2025年蘇科版七年級數(shù)學(xué)寒假專練：幾何圖形中的動態(tài)探究問題（解析版）

專題10幾何圖形中的動態(tài)探究問題

嫌內(nèi)容早知道

G第一層鞏固提升練（6大題型）

目錄

題型一角〃等分線的有關(guān)計(jì)算...................................................................1

題型二利用分類討論思想解決幾何圖形中旋轉(zhuǎn)多解問題............................................2

題型三幾何圖形中動角求定值問題...............................................................6

題型四幾何圖形中動角探究數(shù)量關(guān)系問題........................................................11

題型五幾何圖形中動角求運(yùn)動時間問題..........................................................14

題型六幾何圖形中動角之新定義型問題..........................................................20

3第二層能力提升練

今第三層拓展突破練

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

題型一角n等分線的有關(guān)計(jì)算

例題：（22-23七年級上?山西大同?期末）在的內(nèi)部作射線OC,射線OC把//Q8分成兩個角，分

別為//OC和若=或=,則稱射線OC為的三等分線.若

ZAOB=60°,射線OC為NNO8的三等分線，則//OC的度數(shù)為（）

A.20°B.40°C.20?；?0°D.20。或30°

【答案】C

【知識點(diǎn)】角n等分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)題意得出//OC=20。或/BOC=20。，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出乙（OC=40。，綜合即

可得出答案.

【詳解】解：???44。2=60。，射線。C為的三等分線.

ZAOC=-ZAOS=20°^ZBOC=-ZAOB=20°,

33

ZAOC=NAOB-NBOC=60°-20°=40°,

ZAOC的度數(shù)為20°或40°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

I.（23-24七年級上?浙江湖州?期末）定義：從的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線OC,把//O8

分成1:2的兩部分，射線0c叫做//08的三等分線.若在NVON中，射線OP是NMCW的三等分線，射

線。。是NMOP的三等分線，設(shè)=則/MCW用含x的代數(shù)式表示為.

99

【答案】或9x

【知識點(diǎn)】角n等分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查角的計(jì)算.解題關(guān)鍵是做出圖形，列方程計(jì)算.注意要分類討論.

【詳解】如圖，

???射線OP是AMON的三等分線，

.■.OP把AMON分成1:2的兩部分，

3

AMON=3ZMOP或AMON=-AMOP,

2

???射線。。是NMOP的三等分線，

■■OQ把ZMOP分成1:2的兩部分，

3

2Mop=3ZMOQ或ZMOP=-ZMOQ,

■；ZMOQ=x,

33

ZMOP=32MoQ=3x或AMOP=-ZMOQ=-x,

22

39

當(dāng)ZMOP=3尤時，AMON=3NMOP=9x或AMON=-ZMOP=-x,

22

3939

當(dāng)ZMOP=—x時，AMON=3ZMOP='x或AMON=-AMOP=-x,

2224

99

故答案為：Jx或1x或9x.

42

題型二利用分類討論思想解決幾何圖形中旋轉(zhuǎn)多解問題

例題：（24-25七年級上?全國?期末）如圖①，點(diǎn)。在直線上，過。作射線。C,N8OC=120。，三角板

的頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合，邊與。3重合，邊ON在直線48的下方.若三角板繞點(diǎn)。按10。八的速度沿逆時針

方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第s時，直線ON恰好平分銳角/NOC（圖②）.

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是分兩種情況進(jìn)行討論，分別依據(jù)直線ON恰好平分銳角

ZAOC,得到三角板旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，進(jìn)而得到t的值.

【詳解】解：???/BOC=120。,

ZAOC=60°,

當(dāng)直線ON恰好平分銳角//OC時，如圖:

NBON=，AOC=30°,

2

此時，三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90。-30。=60。,

=60°4-10°=6；

當(dāng)ON在//OC的內(nèi)部時，如圖:

三角板旋轉(zhuǎn)的角度為360。-90。-30。=240。,

.1=240。-10。=24；

，，的值為：6或24.

故答案為：6或24.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級下?廣東廣州?期末）在同一平面內(nèi)，將兩副直角三角板的兩個直角頂點(diǎn)重合，并擺成如圖

所示的形狀.已知40=30。，ZE=60°,NB=/C=45。，若保持三角板4DE不動，將三角板A8C繞點(diǎn)N

在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).當(dāng)A81OE時，NE/C的度數(shù)為.

