2025年華東師大版七年級數(shù)學寒假提升講義：圖形的初步認識（含答案）

專題03圖形的初步認識

——?模塊導航?考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢

重點專攻：知識點和關鍵點梳理,查漏補缺

難點強化：難點內(nèi)容標注與講解,能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

考點聚焦

目錄

考點一：幾何體的識別4

考點二：點、線、面、體6

考點三：三視圖7

考點四：正方體的展開圖11

考點五：直線、射線、線段的相關概念13

考點六：線段和直線的基本性質(zhì)問題15

考點七：角的表示方法16

考點八：方位角、鐘面角問題17

考點九：求一個角的余角、補角20

考點十：尺規(guī)作線段或角21

考點十一：與線段及線段中點有關的計算23

考點十二：與余角、補角有關的計算26

考點十三：與角平分線有關的計算問題29

考點十四：幾何圖形中動角探究數(shù)量關系問題32

<?重點專攻------------------------------------------

【知識點01】立體圖形的認識

1.有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在

同一個平面內(nèi)，這就是立體圖形.

2.立體圖形分類：除了按照柱體、錐體、球分類，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面

試卷第1頁，共25頁

劃分：①有曲面：圓柱、圓錐、球等；②沒有曲面：棱柱、棱錐等.

3.棱柱的有關概念及其特征：

①在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，棱柱所有側(cè)棱長

都相等，棱柱的上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；棱柱的側(cè)面形狀都是平行四

邊形.

②棱柱的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關系：底面多邊形的邊數(shù)力確定該棱柱是〃棱柱，它

有2〃個頂點，3〃條棱，〃條側(cè)棱，有〃+2個面，〃個側(cè)面.

【知識點02】點、線、面、體的關系

①體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點.

②點動成線，線動成面，面動成體.

③點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩的圖形世界.

【知識點03】三視圖

①會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖.

②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?

注意：①看的見得棱畫實線，看不見的棱畫虛線；②圓錐從上面看不要丟了圓心點.

【知識點04】正方體的平面展開圖

正方體是特殊的棱柱，它的六個面都是大小相同的正方形，將一個正方體的表面展開，可以

得到11種不同的展開圖，把它歸為四類：一四一型有6種；二三一型有3種；三三型有1

種；二二二型有1種.

正方體展開圖口訣：①一線不過四；田凹應棄之；②找相對面：相間，"Z’端是對面；③

找鄰面：間二，拐角鄰面知.

【知識點05】線段、射線、直線

1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系

類別、直線射線

圖形AB1AB1AB1

①裊示兩端點的兩

①兩個大寫字母；兩個大寫字母，表示

表示方法個大寫字母;②一個

②一個小寫字母端點的字母在前

小寫字母

端點個數(shù)無1個2個

延伸性向兩方無限延伸向一方無限延伸不可延伸

性所兩點碟定一條直或兩點之間，蟻段最短

度-不可以不可以可以

作圖敘述過4、8作支線48以4為端點作射餞,48連接48

試卷第2頁，共25頁

2.基本性質(zhì)

（1）直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線.（2）線段的性質(zhì)：兩點之間，線段最短.

要點詮釋：

①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就

可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.

②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.

3.畫一條線段等于已知線段

（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度，再畫一條等于這個長度的線段.

（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線4C上截取43=a,如下圖：

4.線段的比較與運算

（1）線段的比較：

比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.

（2）線段的和與差：

如下圖，WAB+BC=AC,或NC=a+b；AD=AB-BD.

（3）線段的中點：

把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點.如下圖，有：AM=MB=^AB

???

AMI）

要點詮釋：

①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有則點M為線段的

中點.

②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，

點M,N,尸均為線段的四等分點.

試卷第3頁，共25頁

AM=MN=NP=PB=-AB

4

【知識點06】角與角的和差

1.角的定義與換算

（1）角的定義

1.角的定義：角也可以看成是一條射線繞著它的一個端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.

2.角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩

條射線是角的兩條邊；止匕外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.

（2）角的表示方法

角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字

母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：

要點詮釋：（1）用三個字母表示角時，表示頂點的字母必須寫在另兩個字母的中間.如

乙衣JB；

（2）在不引起混淆的情況下，角還可以用它的頂點字母來表示.如

（3）角可以用希臘字母來表示，一般地，用希臘字母表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點處

畫上弧線.如Na；

（4）角可以用一個數(shù)字來表示，一般地，用一個數(shù)字表示一個角時，需在角內(nèi)靠近頂點處

畫上弧線.如41.

（3）角度制及角度的換算

1周角=360。，1平角=180。，1。=60',1'=60",以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度

制.

要點詮釋：

①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.

②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式（即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化）時用

乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度（即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化）時用除法逐級進行.

③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成

60.

試卷第4頁，共25頁

（4）角的分類

邛銳角直角鈍角平角周角

范圍0<少<90。乙6=90。90°<z^<180°4=180?！?360。

（5）畫一個角等于已知角

（1）借助三角尺能畫出15。的倍數(shù)的角，在0?180。之間共能畫出11個角.

