2025屆遼寧省省重點中學協(xié)作校高三上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省省重點中學協(xié)作校2025屆高三上學期1月期末考試數(shù)學試題、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)在復平面上對應的點所屬象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意得，所以，即z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)的點位于第一象限，故選：A.2.已知集合和集合，則（）A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】由得，故，故，，故，故選：C.3.甲，乙，丙三人玩踢毽子游戲，每個人接到毽子都等可能地把毽子傳給另外兩個人中的一個人，從甲開始踢，則毽子第三次傳遞給甲的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)甲、乙、丙三人用，由題意可知：經(jīng)過三次踢毽子的所有情況有：，，，，，，，，其中毽子第三次傳遞給甲的情況有：，，故所求概率為.故選：A.4.學校運動會十名護旗手身高（單位：cm）分別為175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，176，則十名護旗手身高的分位數(shù)為（）A.177.5 B.178 C.178.5 D.179【答案】C【解析】將這10個數(shù)從小到大排列為174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，則,故第分位數(shù)為，故選：C.5.若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，①，則，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以.故選：.6.函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】令得或，解得或.函數(shù)的零點即為方程的根.或.當時，由可得或；由可得或（舍去）.當時，由可得；由可得.綜上，函數(shù)的零點個數(shù)為5個.故選：C.7.橢圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓叫做橢圓的蒙日圓.則斜率為2的橢圓的切線被它的蒙日圓截得的弦長大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得橢圓的蒙日圓為，設(shè)斜率為2的橢圓的切線方程為，代入橢圓方程，整理得：，由，解得，則切線方程為，即，因蒙日圓圓心到切線的距離為，則切線被蒙日圓截得的弦長為.故選：D.8.直三棱柱中，，側(cè)棱長為2，該三棱柱的體積為，則三棱柱外接球的表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三棱柱的體積為，可得,所以，所以，由余弦定理可得：，當且僅當時取等號，設(shè)底面的外接圓半徑為，由正弦定理得，所以.所以外接球半徑為，所以求得表面積為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量滿足，則下列說法正確的有（）A.若，則在上的投影數(shù)量為B.當時，則C.若的范圍為D.當時，的最大值為3【答案】AC【解析】對于A，在上的投影數(shù)量為，故A正確；對于B，當時，則，故，因此，由于，則，故B錯誤；對于C，若，故，故C正確；對于D，若，故，取不到3，故D錯誤.故選：AC.10.已知焦點為的拋物線.過焦點的直線交拋物線于兩點，過兩點分別作拋物線的切線交于點.已知當軸時，.則下列結(jié)論正確的有（）A.拋物線的方程是B.若直線的傾斜角為，則的面積是C.的最小值為D.若，則直線的傾斜角的余弦值為【答案】ABC【解析】當軸時，可知，所以，，A正確；此時焦點坐標為：，由題意直線斜率不為0，故設(shè)直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程，消去可得：，設(shè)，不妨設(shè)在第一象限，則，所以，，所以，當直線的傾斜角為時，，，由得：，由在第一象限，故在的切線斜率為，所以:，化簡可得：，同理可得所以方程：，兩方程相減可得：，此時代入第一個方程可得：，由直線：，可得，所以,此時到的距離為：，所以的面積為，B正確；，又，所以，當且僅當取等號，C正確；若，則，結(jié)合，可得：，由，得，所以，即，所以直線的斜率，即，當時，為銳角，即，結(jié)合，可得；當時，為鈍角，即，結(jié)合，可得，D錯；故選：ABC.11.已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的有（）A.若，則B.C.數(shù)列的前40項和為840D.若，則數(shù)列的前項和為【答案】ABD【解析】對于A，當為奇數(shù)時，，，兩式相減得；因為，又，所以，故A正確；對于B，，兩式相加得，所以，兩式相減得，由等差數(shù)列可知，因為，所以，所以，即，故B正確；對于C，當為偶數(shù)時，，，兩式相加得.所以，故C錯誤；對于D，因，所以，又因為，所以，所以，由B選項可知，當時，，所以，所以，即是一個以首項為2，公差為8的等差數(shù)列，前n項和為，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項式的展開式中，項的系數(shù)為______.