E

C

【答案】60?；?20。

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

【分析】本題考查了三角板中角度計(jì)算問題及三角形內(nèi)角和，根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)角之間的關(guān)系結(jié)

合三角形內(nèi)角和即可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)正〃47時，ABIDE,分以下兩種情況：

如圖1所示，

■：DE]\AC,NE=60°

NEAC=ZE=60°；

如圖2所示,

^A-.'DE\\AC,ZCAB=90°

圖2

Z1=ZCAB=90°

?/NE=60°

:./EAB=90°-NE=30°

ZEAC=NEAB+ZCAB=30°+90°=120°

綜上所述，NE/C的度數(shù)為60?；?20。

根據(jù)答案為：60?；?20。.

2.（23-24七年級下?天津和平?期中）在數(shù)學(xué)研究中，觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、得出結(jié)論，是我們常用的幾

何探究方式.請你利用一副含有45。角的直角三角板A8C和含有30。角的直角三角板8口后嘗試完成探究.試

探索；保持三角板N3C不動，將45。角的頂點(diǎn)與三角板2DE的60。角的頂點(diǎn)重合，然后擺動三角板

使得/4BD與44BE中其中一個角是另一個角的兩倍，請寫出所有滿足題意的//5E的度

數(shù).

【答案】20?；?0。或60。或120。

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、三角板中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查的是角的和差運(yùn)算.分四種情況分別畫出圖形，再結(jié)合角的和差運(yùn)算可得答案.

【詳解】解：如圖，

VZABD=2/ABE,NEBD=60°,

；.NABE+6Q°=2NABE,

：.ZABE=60°；

如圖，

???ZABD=2NABE,ZEBD=60°,

AEBD=NABE+ZABD=3NABE=60°,

ZABE=20°,

如圖，

???/ABE=2ZABD,/EBD=60°,

Z.EBD=NABE+ZABD=ZABE+-Z.ABE=60°,

NABE=40°,

如圖，

A

E

■.ZABE=2NABD,ZEBD=60°,

NEBD=NABE-ZABD=-NABE=60°,

2

ZABE=120°,

綜上：//BE為20?；?0?；?0?；?20。.

故答案為：20。或40°或60。或120°.

題型三幾何圖形中動角求定值問題

例題：（23-24六年級下?山東濟(jì)南?期末）已知將一副三角板（直角三角板和直角三角板08）的兩個頂

點(diǎn)重合于點(diǎn)。，ZAOB=90°,ZCOD=30°.

⑴如圖1,當(dāng)OC恰好平分N/03時，求乙BOD的度數(shù);

(2)如圖2,在/40C內(nèi)部，作射線OM,使在N8。。內(nèi)部，作射線ON,使

NBON=；NDON,如果三角板CQD在N/O8內(nèi)繞。任意轉(zhuǎn)動，NMON的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變,

求其值；如果變化，說明理由.

【答案】⑴15。

⑵不變，70。

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查了角的計(jì)算和角平分線的定義等內(nèi)容，熟練掌握角的和差計(jì)算方式是解題的關(guān)鍵.

⑴根據(jù)角平分線的定義得出4。。=45。，再用乙BOC-/COD即可得解；

(2)已知乙408=90。，要求/MCW,可以先求乙4(W+/B0N,利用已知條件很容易求出

AAOM+ZBON=20°,再用Z.AOB-(ZAOM+ZBON)即可得解.

【詳解】(1)是的角平分線，NAOB=90。,

ZBOC=-ZAOB^45°,

2

ZBOD=NBOC-ZCOD=45°-30°=15°.

(2)不變，理由如下，

■：ZAOB=90°,ZCOD=30,

ZBOD+ZAOC=ZAOB-ZCOD=900-30°=60°,

ZAOM=-ZCOM,ZBON=-ADON,

22

NAOM=-ZAOC,ZBON=-ZBOD,

33

ZAOM+NBON=^(ZAOC+NBOD)=gx60。=20°,

ZMON=ZAOB-(ZAOM+NBON)=90°-20°=70°.

【變式訓(xùn)練】

1.(23-24七年級上?廣東肇慶?期末)如圖1,點(diǎn)。為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線OC.

(1)若使//。。：/2。。=2：1,將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊ON在射線0/上，另一邊在

直線的下方.在圖中，NNOC=_。；

⑵將圖1中的三角板按圖2的位置放置，使得ON在射線OC上，OE平分乙BOM,求/COE的度數(shù)；

⑶將上述直角三角板按圖3的位置放置，ON在/80C的內(nèi)部，說明/BCW-NC（W的值固定不變.

【答案】⑴120

⑵NCOE=15°

⑶見解析

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算；找出各個角之間的關(guān)系，與已知條件建立關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意可求出乙4。。=120。，ZBOC=60°,推得NNOC=NNOC=120。，即可求解；

（2）結(jié)合（1）中信息可求得=150。，根據(jù)角平分線的定義即可求解；

（3）結(jié)合題意看求得/BON-ZaWn/MON-/BOC,結(jié)合（1）中信息杰克求解.