（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.

（3）用尺規(guī)作圖法.

2.角的比較與運算

（1）角的比較方法：①度量法；②疊合法.

（2）角的平分線：

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如

下圖，因為。C是乙402的平分線，所以N1=N2=；ZJO2,或ZJO5=2N1=242.類似地，還

有角的三等分線等.

【知識點07】余角、補角

1.余角、補角

余角：如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角.

補角：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角.

（1）若41+42=90。，則N1與N2互為余角.其中N1是N2的余角，42是N1的余角.

（2）若41+22=180°,則N1與N2互為補角.其中N1是N2的補角，42是N1的補角.

（3）結(jié)論：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等.

要點詮釋：

①余角（或補角）是兩個角的關系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角（或補

角）.

②一個角的余角（或補角）可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.

試卷第5頁，共25頁

③只考慮數(shù)量關系，與位置無關.

④”等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.

2.方位角

以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.

要點詮釋：

（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應用中一要

確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大

小.

（2）北偏東45。通常叫做東北方向，北偏西45。通常叫做西北方向，南偏東45。通常叫做

東南方向，南偏西45。通常叫做西南方向.

（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應用十分廣泛.

提升專練

一考點剖析

考點一：幾何體的識別

例題：（23-24七年級上?遼寧大連?期末）

1.下面幾何體中，是圓錐的為（）

【變式訓練】

（23-24七年級上?浙江臺州?期末）

（23-24七年級上?山西大同?期末）

3.下列幾何體中，屬于棱錐的是（）

試卷第6頁，共25頁

A.B.

考點二：點、線、面、體

例題：（23-24七年級上?河南許昌?期末）

4.中國扇文化有著深厚的文化底蘊；歷來中國有“制扇王國”之稱.如圖，打開折扇時，隨

著扇骨的移動形成一個扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學原理解釋為（）

A.點動成線B.線動成面C.面動成體D.兩點確定一條直線

【變式訓練】

⑵-24七年級上?山東德州?期末）

5.朱自清的《春》一文里，在描寫春雨時有“像牛毛，像細絲，密密地斜織著”的語句，這

里用數(shù)學的眼光來看其實是把雨滴看成了把雨看成一，說明一（）

A.點；直線；點動成線B.點；線；點動成線C.線；面；線動成面

D.線；面；面動成體

（23-24七年級上?安徽阜陽?期末）

6.如圖，由所給的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可得到的幾何體是（）

試卷第7頁，共25頁

A.B.C.D.

（23-24七年級上?云南文山?期末）

7.已知長方形的長為內(nèi)寬為6,將其繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個立體圖

形.

（1）用含a、b的代數(shù)式表示這個立體幾何的體積；（結(jié)果保留兀）

（2）若”=3cm,b=4cm,求這個幾何體的體積.（it取3）

考點三：三視圖

例題：（23-24七年級上?四川遂寧?期末）

8.一個幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖、左視圖和俯視圖，那

么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)是—.

incG

主視圖左視圖俯視圖

【變式訓練】

（22-23七年級上?山東濟南?期中）

9.如圖是由棱長都為1cm的6塊小正方體組成的簡單幾何體.

主視圖左視圖俯視圖

（1）請在方格中畫出該幾何體的三個視圖.

（2）如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，最多可以再添

試卷第8頁，共25頁

加塊小正方體，

(3)直接寫出添加最多的小正方體后該幾何體的表面積(包含底面).

(23-24七年級上?江蘇常州?期末)

10.把邊長為1厘米的10個相同正方體如圖擺放.

(1)畫出該幾何體的主視圖、俯視圖；

⑵該幾何體的表面積為一cm。；

(3)如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體的主視圖和俯視圖

不變，那么最多可以再添加_個小正方體.

(23-24七年級上?江蘇徐州?期末)

11.如圖是用10個棱長是1cm,大小相同的小正方體搭成的幾何體.

(1)請你畫出該幾何體的三種視圖(不要涂成陰影).

(2)這個幾何體的表面積是一cn?(包含底部)；

(3)如果要保證俯視圖和左視圖不變，最多可以增加_個小正方體;

(4)如果要保證三個視圖都不變，最多可以增加_個小正方體.

考點四：正方體的展開圖

例題：(2024七年級上?全國?專題練習)

12.如圖所示為幾何體的平面展開圖，從左到右，其對應的幾何體名稱分別為()

A.圓錐，正方體，三棱柱，圓柱B.圓柱，正方體，四棱柱，圓錐

C.圓錐，正方體，四棱柱，圓柱D.正方體，圓錐，圓柱，三棱柱

【變式訓練】

試卷第9頁，共25頁

（24-25七年級上?全國?期末）

13.如圖是正方體紙盒的展開圖，若在三個正方形B,C內(nèi)分別填入適當?shù)挠欣頂?shù)，使

得它們折成正方體后相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，則填入三個正方形4B,C內(nèi)的三個

C.—,0,-2D.-2,0,--

33

（22-23七年級上?河南三門峽?期末）

（23-24七年級上?河南新鄉(xiāng)?期末）

15.如圖是一個正方體的展開圖.

