗(yàn)次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時(shí)，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計(jì)值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為，綜上有：，解得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率以及用頻率估計(jì)概率；本題考查了幾何概率和用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是理解題意，得出小球落在不規(guī)則圖案內(nèi)的概率約為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）甲，乙兩位同學(xué)在一次用頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是（

）A．從一個(gè)裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球的不透明袋子中任取一個(gè)球，取到紅球的概率B．在內(nèi)任意寫(xiě)出一個(gè)整數(shù)，能被2整除的概率C．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率D．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率【答案】A【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在附近波動(dòng)，即其概率，計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為者即為正確答案．【詳解】解：A、從一裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率是：，故該選項(xiàng)符合題意；B、任在內(nèi)任意寫(xiě)出一個(gè)整數(shù)，能被2整除的概率為，故該選項(xiàng)不符合題意；C、擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故該選項(xiàng)不符合題意；D、擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，正確計(jì)算出各自的概率是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·天津津南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果記錄如下表：投籃次數(shù)（n）50100150200250300500投中次數(shù)（m）286078104123152251投中頻率先將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)全（精確到）；根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計(jì)，這名球員投籃一次．投中的概率約是（精確到）．【答案】【分析】用投中的次數(shù)除以投籃的次數(shù)即可補(bǔ)全表中數(shù)據(jù)；根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，隨著投籃次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0．50附近，【詳解】解：，由頻率分布表可知，隨著投籃次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)附近，∴這名球員在罰球線上投籃一次，投中的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解這種概率的得出是在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出的，不能單純的依靠幾次決定．3．（2023春·陜西西安·七年級(jí)高新一中校考期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個(gè)除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．如表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5896b295480601摸到白球的頻率a0.640.590.590.600.601(1)上表中的_________，_________；(2)“摸到白球”的概率的估計(jì)值是_______(精確到)；(3)如果袋中有15個(gè)白球，那么袋中除了白球外，還有多少個(gè)其它顏色的球．【答案】(1)0.58，118(2)0.6(3)10個(gè)【分析】（1）利用頻率=頻數(shù)÷樣本容量直接求解即可；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率接近0.6；（3）根據(jù)利用頻率估計(jì)概率，可估計(jì)摸到白球的概率為0.6，然后利用概率公式計(jì)算其它顏色的球的個(gè)數(shù)．【詳解】（1），，故答案為：0.58，118；（2）由表格的數(shù)據(jù)可得，“摸到白球的”的概率的估計(jì)值是0.6．故答案為：0.6；（3）(個(gè))，答：除白球外，還有大約10個(gè)其它顏色的小球．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【經(jīng)典例題七用頻率估計(jì)概率的綜合應(yīng)用】【例7】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）在一個(gè)不透明的罐子里裝有若干個(gè)白色的圍棋，現(xiàn)要估計(jì)白棋的個(gè)數(shù)，從裝黑棋的罐子里取出10個(gè)黑棋放入白棋的罐子里．這些棋子除?色外其他完全相同．將罐子里的棋子攪勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)棋子，記下顏色后再放回袋中，不斷地重復(fù)這個(gè)過(guò)程，摸了200次后，發(fā)現(xiàn)有25次摸到黑棋子，估計(jì)這個(gè)罐子里的白棋有（

