福建省三明市A片區(qū)高中聯(lián)盟校高三上學(xué)期階段性考試(期末考)數(shù)學(xué)（理）試題

三明市A片區(qū)高中聯(lián)盟校2017—2018學(xué)年第一學(xué)期階段性考試高三理科數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則等于（）A.B.C.D.【答案】B∴故選B2.已知：，：，那么是成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】∵：∴可化簡(jiǎn)為或者∵：∴可化簡(jiǎn)為∴是成立的必要不充分條件故選B3.幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）A.B.C.D.以上都不對(duì)【答案】A【解析】由題可知該幾何體為軸截面為正三角形的圓錐，底面圓的直徑為2，高為∴外接球半徑∴外接球表面積故選A點(diǎn)睛：求多面體的外接球的表面積或體積問(wèn)題是高考常見問(wèn)題，屬于高頻考點(diǎn)，有一定的難度.求多面體的外接球的半徑的基本方法有三種，第一種：當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直時(shí)，可還原為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接圓的直徑；第二種：“套球”當(dāng)棱錐或棱柱是較特殊的形體時(shí)，在球內(nèi)畫出棱錐或棱柱，利用底面的外接圓為球小圓，借助底面三角形或四邊形求出小圓的半徑，再利用勾股定理求出球的半徑，第三種：過(guò)兩個(gè)多面體的外心作兩個(gè)面的垂線，交點(diǎn)即為外接球的球心，再通過(guò)關(guān)系求半徑.4.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A.向右平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向左平移個(gè)單位【答案】A【解析】∵由圖可知，最小正周期為，∴∴∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)∴∵∴∴是將向右平移個(gè)單位得到故選A點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題；圖象的伸縮變換的規(guī)律：（1）把函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則所得圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，遵循“左加右減”；（2）把函數(shù)圖像上點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（），那么所得圖像對(duì)應(yīng)的解析式為.5.定義設(shè)，則由函數(shù)的圖象與軸、直線所圍成的封閉圖形的面積（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由，得，則圖象的交點(diǎn)為，∵∴根據(jù)對(duì)稱性可得函數(shù)的圖象與軸、直線所圍成的封閉圖形的面積為故選B6.已知奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵∴∴∵，且為奇函數(shù)∴故選B7.公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，正多邊形的面積可無(wú)限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的程序框圖如圖所示，若輸出的，則的值可以是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.3.14B.3.1C.3D.2.8【答案】B【解析】輸入，進(jìn)入循環(huán)由題可知不滿足，進(jìn)入循環(huán)由題可知不滿足，進(jìn)入循環(huán)由題可知滿足，輸出，此時(shí)故選B8.已知橢圓（）與雙曲線（）有相同的焦點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為∵兩曲線有相同的焦點(diǎn)∴，即∴令，，∴∵∴∴∴故選C9.已知在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為4，則當(dāng)取最小值時(shí)首項(xiàng)等于（）A.32B.16C.8D.4【答案】A【解析】設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為∵與的等比中項(xiàng)為4∴∴∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)故選A10.若，且，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵，∴，且∴∴∵∴∴故選D11.已知（，…，）是拋物線：上的點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若，則等于（）A.1008B.1009C.2017D.2018【答案】D【解析】設(shè)的橫坐標(biāo)為（，…，）由拋物線的焦半徑公式可得∵∴，即∴故選D點(diǎn)睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，屬于難題.與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問(wèn)題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問(wèn)題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問(wèn)題得到解決.12.設(shè)函數(shù)，，若實(shí)數(shù)，滿足，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵由題可知∴在為增函數(shù)∵，∴∵∴∴，∴故選D第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若向量，，，則__________．【答案】【解析】∵∴∴故答案為14.若實(shí)數(shù)，滿足則的取值范圍是__________．【答案】【解析】作出可行域如圖所示：表示圓心為，半徑為的圓作圖可知當(dāng)圓與直線相切時(shí)值最小，且為當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)或者點(diǎn)時(shí)，最大，且為∴故答案為點(diǎn)睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）；(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解；(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.15.雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，，過(guò)的直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】10【解析】根據(jù)雙曲線得根據(jù)雙曲線的定義相加得由題意可知,當(dāng)是雙曲線通徑時(shí)最小即有即有故答案為10試題點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)，兩點(diǎn)的位置特征可得是雙曲線通徑時(shí)最小.16.如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)成，構(gòu)成四棱錐，若為線段的中點(diǎn)，在翻轉(zhuǎn)過(guò)程中有如下四個(gè)命題：①平面；②存在某個(gè)位置，使；③存在某個(gè)位置，使；④點(diǎn)在半徑為的圓周上運(yùn)動(dòng)，其中正確的命題是__________．