2025湖北黃岡中學自主招生考試數(shù)學試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湖北省黃岡中學自主招生預錄考試數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，數(shù)軸上，，三點所表示的數(shù)分別為，，．如果滿足且，那么下列各式表達錯誤的是（

）A． B． C． D．2．下列變形，正確的有（

）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．已知不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．4．設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為，與軸的交點為．當為等邊三角形時，的面積為（

）A． B． C． D．5．甲、乙、丙三人相互傳球，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者將球等可能地傳給另外兩人中的任何一人．經(jīng)過4次傳球后，球仍在甲手中的概率是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，當時，隨的增大而減小，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．或7．如圖，為直線上一點，過點作的垂線交雙曲線于點．若，則的值為（

）A．12 B． C．6 D．8．如圖所示是一個樹形圖的生長過程，依據(jù)圖中所示的生長規(guī)律，第13行的空心圓的個數(shù)是（

）A．55個 B．72個 C．89個 D．144個9．已知為關(guān)于的方程的三個實數(shù)根，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題10．計算：．11．已知函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù)，則的取值范圍為．12．已知，則代數(shù)式的值是．13．如圖，已知,為平面直角坐標系內(nèi)兩點，以點為圓心的經(jīng)過原點軸于點，點為上一動點，為的中點，則線段長度的最大值為．14．已知是整數(shù)，且，由直線和直線與軸及軸所圍成的圖形面積為，則的最小值是．15．已知的最大邊上的高線和中線恰好把三等分，，則．16．如圖，在中，，，D為邊上一動點（不與點B重合），以為邊作正方形，連接，則當?shù)拿娣e最大時，的長為．17．甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4槍，每人各自中靶的環(huán)數(shù)之積都是72（中靶環(huán)數(shù)最高為10），且4人中靶的總環(huán)數(shù)恰為4個連續(xù)整數(shù)，那么，其中打中過4環(huán)的人數(shù)為．三、解答題18．（1）已知實數(shù)，且滿足，求的值．（2）若實數(shù)使關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，且使關(guān)于的一元一次不等式組有且只有4個整數(shù)解，求符合條件的所有整數(shù)的和．19．如圖，已知中，平分交于點邊上有一點，⊙O經(jīng)過點，與交于點，與交于點，連結(jié)．(1)求證：是⊙O的切線．(2)若，求⊙O的半徑．(3)在（2）的條件下，求的長．20．給出如下定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫做這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．(1)在四邊形中，是四邊形的和諧線，求的度數(shù)．(2)在四邊形中，已知：是四邊形的和諧線，請直接寫出的長．21．閱讀：中，分別是的對邊，的邊角有如下性質(zhì)：①正弦定理：．②余弦定理：．③，其中表示的面積．請你根據(jù)上述結(jié)論求解下列問題：(1)在銳角中，分別是的對邊，若，求的大小及的面積．(2)在四邊形中，，求的最大值．22．已知二次函數(shù)．(1)設(shè)函數(shù)在范圍內(nèi)的最大值為，最小值為，且，求實數(shù)的取值范圍．(2)已知關(guān)于的方程在范圍內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍．23．已知拋物線經(jīng)過點，與軸交于點，頂點在直線上．(1)如圖1，若點的坐標為，點的橫坐標為．①試確定拋物線的解析式．②若當時，的最小值為，最大值為，請求出的取值范圍．③已知：點在拋物線上，點的坐標為，且，請直接寫出符合題意的點的坐標．(2)如圖2，若點在第一象限，且，過點作軸于點，將拋物線平移，平移后的拋物線經(jīng)過點，，與軸的另一個交點為，試探究四邊形的形狀，并說明理由．24．如圖，是菱形的對角線，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得線段的平分線與邊的交點為．(1)如圖1，若點在的延長線上，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點在對角線上，且，求的值；(3)如圖3，若與交于點，延長交點為，延長交點為，且，求的長度．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《湖北省黃岡中學自主招生預錄考試數(shù)學試卷》參考答案題號123456789答案DBDCBCDCA1．