）A．80個(gè) B．75個(gè) C．70個(gè) D．60個(gè)【答案】C【分析】首先根據(jù)重復(fù)試驗(yàn)確定取到黑棋子的頻率，然后估計(jì)白棋子的個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子，∴摸到黑色棋子的概率約為，∴摸到白色棋子的概率約為，∵共有10可黑色棋子，∴設(shè)有個(gè)白色棋子，則，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了用樣本估計(jì)總體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)重復(fù)試驗(yàn)確定摸到各種棋子的概率，難度不大．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖是用計(jì)算機(jī)模擬拋擲一枚啤酒瓶蓋試驗(yàn)的結(jié)果，下面有四個(gè)推斷，其中最合理的（）A．當(dāng)投擲次數(shù)是時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“凸面向上”的頻率是，所以“凸面向上”的概率是B．若再次用計(jì)算機(jī)模擬此實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為時(shí)，“凸面向上”的頻率一定是C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“凸面向上”的頻率總在附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“凸面向上”的概率是D．當(dāng)投擲次數(shù)是次以上時(shí)，“凸面向上”的頻率一定是．【答案】C【分析】根據(jù)圖形和各個(gè)小題的說(shuō)法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：A、當(dāng)投擲次數(shù)是時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“凸面向上”的頻率是，所以“凸面向上”的頻率是，概率不一定是，故A選項(xiàng)不符合題意；B、若再次用計(jì)算機(jī)模擬此實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為時(shí)，“凸面向上”的頻率不一定是，故B選項(xiàng)不符合題意；C、隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“凸面向上”的頻率總在附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“凸面向上”的概率是，故C選項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)投擲次數(shù)是次以上時(shí)，“凸面向上”的頻率不一定是，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）十八世紀(jì)法國(guó)的博物學(xué)家C·布豐做過(guò)一個(gè)有趣的投針試驗(yàn)．如圖，在一個(gè)平面上畫(huà)一組相距為d的平行線，用一根長(zhǎng)度為l（）的針任意投擲在這個(gè)平面上，針與直線相交的概率為，可以通過(guò)這一試驗(yàn)來(lái)估計(jì)的近似值，某數(shù)學(xué)興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬布豐投針試驗(yàn)，取，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：試驗(yàn)次數(shù)15002000250030003500400045005000相交頻數(shù)4956237999541123126914341590相交頻率0.33000.31150.31960.31800.32090.31730.31870.3180可以估計(jì)出針與直線相交的概率為（精確到0.001），由此估計(jì)的近似值為（精確到0.001）．【答案】【分析】根據(jù)頻率估計(jì)概率即可；然后將其代入公式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)逐漸增大時(shí)，相交頻率接近與0.318，∴相交的概率為0.318；∵，∴，∴，解得：故答案為：①；②【點(diǎn)睛】題目主要考查利用頻率估計(jì)概率及近似數(shù)的計(jì)算，理解題意是解題關(guān)鍵．3．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)口袋中裝有個(gè)白球、個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同，將口袋中的球攪拌均勻，求：(1)隨機(jī)摸出一球，發(fā)現(xiàn)是白球．如果將這個(gè)白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______；如果這個(gè)白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______；(2)如果將口袋中加入若干個(gè)白球，并取出相同數(shù)量的紅球，然后再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸了次球，發(fā)現(xiàn)有次摸到紅球，請(qǐng)你估計(jì)加入______個(gè)白球．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①摸出一個(gè)白球放回對(duì)第二次摸到白球沒(méi)有影響，直接利用概率公式求解即可；②確定摸出一個(gè)白球不放回的白球和紅球的個(gè)數(shù)，直接利用概率公式求解即可；（2）估計(jì)利用頻率估計(jì)概率可估計(jì)摸到紅球的概率為，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（1）①如果將這個(gè)白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是；②如果這個(gè)白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是；故答案為：①；②（2）解：設(shè)加入個(gè)白球，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，估計(jì)加入個(gè)白球．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的公式和利用頻率估計(jì)概率，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確．【經(jīng)典例題八概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用】【例8】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）有2個(gè)信封，第一個(gè)信封內(nèi)的四張卡片上分別寫(xiě)有1，2，3，4，第二個(gè)信封內(nèi)的四張卡片上分別寫(xiě)有5，6，7，8，甲、乙兩人商定了一個(gè)游戲，規(guī)則是：從這兩個(gè)信封中各隨機(jī)抽取一張卡片，得到兩個(gè)數(shù)．為了使大量次游戲后對(duì)雙方都公平，獲勝規(guī)則不正確的是（

