湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)入學(xué)試題一、單選題（共分）1已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合中元素范圍，再求交集即可.【詳解】，，則.故選：C.2.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】依題意，，故選：D.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第1頁/共18頁【分析】根據(jù)指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及解析式判斷單調(diào)性，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】由解析式知，在上是增函數(shù)，且，，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為．故選：C4.函數(shù)的大致圖象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用單調(diào)性、最值結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時，，為減函數(shù)，排除AD；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值2，故排除C.B選項的圖象符合題意.故選：B.5.“函數(shù)是偶函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件B.充要條件第2頁/共18頁C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)求出，再根據(jù)必要不充分條件判斷可得答案.【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，則“函數(shù)是偶函數(shù)”是“”的必要不充分條件，故選：C.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】要使函數(shù)是減函數(shù)，須滿足求不等式組的解即可.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的性質(zhì).7.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】轉(zhuǎn)化成齊次式再運(yùn)用弦化切的思想即可求解.第3頁/共18頁【詳解】因為，所以，得，顯然，所以，而，故選：B8.已知函數(shù)若有3個零點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】與函數(shù)的圖象有3【詳解】令，解得，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示：若有3個零點(diǎn)，則與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，觀察可知，，解得，故選:C.二、多選題（共分）9.下列等式成立的是（）第4頁/共18頁A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用兩角和差的正弦公式、正切公式的逆運(yùn)用可以分別計算出A、D選項，利用二倍角正弦公式的逆運(yùn)用可以計算出B選項，根據(jù)降冪公式可以化簡病求出C選項.【詳解】對于A選項，，所以A正確；對于B選項，，所以B不正確；對于C選項，，所以C不正確；對于D選項，，所以D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的值域為【答案】CD【解析】【分析】由逐項判斷可得答案.【詳解】依題意，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故A錯誤，B錯誤；因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；第5頁/共18頁因為，故函數(shù)的值域為，故D正確；故選：CD.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集為或【答案】BD【解析】【分析】由題意可得1和5是方程的兩根，且，利用韋達(dá)定理可得與的關(guān)系，然后逐項判斷可得答案.【詳解】由題意可得1和5是方程的兩根，且，由韋達(dá)定理可得，得，對于A，因為，故A錯誤；對于B，不等式，即，即，得，所以不等式的解集是，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，由不等式，得，即，則，得或，即解集為或，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的一個周期為B.函數(shù)圖象不關(guān)于y軸對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.函數(shù)的值域為第6頁/共18頁【答案】BCD【解析】【分析】由，，然后畫出的草圖可判斷CD.【詳解】因為，故A錯誤；因為，故函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對稱，故B正確；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，而，故函數(shù)的最小正周期為；作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示，觀察可知，C，D均正確；故選：BCD三、填空題（共分）13.已知集合，，則下圖中陰影部分表示的集合為___________.【答案】【解析】第7頁/共18頁【分析】分析可知，陰影部分所表示的集合為且，即可得解.【詳解】由圖可知，陰影部分所表示的集合為且.故答案為：.14.已知，且，則的最小值為________.【答案】##【解析】【分析】構(gòu)造基本不等式“1”的代換，求出最小值.【詳解】因為，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值為.故答案為：15.已知函數(shù)其中，在區(qū)間的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先由得，再由正弦函數(shù)性質(zhì)得不等式第8頁/共18頁，解該不等式即可得解.【詳解】若，則，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，由，又，故或，所以當(dāng)時，得；當(dāng)時，得.所以滿足題意的的取值范圍是.故答案為：.16.已知函數(shù)其中且.①當(dāng)時，則函數(shù)的零點(diǎn)為___________；②若函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】①當(dāng)時，分兩段，令=0解出的值即可；②先求出第一段的值域，函數(shù)的值域為，列出不等式組即可求出答案.【詳解】①若，則可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，令，解得，故函數(shù)的零點(diǎn)為.綜上所述，當(dāng)時，則函數(shù)的零點(diǎn)為；第9頁/共18頁②當(dāng)時，；故顯然有解得，故實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：；四、解答題（共分）17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】1）由三角恒等變換化簡的解析式，再利用單調(diào)性質(zhì)求解；（2）由圖象變換得解析式，再利用整體法求值域.【小問1詳解】因為，令，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到，第10頁/共18頁再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，當(dāng)，故，所以的值域為．18.已知，其中，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】1）利用余弦的倍角公式及條件得，，再利用余弦的差角公式即可求出結(jié)果；（2）先根據(jù)條件求出，構(gòu)角，再利用正弦的差角公式即可求解出結(jié)果.【小問1詳解】依題意，，得到，又，所以，，故【小問2詳解】因為，所以，又，所以，則，第11頁/共18頁故.19.已知函數(shù)．（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值，以及取最值時x的值．【答案】（1）1，，（2）時，有最大值；時，有最小值.【解析】1）將化簡為，解不等式，，即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，得，從而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最值．【小問1詳解】解：因為，，令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】解：因為，所以，第12頁/共18頁所以，所以，當(dāng)，即時，有最大值，當(dāng)，即時，有最小值．20.已知函數(shù).（1）在下列坐標(biāo)系中，作出函數(shù)在上的大致圖象；（2圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的數(shù)在上的值域.【答案】（1）作圖見解析；（2）.【解析】1在上的大致圖象；（2的解析式為可求得的取值范圍，再利用余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的解析式.【小問1詳解】解：依題意，，第13頁/共18頁列表如下：作出函數(shù)在上的大致圖象如下所示：【小問2詳解】解：將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍后，得到，再向左平移個單位，得到，當(dāng)時，，而，，第14頁/共18頁則，故函數(shù)在上的值域為.21.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2取值范圍；（3）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.試判斷是否恒成立，并說明理由.【答案】（1）（2）（3）恒成立，理由見解析【解析】1）先求出的定義域，判斷其奇偶性及單調(diào)性，從而將所求不等式化為，由此得解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為和在上的值域的交集不為空集；分類討論和兩種情況，分別求出兩函數(shù)的值域，從而得解；（3）將問題轉(zhuǎn)化為判斷，再利用的單調(diào)性即可得解.【小問1詳解】因為，由，可得，即的定義域為；第15頁/共18頁又，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，易得單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，且的值域為，不等式，可化為，所以，即，即，即，解得，則原不等式的解為；【小問2詳解】函數(shù)，若存在，使得成立，則和在上的值域的交集不為空集；由（1）可知：時，單調(diào)遞減，所以的值域為；若，則在上單調(diào)遞減，所以的值域為，此時只需，即，所以；若，則在上單調(diào)遞增，可得值域為，此時與的交集顯然為空集，不滿足題意；綜上，實數(shù)的范圍是；【小問3詳解】第16頁/共18頁恒成立，理由如下：因為，所以，因為在區(qū)間單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以，即，即，所以，即.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”(組)與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）若關(guān)于x的方程在上