【答案】【解析】二項式的展開式的通項公式為，令，解得，故項的系數(shù)是.故答案為：.13.直線的法向量，點在直線的第一象限內(nèi)的部分上運動，則的最小值為______.【答案】【解析】因為直線l：的法向量，所以，所以點滿足，即，且滿足，，當且僅當時等號成立，故答案為：.14.已知定義在上的偶函數(shù)，當時，.且時，恒成立，且，則時，不等式的解集為______.【答案】【解析】已知當時，，將其變形為，進一步整理得.令，對求導，.當時，，，可得，所以在上單調(diào)遞減.因為是定義在上的偶函數(shù)，即.那么，所以是奇函數(shù).所以在上也是單調(diào)遞減.已知，則.當時，，則，∴不等式可化為，即.因為在上單調(diào)遞減，則.當時，；，得，則，∴不等式可化為，即，則.綜上，不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.將兩個完全相同的三角板按（圖①）的方式進行拼接，將三角板沿折起，使到達點的位置（如圖②），使二面角的平面角為，為中點.（1）求證：平面；（2）折起后，點是上靠近點的四等分點，求直線與平面所成角的正切值.（1）證明：∵三角板和為兩個完全相同的三角板，拼接前有和，折后不變，即和.又，面，面，面.（2）解：由①可知和，二面角的平面角為，即.又，為等邊三角形，面，面，面面，面面，在平面中，過作，以為坐標原點，以為軸正方向，以為軸正方向，以為軸正方向，建立空間直角坐標系.令，則，則.因為點是線段上的四等分點且靠近點，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則即令，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.因為且為銳角，所以，又因為，所以.所以，直線與平面所成角的正切值為.16.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若是的重心，求的面積.解：（1）因為，則，可得，又因為，則，可得由正弦定理可得，即，可得，整理可得，且，所以.（2）方法一：在中，，則.可得，.又因為為的重心，到邊的距離為到的距離的倍，所以；方法二：因為，則，且，可得，延長，交于，在中，由余弦定理可得，即，可得，由正弦定理得：，則所以.17.已知函數(shù)滿足.（1）求與的值；（2）判斷函數(shù)零點的個數(shù)并證明；（3）當時，證明：.（1）解：令，有.求得.令，有.求得.（2）解：有.令所以在上單調(diào)遞增.故使時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.所以又當時，所以，，故恒成立.在上無零點.（3）證明：令時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故有…………①令時，在上單調(diào)遞增，故有……②由①，②可得.又時，恒成立所以即.18.為培養(yǎng)青少年航天科學素養(yǎng)，某航天科技館組織中學生航天科技大賽，每個地區(qū)選派5名學生組隊參賽，比賽分為二人組筆試航天知識問答和三人組“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實操測試比賽兩場.在筆試知識問答中每隊有兩名同學，只需抽一名選手參加，該選手答一道程序邏輯推理題目，若答對可以進入第二環(huán)節(jié)，在三人組“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實操測試比賽中，規(guī)則是每組三個選手，先選派一人進行一次編程設(shè)計試驗，若能運行成功記為通過.第一位選手通過，第二位選手則有三次上場機會，否則該組結(jié)束比賽.如果第二位選手通過一次及以上測試，則每次通過后得4分，并為第三位選手爭取到兩次上場機會，否則第二位選手不加分并結(jié)束該組比賽.第三位選手每次通過試驗均加10分，不通過不加分.兩位選手得分之和計為本場比賽總得分.（1）已知在二人組筆試航天知識問答中，某地區(qū)A、B兩人組隊，A、B第一環(huán)節(jié)答對問題的概率分別是、，第二環(huán)節(jié)中共有6個題目，選手抽出三道題作答，答對一題得4分.已知6個題目中有4個題目A同學熟悉并能答對，有3個題目B同學熟悉并能答對.設(shè)選派A同學和B同學參賽得分分別為X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望；（2）現(xiàn)某組決定選派甲、乙、丙三位選手參加“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實操測試比賽，先后進入三個環(huán)節(jié)，甲選手在第一個環(huán)節(jié)中通過測試的概率為，乙選手在第二個環(huán)節(jié)中通過每一次測試的概率均為，丙選手在第三個環(huán)節(jié)中通過每一次測試的概率均為.①在甲選手通過測試的條件下，求該組乙選手得分的分布列；②求該隊在三人組“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實操測試比賽中的總得分期望.解：（1）同學參賽得分所有取值為0，4，8，12，，，，，所以的分布列為04812.（2）①設(shè)乙選手在三次測試中得分為，則所有取值為0，4，8，12，，，，，所以分布列為04812②設(shè)該隊在“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實操測試比賽中總得分為，則所有取值為0，4，8，12，14，18，22，24，28，32，在甲選手已通過測試的條件下概率如下：，，，，，，，，，，所以的分布列為04812141822242832由于甲選手通過測試概率為，所以總得分的期望為.19.