）A．第一個(gè)信封內(nèi)取出的數(shù)作為橫坐標(biāo)，第二個(gè)信封內(nèi)取出的數(shù)作為縱坐標(biāo)，所確定的點(diǎn)在直線上甲獲勝，所確定的點(diǎn)在直線上乙獲勝B．取出的兩個(gè)數(shù)乘積不大于15甲獲勝，否則乙獲勝C．取出的兩個(gè)數(shù)乘積小于20時(shí)甲得3分，否則乙得6分，游戲結(jié)束后，累計(jì)得分高的人獲勝D．取出的兩個(gè)數(shù)相加，如果得到的和為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝【答案】A【分析】利用列表法分別求出各選項(xiàng)中各自情況情況數(shù)即可得出答案．【詳解】解：在上的點(diǎn)有，，，四點(diǎn)；在上的點(diǎn)有，，三點(diǎn)，因此該游戲不公平，故A符合題意；取出兩個(gè)數(shù)的乘積不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8種情況，取出兩個(gè)數(shù)的乘積大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8種情況，因此該游戲公平，故B項(xiàng)不符合題意；取出的兩個(gè)數(shù)乘積小于20的情況數(shù)為10種，可得分，取出的兩個(gè)數(shù)乘積不小于小于20的情況數(shù)為6種，可得分，因此該游戲公平，故C項(xiàng)不符合題意；取出的兩個(gè)數(shù)相加和為奇數(shù)有8種，和不為奇數(shù)的有8種，因此該游戲公平，故D項(xiàng)不符合題意故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了游戲的公平性，求出各選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)情況數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖的四個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)中，轉(zhuǎn)盤(pán)3，4被分成8等分，若讓轉(zhuǎn)盤(pán)自由轉(zhuǎn)動(dòng)一次停止后，指針落在陰影區(qū)域內(nèi)可能性從大到小排列為（）A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②①【答案】A【詳解】解：圖1陰影部分為270°，圖2陰影部分為240°，圖3每份為45°，陰影部分共4份為180°，圖4每份為45°陰影部分共5份為225°，所以①②④③，故選A．2．（2023秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏市一中校聯(lián)考期末）如圖，有8張標(biāo)記數(shù)字1-8的卡片．甲、乙兩人玩一個(gè)游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時(shí)，卡片上標(biāo)記的數(shù)字必須連續(xù)）；最后一個(gè)將卡片取完的人獲勝．若甲先取走標(biāo)記2，3的卡片，乙又取走標(biāo)記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則（填“甲”或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標(biāo)記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案是．（只填一種方案即可）【答案】甲取走標(biāo)記5，6，7的卡片（答案不唯一）【分析】由游戲規(guī)則分析判斷即可作出結(jié)論．【詳解】解：若甲先取走標(biāo)記2，3的卡片，乙又取走標(biāo)記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，為4，5或5，6，則剩余的卡片為1，6或1，4，然后乙只能取走一張卡片，最后甲將一張卡片取完，則甲一定獲勝；若甲首次取走標(biāo)記數(shù)字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：乙取走5，6，7，則甲再取走4和8中的一個(gè)，最后乙取走剩下的一個(gè)，則乙一定獲勝，故答案為：甲；5，6，7（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查游戲公平性，理解游戲規(guī)則是解答的關(guān)鍵．3．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料一：甲、乙兩個(gè)人做游戲：在一個(gè)不透明的口袋中裝有張紙牌除數(shù)字外完全相同，它們分別標(biāo)有數(shù)字，，，，，，，，從中隨機(jī)摸出一張紙牌，若摸出紙牌上的數(shù)字是的倍數(shù)，則甲勝；若摸出紙牌上的數(shù)字是的倍數(shù)，則乙勝，請(qǐng)比較甲和乙誰(shuí)獲勝的概率大？_________填，或材料二：如圖，某商場(chǎng)為吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成個(gè)扇形，并規(guī)定：顧客每購(gòu)買(mǎi)元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，若轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅、綠或黃色區(qū)域，顧客就可以分別獲得元、元、元的購(gòu)物券，則顧客轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤(pán)獲得元購(gòu)物券的概率是_________．材料三：圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，停止后指針落在區(qū)域的概是_________．