D【分析】由數(shù)軸知AB=b-a，BC=c-b，再由AB=BC得a+c=2b，再根據(jù)a+b-c=0，進而得b=2a，c=3a，進而由a＜b＜c，知a、b、c都為正數(shù)，便可得出最后答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴A選項正確；∵，即，∴，∴，，∴B，C選項正確；∵，∴，，，∴，∴D選項錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了數(shù)軸，實數(shù)的加減法，數(shù)軸上兩點間的距離的應(yīng)用，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合得出a、b、c之間的關(guān)系和正負性質(zhì)．2．B【分析】本題考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠熟練運用等式的性質(zhì)．【詳解】解：①，當時，，故此選項錯誤；②若，當時，，故此選項錯誤；③若，則，故此選項正確；④若，則，故此選項正確．故選：B．3．D【分析】本題考查一元二次不等式的解法，由題意得方程的解為或，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得a，b的值，代入即可得出不等式的解集．【詳解】解：∵不等式的解集為，∴方程的解為或，∴，，解得，，∴，即，即解得：，故不等式解集為，故選：D．4．C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)．利用配方法把二次函數(shù)的解析式寫成頂點坐標式，可得頂點的坐標為，從而可知頂點到坐標軸的距離，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，根據(jù)等三角形的性質(zhì)可得，得到關(guān)于的方程，解方程求出的值，即可求出等邊三角形的底邊與高，根據(jù)三角形的面積公式即可求出的面積．【詳解】記拋物線的對稱軸交軸于點，二次函數(shù)，頂點的坐標為，，設(shè)拋物線與軸的兩個交點為，，則，，，為等邊三角形，，即，當時，解得：或，當時，解得：或，或（舍去），，，．故選：C．5．B【分析】題目主要考查利用列舉法求概率，求出所有的傳球方法共有多少種，找出第4次球恰好傳回給甲的情況，由此能求出經(jīng)過4次傳球后，球仍在甲手中的概率．【詳解】解：用甲→乙→丙→甲→乙表示一種傳球方法，所有傳球方法共有：甲→乙→甲→乙→甲；甲→乙→甲→乙→丙；甲→乙→甲→丙→甲；甲→乙→甲→丙→乙；甲→乙→丙→乙→甲；甲→乙→丙→乙→丙；甲→乙→丙→甲→丙；甲→乙→丙→甲→乙；甲→丙→甲→乙→甲；甲→丙→甲→乙→丙；甲→丙→甲→丙→甲；甲→丙→甲→丙→乙；甲→丙→乙→丙→甲；甲→丙→乙→丙→乙；甲→丙→乙→甲→丙；甲→丙→乙→甲→乙；則共有16種傳球方法，第4次球恰好傳回給甲的有6種情況，∴經(jīng)過4次傳球后，球仍在甲手中的概率是，故選B6．C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先將原函數(shù)看成由平移得到，然后運用反比例函數(shù)增減性的性質(zhì)可得，且，解之即可．【詳解】解：可以看成是由平移得到，當時，隨的增大而減小，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得，，且，或．故選：C．7．D【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的相關(guān)知識，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．延長交軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點．構(gòu)造等腰直角三角形，再運用勾股定理列式得，得，然后設(shè)點，則所以即可作答．【詳解】解：如圖，延長交軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點．點為直線上一點，，又，∴為等腰直角三角形，∵軸，∴是等腰直角三角形，同理得是等腰直角三角形，，，，．，，整理，得．設(shè)點，則．故選：D8．C【分析】本題考查了圖形規(guī)律，根據(jù)題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵，根據(jù)每個實心圓的下一行生長出一個實心圓和一個空心圓，每個空心圓的下一行生長出一個實心圓，即可確定第行的實心圓點的個數(shù)．【詳解】解：由圖中規(guī)律可知，每個實心圓的下一行生長出一個實心圓和一個空心圓，每個空心圓的下一行生長出一個實心圓，第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；第行的空心圓的個數(shù)是；∴第行的空心圓的個數(shù)是．故選：C．9．A【分析】題目主要考查因式分解解一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【詳解】解：方程即，∴它的一個實數(shù)根為1，另外兩個實數(shù)根之和為2，∵∴其中必有一根小于1，另一根大于1，∴，，∴，故選：A．10．4【分析】本題考查了實數(shù)的運算，根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)，二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減等計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：4．