(2)己知/=x,B=-X2+3X,C=-3,D=\,E=X2023,F=6.若字母/表示的數(shù)與它對

試卷第10頁，共25頁

面的字母表示的數(shù)互為相反數(shù)，求8,￡的值.

考點五：直線、射線、線段的相關概念

例題：（23-24七年級上?天津?qū)幒?期末）

16.下列直線、射線、線段中,

【變式訓練】

（23-24七年級上?河南平頂山?期末）

17.如圖，對于圖中直線的描述，正確的是（）

A.圖中有直線以8B.圖中有直線

C.直線。加與直線交于點OD.直線。/與直線加交于點。

（23-24七年級上?福建三明?期末）

18.下列關于作圖的語句中，正確的是

A.畫射線48=10cmB.畫直線03=10cm

C.畫線段MN,在線段MN上任取一點AD.以點M為端點畫射線

考點六：線段和直線的基本性質(zhì)問題

例題：（23-24七年級上?廣東汕頭?期末）

19.如圖1,4、2兩個村莊在一條河/（不計河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到

A、8兩個村莊的距離之和最小.如圖2,連接N8,與/交于點C,則C點即為所求的碼頭

的位置，這樣做的理由是（）

試卷第11頁，共25頁

AA

A.經(jīng)過一點有無數(shù)條直線B.兩點確定一條直線

C.兩直線相交只有一個交點D.兩點之間，線段最短

【變式訓練】

（23-24七年級上?河南新鄉(xiāng)?期末）

20.如圖，經(jīng)過刨平的木板上的兩個點，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線,

能解釋這一實際應用的數(shù)學知識是_____

M1

（23-24七年級上?重慶南岸?期末）

21.如圖：已知從工地到8地共有五條路，小紅應選擇第____________路，用數(shù)學知識解

釋為：________________________________

①

考點七：角的表示方法

例題：（23-24七年級上?貴州六盤水?期末）

22.下列四個圖形中，能用Nl,ZO,三種方法表示同一個角的是（）

AX.

'-D

試卷第12頁，共25頁

【變式訓練】

（23-24七年級下?山東淄博?期末）

23.下列圖中的/I也可以用NO表示的是（

（23-24七年級上?貴州安順?期末）

A.點尸在直線機上B.N1可以表示成或

C.直線”和〃相交于點。D,射線。4和射線表示同一條射線

考點八：方位角、鐘面角問題

例題：（24-25七年級上?全國?期末）

25.如圖，點/在點。的北偏東60。方向上,點8在點。的南偏西30。方向上，則

的度數(shù)為--

南

【變式訓練】

（23-24六年級下?山東煙臺?期末）

26.如圖，點A,B,。分別表示手繪地圖中實踐基地、公園、學校的大體位置.經(jīng)測量

NAOB=65。，公園在學校的北偏東27。方向，則實踐基地在學校的方向.

試卷第13頁，共25頁

實踐z

（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?期末）

27.如圖是一個時鐘的鐘面，此時鐘面上的時間是下午1點30分，時鐘的分針與時針所成

（23-24七年級上?福建福州?期末）

考點九：求一個角的余角、補角

例題：（23-24七年級上?湖北孝感?期末）

29.48。6,7”的余角是,它的補角是.

【變式訓練】

（23-24七年級上?江蘇連云港?期末）

30.已知/々=68。42',則Na的余角為.

（23-24七年級上?河北承德?期末）

31.乙4=30。30',則—Z的余角為°,的補角為°，

考點十：尺規(guī)作線段或角

例題：（23-24七年級上?甘肅慶陽?期末）

32.如圖，平面上有四個點讀下列語句，并畫出符合下列所有要求的圖形.

試卷第14頁，共25頁

?A

?B

*D

C

(1)畫射線連接BC,并與射線40相交于點。；

(2)畫直線CD.

【變式訓練】

(22-23六年級下?山東淄博?期末)

求作：NA0B,使=一為.

要求：保留畫圖痕跡，不寫畫法.

畫圖：

(23-24七年級上?新疆喀什?期末)

34.如圖，在平面上有4B,C,。四點，請按照下列語句畫出圖形.

D*

A*

*C

*

B

(1)畫直線48；

(2)畫射線3。；

(3)連接8,C；

(4)線段/C和線段相交于點0.

考點十一：與線段及線段中點有關的計算

例題：(24-25七年級上?全國?期末)

35.追本溯源

題(1)來自于課本中的定義，請你完成解答，利用定義完成題(2).

(1)如圖1,點M把線段4B分成相等的兩條線段與MB,點M叫做線段4B的

試卷第15頁，共25頁

AM=MB=_AB.

i??

AMB

圖1

拓展延伸

（2）如圖2,線段/C上依次有。，B,E三點，AD=^DB,E是BC的中點，

BE=-AC=2.

5

IIIII

ADBEC

圖2

①求線段2B的長；

②求線段DE的長.