【詳解】（1）解：?.?點(diǎn)。為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線OC,

^.ZAOC'.ZBOC=2：1,N/OC+N8OC=180°,

ZAOC=120°,ZBOC=60°,

???CW在射線0/上，

■.ZNOC=ZAOC=120°

故答案為：120.

（2）解：由（1）可得NBOC=60。，ZNOM=90°,

:"BOM=ZBOC+ZNOM=60°+90°=150°,

OE平分ABOM,

.-.ZBOE=-ZBPM=15°,

2

ZCOE=ZBOE-ZBOC=75°-60°=15°.

⑶解：ZBON=AMON-ZBOM,ZCOM=NBOC-ZBOM,

ZBON-ZCOM=AMON-aBOM-（NBOC-ZBOM）=AMON-ZBOC,

由（1）可得/BOC=60。，ZNOM=90°,

ZBON-ZCOM=AMON-NBOC=90°-60°=30°,

即ZBON-ZCOM的度數(shù)是30°.

2.（23-24七年級上?廣東深圳?期末）將兩個直角三角形如圖1擺放，已知/Cr?E=N/C2=90。，

NE=45。，NB=30。，射線CW平分N8CE.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)。、4C三點(diǎn)共線時，4CW的度數(shù)為°.

⑵如圖2,將△OCE繞點(diǎn)。從圖1的位置開始順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒6。，設(shè)時間為冬，作射線CN

平分ZACD.

①若0<f<T，/"CN的度數(shù)是否改變？若改變，請用含/的代數(shù)式表示；若不變，請說明理由并求出值.

②若T<，<30，當(dāng)，為何值時，/BCN=2/DCM?請直接寫出，的值.

【答案】⑴67.5

⑵①NMCN的度數(shù)為67.5。，保持不變，理由見解析；②15

【知識點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】(1)利用角平分線的定義及角的和差關(guān)系求解；

(2)①0</<m時，由旋轉(zhuǎn)速度可得CE在左側(cè)，ZACD=6t°,ZBCE=45°-6t°,根據(jù)角平分線的定

義可得NNCD=」//CD=3/。，ZMCE=-ZBCE=22.5°-3t°,再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；②”<t<30

222

時，CE在C2右側(cè)，CD在CB左側(cè)，用含力的式子表示出/BCN和NDCM,根據(jù)/BCN=2/DCN歹1」方程，

即可求解.

【詳解】(1)解：:NCDE=NACB=9。。,NE=45。，

ZDCE=45°,

NBCE=ZACB-ZDCE=90°-45°=45°,

■：CM平分NBCE,

ECM=-NBCE=22.5°,

2

AACM=NACE+NECM=45°+22.5°=67.5°,

故答案為：67.5；

(2)解：①NMCN的度數(shù)為67.5。，保持不變，理由如下：

由(1)知NBCE=45。，

???旋轉(zhuǎn)速度為每秒6。，

—x6°=45°,

2

當(dāng)0</<5時，CE在C8左側(cè)，如下圖所示:

由題意知48=6凡

NBCE=NACB-NACD-ZDCE=90°-6t°-45°=45°-6t°,

VCN平分ZACD,CM平分NBCE,

ZNCD=-ZACD=3t°,ZMCE=-ZBCE=22.5°-3t°,

22

ZMCN=ZNCD+NDCE+ZMCE=3f°+45°+22.5°-3尸=67.5°,

②當(dāng)￡<"30時，CE在C8右側(cè)，CD在C8左側(cè)，如下圖所示:

由題意知//CD=6t。，

NBCE=ZACD+ZDCE-ZACB=6t°+45°-90°=6尸-45°,

VCN平分ZACD,CM平分NBCE,

ANCA=-ZACD=3t°,ZMCE=-ZBCE=3tO-22.5°,

22

ZBCN=Z.ABC-ANCA=90°-3/。，

NDCM=ZDCE-ZMCE=45°-（3尸-22.5°）=67.5°-3尸，

???Z.BCN=2NDCM,

90°-3產(chǎn)=2x（67.5°-3尸），

解得t=15.

【點(diǎn)睛】本題考查角的和差關(guān)系，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是看懂圖形，找

準(zhǔn)不同時間段內(nèi)△OCE的位置.

題型四幾何圖形中動角探究數(shù)量關(guān)系問題

例題：(23-24七年級上?天津?期末)探究題：己知。為直線/。上的一點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作/COE=90。，射

線0尸平分4/0E.

圖I圖2圖3

⑴如圖1,若NDOE=54°,則NAOC=.