【答案】材料一：；材料二：；材料三：【分析】材料一：在，，，，，，，中，的倍數(shù)有個(gè)，的倍數(shù)有個(gè)，分別求得摸到的倍數(shù)與摸到的倍數(shù)的概率；即可得答案；材料二：根據(jù)轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成份，轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針對(duì)準(zhǔn)每分的可能性相同，可得顧客轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤(pán)獲得元購(gòu)物券的概率是，材料三：用扇形區(qū)域的圓心角除以即可得到答案．【詳解】解：材料一：在，，，，，，，中，的倍數(shù)有個(gè)，的倍數(shù)有個(gè)，摸出每張紙牌的可能性相同，摸到的倍數(shù)，摸到的倍數(shù)；出紙牌上的數(shù)字是的倍數(shù)，則甲勝；若摸出紙牌上的數(shù)字是的倍數(shù)，則乙勝，，故答案為：；材料二：轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成份，轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針對(duì)準(zhǔn)每分的可能性相同，轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針對(duì)準(zhǔn)綠色區(qū)域，顧客就可以獲得元的購(gòu)物券，顧客轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤(pán)獲得元購(gòu)物券的概率是；故答案為：．材料三：由圖形可知，扇形區(qū)域的圓心角為，轉(zhuǎn)盤(pán)停止后指針落在區(qū)域的概率是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握概率公式求概率．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)校聯(lián)考期中）“三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角”這一事件是（）A．隨機(jī)事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，以及必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念解答．【詳解】解：三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角是必然事件，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理、必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2．（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)不透明的口袋里有四個(gè)完全相同的小球，分別寫(xiě)有數(shù)字3，4，5，6，口袋外有兩個(gè)小球，分別寫(xiě)有數(shù)字3，6，現(xiàn)隨機(jī)從口袋里取出一個(gè)小球，以這個(gè)小球與口袋外的兩個(gè)小球上的數(shù)為邊能構(gòu)成等腰三角形的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由題意可知共有4種等可能的結(jié)果，再由三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的判定得出能構(gòu)成等腰三角形的有1種情況，然后由概率公式求解即可．【詳解】解：∵一個(gè)不透明的口袋里有四個(gè)完全相同的小球，分別寫(xiě)有數(shù)字3，4，5，6,∴共有4種等可能的結(jié)果，∴這個(gè)小球與口袋外的兩個(gè)小球上的數(shù)為邊能構(gòu)成等腰三角形的有：3，6，6，共1種情況，∴能構(gòu)成等腰三角形的概率是，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式、等腰三角形的判定以及三角形的三邊關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．3．（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)小球在如圖所示的地面上自由滾動(dòng)，小球停在陰影區(qū)域的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】分別計(jì)算整個(gè)圖形的面積和陰影部分面積，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：整個(gè)圖形面積，陰影部分面積，∴小球停在陰影區(qū)域的概率，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握幾何概率公式：一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件發(fā)生的概率．4．（2023秋·黑龍江大慶·八年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）一天晩上，小偉幫助媽媽清洗四個(gè)綠、白、藍(lán)、紅顏色不同的有蓋茶杯，突然停電了，小偉隨機(jī)將其中一個(gè)杯蓋和一個(gè)茶杯搭配在一起．則這個(gè)茶杯顏色搭配恰好正確的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將四個(gè)綠、白、藍(lán)、紅顏色不同的有蓋茶杯分別記作；；；，列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：將四個(gè)綠、白、藍(lán)、紅顏色不同的有蓋茶杯分別記作；；；，列表如下：共有16種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中這個(gè)茶杯顏色搭配恰好正確的有4種結(jié)果，這個(gè)茶杯顏色搭配恰好正確的概率為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率，列表法可以重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．（2023春·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1所示，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法:用一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，將不規(guī)則圖案圍起來(lái)，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)朝長(zhǎng)方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（小球扔在界線上或長(zhǎng)方形區(qū)域外不計(jì)入試驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效試驗(yàn)的結(jié)果繪制成了圖2所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此可估計(jì)不規(guī)則圖案的面積大約是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖知，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)逐漸增加時(shí)，樣本的頻率穩(wěn)定在0.35，因此用頻率估計(jì)概率，再根據(jù)幾何概率知，不規(guī)則圖案的面積與矩形面積的比為0.35，即可求得不規(guī)則圖案的面積．【詳解】p由折線統(tǒng)計(jì)圖知，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，小球落在不規(guī)則圖案上的頻率穩(wěn)定在0.35，于是把0.35作為概率．設(shè)不規(guī)則圖案的面積為xcm2，則有解得：x=14即不規(guī)則圖案的面積為14cm2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率以及用頻率估計(jì)概率，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了題目創(chuàng)新，關(guān)鍵在于讀懂折線統(tǒng)計(jì)圖的含義，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定于0.35附近，由此得實(shí)驗(yàn)的頻率，并把它作為概率．這對(duì)學(xué)生知識(shí)的靈活應(yīng)用提出了更高的要求．6．（2023春·吉林松原·八年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)口袋中有15個(gè)黑球和若干個(gè)白球，從口袋中一次摸出10個(gè)球，求出黑球數(shù)與10的比值，不斷重復(fù)上述過(guò)程，總共摸了10次，黑球數(shù)與10的比值的平均數(shù)為，因此可估計(jì)口袋中大約有個(gè)白球.【答案】60【分析】把作為黑球與總數(shù)的比，用15除以求出總數(shù)，減去黑球數(shù)即為所求．【詳解】解：由題意知，黑球數(shù)與10的比值的平均數(shù)為，則說(shuō)明黑球占總球數(shù)的，所以總球數(shù)為個(gè)，則白球數(shù)為個(gè)．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，關(guān)鍵是根據(jù)黑球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系求得球的總個(gè)數(shù)．7．（2023·遼寧遼陽(yáng)·校聯(lián)考三模）如圖，三角形紙板，點(diǎn)M，N分別是中點(diǎn)，點(diǎn)D，E在上，連接、，，小明隨機(jī)向紙板內(nèi)投擲飛鏢一次，飛鏢落在陰影部分的概率是．

