【數(shù)學】3.3.1《幾何概型》課件(新人教B版必修3)

3.3.1幾何概型

我們知道古典概型只有在滿足“有限性”和“等可能性”兩個性質的前提下才能適用，那么對于試驗結果有無窮多個的情形該怎樣處理呢？例1.在轉盤上有8個面積相等的扇形，轉動轉盤，求轉盤停止轉動時指針落在陰影部分的概率。我們知道古典概型只有在滿足“有限性”和“等可能性”兩個性質的前提下才能適用，那么對于試驗結果有無窮多個的情形該怎樣處理呢？例1.在轉盤上有8個面積相等的扇形，轉動轉盤，求轉盤停止轉動時指針落在陰影部分的概率。例2.在500ml的水中有一只草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率。以上兩個試驗的可能結果個數(shù)無限，所以它們都不是古典概型。先看例1，由經驗得知“指針落在陰影部分的概率”可以用陰影部分的面積與總面積之比來衡量，即P(A)=同樣地，例2中由于取水樣的隨機性，所求事件A：“在取出的2ml的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比總之，這兩個試驗的共同點是：如果把事件A理解為區(qū)域Ω的某一個子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量（長度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無關，則稱滿足以上條件的試驗為幾何概型

.Ω在幾何概型中，事件A的概率定義為：其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量,μA表示子區(qū)域A的幾何度量

.幾何概型具有兩個特點：一是無限性：在一次試驗中，基本事件的個數(shù)必須是無數(shù)個；二是等可能性：在試驗中，每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的。例3.隨機事件A：“從正整數(shù)中任取兩個數(shù)，其和為偶數(shù)”是否為幾何概型。解：盡管這里事件滿足幾何概型的兩個特點：有無限多個基本事件，且每個基本事件的出現(xiàn)是等可能的，但它不滿足幾何概型的基本特征——能進行幾何度量。所以事件A不是幾何概型。例4.下列隨機試驗是否為幾何概型？為什么？（1）經過嚴格訓練的槍手的打靶；（2）某學生從家里到達學校所用的時間。答案：（1）不是；（2）是。例5.一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率.解：對于幾何概型，關鍵是要構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率.如圖，區(qū)域Ω是長30m、寬20m的長方形.圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m”，問題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率.

由于區(qū)域Ω的面積為30×20=600(m2)，陰影A的面積為30×20－26×16=184(m2).∴P（A）=≈0.31.例6.平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率.解：記事件A：“硬幣不與任一條平行線相碰”.為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，參看圖，這樣線段OM長度(記作|OM|)的取值范圍是[0，a]，只有當r＜|OM|≤a時，硬幣不與平行線相碰，所以P(A)=例7.某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率.解：設A={等待的時間不多于10分鐘}，我們所關心的事件A恰好是打開收音機的時刻位于[50，60]時間段內，因此由幾何概型的求概率的公式得P(A)=例8.假設你家訂了一份報紙，送報人在早上6：30至7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00至8：00之間，問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少？解：這里涉及到兩個變量，把送報人的時間設為x變量，父親上班的時間設為y變量，于是得到數(shù)對(x，y)，表示某一天兩個變量之間的關系?？偟那闆r是Ω={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}.事件A滿足的條件是A={(x,y)|y≤x,x∈Ω,y∈Ω}.在直角坐標系中畫出圖形。總的情況是Ω={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}.事件A滿足的條件是A={(x,y)|y≤x,x∈Ω,y∈Ω}.在直角坐標系中畫出圖形。Ω表示的是矩形面積1，A表示的是陰影部分面積所以P(A)=例9.如圖，在直角坐標系內，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在XOT內的概率.解：以O為起點作射線OA是隨機的，因而射線OA落在任何位置都是等可能的。落在∠XOT內的概率只與∠XOA的大小有關，符合幾何概型的條件。記事件A={射線OA落在∠XOT內}.因為∠XOT=60°，所以P(A)=例10.將長為l的棒隨機折成3段，求3段長度能構成三角形的概率.解：設A=“3段長度能構成三角形”，x，y

分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為l－x－y，試驗的全部結果可構成集合

Ω={(x，y)|0<x<l，0<y<l，0<x+y<l}，要使3段長度能構成三角形，當且僅當任意兩段長度之和大于第3段長度。故所求結果構成的集合A={(x，y)|x+y>,x<