⑵若將ZCOE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，射線OF仍然平分ZAOE,請寫出NCOF與ZDOE之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由；

⑶若將/COE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，射線。下仍然平分乙4。及求2/COF+NDOE的度數(shù).

【答案】⑴36。

(2)ZDOE=2ZCOF,理由見解析

(3)360°

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義：

(1)先由平角的定義求出的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系求出的度數(shù)即可；

(2)由角平分線的定義得到=2"。尸，再用/EO尸分別表示出NC。尸和NDOE,據(jù)此可得結(jié)論；

(3)先由平角的定義和角平分線的定義得到//OE+/DOC=90。，ZAOE=2ZEOF,再由

2ZCOF+ZDOE=2(NCOE+NEOF)+ZDOC+ZCOE可得答案.

【詳解】(1)解：???/。?！?54。，

.?.//?！?180°-54°=126°,

VNCOE=90°,

ZAOC=ZAOE-ZCOE=126。-90。=36。，

故答案為：36。；

(2)解：/DOE=2/COF,理由如下：

?；OF平分/AOE,

ZAOE=2ZEOF,

■：AAOE+ADOE=\%QO,

ZDOE=180°-//OE=180°-2ZEOF,

???ZCOE=90°,

.-.ZCOF=90°-ZEOF,

.?.2/。。尸=180°—2/￡。尸，

/DOE=2ZCOF；

(3)解：■：ZCOE=90°,

ZAOE+ZDOC=180°-90°=90°,

?；OF平分/AOE,

ZAOE=2ZEOF,

.-.2ZCOF+ZDOE

=2(NCOE+ZEOF)+ZDOC+NCOE

=2ZCOE+2NEOF+90°+ZDOC

=180。+NAOE+90°+ZDOC

=180°+90°+90°

=360°.

【變式訓(xùn)練】

1.(24-25七年級上?全國?期末)如圖，將兩塊三角板的頂點(diǎn)重合.

⑴請寫出圖中所有以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)且小于平角的角；

⑵你寫出的角中相等的角有二

⑶若/DOC=53。，試求的度數(shù)；

⑷當(dāng)三角板NOC繞點(diǎn)。適當(dāng)旋轉(zhuǎn)(保持兩三角板有重合部分)時，與/DOC之間具有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？

【答案】⑴所有以。點(diǎn)為頂點(diǎn)且小于平角的角有ZAOC,ZAOB,ZDOC,ZDOB,ZCOB

(2)ZAOC=ZDOB,ZAOD=ZCOB

⑶408=127。

⑷4408=180。-"OC

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查了角的定義和角的比較與計(jì)算，解題的關(guān)鍵掌握三角板的角度計(jì)算.

(1)根據(jù)角的定義寫出即可；

(2)根據(jù)三角板的特征知ZAOC=ZDOB=90°,則ZAOD=NCOB寫出即可；

(3)根據(jù)/。。。=53。求出乙4。。，代入求出即可；

(4)求出//O。，代入//。2=乙1。。+/。。3求出即可.

【詳解】(1)圖中所有以。點(diǎn)為頂點(diǎn)且小于平角的角有N/。。，ZAOC,ZAOB,ZDOC,ZDOB,

ZCOB.

(2)圖中相等的角有4ZAOD=ZCOB,

故答案為：ZAOC=ZDOB,ZAOD=ZCOB：

(3)解；ZDOC=53°,ZAOC=90°,

.?.NZOD=90°-53°=37°,

ZDOB=90°,

：.ZAOB=ZAOD+ZDOB=90°+37°=127°.

(4)乙408=180。-/。。。，理由是：

//OC=90°,

：.AAOD=9G°-ADOC,

ZDOB=90°,

ZAOB=ZAOD+ZDOB=90°-/DOC+90°=l80°-ZDOC,

即=

2.(24-25七年級上?全國?期末)【探究】將兩個三角板的兩個直角頂點(diǎn)。重合在一起，放置成如圖1所示

的位置，請回答下面的問題.

圖1圖2

(1)如果重疊在一起48OC=30。則乙4。。=.

(2)若將/CQD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，使重疊在一起的乙8OC=50。，NAOD=.

(3)圖1中44OC與滿足的數(shù)量關(guān)系是，根據(jù)是.

【拓展】在圖1所示的位置上，繼續(xù)將/C。。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示的位置，請回答下面的問題.

(4)如果/80C=x。，則.(用含x的式子表示)

(5)此時圖2中ZAOC與ZBOD始終滿足的數(shù)量關(guān)系是.

(6)【結(jié)論】由上述的探究過程可知，三角板CO。繞重合點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).不論旋轉(zhuǎn)到任何位置時，/AOD與NBOC

始終滿足的數(shù)量關(guān)系是.