【答案】【分析】求出飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影部分的面積與三角形的面積之比即可．【詳解】解：連接，設(shè)與交于點(diǎn)O．

設(shè)，中邊上的高為h，則，∵點(diǎn)M、N分別是，中點(diǎn)，∴，中邊上的高為，梯形的高為,∴．在與中，，∴，∴，中邊上的高為，中邊上的高為，∵，∴，∴飛鏢落在陰影部分的概率是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率問(wèn)題，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．也考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積．8．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期中）八年級(jí)（1）班有40位同學(xué)，他們的學(xué)號(hào)是，隨機(jī)抽取一名學(xué)生參加座談會(huì)，下列事件：①抽到的學(xué)號(hào)為奇數(shù)；②抽到的學(xué)號(hào)是個(gè)位數(shù)；③抽到的學(xué)號(hào)不小于35．其中，發(fā)生可能性最小的事件為（填序號(hào)）．【答案】③【分析】分別求出三個(gè)事件的概率，再比較大小即可得到答案．【詳解】解：①抽到的學(xué)號(hào)是奇數(shù)的可能性為；②抽到的學(xué)號(hào)是個(gè)位數(shù)的可能性為；③抽到的學(xué)號(hào)不小于35的可能性為，，發(fā)生可能性最小的事件為為③，故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本概率的計(jì)算及比較可能性大小，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（2023春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的一項(xiàng)發(fā)明，被譽(yù)為“東方模板”它山五塊等腰直角三角形、一塊正方形、一塊平行四邊形組成．如圖，某同學(xué)利用七巧板拼成的正方形玩“滾小球游戲”，小球可以在該正方形上自山滾動(dòng)，并隨機(jī)地停留在某塊板上，則小球停留在陰影部分的概率是．