已知雙曲線的中心為坐標原點，與橢圓有共同的焦點，且點在雙曲線上.過點作兩條相互垂直的直線、，直線交漸近線于兩點，直線交漸近線于兩點，分別是線段和的中點（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線交軸于點，設(shè).（ⅰ）求；（ⅱ）記，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為橢圓，所以橢圓的左右兩個焦點坐標為所以雙曲線的焦點坐標也是，所以雙曲線中，設(shè)雙曲線的方程是：將點代入得：，化簡得：，解得：或.又因為，所以（舍）所以雙曲線的標準方程是：.（2）（?。┊斨本€中有一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，直線與軸重合，不符合題意；當直線中有一條直線的斜率為2或-2，另一條直線的斜率為或時，直線與漸近線無交點，不符合題意；所以直線均存在且不和漸近線平行.設(shè)的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：和由，得，所以，所以.同理：.所以.同理：因為三點共線，所以，所以，化簡得：；因為，所以；（ⅱ）因為所以.所以所以遼寧省省重點中學協(xié)作校2025屆高三上學期1月期末考試數(shù)學試題、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)在復平面上對應的點所屬象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意得，所以，即z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)的點位于第一象限，故選：A.2.已知集合和集合，則（）A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】由得，故，故，，故，故選：C.3.甲，乙，丙三人玩踢毽子游戲，每個人接到毽子都等可能地把毽子傳給另外兩個人中的一個人，從甲開始踢，則毽子第三次傳遞給甲的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)甲、乙、丙三人用，由題意可知：經(jīng)過三次踢毽子的所有情況有：，，，，，，，，其中毽子第三次傳遞給甲的情況有：，，故所求概率為.故選：A.4.學校運動會十名護旗手身高（單位：cm）分別為175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，176，則十名護旗手身高的分位數(shù)為（）A.177.5 B.178 C.178.5 D.179【答案】C【解析】將這10個數(shù)從小到大排列為174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，則,故第分位數(shù)為，故選：C.5.若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，①，則，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以.故選：.6.函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】令得或，解得或.函數(shù)的零點即為方程的根.或.當時，由可得或；由可得或（舍去）.當時，由可得；由可得.綜上，函數(shù)的零點個數(shù)為5個.故選：C.7.橢圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓叫做橢圓的蒙日圓.則斜率為2的橢圓的切線被它的蒙日圓截得的弦長大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得橢圓的蒙日圓為，設(shè)斜率為2的橢圓的切線方程為，代入橢圓方程，整理得：，由，解得，則切線方程為，即，因蒙日圓圓心到切線的距離為，則切線被蒙日圓截得的弦長為.故選：D.8.直三棱柱中，，側(cè)棱長為2，該三棱柱的體積為，則三棱柱外接球的表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三棱柱的體積為，可得,所以，所以，由余弦定理可得：，當且僅當時取等號，設(shè)底面的外接圓半徑為，由正弦定理得，所以.所以外接球半徑為，所以求得表面積為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量滿足，則下列說法正確的有（）A.若，則在上的投影數(shù)量為B.當時，則C.若的范圍為D.當時，的最大值為3【答案】AC【解析】對于A，在上的投影數(shù)量為，故A正確；對于B，當時，則，故，因此，由于，則，故B錯誤；對于C，若，故，故C正確；對于D，若，故，取不到3，故D錯誤.故選：AC.10.已知焦點為的拋物線.過焦點的直線交拋物線于兩點，過兩點分別作拋物線的切線交于點.已知當軸時，.則下列結(jié)論正確的有（）A.拋物線的方程是B.若直線的傾斜角為，則的面積是C.的最小值為D.