【答案】(1)150°；(2)130°；(3)NAOC=ZBOD,同角的余角相等；(4)180°-%0；(5)

NAOC=NBOD；(6)ZAOD+ZBOC=^0°

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、幾何圖形中角度計(jì)算問題

【分析】本題主要考查角的計(jì)算、用代數(shù)式表示角的度數(shù)，此題以旋轉(zhuǎn)變換為方法，注重角的計(jì)算及其規(guī)

律的探究，抓住旋轉(zhuǎn)過程中始終不變的角是解題的關(guān)鍵.

(1)利用ZAOD=ZAOB+ZCOD-ZBOC得到ZAOD的度數(shù)；

(2)根據(jù)余角的定義求出//OC的度數(shù)，由440。=44OC+/COD得到乙4OD的度數(shù)；

(3)根據(jù)同角的余角相等可得乙4。。與/BOD；

(4)首先表示出/BOD,然后求出乙4OD,即可得到答案；

(5)根據(jù)等式的性質(zhì)可得乙4。。與/5OD；

(6)運(yùn)用周角=360。，求出乙40。+/50C的度數(shù)，即可解決問題.

【詳解】解：(1)v^AOB=90°,ZCOD=90°,ZBOC=30°,

ZAOD=ZAOB+ZCOD-ZBOC

=90。+90。—30。

=150°；

(2)???/AOB=90°,ZBOC=50°,

.'.ZAOC=40°f

-ZCOD=90°f

NAOD=ZAOC+ZCOD=130°；

(3)?.?ZAOC+ZBOC=90°,/BOD+ZBOC=90°,

；"AOC=/BOD(同角的余角相等)；

(4)vZAOB=90°,ZCOD=90°,ZBOC=x0,

ZAOD=ZAOB+ZCOD-ZBOC

=90。+90。-廿

=180°-x°；

(5)-ZAOB=ZCOD=90°,

：.AAOB+ZBOC=ZCOD+ZBOC,即ZAOC=/BOD；

(6)?；/AOB=/COD=9。。,

：.AAOB+ACOD=\^Q,

："AOD+ZBOC=360?！?80。=180°,

???由上述的探究過程可知，三角板COD繞重合點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).不論旋轉(zhuǎn)到任何位置時，乙40。與4OC始終滿

足的數(shù)量關(guān)系是：ZAOD+ZBOC=180°.

題型五幾何圖形中動角求運(yùn)動時間問題

例題：（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?期末）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，學(xué)生進(jìn)行操作探究，用一副三角板（其中

/ABC=/ACB=45。,/BAC=/EDF=90。,/DFE=3。。,/?！晔?60。）按如圖1所示擺放，邊與斯

在同一條直線上（點(diǎn)。與點(diǎn)￡重合）.如圖2,將三角板45C從圖1的位置開始繞點(diǎn)。以每秒5。的速

度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊3C與邊所重合時停止運(yùn)動，設(shè)三角板45c的運(yùn)動時間為，秒.

圖1

⑴當(dāng)/為何值時，CA平分/DCF?

⑵當(dāng)t為何值時，NACF=3NBCD?

【答案】⑴f為21

(2)f為22.5秒或24.75秒

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了三角板有關(guān)的角度計(jì)算，角平分線的定義，

(1)根據(jù)角平分線的定義可得4c/DC尸，從而得到三角板/3C旋轉(zhuǎn)的角度，再結(jié)合三角板/8C運(yùn)

動的速度即可解題；

(2)根據(jù)//C尸=3/8CD出現(xiàn)的情況分類討論，再根據(jù)N/C尸=3/BCD將NBCD與/DC尸的結(jié)

果關(guān)聯(lián)即可求解.

【詳解】(1)解：如圖1,

ZACF=-ZDCF=1x60°=30°,

22

旋轉(zhuǎn)的角度為180。-45。-30。=105。，

.?”=105+5=21(秒),

答：當(dāng)，為21時，C/平分NDC尸.

(2)解：由題可知：當(dāng)=時會出現(xiàn)以下兩種情況:

①如圖2,

由圖可得：

ZACF-ZBCD=(/DCF-ZACD)-(ZACB-ZACD)=ZDCF-ZACB=60°-45°=15°,

又；NACF=3NBCD,

;.3NBCD-NBCD=15°,ZBCD=7.5°,

???旋轉(zhuǎn)的角度為180。-60。-7.5°=112.5°,

.."=112.5+5=22.5(秒),

②如圖3,

由圖可得：

/ACF+/BCD=（ZDCF-NACD）+"CD-ZACB）=ZDCF-ZACB=60°-45°=15°,

又；NACF=3NBCD,

:.3ZBCD+ZBCD=\5°,/BCD=3.75°,

???旋轉(zhuǎn)的角度為180°-60°+3.75°=123.75°,

.「=123.75+5=24.75（秒），

答：當(dāng)/為22.5秒或24.75秒時，ZACF=3ZBCD.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級上?安徽合肥,期末）如圖，O為線段4B上一點(diǎn)，ZCOD=90°,OK為NCO。的角平分線，

定義OC與。/重合時為初始位置，將NCOD繞著點(diǎn)。從初始位置開始，以10°/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，至OD

與04重合時終止.