11．【分析】本題考查求自變量的取值范圍，根據(jù)絕對值的意義，得到當時，這個距離之和最小，最小值為5，根據(jù)二次根式有意義的條件，得到恒成立，即可得出結(jié)果．【詳解】解：表示在數(shù)軸上表示數(shù)的點到表示數(shù)3與表示數(shù)的點的距離之和，當時，這個距離之和最小，最小值為5，即∵函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù)，恒成立，．12．【分析】本題考查了換元法、一元二次方程根的判別式、解一元二次方程．首先設(shè)，利用換元法可得：，解一元二次方程可得或，利用一元二次方程根的判別式可知不成立，把整體代入代數(shù)式計算即可．【詳解】解：，，設(shè)，則有整理得：，分解因式得：，或，或，一元二次方程中，，一元二次方程無解，不成立，舍去，當時，．故答案為：．13．/【分析】連接，，，取的中點為，連接，，可求得，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接，，，取的中點為，連接，．根據(jù)題意，得，∴．根據(jù)題意，得．∵為斜邊的中點，∴．∵的中點為，的中點為，∴．∴，即．∴長度的最大值為．故答案為：【點睛】本題主要考查平面直角坐標系，圓的概念，中位線定理，三角形的三邊關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，能根據(jù)題意繪制輔助線是解題的關(guān)鍵．14．【分析】本題考查了兩條直線相交或平行問題，及二次函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是表示出直線與坐標軸的交點坐標，并用表示出圍成的三角形的面積，從而得到函數(shù)關(guān)系式；首先用m表示出兩條直線與坐標軸的交點坐標，然后表示出圍成的面積S，根據(jù)得到的函數(shù)的取值范圍確定其最值即可．【詳解】解：如圖，過點分別作軸于點軸于點，，，，解得：，把代入得，∴兩直線都過，則，，∵直線交坐標軸于點A，B，∴當時，，當時，；，，，，∵交坐標軸于點C，D，∴當時，；當時，，∴，，∴，，，，，，．當時，隨的增大而增大，時，有最小值，是，故答案為：．15．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，利用平方根解方程等知識，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．過點作于點．設(shè)，由題意得，證明出，得到，由角平分線的性質(zhì)定理，得到，進而得出，則，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點．設(shè)，是的中線，，和恰好把三等分，，為的高線，，又，，，．，，，，．，．在中，，即，（負值已舍），，．16．/【分析】作于H，于G，作于M，由等腰三角形三線合一可得，再證，計算出，，設(shè)，通過證明，可得，從而用含x的二次函數(shù)表示出，化為頂點式即可求解．【詳解】解：作于H，于G，作于M，如圖：∵，，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，，設(shè)，，∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∵∴當時，最大，此時，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形、等腰三角形、相似三角形、正方形、二次函數(shù)求最值綜合，尋找線段與角度之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵，二次函數(shù)求最值通常化為頂點式求解．17．2人【分析】本題考查理解題意的能力，準確理解運用每人各自中靶的環(huán)數(shù)之積都是72和4人中靶的總環(huán)數(shù)恰為4個連續(xù)整數(shù)條件成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給的每人各自中靶的環(huán)數(shù)之積都是72，找到乘積是72的所有情況，那樣能找出每個人的打靶環(huán)數(shù)的可能情況，根據(jù)4人中靶的總環(huán)數(shù)恰為4個連續(xù)整數(shù)，據(jù)此即可解答．【詳解】解：，共7種情況，在這7種情況中，總環(huán)數(shù)分別為，人中靶的總環(huán)數(shù)恰為4個連續(xù)整數(shù)，其中3個人的總環(huán)數(shù)一定為15，14，13，第4個人總環(huán)數(shù)為16或，打中過4環(huán)的人數(shù)為2人．故答案為：2人．18．（1）；（2）10【分析】本題考查了一元二次方程方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次根式的化簡求值，不等式組，分式方程的整數(shù)解，（1）根據(jù)已知可知一元二次方程的兩個根，進而可得，，再化簡二次根式即可求解.（2）根據(jù)不等式組僅有4個整數(shù)解，求出m的范圍；解分式方程，根據(jù)m的范圍，確定符合條件的m值即可．【詳解】解：（1），，，，一元二次方程的兩個根，，，，，，，，．（2）解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組有4個整數(shù)解，，解得．