專題08數列（5大易錯點分析解題模板舉一反三易錯題通關）（新高考專用）（原卷版）

專題08數列易錯點一：混淆數列與函數的區(qū)別（數列求最值問題）1、等差數列的定義（1）文字語言：一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數；（2）符號語言：(，為常數)．2、等差中項：若三個數a，A，b組成等差數列，則A叫做a，b的等差中項．3、通項公式與前n項和公式（1）通項公式：．（2）前項和公式：．（3）等差數列與函數的關系=1\*GB3①通項公式：當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且一次項系數為公差.若公差，則為遞增數列，若公差，則為遞減數列．=2\*GB3②前n項和：當公差時，是關于的二次函數且常數項為0.已知數列是等差數列，是其前項和．1、等差數列通項公式的性質：（1）通項公式的推廣：．（2）若，則．（3）若的公差為d，則也是等差數列，公差為．（4）若是等差數列，則也是等差數列．2、等差數列前項和的性質（1）；（2）；（3）兩個等差數列，的前n項和，之間的關系為.（4）數列，，，…構成等差數列．3、關于等差數列奇數項和與偶數項和的性質（1）若項數為，則，；（2）若項數為，則，，，.最值問題：解決此類問題有兩種思路：一是利用等差數列的前項和公式，可用配方法求最值，也可用頂點坐標法求最值；二是依據等差數列的通項公式，當時，數列一定為遞增數列，當時，數列一定為遞減數列．所以當，且時，無窮等差數列的前項和有最大值，其最大值是所有非負項的和；當，且時，無窮等差數列的前項和有最小值，其最小值是所有非正項的和，求解非負項是哪一項時，只要令即可易錯提醒：數列是一種特殊的函數，在求解數列問題時有時可以利用函數的性質，但是在利用函數單調性求解數列問題，要注意的取值不是連續(xù)實數，忽略這一點很容易出錯.例．已知等差數列的前n項和為，且，，求取得最大值時對應的n值.變式1．數列是等差數列，，．(1)從第幾項開始有？(2)求此數列的前項和的最大值．變式2．記為等差數列的前n項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)求的最小值．變式3．等差數列，，公差．(1)求通項公式和前項和公式；(2)當取何值時，前項和最大，最大值是多少．1．已知數列是等差數列，若，，且數列的前項和，有最大值，當時，的最大值為（

）A．20 B．17 C．19 D．212．已知等差數列的前n項和為，，且，則取得最小值時n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．已知數列中，若其前n項和為Sn，則Sn的最大值為（

）A．15 B．750 C． D．4．若是等差數列，首項，，，則使前項和成立的最大自然數是（

）A．2021 B．2022 C．4042 D．40435．設是等差數列，是其前n項和，且，，則下列結論正確的是（

）.A． B．C． D．與均為的最大值6．設等差數列的前項和為，公差為．已知，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．設的前項和為，則時，的最大值為277．已知數列的前項和滿足，則下列說法正確的是（

）A．是為等差數列的充要條件B．可能為等比數列C．若，，則為遞增數列D．若，則中，，最大8．已知數列的前n項和，則下列結論正確的是（

）A．是等差數列 B．C． D．有最大值9．數列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數列 B．C．當時， D．當或4時，取得最大值10．等比數列中，，則數列的前項和的最大值為．11．記等差數列的前n項和為，若，，則當取得最大值時，n＝．易錯點二：忽視兩個“中項”的區(qū)別（等比數列利用中項求其它）1、等比數列的定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母表示。數學語言表達式：(，為非零常數)．2、等比中項性質：如果三個數，，成等比數列，那么叫做與的等比中項，其中.注意：同號的兩個數才有等比中項。3、通項公式及前n項和公式（1）通項公式：若等比數列的首項為，公比是，則其通項公式為；通項公式的推廣：.（2）等比數列的前項和公式：當時，；當時，.已知是等比數列，是數列的前項和．（等比中項）1、等比數列的基本性質（1）相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即，，，…仍是等比數列，公比為.（2）若，（項數相同）是等比數列，則，，，，仍是等比數列．（3）若，則有口訣：角標和相等，項的積也相等推廣：（4）若是等比數列，且，則（且）是以為首項，為公差的等差數列。（5）若是等比數列，，則構成公比為的等比數列。易錯提醒：若成等比數列，則為和的等比中項。只有同號的兩數才有等比中項，“”僅是“為和的等比中項”的必要不充分條件，在解題時務必要注意此點。例．已知各項均為正數的等比數列中，，則等于（

）A．5 B．10 C．15 D．20變式1．已知等差數列的公差，且，，成等比數列，則(

)A． B． C． D．變式2．已知，如果，，，，成等比數列，那么（

）A．， B．，C．， D．，變式3．已知等比數列中，，，則（

）A． B． C．或 D．1．已知等差數列的前項和為，公差不為0，若滿足、、成等比數列，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．不存在2．已知公差不為零的等差數列中，，且，，成等比數列，則數列的前9項的和為（

）A．1 B．2 C．81 D．803．已知，，則使得成等比數列的充要條件的值為（

）A．1 B． C．5 D．4．已知等差數列的公差不為0，且成等比數列，則錯誤的是（

）A． B． C． D．5．正項等比數列中，是與的等差中項，若，則（

）A．4 B．8 C．32 D．646．已知實數4，m，9構成一個等比數列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為（