AOB

（備用圖1）

AOB

（備用圖2）

AOB

（備用圖3）

⑴當(dāng)Z.COD從初始位置旋轉(zhuǎn)6秒，求此時AEOB的度數(shù)；

⑵當(dāng)ACOD從初始位置旋轉(zhuǎn)至ZEOB=120°時，求此時t的值；

⑶當(dāng)NCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)至/￡。2=加。時，，=秒（用含有加的代數(shù)式直接表示）.

【答案】⑴75。

(2)1.5

…m27

⑶，=------1---

102

【知識點(diǎn)】幾何問題（一元一次方程的應(yīng)用）、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查了解一元一次方程，角平分線的定義，幾何圖形中的角度計(jì)算；

（1）根據(jù)角平分線的定義可得NOOE=；NCOO=45。，根據(jù)題意得NN00=6x10。=60。，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)角的

定義求得NBOD,根據(jù)=即可求解；

（2）根據(jù)（1）的方法得出NE08=/EQD+ND08=45o+（90-10。。，將NE08=120。代入，解一元一次

方程，即可求解；

（3）根據(jù)（2）可得/￡。8=/￡。。+/003=45。+（90-10。。，將“。8=加°代入，解關(guān)于1的一元一次

方程，即可求解.

【詳解】（1）解：???/COD=90。，OE為NC8的角平分線，

ZDOE=-ZCOD=45°,

2

1?1NCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)6秒，

.-.Z^oc=6x10°=60°,

ZAOD=ZAOC+COD=60°+90°=150°,

"DOB=180°-NZOD=30°,

ZEOB=NEOD+ADOB=45°+30°=75°,

（2）解：■■-ZCOD=90°,OE為NCOD的角平分線，

ZDOE=-ZCOD=45°,

2

???NCOD從初始位置旋轉(zhuǎn)t秒，

.-.ZAOC=txlO°=10t°,

OD=ZAOC+COD=1OZ°+90°,

ZDOB=180。-NNO。=（90-1Of）°,

ZEOB=NEOD+ZDOB=45°+（90-1Of）°,

ZEOB=120°,

.-.45+90-10f=120,

解得：/=1.5；

（3）解：由（2）可得NE05=/E00+ZD05=450+（90—I0。。，

???ZEOB=m0,

???45+90-10，=加,

左力/口m27

解傳：t--JQ+-2~,

工心通小、rm27

故答案為：--+―-.

102

2.（23-24七年級上?福建廈門?期末）【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)

G,

D

⑴如圖1,將兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，ZACD=ZECB=90°.

①若NEC。=38。，貝?。?/C3=_；若N/C8=150。，則/ECD=_；

②猜想Z/C8與/ECD的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵如圖2,若是將兩個同樣的含60。銳角的直角三角尺疊放在一起，其中60。銳角的頂點(diǎn)/重合在一起，

ZACD=ZAFG=90°.

①探究/G/C與/D4尸的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若一開始就將△ADC與A/PG完全重合（N尸與NC重合）,保持△/DC不動，將A4FG繞點(diǎn)/以每秒10。

的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為在旋轉(zhuǎn)的過程中，f為何值時/GL4C.

【答案】⑴①142。；30°；②猜想//CB+/ECZM80。，理由見解析

（2）（1）ZGAC+ZDAF=120°,理由見解析；②3或21

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題

【分析】此題考查了三角板中角度的技術(shù)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)圖形得出各角之間的關(guān)

系.

（1）①本題已知兩塊直角三角尺實(shí)際就是已知三角板的各個角的度數(shù)，根據(jù)角的和差就可以求出//C2,

/DCE的度數(shù)；②根據(jù)前兩個小問題的結(jié)論猜想ZACB與ZECD的大小關(guān)系，結(jié)合前兩問的解決思路得

出證明；

（2）①根據(jù)（1）解決思路確定/G/C與的大小并證明即可；②分點(diǎn)G在NC上方和下方兩種情

況討論求解即可.