【變式訓練】

（23-24六年級下?山東東營?期末）

36.如圖，點M在線段4B上，線段BM與4W的長度之比為5:4,點N為線段的中點.

IIII

ANMB

⑴若48=27cm,求3N的長.

⑵在線段N3上作出一點￡,滿足8M=3EB,若EB=t,請直接寫出的長（用含/的代

數(shù)式表示）.

（23-24七年級上?湖南婁底?期末）

37.如圖.線段/5=20,C是線段的中點，。是線段BC的中點.

I???

ACDB

⑴求線段的長；

⑵在直線/C上有一點E,CE=^BC,求/￡的長.

考點十二：與余角、補角有關的計算

例題：（23-24七年級上?云南紅河?期末）

38.如圖，點4。、3在同一直線上，ZBOD=70°,0。平分/50C,O尸平分

NDOE,NAOF=3Q°.

試卷第16頁，共25頁

E-

AB

⑴求/CO尸的度數(shù)；

(2)判斷與//OC是否互余，并說明理由.

【變式訓練】

(23-24七年級上?天津津南?期末)

39.與互為補角，OE、。產(chǎn)分別平分/80C與(題目中的涉及的角

均指小于平角的角).

圖1圖2

(1)如圖1,當點8、O、C三點在一條直線上，

①請找出圖中與相等的一個角，并說明理由；

②若的度數(shù)比/COD的度數(shù)的一半小36。，求N/OC的度數(shù).

(2)如圖2,當點B、。、C三點不在一條直線上，求NEO9的度數(shù).

(23-24七年級上?河南許昌?期末)

40.如圖，點。為直線上一點，將一個直角三角板。兒亞的直角頂點放在點。處，射線

OC平分ZMOB.

圖1

(1)如圖(1),若NCON=18。，貝|JN/(W=_；

試卷第17頁，共25頁

（2）在圖（1）中，若ZCON=a,求/NOM的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（3）將圖（1）中的直角三角板OACV繞頂點。旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，若邊加在直線45的

上方，另一邊ON在直線的下方，試探究和NCON之間的數(shù)量關系，并直接寫

出你的結(jié)論，不必說明理由.

考點十三：與角平分線有關的計算問題

例題：（24-25七年級上?遼寧?期末）

41.如圖，已知。C、是內(nèi)的兩條射線，OE平分//OC,OF平分NBOD.

⑴若4408=132。，/COD=22。，求NEO廠的度數(shù)；

（2）若=ZCOD=/3,求/NO8的度數(shù).（用含外方的代數(shù)式表示）

【變式訓練】

（23-24七年級上?河北廊坊?期末）

42.三角尺NAP的直角頂點尸在直線CD上，點工,8在直線CD的同側(cè).

⑴如圖①，若N4PC=40。，求/2PD的度數(shù)；

（2）如圖②，若平分//PC,PN平分NBPD,求/MPN的度數(shù).

（23-24七年級上?陜西渭南?期末）

43.【問題背景】已知OC是內(nèi)部的一條射線，且/4O8=3/4OC.

【問題再現(xiàn)］（1）如圖①，若4408=120。，平分/NOC,ON平分/AOB,求ZMON

試卷第18頁，共25頁

的度數(shù)；

【問題推廣】（2）如圖②，ZAOB=90°,從點。出發(fā)在ZBOC內(nèi)引射線。。，滿足

ZBOC-ZAOC=ZCOD,若平分NCOD,求的度數(shù)；

【拓展提升】（3）如圖③，在//0C的內(nèi)部作射線。尸，在二80C的內(nèi)部作射線。。，若

NCOP：NBOQ=1：2,求440P和NC。。的數(shù)量關系.

考點十四：幾何圖形中動角探究數(shù)量關系問題

例題：（23-24七年級上?陜西渭南?期末）

44.【問題背景】已知0c是內(nèi)部的一條射線，且/46?=3/4OC.

的度數(shù)；

【問題推廣】（2）如圖②，4403=90。，從點。出發(fā)在。內(nèi)引射線OD,滿足

ZBOC-ZAOC=ZCOD,若■平分NC。。，求的度數(shù)；

【拓展提升】（3）如圖③，在N/OC的內(nèi)部作射線OP,在28OC的內(nèi)部作射線。0,若

NCOP：/BOQ=1：2,求N/OP和/C。。的數(shù)量關系.

【變式訓練】

（22-23七年級上?浙江臺州?期末）

45.如圖1,點。是直線肱V上一點，三角板（其中4408=30。）的邊/O與射線重合,

將它繞。點以每秒機。順時針方向旋轉(zhuǎn)到邊。與ON重合；同時射線。。與ON重合的位置

開始繞。點以每秒〃。逆時針方向旋轉(zhuǎn)至OM,兩者哪個先到終線則同時停止運動，設運動

時間為1秒.

試卷第19頁，共25頁

（1）若機=3,力=2,/=10秒時,NBOC=°；

（2）若冽=3,n=2,當CM在OC的左側(cè)且平分/MOC時，求才的值；

（3）如圖2,在運動過程中，射線OP始終平分N/OC.

