2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷3（新高考卷）及答案

2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷02（新高考卷）

數(shù)學(xué)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項:

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知隨機變量貝|。（2占+1）=（）

A.15B.20C.5D.10

2.已知橢圓三+y2=l（q>l）的離心率為且，則y=a/的焦點坐標(biāo)為（）

a2

3.已知｛4“｝為等差數(shù)列，5.為其前〃項和.若2%,公差d*0,S,“=0,則機的值為（）

A.4B.5C.6D.7

4.已知直線和平面則下列判斷中正確的是（）

A.若a//c,6//a,則a//bB.若a//b,6〃a,則a//a

C.若a"a,bLa,則D.若a1b,bHa,貝IJa_La

5.中國民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個音，排成一個沒有重復(fù)音的

五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

6.已知圓C:（x—5）z+（y+2>=0=>0）,4（-6,0）1（0,8）,若圓C上存在點尸使得以，尸3,則?的取值范

圍為（）

A.(0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+co)

7.已矢口sintxsin[a+=cosasin(弓一a),貝Ijtan(2a=(

)

A.gB.2C.2一后

D.2+73

22

8.設(shè)耳馬是雙曲線C：T-2r=l(a>0,b>0)的左、右焦點，點A是雙曲線C右支上一點，若△人耳入的內(nèi)

ab

切圓M的半徑為a為圓心)，且皿eR,使得AM+30M=4尺￡,則雙曲線C的離心率為()

A.行B.75C.2D.2百

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)〃尤)=Asin(Ox+0)3>0)是偶函數(shù)，將y=〃x)的圖象向左平移￡個單位長度，再將圖象上

各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若曲線y=g(x)的兩個相鄰對稱中心之

間的距離為2兀，貝U()

A.a)=2

B.g(x)的圖象關(guān)于直線x=q對稱

C.g(x)的圖象關(guān)于點對稱

D.若/(I)=-2,則g(x)在區(qū)間［0,兀］上的最大值為6

10.設(shè)Z1,Z2，Z3為復(fù)數(shù)，下列命題正確的是()

A.區(qū)司=|21HzB.|z『=z：

C.若Zj+ZzeR,則z「z?為純虛數(shù)D.若云=?3,且4*0,則三=亙

Z1Z1

11.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且VxeR,者B有/(-3+x)+/(-l-x)=0,+,

f(-5)=-2,/^=-|,當(dāng)xe［T,0］時，f^x^a^+bx,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(-2,0)對稱

B./(1)=2

C./(2023)+/(2024)+/(2025)=2

D.函數(shù)了。)與函數(shù)y=|ln|x||的圖象有8個不同的公共點

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合”=｛尤卜2-2%-3<。｝W=｛尤,2一砒<0心2｝,若集合McN恰有兩個元素，則實數(shù)0的取值

范圍是.

13.某冰淇淋門面店將上半部是半球(半球的半徑為3),下半部是倒立的圓錐(圓錐的高為6)的冰淇淋模

型放到據(jù)窗內(nèi)展覽，托盤是邊長為12的等邊三角形A8C金屬片沿三邊中點。，E,尸的連線向上折疊成直二

面角而成，則半球面上的最高點到平面DEF的距離為

14.已知。<%<%44,球=婷1=1,2,),則使不等式儲￡%42024能成立的正整數(shù)〃的最大值

\i=lJ\i=n+1)

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)小張參加某公司的招聘考試，題目按照難度不同分為A類題和8類題，小張需要通過“抽小球”

的方式?jīng)Q定要答的題目難度類型：一個箱子里裝有質(zhì)地，大小一樣的5個球，3個標(biāo)有字母4另外2個標(biāo)

有字母2,小張從中任取3個小球，若取出的A球比8球多，則答A類題，否則答8類題.

⑴設(shè)小張抽到A球的個數(shù)為X,求X的分布列及E(X).

(2)已知A類題里有4道論述題和1道計算題，B類題里有3道論述題和2道計算題，小張確定題目的難度類

型后需要從相應(yīng)題目中任選一道題回答.求小張回答論述題的概率；

16.(15分)已知函數(shù)”司=111(枇2工一26,+1)-了是定義在(—8,0)11(0,y)上的偶函數(shù).

(1)求實數(shù)。的值；

⑵請問是否存在正數(shù)機凡使得當(dāng)xe［私可時，函數(shù)的值域為［2w2〃］,若存在這樣的正數(shù)姓%請求

出牡〃的值；若不存在，請說明理由.