若，則直線的傾斜角的余弦值為【答案】ABC【解析】當軸時，可知，所以，，A正確；此時焦點坐標為：，由題意直線斜率不為0，故設(shè)直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程，消去可得：，設(shè)，不妨設(shè)在第一象限，則，所以，，所以，當直線的傾斜角為時，，，由得：，由在第一象限，故在的切線斜率為，所以:，化簡可得：，同理可得所以方程：，兩方程相減可得：，此時代入第一個方程可得：，由直線：，可得，所以,此時到的距離為：，所以的面積為，B正確；，又，所以，當且僅當取等號，C正確；若，則，結(jié)合，可得：，由，得，所以，即，所以直線的斜率，即，當時，為銳角，即，結(jié)合，可得；當時，為鈍角，即，結(jié)合，可得，D錯；故選：ABC.11.已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的有（）A.若，則B.C.數(shù)列的前40項和為840D.若，則數(shù)列的前項和為【答案】ABD【解析】對于A，當為奇數(shù)時，，，兩式相減得；因為，又，所以，故A正確；對于B，，兩式相加得，所以，兩式相減得，由等差數(shù)列可知，因為，所以，所以，即，故B正確；對于C，當為偶數(shù)時，，，兩式相加得.所以，故C錯誤；對于D，因，所以，又因為，所以，所以，由B選項可知，當時，，所以，所以，即是一個以首項為2，公差為8的等差數(shù)列，前n項和為，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項式的展開式中，項的系數(shù)為______.【答案】【解析】二項式的展開式的通項公式為，令，解得，故項的系數(shù)是.故答案為：.13.直線的法向量，點在直線的第一象限內(nèi)的部分上運動，則的最小值為______.【答案】【解析】因為直線l：的法向量，所以，所以點滿足，即，且滿足，，當且僅當時等號成立，故答案為：.14.已知定義在上的偶函數(shù)，當時，.且時，恒成立，且，則時，不等式的解集為______.【答案】【解析】已知當時，，將其變形為，進一步整理得.令，對求導，.當時，，，可得，所以在上單調(diào)遞減.因為是定義在上的偶函數(shù)，即.那么，所以是奇函數(shù).所以在上也是單調(diào)遞減.已知，則.當時，，則，∴不等式可化為，即.因為在上單調(diào)遞減，則.當時，；，得，則，∴不等式可化為，即，則.綜上，不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.將兩個完全相同的三角板按（圖①）的方式進行拼接，將三角板沿折起，使到達點的位置（如圖②），使二面角的平面角為，為中點.（1）求證：平面；（2）折起后，點是上靠近點的四等分點，求直線與平面所成角的正切值.（1）證明：∵三角板和為兩個完全相同的三角板，拼接前有和，折后不變，即和.又，面，面，面.（2）解：由①可知和，二面角的平面角為，即.又，為等邊三角形，面，面，面面，面面，在平面中，過作，以為坐標原點，以為軸正方向，以為軸正方向，以為軸正方向，建立空間直角坐標系.令，則，則.因為點是線段上的四等分點且靠近點，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則即令，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.因為且為銳角，所以，又因為，所以.所以，直線與平面所成角的正切值為.16.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若是的重心，求的面積.解：（1）因為，則，可得，又因為，則，可得由正弦定理可得，即，可得，整理可得，且，所以.（2）方法一：在中，，則.可得，.又因為為的重心，到邊的距離為到的距離的倍，所以；方法二：因為，則，且，可得，延長，交于，在中，由余弦定理可得，即，可得，由正弦定理得：，則所以.17.已知函數(shù)滿足.（1）求與的值；（2）判斷函數(shù)零點的個數(shù)并證明；（3）當時，證明：.（1）解：令，有.求得.令，有.求得.（2）解：有.令所以在上單調(diào)遞增.故使時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.所以又當時，所以，，故恒成立.在上無零點.（3）證明：令時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故有…………①令時，在上單調(diào)遞增，故有……②由①，②可得.又時，恒成立所以即.18.為培養(yǎng)青少年航天科學素養(yǎng)，某航天科技館組織中學生航天科技大賽，每個地區(qū)選派5名學生組隊參賽，比賽分為二人組筆試航天知識問答和三人組“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實操測試比賽兩場.在筆試知識問答中每隊有兩名同學，只需抽一名選手參加，該選手答一道程序邏輯推理題目，若答對可以進入第二環(huán)節(jié)，在三人組“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實操測試比賽中，規(guī)則是每組三個選手，先選派一人進行一次編程設(shè)計試驗，若能運行成功記為通過.第一位選手通過，第二位選手則有三次上場機會，否則該組結(jié)束比賽.如果第二位選手通過一次及以上測試，則每次通過后得4分，并為第三位選手爭取到兩次上場機會，否則第二位選手不加分并結(jié)束該組比賽.第三位選手每次通過試驗均加10分，不通過不加分.兩位選手得分之和計為本場比賽總得分.（1）已知在二人組筆試航天知識問答中，某地區(qū)A、B兩人組隊，A、B第一環(huán)節(jié)答對問題的概率分別是、，第二環(huán)節(jié)中共有6個題目，選手抽出三道題作答，答對