①若加=3,n=2,當射線OB,。尸中，其中一條是另兩條射線所形成夾角的平分線

時，直接寫出"秒；

②當。/在OC的左側(cè)，且/COP與/始終互余，求加與〃之間的數(shù)量關系.

真題感知

一、單選題

（23-24七年級上?湖北宜昌?期末）

46.下列四個幾何體中，是圓柱的是（）

（24-25七年級上?遼寧沈陽?期末）

47.如圖是由完全相同的6個小立方體組成的幾何體，則該幾何體從左面看到的形狀圖為

（23-24七年級上?湖北宜昌?期末）

48.如圖，下面說法中，不正確的是（）

試卷第20頁，共25頁

南

A.射線。4表示北偏東30。B.射線08表示西北方向

C.射線。C表示西偏南80。D,射線表示南偏東70。

（24-25七年級上?全國?期末）

49.毛澤東主席在《水調(diào)歌頭游泳》中寫道“一橋飛架南北，天塹變通途”.正如從黃果樹風

景區(qū)到關嶺縣城的壩陵河大橋建成后，從黃果樹風景區(qū)到關嶺縣城經(jīng)大橋通過的路程縮短

20公里，用所學數(shù)學知識解釋這一現(xiàn)象恰當?shù)氖牵ǎ?/p>

A.過一點可以畫多條直線B.兩點確定一條直線

C.兩點之間線段最短D.連接兩點間線段的長度是兩點間的距離

（24-25七年級上?河南鄭州?期末）

50.如圖是一個正方體的展開圖，其中相對的面上的數(shù)字互為相反數(shù)，則單項式砂2的值是

B.4C.-16D.16

（23-24七年級上?河北石家莊?期末）

51.點C是線段N8上任意一點，點M、N分別是NC、8c的中點，下列說法正確的是

（）

IIIII

AMCNB

A.AM=CNB.當點C為的中點時，AN=2MC

C.如果MC=CN,那么=D.如果3C=2NC,那么

4

二、填空題

（23-24七年級下?河南鄭州?期末）

試卷第21頁，共25頁

52.已知乙4=32。，則—4的余角的度數(shù)為.

（24-25七年級上?山西晉中?期中）

53.如圖，節(jié)日的焰火可以看成由點運動形成的，可以說明這一現(xiàn)象的數(shù)學原理是.

（2024七年級上?全國?專題練習）

54.在我國古代，人們用“銅壺滴漏”的方法計時，把一晝夜分為十二時辰，對應于今天的二

十四小時，又劃為九十六刻，一刻對應于今天的十五分鐘.已知寅時為凌晨三點到五點.則

寅時二刻所對應鐘表時間的時針和分針之間所夾的角度為.

（24-25七年級上?山西太原?階段練習）

55.在一個倉庫里堆積若干個大小相同的小正方體貨箱，由此搭成的一個幾何體的三視圖如

圖所示，則搭成這個幾何體的貨箱個數(shù)是個.

（24-25七年級上?河北衡水?期中）

56.有一正方體，六個面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6,有三個人從不同的角度觀察

的結(jié)果如圖所示.如果記6的對面的數(shù)字為a,2的對面的數(shù)字為6,那么6的值為.

（23-24七年級上?山東棗莊?期末）

57.如圖，已知NN03=100。，ZCOD=40°,0P平分/4OC,。。平分Z8。。，將NCOD

繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當NBOC=30。時，NP。。的度數(shù)為.

三、解答題

試卷第22頁，共25頁

(23-24七年級上?廣東廣州?期末)

58.如圖，點C是線段上的一點，點M是線段NC的中點，點N是線段8c的中點.

B_NCMA

(1)如果=12cm,AM=5cm,求8c的長；

(2)如果MN=8cm,求48的長.

(22-23七年級上?河南信陽?期末)

59.如圖，點C在/的邊08上.請按要求進行尺規(guī)作圖并回答問題.

⑴在的另一邊。/上取一點。，使

(2)畫直線DC；

(3)數(shù)數(shù)看，此時圖中線段共有一條，射線共有一條；

(4)NA0B還可以記著一再寫出兩種).

(23-24七年級上?遼寧沈陽?期末)

60.用小立方塊搭一幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，這個幾何體最少要。個立方塊,

最多要6個立方塊.

⑴則4=，b=；

⑵若有理數(shù)x,V滿足x=。，回=6,且孫＜0,求x+y的值.

(3)畫出幾何體最多時的左視圖.

(22-23九年級上?山東日照?期末)

61.如圖①是一個組合幾何體，圖②是它的兩種視圖.

試卷第23頁，共25頁

(1)在圖②的橫線.上填寫出兩種視圖的名稱;

(2)根據(jù)兩種視圖中的數(shù)據(jù)(單位：cm),計算這個組合幾何體的表面積.

(23-24七年級上?天津?期末)

62.探究題：已知。為直線4。上的一點，以。為頂點作/COE=90。，射線O尸平分

ZAOE.

(1)如圖1,若NDOE=54。，貝|40C=.