17.(15分)正方形ABCD的邊長為2,瓦尸分別為邊的中點，M是線段E尸的中點，如圖，把正方

形沿所折起，設(shè)/4￡0=。(0＜。＜兀).

(1)求證：無論。取何值，CM與8￡＞不可能垂直;

⑵設(shè)二面角。一RW—C的大小為夕，當(dāng)卜皿同=履時，求sin。的值.

18.(17分)已知。為坐標(biāo)原點，拋物線C:y2=2px(p＞0),過點G(1,O)的直線交拋物線于A,8兩點，

OAOB=-1.

(1)求拋物線C的方程；

⑵若點。(TO),連接A。,BD,證明：|AD|?忸6=忸。|卜@；

(3)已知圓G以G為圓心，1為半徑，過A作圓G的兩條切線，與y軸分別交于點M,N且N位于無軸兩

側(cè)，求「AAW面積的最小值.

19.(17分)歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)w為正整數(shù)，集合X.={1,2,…，〃-1},歐拉函數(shù)以力的

值等于集合X“中與〃互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)；記M(x,y)表示X除以y的余數(shù)(尤和y均為正整數(shù))，

(1)求。(6)和0(15)；

(2)現(xiàn)有三個素數(shù)p,q,e(p＜q＜e),n=pq,存在正整數(shù)“滿足M(de,0(〃))=1；已知對素數(shù)a和xeX”，

均有M(尤＜4)=1,證明：若xeX“，則彳=”(陽(*。,")匕”)；

(3)設(shè)n為兩個未知素數(shù)的乘積，4，e?為另兩個更大的已知素數(shù)，且2q=3e2+l；又6="(/,〃)，

f2

c2=A/(x,n),xwX“，試用q,c?和n求出x的值.

數(shù)學(xué).參考答案

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

12345678

DDBCCBCA

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

91011

BCDADABD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（2,+oo）13.9+7314.13

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

x2

Cc33「31

【詳解】⑴X的所有可能取值為1,2,3,則尸（乂=1）=吉=6"的=2）=吉=7產(chǎn)3=3）=涓=行,

所以X的分布列為

X123

331

P

io510

/、331Q

故雙X)=lx而+2x《+3x歷=]...........................6分

（2）記事件A為“小張回答A類題”，3為“小張回答5類題”，C為“小張回答論述題”.

317

由(1)知尸")=—+—=一,

51010尸⑻1

由題意知尸（C|A）=1,P（C|B）=|,

所以尸（C）=P（C⑷/（A）+P（C⑻尸（B）=wX而+3面=不...............13分

16.（15分）

【詳解】（1）由題意可得）（尤）=In1=J。[役、+1-2],

=Infaex+4一2

因為函數(shù)"X)為偶函數(shù)，所以〃f)=/(x),即In3-2

所以譽+/-2=*+5一2,整理得(。一1)卜一：)=0,

又因為XWO,所以。=1...........................5分

(2)由⑴得〃x)=ln[e'+e-21

令g(x)=eX+4-2,設(shè)%＞占＞0,

貝Ug(%)_g(xJ=(e爸+《_2］一(e3

因為三＞三＞0,所以ef＞e*',e*e*＞O,e*+為＞1,

所以g(N)-g(%)＞。，即g?)＞g(%)，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(O,+s)上單調(diào)遞增，.............9分

又由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增，

假設(shè)存在正數(shù)使得當(dāng)xe[〃7,”]時，函數(shù)“X)的值域為[2皿2句,

=爪"+《-2

=2m

則卜

/(n)=ln^e"+^-2^=2n

可得方程In卜+:-2]=2x=lne2*有兩個不相等的正根，整理為(e?，-e*)+〔2-=0,

可得e，(e*-1)+'二=°，

又由尤>0,可得e*-l>0,2e'-l>0,

故方程e*(eX-l)+q」=O沒有兩個不相等的正根，不存在滿足題意的正數(shù)相〃.............15分

17.(15分)

【詳解】(1)證明：假設(shè)又因為正方形ABCD的邊長為2,

且加是線段反的中點，所以CF=MF=EM=DE=1,

所以。M=CM=&,又因為8=2,

有。AV+CM?=a>2,所以DMLCM,

因為BDcDM=D,BOu平面u平面

所以CM_L平面

因為u平面BOW,所以CMJ_圓"