【答案】①③④【解析】對(duì)于①，取中點(diǎn),連接,則∥，∥,所以平面平面,所以平面，故正確；對(duì)于②，因?yàn)樵谄矫嬷械纳溆盀?，與不垂直，所以存在某個(gè)位置,使不正確，故不正確；對(duì)于③，由,可得平面平面時(shí),，故正確；對(duì)于④，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)是定點(diǎn),，所以點(diǎn)是在以為圓心，為半徑的圓上，故正確故答案為①③④三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.在中，點(diǎn)在邊上，且滿足，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）或．【解析】試題分析：（1）由得，根據(jù)，可得，再根據(jù)三角恒等變換，即可求出求；（2）由（1）得，利用余弦定理即可求出．試題解析：（1）在中，，∵∴，∵∴，∴∴，∴（∵），∴∴．（2）由（1）得，∴，∴或．18.已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，，前項(xiàng)和，是與的等差中項(xiàng)（）．（1）求證：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由是與的等差中項(xiàng)（），可得，從而證出是等差數(shù)列及的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可求出的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的特性，采用錯(cuò)位相減法即可求出．試題解析：（1）∵當(dāng)時(shí)，∴，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴∴（），∵當(dāng)時(shí)也成立，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∴．..............................19.如圖，在四棱錐中，平面，且，，是邊的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）：?jiǎn)柈?dāng)為何值時(shí)，二面角余弦值為．【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）由平面得，再根據(jù)，可推出平面，再由及是邊的中點(diǎn)，可推出，從而可證平面；（2）在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線，，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）可得是平面的一個(gè)法向量，再求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)二面角余弦值為，即可求得.試題解析：（1）證明：∵平面∴，∵，，∴平面∴，在等腰直角中，∵是邊的中點(diǎn)∴，∵∴平面．（2）解：在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線，，∵平面，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，∴，∴，∵平面∴是平面的一個(gè)法向量，∵是線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)（），∴，∴，∴，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，∴∴取，，∴設(shè)二面角大小為，∴∴，此時(shí)二面角是鈍二面角，符合題意，此時(shí)．點(diǎn)睛：用向量法解決立體幾何問(wèn)題的注意點(diǎn)：（1）建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)要判斷是否具備了兩兩垂直的三條直線，否則要先給出證明；（2）求線面角時(shí)要借助直線的方向向量和平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值求出線面角的正弦值；求二面角時(shí)，要借助兩平面法向量夾角的余弦值來(lái)求出二面角的余弦值，但在解題時(shí)要借助于圖形來(lái)判斷二面角為銳角還是鈍角．20.設(shè)橢圓的方程為（），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)在線段上，滿足，直線的斜率為．（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（），問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)出理由．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由及直線的斜率為，即可求得，從而求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程：，聯(lián)立橢圓方程，消去，得關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理，可得與，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，則，由，即可求出的值.試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，，∴∴橢圓的方程．（2）設(shè)直線方程：，代入，得，設(shè)，，則，，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，則．∴，，，即，得，整理得∴（∵），當(dāng)時(shí)，符合題意21.已知函數(shù)，，且在處的切線平行于直線．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)，，試比較與的大?。敬鸢浮浚?）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．（2）【解析】試題分析：（1）寫出的定義域，對(duì)求導(dǎo)，由在處的切線平行于直線可得，從而求出，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題設(shè)條件寫出，求出，分別表示出與，兩者作差，設(shè)，求出的單調(diào)性，即可比較大小.試題解析：（1）的定義域?yàn)?，，因?yàn)樵谔幍那芯€平行于直線，∴，∴，∴∴，∴時(shí)，，是增函數(shù)；∴時(shí)，，是減函數(shù)；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．（2）∵∴，∴又，∴，設(shè)，∴在上是增函數(shù)．令，不妨設(shè)∴∴∴，即，又∴．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線和曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，分別是曲線與曲線上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程，即可求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）求出曲線的直角坐標(biāo)方程，可得曲線是圓，求出圓心到直線的距離及圓的半徑，即可求出的最小值．試題解析：（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．聯(lián)立消去得∴或，∵，∴∴，∴．（2）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，則曲線的圓心到直線的距離，因?yàn)閳A的半徑為1，∴的最小值為．23.選修45：不等式選講已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）當(dāng)時(shí)，，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（