(2)若將NCOE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,射線OF仍然平分NAOE,請寫出ZCOF與ZDOE

之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)若將/COE繞點。旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，射線。尸仍然平分乙4。￡,求2NC0F+4DQE的度

數(shù).

(24-25七年級上?全國?期末)

63.(1)將一副直角三角板43C,NAE按如圖1所示位置擺放，NB4C=45。，

ZEAD=60°.分別作/A4E,NC/。的平分線4W,AN.試求的度數(shù)；

(2)將三角板NOE從圖1位置開始繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，AM,4N仍然

是/B4E,NC4D的平分線.試求/M4N的度數(shù)；

(3)將三角板從圖1位置開始繞點/順時針旋轉(zhuǎn)&(0°<a<360。)，AM,NN仍然

是NBAE,/C4D的平分線.在旋轉(zhuǎn)的過程中，NM4N的度數(shù)會發(fā)生改變嗎？請說明理由.

試卷第24頁，共25頁

AC

備用圖

試卷第25頁，共25頁

1.A

【分析】本題主要考查的是幾何體的有關知識，熟練掌握常見幾何體的形狀是解題的關

鍵.根據(jù)圓錐的定義即可求解.

【詳解】A、該圖形為圓錐，符合題意；

B、該圖形為球體，不符合題意；

C、該圖形為圓柱，不符合題意；

D、該圖形為長方體，不符合題意；

故選：A.

2.C

【分析】本題考查圓柱體的識別，根據(jù)常見幾何體的特征逐項判斷即可.

【詳解】解：A,抽象出來是六棱柱，不合題意；

B,抽象出來是球，不合題意；

C,抽象出來是圓柱，符合題意；

D,抽象出來是圓錐，不合題意；

故選：C.

3.D

【分析】本題考查的是棱錐的識別，掌握棱錐的概念是解題的關鍵；

根據(jù)棱錐的定義:如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形,

那么這個多面體叫做棱錐，再逐一分析各選項即可得到答案；

【詳解】解：A、是六棱柱，不符合棱錐的定義，故A不符合題意；

B、是圓錐，不符合棱錐的定義，故B不符合題意；

C、是長方體，不符合棱錐的定義，故C不符合題意；

D、是四棱錐，符合棱錐的定義，故D符合題意；

故選：D.

4.B

【分析】本題考查了線、面的關系，根據(jù)題意，結(jié)合線動成面的數(shù)學原理：某一條線在運動

過程中留下的運動軌跡會組成一個平面圖形，這個平面圖形就是一個面，即可得出答案.熟

練掌握線動成面的數(shù)學原理是解本題的關鍵.

【詳解】解：打開折扇時，隨著扇骨的移動形成一個扇面，這種現(xiàn)象可以用數(shù)學原理解釋為

線動成面，

答案第1頁，共33頁

故選：B.

5.B

【分析】本題考查點動成線，根據(jù)點動成線直接判斷即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

這里用數(shù)學的眼光來看其實是把雨滴看成了點，把雨看成線，說明點動成線，

故選：B.

6.D

【分析】本題主要考查了面動成體，根據(jù)立體圖形的形狀，平面圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：所給的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可得到的幾何體是D,

故選：D.

7.（1）當以長為旋轉(zhuǎn)軸時憶=""2,當以寬為旋轉(zhuǎn)軸時廠=萬02b

（2）當以長為旋轉(zhuǎn)軸時，144cm2；當以寬為旋轉(zhuǎn)軸時，108cm?

【分析】（1）由題意可得這個幾何體是圓柱體；根據(jù)當以長為旋轉(zhuǎn)軸時，當以寬為旋轉(zhuǎn)軸時,

分別求得體積即可求解；

（2）將字母的值代入（1）的結(jié)果進行計算即可求解.

【詳解】（1）解：由題意可得這個幾何體是圓柱體；

???當以長為旋轉(zhuǎn)軸時：V=Ttab2;

當以寬為旋轉(zhuǎn)軸時：V=Tta2b;

（2）解：當。=3cm,6=4cm時,

當以長為旋轉(zhuǎn)軸時：V=7tab2=3x3x42=144cm3：

當以寬為旋轉(zhuǎn)軸時：V=na2b=3x32x4=108cm3.

【點睛】本題考查了平面圖形旋轉(zhuǎn)后得到的立體圖形，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，分類討論是

解題的關鍵.

8.6

【分析】本題主要考查了從不同的方向看幾何體，根據(jù)三個方向看到的圖形確定每個位置的

小立方體數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：由三視圖可知，在俯視圖中每個位置的小正方體數(shù)如下所示：

俯視圖

答案第2頁，共33頁

???一共需要小正方體的個數(shù)是1+1+1+1+2=6,

故答案為：6.

9.⑴見詳解

(2)2

(3)28cm2

【分析】本題考查了畫三視圖、求幾何體的表面積、根據(jù)三視圖求添加小正方體個數(shù)，熟練

掌握三視圖是解題的關鍵.