）A． B． C．或 D．或77．數列為等比數列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要8．在數列中，，，則（

）．A． B．C． D．9．已知是等差數列，公差，前項和為，若，，成等比數列，則A．， B．， C．， D．，10．數1與4的等差中項，等比中項分別是（

）A．， B．， C．， D．，11．已知數列是等差數列，，其中公差，若是和的等比中項，則（

）A．398 B．388C．189 D．199易錯點三：忽略等比數列求和時對的討論（等比數列求和）等比數列前項和的性質（1）在公比或且為奇數時，，，，……仍成等比數列，其公比為；（2）對，有；（3）若等比數列共有項，則，其中，分別是數列的偶數項和與奇數項和；（4）等比數列的前項和，令，則（為常數，且）易錯提醒：注意等比數列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比數列求和公式求和時要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論..例．設等比數列的前n項和為.已知，，則.變式1．記為等比數列的前n項和，若，，則．變式2．在等比數列中，，，令，求數列的前n項和．變式3．數列前項和滿足，數列滿足．(1)求數列和的通項公式；(2)對任意，將數列中落入區(qū)間內項的個數記為，求數列前項和．1．已知為等比數列，其公比，前7項的和為1016，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．162．已知正項等比數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．3．已知，，（，），為其前項和，則（

）A． B． C． D．4．在等比數列中，，，則（

）A．的公比為4 B．的前20項和為170C．的前10項積為 D．的前n項和為5．已知正項等比數列的前n和為，若，且，則滿足的n的最大值為.6．已知等比數列的前n項和為，，且－3，，成等差數列，則數列的通項．7．設為等比數列的前項和，若，，則8．已知正項等比數列的前項和為，若，且，則．9．已知各項均為正數的等比數列的前項和為，，，則．10．數列的前n項和為，且，，則滿足的最小的自然數n的值為．11．在正項等比數列中，已知，，則公比．易錯點四：由求時忽略對“”的檢驗（求通項公式）類型1觀察法：已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據規(guī)律寫出此數列的一個通項．類型2公式法：若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式構造兩式作差求解．用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．類型3累加法：形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；=2\*GB3②若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；=3\*GB3③若是關于的二次函數，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和．類型4累乘法：形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．類型5構造數列法：（一）形如（其中均為常數且）型的遞推式：（1）若時，數列{}為等差數列；（2）若時，數列{}為等比數列；（3）若且時，數列{}為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．方法有如下兩種：法一：設，展開移項整理得，與題設比較系數（待定系數法）得，即構成以為首項，以為公比的等比數列．再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數列．求出的通項再轉化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當為一次函數類型（即等差數列）時：法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：當的公差為時，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出（2）當為指數函數類型（即等比數列）時：法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：當的公比為時，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數）或（其中p，q，r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決．（3）當為任意數列時，可用通法：在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．類型6對數變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇）．類型7倒數變換法：形如（為常數且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．類型8形如型的遞推式：用待定系數法，化為特殊數列的形式求解．方法為：設，比較系數得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型．總之，求數列通項公式可根據數列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數列，可用歸納、猜想、證明方法求出數列通項公式易錯提醒：在數列問題中，數列的通項與其前n項和之間關系如下，在使用這個關系式時，要牢牢記住其分段的特點。當題中給出數列｛｝的與關系時，先令求出首項，然后令求出通項，最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令求出通項，也不對進行檢驗.例．已知數列和，其中的前項和為，且，.(1)分別求出數列和的通項公式；(2)記，求證：.變式1．數列的前n項和，已知，，k為常數.(1)求常數k和數列的通項公式；(2)數列的前n項和為，證明：變式2．設各項均為正數的數列的前項和為，滿足.(1)求數列的通項公式；(2)記，數列的前項和為.證明：對一切正整數，.變式3．已知數列的前項和為，且（）.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.1．已知數列的前項和為，且.(1)當時，求；(2)若為等比數列，求的值.2．已知數列的前項和為，且與的等差中項為.(1)求數列的通項公式.(2)設，求數列的前項和.3．已知數列的前n項和為，且，.(1)求；(2)記，求數列的前n項和.4．已知數列的前項和為，且滿足，，當時，是4的常數列.(1)求的通項公式；(2)當時，設數列的前項和為，證明：.5．在數列中，，是的前n項和，且數列是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．6．已知數列的前項和是，且.(1)證明：是等比數列.(2)求數列的前項和.7．已知首項為4的數列的前n項和為，且．(1)求證：數列為等比數列；(2)求數列的前n項和．8．設數列的前項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，求證：．9．設各項均為正數的數列的前n項和為，且滿足．(1)求出數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和為，求時，n的最小值．10．已知為數列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)若，，求數列的前項和．11．已知各項均為正數的數列的前n項和為，且，（且）．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．易錯點五：裂項求和留項出錯（數列求和）常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．易錯提醒：用裂項相消法求和時，裂項后可以產生連續(xù)相互抵消的項，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，一般來說前面剩余幾項后面也剩余幾項，若前面剩余的正數項，則后面剩余的是負數項。例．已知數列的前項