【答案】【分析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，先求出陰影部分的面積，然后根據(jù)概率公式即可得到答案．【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，，大正方形的面積，小球停留在陰影部分的概率．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率，熟練掌握幾何概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·貴州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)小組用某種油菜籽在相同條件下進(jìn)行了10次獨(dú)立的發(fā)芽試驗(yàn)，結(jié)果如表：每次粒數(shù)n251070130310700150020003000發(fā)芽的粒數(shù)m24960116282639133918062715發(fā)芽的頻率1則估計(jì)該種油菜籽發(fā)芽的概率約為．（精確到）【答案】【分析】求各頻率的平均數(shù)，后精確到即可．【詳解】根據(jù)題意，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了了用頻率估計(jì)概率，熟練掌握頻率的平均數(shù)估計(jì)概率是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一個(gè)不透明的口袋中有4個(gè)大小相同的小球，球面上分別寫(xiě)有數(shù)字1、2、3、3，從袋中隨機(jī)地摸出一個(gè)小球，記錄下數(shù)字后放回，再隨機(jī)地摸出一個(gè)小球．(1)求第一次摸出一個(gè)球，球上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是______；(2)請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法的方法，求兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）列出表格，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）∵4個(gè)球上的數(shù)有1個(gè)偶數(shù)，∴第一次摸出一個(gè)球，球上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是，故答案為：；（2）列表如下：123312344234553456634566由表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果有6種，∴兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的概率．【點(diǎn)睛】本題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率，樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．12．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某校九年級(jí)名學(xué)生參加“信息素養(yǎng)提升”培訓(xùn)，在培訓(xùn)前、后各參加了一次水平相同的測(cè)試，并將成績(jī)記為“分”、“分”、“分”、“分”、“分”五種等級(jí)為了解培訓(xùn)效果，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的兩次測(cè)試成績(jī)，并制成如下統(tǒng)計(jì)表格：訓(xùn)前成績(jī)分

劃記正正正正人數(shù)人

培訓(xùn)后成績(jī)分

劃記一正正正正人數(shù)人

若被抽取的學(xué)生培訓(xùn)前測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是，培訓(xùn)后測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是，則(1)______；填“”、“”或“”(2)這名學(xué)生在培訓(xùn)后仍有四名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椤胺帧?，其中兩人是小林和小王，現(xiàn)要從這四名學(xué)生的試卷里任選兩份出來(lái)點(diǎn)評(píng)，求恰好同時(shí)選到小林和小王的概率是多少？(3)請(qǐng)你估計(jì)九年級(jí)名學(xué)生經(jīng)過(guò)培訓(xùn)后，測(cè)試成績(jī)?yōu)椤胺帧钡膶W(xué)生能增加多少人？【答案】(1)(2)(3)測(cè)試成績(jī)?yōu)椤胺帧钡膶W(xué)生增加了人【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中同時(shí)選到小林和小王的概率的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．（3）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：培訓(xùn)前測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)，培訓(xùn)后測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)，；故答案為：；（2）解：設(shè)小林和小王分別為，，其他兩同學(xué)為，，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中恰好同時(shí)選到小林和小王的結(jié)果有種，恰好同時(shí)選到小林和小王的概率為．（3）解：培訓(xùn)前：，培訓(xùn)后：，，答：測(cè)試成績(jī)?yōu)椤胺帧钡膶W(xué)生增加了人．【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本估計(jì)總體，中位數(shù)，求概率，熟練掌握中位數(shù)的定義