【詳解】（1）解：①://。二到。，ZECD=38°,

ZACE=ZACD-ZECD=52°,

NECB=90°,

NACB=ZECB+NACE=142°；

???N/C3=150。，ZECB=90°,

??.ZACE=ZACB-ZECB=60°,

???ZACD=90°,

???/ECD=ZACD-ZACE=30°

故答案為：142。；30°；

②猜想//CB+NECZ）=180。，理由如下：

???/ECB=90。，ZACD=90°,

/ACB=ZACD+/DCB=90°+/DCB,ZDCE=ZECB-ZDCB=90°-ZDCB,

???/ACB+NECD=180。；

(2)解：①NG/C+ND4F=120。，理由如下：

???AGAC=ZGAD+ZDAF+ZFAC,NDAC=ZGAF=60°,

/.ZGAC+NDAF=ZGAD+NDAF+ZFAC+NDAF

=/GAF+/DAC

=60。+60。

=120°；

②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G在ZC上方時，

-AGLAC,

ZCAG=90°f

???由(3)①的結(jié)論可知，ZDAF=120°-ZCAG=30°,

；,/CAF=ZCAD-ZDAF=30°,

G

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G在4C下方時，則在￡=3的基礎(chǔ)上再旋轉(zhuǎn)180度時,AGLAC,

G

題型六幾何圖形中動角之新定義型問題

例題：（23-24七年級上,陜西漢中,期末）【問題背景】如圖1,已知射線0C在/NO2的內(nèi)部，若N/02,

//0C和/20C三個角中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線0C是的“量尺金線

【問題感知】

（1）一個角的平分線這個角的“量尺金線"；（填"是"或"不是"）

【問題初探】

（2）如圖2,NMPN=60°.若射線PQ是NMPN的"量尺金線"，則NQPN的度數(shù)為；

【問題推廣】

（3）在（2）中，若ZMPN=x。，0°<x<60°,射線P尸從PN位置開始，以每秒旋轉(zhuǎn)3。的速度繞點(diǎn)P按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NFPN首次等于180。時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為《S）.當(dāng)f為何值時，射線尸初是NEPN

的“量尺金線"？（用含x的式子表示出，即可）

17

【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3）—X,—x,x；

23

【知識點(diǎn)】用代數(shù)式表示式、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題主要考查新定義下的角的計(jì)算，幾何圖形中的角度計(jì)算，理解題意，列出相應(yīng)的式子求解，

是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)“量尺金線”的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）根據(jù)“量尺金線”的定義分三種情況討論計(jì)算即可；

（3）射線尸”是NEPN的"量尺金線〃，在NEPN的內(nèi)部，尸尸在NNPM?的外部，然后分三種情況求解

即可.

【詳解】解：（1）一個角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足"量尺金線”的定義，

故答案為：是；

（2）NMPN=60。,射線尸。是的"量尺金線〃，根據(jù)"量尺金線”的定義分三種情況討論：

當(dāng)=時，如圖，

?；/QPN+2/MPQ=60。，

...N°PN=60°x：=40°；

當(dāng)NMPQ=2NQPN時，如圖,

?；2NQPN+NMPQ=60。

...Z2P2V=1x60°=20°；

當(dāng)NNPM=2NQPNB,如圖,

ZMPN=60°,

.?.ZgP2V=1x60o=30°；

綜上：當(dāng)N0PN為20。，30°,40。時，射線尸。是/MPN的"量尺金線

(3)???射線PM是ZFPN的"量尺金線"，

在NFPN的內(nèi)部，

PF在NNPM的外部；

分三種情況：

①如圖，當(dāng)=時，如圖所示：

13

??.ZFPN=ZNPM+/FPM=x°+-x°=-x°,

22

-31/x

t=—x~3=—x(s)；

22v7

②如圖，當(dāng)/FPN=2/MPN時,如圖所示:

ZFPN=2x°,

2（、

③當(dāng)NFm=2NNP”時，如圖所示:

???ZFPM=2x°,

：.ZFPN=ZNPM+NFPM=3x°,

t=3x+3=x（s）；

12

綜上：當(dāng)/為X或或時，射線尸加■是4PN的“量尺金線

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24七年級上?遼寧葫蘆島?期末）【問題初探】

在一個角的內(nèi)部，從頂點(diǎn)畫一條射線，得到三個角，若其中有一個角是另一個角的2倍，則稱這條射線是已

知角的“奇妙線".

例如：圖1中4OC=2/BOC,則射線0c是的“奇妙線".

（1）一個角的角平分線這個角的“奇妙線"；（填"是"或"不是"）

【類比分析】

（2）如圖2,若NMPN=60。,在/MPN內(nèi)部畫一條射線P。，使尸。是/MW的“奇妙線"，求的

度數(shù)；

【變式拓展】

（3）如圖3,若NMPN=60。，且射線尸。繞點(diǎn)尸從尸N位置開始以每秒10。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線

以每秒6。的速度也繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線尸。與射線尸陽■重合時全部停止運(yùn)動.設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為1秒，請

直接寫出/為何值時，射線尸。是/"PN的"奇妙線”.

