2025年向量組測試題及答案

向量組測試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.向量組$\boldsymbol{A}=\{\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3\}$中，若$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$線性無關(guān)，則下列結(jié)論正確的是：

A.$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$必須都是非零向量

B.$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$之間至少有一個向量是零向量

C.$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$之間任意兩個向量都線性相關(guān)

D.$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$之間任意兩個向量都線性無關(guān)

2.設(shè)$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol=(2,4,6)$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol$線性無關(guān)

B.$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol$線性相關(guān)

C.$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol$共線

D.無法確定

3.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的秩為：

A.0

B.1

C.2

D.3

4.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的秩為：

A.0

B.1

C.2

D.3

5.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的行列式為：

A.0

B.1

C.-1

D.無法確定

6.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的行列式為：

A.0

B.1

C.-1

D.無法確定

7.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的秩為：

A.0

B.1

C.2

D.3

8.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的秩為：

A.0

B.1

C.2

D.3

9.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的行列式為：

A.0

B.1

C.-1

D.無法確定

10.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的行列式為：

A.0

B.1

C.-1

D.無法確定

二、填空題（每題2分，共20分）

1.若向量組$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$線性無關(guān)，則下列結(jié)論正確的是：$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$之間__________。

2.若向量組$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$線性相關(guān)，則下列結(jié)論正確的是：$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$之間__________。

3.設(shè)$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol=(2,4,6)$，則$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol$________。

4.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的秩為__________。

5.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的秩為__________。

6.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的行列式為__________。

7.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的行列式為__________。

8.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的秩為__________。

9.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的秩為__________。

10.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則$\boldsymbol{A}$的行列式為__________。

三、計算題（每題5分，共25分）

1.設(shè)$\boldsymbol{a}_1=(1,2,3)$，$\boldsymbol{a}_2=(2,4,6)$，$\boldsymbol{a}_3=(3,6,9)$，求向量組$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$的秩。

2.設(shè)$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的行列式。

3.設(shè)$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的逆矩陣。

4.設(shè)$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。

5.設(shè)$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若向量組$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$線性無關(guān)，則向量組$\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_2+\boldsymbol{a}_3,\boldsymbol{a}_3+\boldsymbol{a}_1$也線性無關(guān)。

2.證明：若向量組$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$線性相關(guān)，則向量組$\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_3,\boldsymbol{a}_3-\boldsymbol{a}_1$也線性相關(guān)。

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.已知向量組$\boldsymbol{a}_1=(1,2,3)$，$\boldsymbol{a}_2=(2,4,6)$，$\boldsymbol{a}_3=(3,6,9)$，求向量組$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$的秩，并判斷它們是否線性相關(guān)。

2.已知矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量，并判斷$\boldsymbol{A}$是否可對角化。

六、綜合題（每題15分，共30分）

1.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，證明$\boldsymbol{A}$的秩為0。

2.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$，證明$\boldsymbol{A}$的秩為0。

3.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，證明$\boldsymbol{A}$的行列式為0。

4.設(shè)$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$，證明$\boldsymbol{A}$的行列式為0。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.A.向量組線性無關(guān)的定義要求每個向量都是非零向量。

2.B.向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol$的每個分量都成比例，所以它們線性相關(guān)且共線。

3.A.因為$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，意味著$\boldsymbol{A}$的特征值只能是0，所以$\boldsymbol{A}$的秩為0。

4.A.類似于第三題，$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$也意味著$\boldsymbol{A}$的特征值只能是0，所以$\boldsymbol{A}$的秩為0。

5.A.因為$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，$\boldsymbol{A}$的行列式為0。

6.A.類似于第五題，$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$也意味著$\boldsymbol{A}$的行列式為0。

7.A.因為$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，$\boldsymbol{A}$的秩為0。

8.A.類似于第七題，$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$也意味著$\boldsymbol{A}$的秩為0。

9.A.因為$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，$\boldsymbol{A}$的行列式為0。

10.A.類似于第九題，$\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$也意味著$\boldsymbol{A}$的行列式為0。

二、填空題

1.線性無關(guān)

2.線性相關(guān)

3.共線

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

三、計算題

1.解：向量組$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$的秩為1，因為它們線性相關(guān)，且$\boldsymbol{a}_3=3\boldsymbol{a}_1$。

2.解：$\boldsymbol{A}$的行列式為0，因為$\boldsymbol{A}$的每一行都是前一行加上后一行的結(jié)果，所以$\boldsymbol{A}$的秩為1。

3.解：$\boldsymbol{A}$的逆矩陣為$\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{0}\boldsymbol{O}$，因為$\boldsymbol{A}$的行列式為0，所以逆矩陣不存在。

4.解：$\boldsymbol{A}$的特征值可以通過求解特征多項式得到，特征值為0，對應(yīng)的特征向量為$\boldsymbol{v}_1=(1,1,1)^T$。因為$\boldsymbol{A}$不是對角化矩陣，所以不能完全對角化。

5.解：$\boldsymbol{A}$的伴隨矩陣為$\boldsymbol{A}^*=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，因為$\boldsymbol{A}$的行列式為0。

四、證明題

1.解：假設(shè)向量組$\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_2+\boldsymbol{a}_3,\boldsymbol{a}_3+\boldsymbol{a}_1$線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)$k_1,k_2,k_3$使得$k_1(\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2)+k_2(\boldsymbol{a}_2+\boldsymbol{a}_3)+k_3(\boldsymbol{a}_3+\boldsymbol{a}_1)=\boldsymbol{0}$。展開后得到$(k_1+k_3)\boldsymbol{a}_1+(k_1+k_2)\boldsymbol{a}_2+(k_2+k_3)\boldsymbol{a}_3=\boldsymbol{0}$。由于$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$線性無關(guān)，所以$k_1+k_3=k_1+k_2=k_2+k_3=0$，這意味著$k_1=k_2=k_3=0$，與假設(shè)矛盾。因此，向量組$\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_2+\boldsymbol{a}_3,\boldsymbol{a}_3+\boldsymbol{a}_1$線性無關(guān)。

2.解：假設(shè)向量組$\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_3,\boldsymbol{a}_3-\boldsymbol{a}_1$線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)$k_1,k_2,k_3$使得$k_1(\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2)+k_2(\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_3)+k_3(\boldsymbol{a}_3-\boldsymbol{a}_1)=\boldsymbol{0}$。展開后得到$(k_1-k_3)\boldsymbol{a}_1+(k_2-k_1)\boldsymbol{a}_2+(k_2-k_3)\boldsymbol{a}_3=\boldsymbol{0}$。由于$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$線性無關(guān)，所以$k_1-k_3=k_2-k_1=k_2-k_3=0$，這意味著$k_1=k_2=k_3$，與假設(shè)矛盾。因此，向量組$\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_2-\boldsymbol{a}_3,\boldsymbol{a}_3-\boldsymbol{a}_1$線性無關(guān)。

五、應(yīng)用題

1.解：向量組$\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3$線性相關(guān)，因為它們成比例，即$\boldsymbol{a}_3=3\boldsymbol{a}_1$。

2.解：$\boldsymbol{A}$的特征值可以通過求解特征多項式得到，特征值為0，對應(yīng)的特征向量為$\boldsymbol{v}_1=(1,1,1)^T$。因為$\boldsymbol{A}$