又因為==0,所以BC=2,

這與3C<3尸+/C=2矛盾，所以假設(shè)不成立,

所以無論〃取何值，CM與3D不可能垂直。.............7分

(2)由題可得，分別以EA,E尸為羽V軸，過點E垂直平面ABBE向上為z軸,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

所以E(0,0,0),A(l,0,0),B(1,2,0),尸(0,2,0),

M(0,1,0),D(cos0,0,sin6),C(cos0,2,sin0),

所以MB=(1,1,0),MC=(cos6,1,sin6),MZ)=(cos6),-l,sin0)

設(shè)平面BCM的一個法向量為4=a，wzj,

MB%=0X|+X=0

所以"，即

MC^=0石cose+M+4sin6=0'

取XI=sin6,可得％=(sina-sin0,l-cos(9),

設(shè)平面BUM的一個法向量為%=(x2,y2,z2),

MBn.=0%2+%=0

所以，即

MD?九2二0x2cos0-y2+z2sin0=0

取工2=sin8,可得巧=(sin3,-sin-1-cos0\

又卜所以|cos同二’、,

745

所以K°sd=麗=而號m標(biāo)二FT研嬴wr而解得

sin”國15分

21

18.(17分)

【詳解】(1)設(shè)直線A3的方程為*=陽+1,

y2=2px

由＜得y2_2pmy-2p=0,

x=my+1

設(shè)4(4%),5(々,%),

yl一54)2T

則%%=-2p,_2￡

人1人2—c而一國『一i

2P

從而0A-07?=%%,+x%=]—2p=—1,解得/?=1,

所以拋物線C的方程為V=2x；............4分

(2)要證|AD|?忸6=忸件|47|,即證DG平分4DB,即證％m+研=。,

由(1)可知%%=-2,%+%=2p〃?=2m,

kK+k一.?%一.?%

railAD+KBD-+-2+2

則為+1w+lA+iA+1

22

r2%%(%+%)+4(%+必)_-8"2+8〃7

-.+2)(￡+2)--W+2府+2)

故I仞I.忸口=忸。.仙6；.............6分

(3)記AM,AN分別與圓G切于點T,F,連接TG,MG,NG,

由題意，得|4刀=］河-曬=12

5M

由切線長定理，知|AT|=|/S|,|NO|=|NF|,\MO\^\MT\,

所以53'=曰座|義3才=1|加7],

又S^AMN=S^MAG+S/^ANG+S^MNG

1

=-X\AM\xl+^x\AN\xl+^x\MN\xl

2

=^(]MT\+\AT\+\NF\+\AF\+\MO\+\ON\)

T21Mol+2|NO|+2M)

=|W|+|AT|

=\MN\+^yf=^-\MN\,解得|初v|=/L

J；-4

所以S,N=；XE=；(y；-4)+E+8>|x(2x4+8)=8,

N%TXTJ2

當(dāng)且僅當(dāng)才-4=4,即％=±2血時，取等號,

【詳解】(1)乂6中，與6互質(zhì)的數(shù)有1和5,則0⑹=2；

XM中，與15互質(zhì)的數(shù)有1、2、4、7、8、11、13和14,則。(15)=8.............3分

XX

(2)因為p和q為素數(shù)，則對尤eX“，僅當(dāng)一eN+或一eN+時，x和”不互質(zhì)，

pq

又x<”,則》=〃，2p,或尤=q,2?,…(p-l)q時，尤與“不互質(zhì)，

則0(〃)=〃—1一(0一1)—(4—1)=初一1乂4一1),

設(shè)M(x,p)=s,M(x,q)=t,可知s,f不全為0,下證sfwO時，/卜刎,〃)=1；

由題知，M(s^,p)=M{tq-\q)=\,

pl2p2p

又x~=(kp+s)''=(仞廣'+C；_](kp)’54--FC^kps~+=Nop+s^(k,N0eN+),

所以M(4,p)=Mp)=1,同理有M(/=1；

于是記尤內(nèi)=切+1(左eN+),x“")=(如+1-=N/+1(MeN+),

即M[*),q)=l,同理MM(")，P)=1,記/")=乂夕+1,于是MP+1=NM+1,

則?旦，因為ZeN+，所以叢€2,所以”')=乂?四+1=乂”+1,

ppppP

即加卜加,〃)=1;

(i)WW