【答案】⑴是；（2）20?；?0?；?0。；（3）/30或15或手20.

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】（1）根據(jù)奇妙線定義即可求解；

（2）分三種情況，根據(jù)奇妙線定義即可求解；

（3）分三種情況，根據(jù)奇妙線定義得到方程求解即可；

本題考查了角平分線定義，角度和差，奇妙線的定義，理解"奇妙線"的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：根據(jù)角平分線的定義可知：

由0c平分//02,

得：ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

則一個角的角平分線是這個角的“奇妙線”,

故答案為：是；

（2）①當(dāng)尸。平分NMPN時，

ZMPg=30°,

②當(dāng)NA/PQ=；NMPN時,

/八

群都

.-.ZMPQ=20°,

③ZMPQ=^ZMPN,

AMPQ=40°,

則綜上可知：/MP。的度數(shù)為20?；?0?；?0。；

(3)由題意得：如圖，

貝!|ZNPQ=10",NMPM[=6°t,貝I]ZM,PN=ZMPN+NMPM、=60。+6笠，

???射線PQ是4％PN的“奇妙線"，

:.①NNPQ'/MFN,即10。1=；（60。+6。/）,解得：t=~,

②NNPQ=；2M1PN,即10。/=!（60。+6。），解得：?=|,

2720

@ZNPQ=-ZMlPN,即10。/=§（60。+6。/）,解得：t=-^,

心\i30T.5f20

綜上可知：t=7或萬或？

---?-0-O-O?---

一、單選題

1.(23-24七年級上?浙江臺州?期末)已知0c是//08的平分線，ZB0D=^ZC0D,OE平分NC0D,設(shè)

ZA0B=a,貝ij4OE=()

5fl5-11-11

A.一a或一aB.一a或一aC.-a或一aD.-a

168166866

【答案】4

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、角”等分線的有關(guān)計(jì)算

【分析】本題考查角平分線的定義，角的和與差，角的”等分線.利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題

關(guān)鍵.分類討論：當(dāng)。。位于。內(nèi)部時和當(dāng)位于/20C外部時，解答即可.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)。。位于/80C內(nèi)部時，

■.■ZA0B=a,OC是ZAOB的平分線,

：.AC0B=-a.

2

???ZBOD=-ZCOD,

3

113

.-.ZBOD=-ZCOB=-a,ZC0D=-a.

488

V0E平分ZCOD,

13

ZEOD=-ZCOD=—a,

216

315

/BOE=ZEOD+/BOD=-a+-a=—a；

16816

如圖2,當(dāng)。。位于/5O。外部時,

???/AOB=a,OC是N/OB的平分線,

：.ACOB=-a.

2

???ZBOD=-ZCOD,

3

113

："BOD=—/COB=—a,ZCOD=-a.

244

???OE平分4cOD,

13

AEOD=-ACOD=-a,

28

311

/./BOE=ZEOD-/BOD=-a——a=-a；

848

綜上可知=或2a.

168

故選：A.

2.(23-24七年級上?浙江寧波?期末)如圖，將一副三角尺60。角和90。角的頂點(diǎn)A疊放在一起，將三角板4OE

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中三角板4DE的邊40始終在NB/C的內(nèi)部，則/8/E-/C4D的度數(shù)為()

A.30°B.45°C.60°D.無法確定

【答案】A

【知識點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題

【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算.根據(jù)題意可得N"E=90。,4B/C=60。，從而得到

NBAE=90。-NBAD,NDAC=60°-NBAD,即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：ZDAE=90°,ZBAC=60°,

ZBAE=ZDAE-ABAD=90°-ABAD,ADAC=ABAC-ABAD=60°-ABAD,

NBAE-ZCAD=(90°-ZBAD)-(60°-ZBAD)=30°.

故選：A

二、填空題

3.（23-24七年級上?浙江,期末）我校金沙校區(qū)的小葉同學(xué)設(shè)計(jì)了一個“魔法棒轉(zhuǎn)不停”的程序，如圖所示，

點(diǎn)。，4在直線"N上，第一步，繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)a度（0°＜々＜30°）至。4；第二步，繞點(diǎn)。順

時針旋轉(zhuǎn)2a度至04；第三步，04繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)3a度至04，……以此類推，在旋轉(zhuǎn)過程中若碰到

直線則立即繞點(diǎn)。反方向旋轉(zhuǎn).當(dāng)"04=35。時，則a等于度.

【答案】5或25

【知識點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、幾何問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【