(1)根據(jù)三視圖的定義畫出圖形即可；

(2)要保持主視圖和左視圖不變，可在原圖最底層、離視線最近的單獨的小正方體的左右

兩側(cè)各添加塊小正方體；

(3)將主視圖、左視圖、俯視圖面積相加，再乘2即可得出這堆幾何體的表面積.

主視圖左視圖俯視圖

(2)解：???要保持主視圖和左視圖不變，

???可在原圖最底層、離視線最近的單獨的小正方體的左右兩側(cè)各添加1塊小正方體，即最多

可以再添加2塊小正方體，

故答案為：2.

(3)解：???小正方體的棱長都為1cm,

???1塊小正方形的面積=1、1=1(；1112,

,這堆幾何體的表面積=(5+3+6)x2=28cm2；

答：添加最多的小正方體后該幾何體的表面積為28cm2.

10.(1)畫圖見解析；

⑵38；

⑶3.

【分析】(1)根據(jù)幾何體三視圖的畫法解答；

(2)將各個不同方向的正方形面積相加即可得到答案；

答案第3頁，共33頁

(3)為不影響主視圖和俯視圖，可不改變底部的個數(shù)，增加高度即可，據(jù)此分析解答；

此題考查了畫幾何體的三視圖，求幾何體的表面積，添加小正方體，熟記幾何體三視圖的畫

法是解題的關鍵.

【詳解】(1)如圖，

主視圖主視圖

(2)該幾何體的表面積=7+7+6+6+6+6=38(cm2),

故答案為：38；

(3)解：再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體的主視圖和俯視圖不變，可使第

一列的高度均為3,

二最多可添加3個小正方體，

故答案為：3.

11.(1)畫圖見解析

⑵36

(3)4

(4)1

【分析】本題主要考查簡單幾何題的三視圖的畫法，熟練掌握主視圖、左視圖、俯視圖的畫

法是解題的關鍵.

(1)根據(jù)三視圖的概念求解即可；

(2)直接利用三視圖分別乘以2求解即可；

(3)根據(jù)俯視圖和左視圖求解即可；

(4)根據(jù)主視圖，俯視圖和左視圖求解即可.

答案第4頁，共33頁

.-.（6+6+6）x2=36（cm2）

這個幾何體的表面積是36cm2；

（3）解：要使俯視圖和左視圖不變，

即在主視圖的上面加放小立方體，

故最多可加4個；

（4）解：要使主視圖，俯視圖和左視圖不變，

只能最下面一層的中間小正方體上增加1個小正方體

故最多可加1個.

12.A

【分析】本題考查了常見幾何體的展開圖；熟記常見幾何體的平面展開圖的特征，是解決此

類問題的關鍵.根據(jù)常見的幾何體的展開圖進行判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)幾何體的平面展開圖，則從左到右，其對應的幾何體名稱分別為：圓錐,

正方體，三棱柱，圓柱.

故選：A.

13.B

【分析】本題考查了正方體的展開圖，相反數(shù)，由圖可知，N與卜2|=2是相對面，3與;是

相對面，C與0是相對面，根據(jù)相反數(shù)的定義可得由圖可知，N對應一2,8對應-g,C對

應0,即可得.

【詳解】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，

/與卜2|=2是相對面，2與〈是相對面，C與0是相對面，

???折成正方體后相對面上的兩個數(shù)互為相反數(shù)，

.■.A,B,C內(nèi)的三個有理數(shù)依次為-2,-1,0.

故選：B.

14.D

【分析】本題考查了正方形的展開圖，通過觀察和動手操作即可做出選擇.

【詳解】A.無圖案，不符合題意；

B、C折成正方形后，兩個有斜線的面相對，不符合題意；.

D.折成正方形后，兩個有斜線的面相鄰，符合題意，

答案第5頁，共33頁

故選：D.

15.(1)。，E

(2)3的值為-4,￡的值為-1

【分析】本題主要考查的是正方體相對兩個面上的文字，從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨

析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題

的關鍵.

(1)依據(jù)N對面的字母是3對面的字母是公

(2)依據(jù)字母/表示的數(shù)與它對面的字母。表示的數(shù)互為相反數(shù)，即可得到x的值，進而

得出2,E的值.

【詳解】(1)解：由圖可得，4與B、C、E、尸都相鄰，故/對面的字母是

E與A、C、D、尸都相鄰，故8對面的字母是￡；

故答案為：D,E；

(2)解:因為字母/表示的數(shù)與它對面的字母：。表示的數(shù)互為相反數(shù)，

所以x+l=O,解得x=-l.

所以8表小的數(shù)為-x?+3x=-1)+3x(—1)=—4；

E表示的數(shù)為*3=(_1)2。23=一1.

所以8的值為-4,￡的值為-1.

16.A

【分析】本題考查了直線、射線、線段.熟練掌握直線兩端都可以無限延長，射線有一個端

點，可向一邊無限延長，線段不可延長是解題的關鍵.

根據(jù)直線兩端都可以無限延長，射線有一個端點，可向一邊無限延長，線段不可延長逐項判

斷即可.