解分式方程，得，∵分式方程有正整數(shù)解，是2的整數(shù)倍．且，符合條件的所有整數(shù)的值為3，7，其和為10．19．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）證明，則得到，即，即可證明是⊙O的切線；（2）連結(jié)交于點，證明，則．由得到，．得到．設(shè)，則，則．由得到，進一步得到．由得到，解得（舍去），即可求出答案；（3）由（2）知，，證明，則解得，由勾股定理得到即可．【詳解】（1）證明：如圖，連結(jié)，平分，，，即，又經(jīng)過點是的切線．（2）解：如圖，連結(jié)交于點是的直徑，，，，．又，，．，，．，．設(shè)，則，．，，，∴．，，解得（舍去），，即的半徑．（3）解：由（2）知，，，，，又，，解得，．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程、切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．(1)或或(2)或2或【分析】（1）根據(jù)是的和諧線，得出是等腰三角形，進而分三種情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角定理進行計算即可求解；（2）根據(jù)（1）的分類，分別求解即可．【詳解】（1）解：是四邊形的和諧線，是等腰三角形．如圖1，當時，．是等邊三角形，．，，，．如圖2，當時，，又四邊形是正方形，．如圖3，當時，過點作于點，過點作于點四邊形是矩形，，，．，，即．，．，，．綜上，的度數(shù)為或或．（2）的長為或2或如圖1，當時，過點作于點．由（1）得，，，．如圖2，當時，．如圖3，當時，由（1）得，，．綜上，的長為或2或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定；分類討論是解題的關(guān)鍵．21．(1)(2)【分析】本題主要考查了正弦定理與余弦定理，靈活運用正弦定理與余弦定理是解題的關(guān)鍵．（1）由得到，結(jié)合正弦定理得的值，即可確定、，結(jié)合余弦定理可求得,用公式即可求得面積；（2）先根據(jù)已知證明，在確定當過點時最大，進而利用余弦定理求解即可．【詳解】（1）解：，，，為銳角，，又，，，，．（2）在中，，，，,點在以為直徑的圓上．設(shè)的中點為，當過點時取得最大值，如圖所示:在中，，,（負值已舍）．又，的最大值為．22．(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)與二次函數(shù)的零點問題．（1）討論二次函數(shù)的對稱軸和所給區(qū)間的位置關(guān)系，即可確定函數(shù)的最值，由此可解不等式，即可得到答案；（2）討論方程在范圍內(nèi)有解、一解還是兩解的情況，由此可列不等式組，即可求得答案．【詳解】（1）解：∵，∴該二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，①當，即時，在的范圍內(nèi)，隨的增大而增大，∴當時，該函數(shù)有最大值，當時，該函數(shù)有最小值，，解得，∴；②當，即時，在的范圍內(nèi)，先隨的增大而減小，再隨的增大而增大，且處的函數(shù)值大于處的函數(shù)值，∴，，∴，∴，∴；③當，即時，在的范圍內(nèi)，先隨的增大而減小，再隨的增大而增大，且處的函數(shù)值大于處的函數(shù)值，∴，，∴，∴，此時；④當，即時，在的范圍內(nèi)，隨的增大而減小，∴，，∴，解得，∴．綜上，實數(shù)的取值范圍為；（2）解：將原方程整理，得．設(shè)，當時，．①若方程在范圍內(nèi)有一解，則當時，函數(shù)的取值為負數(shù)，即，解得；②若方程在范圍內(nèi)有兩解，則，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍為．23．(1)①；②；③點的坐標為或(2)四邊形是矩形，理由見解析【分析】（1）①先確定直線的解析式，繼而得到，再將，代入求解即可；②點關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標為，當時，的最小值為，最大值為，即可求解；③當點在直線上方時，由，得到直線的表達式為，進而求解；當點在直線下方時，得到直線的表達式為，進而求解；（2）證明，又，得到四邊形是平行四邊形，進而求解．【詳解】（1）解：①設(shè)直線的解析式為，∵點在直線上，∴，解得：，∴直線的解析式為，∵頂點在直線上，點的橫坐標為，∴，∵拋物線經(jīng)過點，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；②令，解得，，由（1）知的頂點，∴點關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標為，∵當時，的最小值為，最大值為，∴；③∵拋物線與軸交于點，當時，得：，∴，又∵，∴軸，如圖，當點在直線上方時，設(shè)直線的解析式為，過點，，∴，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)交于點，過點作于點，∵，軸，∴，軸，∴是邊上的中線，即點為的中點，∴，當時，，∴，設(shè)直線的解析式為，過點，，∴，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：（舍去），，∴；如圖，當點在直線下方時，∵，直線的解析式為，∴，設(shè)直線的解析式為，過點，∴，解得：，∴直線的解