【詳解】解：由題意知，A中直線CD與直線4B能相交，故符合要求；

B中射線CD與直線48不能相交，故不符合要求；

C中射線CD與線段力B不能相交，故不符合要求；

D中線段CD與線段A8不能相交，故不符合要求；

故選：A.

17.D

【分析】本題考查的是直線的表述方法，直線與直線的交點的含義，根據(jù)直線的表示方法逐

答案第6頁，共33頁

一判斷即可.

【詳解】解：圖中有直線心，直線”，直線。4,直線05,

直線加與直線”交于點。，直線。/與直線加交于點O,

?1.A,B,C錯誤，不符合題意；D正確，符合題意；

故選：D.

18.C

【分析】本題考查射線、直線和線段定義與作圖，根據(jù)射線、直線和線段定義與作圖逐項判

斷即可得到答案，熟記射線、直線和線段定義與作圖是解決問題的關鍵.

【詳解】解：A、根據(jù)射線定義，射線一端無限延長，不可能得到射線/8=10cm,該選項

表述錯誤，不符合題意；

B、根據(jù)直線定義，射線兩端無限延長，不可能得到直線=10cm,該選項表述錯誤，不

符合題意；

C、畫線段在線段"N上任取一點A說法正確，符合題意；

D、根據(jù)射線定義，射線從固定端點出發(fā)，向另一端無限延長，以點M為端點畫射線M4,

而不是以點〃為端點畫射線4W,該選項表述錯誤，不符合題意；

故選：C.

19.D

【分析】本題考查線段的性質(zhì)，理解兩點之間線段最短的性質(zhì)是正確判斷的前提.根據(jù)線段

的性質(zhì)進行判斷即可.

【詳解】解：A,8兩個村莊在一條河/（不計河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到

/、8兩個村莊的距離之和最小，圖2中所示的C點即為所求的碼頭的位置，那么這樣做的

理由是兩點之間，線段最短，

故選：D.

20.兩點確定一條直線

【分析】本題主要考查直線的性質(zhì)，掌握直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線是解題的關鍵.根

據(jù)直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線即可得.

【詳解】解：能解釋這一實際應用的數(shù)學知識是：兩點確定一條直線，

故答案為：兩點確定一條直線.

21.③兩點之間，線段最短

【分析】根據(jù)題意，連接兩點的所有的線中，應選連接A、8的線段，根據(jù)線段的性質(zhì)，兩

答案第7頁，共33頁

點之間線段最短即可.此題為數(shù)學知識的應用，考查知識點是兩點之間線段最短.

【詳解】解：依題意，

從A地到8地共有五條路，小紅應選擇第③路，用數(shù)學知識解釋為兩點之間，線段最短.

故答案為：③，兩點之間，線段最短

22.B

【分析】本題考查了角的表示方法的應用，根據(jù)角的表示方法和圖形逐個判斷即可，解題的

關鍵正確理解角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示，其中頂點字母要寫

在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不

清這個字母究竟表示哪個角.

【詳解】解：A、因為頂點。處有四個角，所以這個角不能用N1,/。，/40B表示,故

本選項錯誤；

B、因為頂點。處只有一個角，所以這個角能用Nl,/O,NAOB表示,故本選項正確；

C、因為頂點。處有三個角，所以這個角不能用/I,NO,N/O8表示，故本選項錯誤；

D、因為頂點。處有兩個角，所以這個角不能用Zl,NO,/AOB表示,故本選項錯誤；

故選：B.

23.A

【分析】本題考查了角的表示方法；

角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母要寫在中間，唯有

在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究

竟表示哪個角.角還可以用一個希臘字母（如/夕，4,N，、…）表示，或用阿拉伯數(shù)字

（Z1,表示，據(jù)此進行分析即可.

【詳解】解：A.N1可以用表示，符合題意；

B./I可以用/NOC表示，但不能用N。表不，不符合題意；

C.N1可以用//0C表示，但不能用表示，不符合題意；

D.21可以用NBOC表示，但不能用N。表示，不符合題意；

故選：A.

24.C

【分析】本題主要考查了角的表示方法，射線和直線的相關概念，根據(jù)以上知識逐項分析判

斷，即可求解.

【詳解】解：A、點戶不在直線加上，原說法錯誤，不符合題意；

答案第8頁，共33頁

B、N1可以表示成2/Q8,不可以表示成N。，原說法錯誤，不符合題意；

C、直線加和〃相交于點。，原說法正確，符合題意；

D、射線。4和射線/。表示的不是同一條射線，原說法錯誤，不符合題意；

故選：C.

25.150°##150度

【分析】本題考查了與方向角有關的運算，先根據(jù)題意得出/尸。4=60。，得出

ZAOE=30°,根據(jù)，4。3=/2。6+/￡。6+//?！甏霐?shù)值，進行計算，即可作答.

【詳解】解:如圖：

南

???在點。的北偏東60。方向上，點8在點。的南偏西30。方向上，

ZFOA=60°,ZBOG=30°,

.?.//0￡=90。-60。=30。，

4BOG=30°,NEOG=90°,

r.408=30。+90。+30。=150。，

故答案為：150。.

26.北偏西