2025年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練：三角形中的重要模型之等直內接等直模型與等直+高分模型解讀與提分訓練（解析版）

專題11三角形中的重要模型之等直內接等直模型與等直+高分模型

等腰直角三角形，是初中數(shù)學中重要的特殊三角形，性質非常豐富！常見常用的性質大都以“等腰三角

形”、“直角三角形”、“對稱”、“旋轉拼接”、“勾股比1:1:a”、“45。輔助線”、“半個正方形”等角度拓展延伸,

常在選填題中以壓軸的形式出現(xiàn)。今天在解題探究學習中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，

有些難度，同時獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結合常

用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問題！

目錄導航

例題講模型

------------------------1.........................................................................................................................................................2

模型1.等直內接等直模型..............................................................2

模型2.等直+高分線模型...............................................................8

習題練模型

h-二二二--r』......................................................................................................................................................15

例題講模型］

模型1.等直內接等直模型

等直內接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點作出一個新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點為

原等腰直角三角形的斜邊中點，其他兩頂點落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。

模型證明

條件：已知如圖，等腰直角三角形NBC,/A4c=90。，尸為底邊3C的中點，且/￡尸尸=90。。

結論：①PE=PF；②尸即為等腰直角三角形（由①②推得）；?AE=FBCE=AF-,?AE+AF=42AP；

⑤邑.=；?CE2+BF-=EF2。

（注意題干中的條件：ZEPF=90°,可以和結論③調換，其他結果依然可以證明的哦！）

證明：：等腰直角三角形/8C，ZBAC=90°,點尸是8C的中點尸===

:.NAPE+NAPF=NCPE+NAPE=90°ZAPF=NCPE同理可得：NPAF=NC=45°,

：.AAPF=ACPE（ASA）AF=CE,PE=PF,'：AB=AC,：.AE=FB-,

又丹'是直角，廠是等腰直角三角形，同理：易證A48尸是等腰直角三角形。

：.AE+AF=FB+AF=AB,AE+AF=41AP。

'：（）++=

\APF=ACPE'ASA/,?,?SAEPF=SAEPSAPF=SAEPASLrCrPEScAP￡C.A^D（-*,?SAPPW=—SARr°

?：AE=FB,CE=AF,NA4c=90°；CE2+BF2=AF2+AE2=EF2

例1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在“Be中，N/=90。，AB=AC=6,。為邊3C的中點，點E,

下分別在邊/B,NC上，AE=CF,則四邊形/￡。尸的面積為（）

A.18B.90D.672

【答案】C

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質以及三角形全等的性質與判定，掌握相關的線段與角度的轉化是

解題關鍵.連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質以及ZE=C尸得出VADE經(jīng)VC。尸，將四邊形/取廳的面

積轉化為三角形ADC的面積再進行求解.

【詳解】解：連接N。，如圖：

VABAC=90°,AB=AC=6,點D是3C中點，AE=CF

：.ABAD=NB=NC=45°AD=BD=DC：.VADE咨VCDF,

又：S“BC=6x6x5=18S四邊形血）尸=]5?謝=9故選：C

例2.（2024?天津?模擬預測）如圖，已知“8。中，AB=AC=6,/B4C=90°,直角NEP尸的頂點尸是8C

中點，兩邊PE、PF分別交4B、/C于點￡、F,當/EP尸在。8C內繞頂點尸旋轉時（點￡不與N、3重

合）,給出下列四個結論:①AE尸尸是等腰三角形;②M為EF中點時，AM+PM=EF；③EF=AB；④ABEP

和APCF的面積之和等于9,上述結論中始終正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得/"尸=NC=45。，AP=CP,根據(jù)等角的余角相等求出

ZAPE=ZCPF,然后利用“角邊角”證明△/￡尸和ACPF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得

AE=CF,PE=PF,全等三角形的面積相等求出S、EPB+S、FPC=^.APB，EF隨著點E的變化而變化，EF不

一定等于48,再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得PM=\EF,然后解答即可.

【詳解】解：：=NB/C=90。，是等腰直角三角形，

?.,點尸為8C的中點，；.Z8/P=/C=45。，AP=CP,

'：ZEPF是直角，ZAPE+ZAPF=ZCPF+ZAPF=90°,：,ZAPE=ZCPF,

ZEAP=ZC=45°

在△/￡尸和ACFP中，<AP=PC,△4EP*△C77?（ASA）,

ZAPE=ZCPF

AAE=CF,PE=PF,S,"E=S"CPF，??一￡/￡是等腰三角形，故①正確；

+S

?4'S.EPB.FPC=S》PB=gsAABC=；X}6<6=9,故④正確；

廠隨著點E的變化而變化，廠不一定等于故③錯誤；

為E尸中點，ABAC=90°,ZEPF=90°,：.AM=-EF,PM=-EF,

22

AAM+PM=EF,故②正確；故①②④正確，故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，證明出

"EP烏AC以,是解決此題的關鍵.

例3.（23-24九年級上?四川內江?期末）如圖，邊長為1的正方形48CD的對角線/C,3。相交于點。，Z

MPN為直角,使點尸與點O重合，直角邊尸M,7W分別與。/,。8重合，然后逆時針旋轉NMPN,旋轉

角為0（0°<9<90°）,PM,PN分別交/瓦BC于E,尸兩點，連接斯交03于點G,則下列結論：①EF

=6OE；@S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF=4iOA；④在旋轉過程中，當A8所與A。。廠的面積

3

之和最大時，AE=~；⑤OG?BD=AE2+CF2.其中結論正確的個數(shù)是（）

AD

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】①由四邊形48C。是正方形，直角/AffW,易證得△BO￡=Z\C。9(ASA),則可證得結論；②

由①易證得S四邊形OE?=S，BOC=正方物BCO，則可證得結論；③BE+BF=BF+CF=BC=血。1，故可得結

論；④首先設=則8￡=W=1-尤，BF=x,繼而表示出△8EF與ACO尸的面積之和，然后利用二

次函數(shù)的最值問題，求得答案；⑤易證得△OEG~AOBE,然后由相似三角形的對應邊成比例，證得

OGOB=OE2,再利用03與8。的關系，與E尸的關系，即可證得結論.

【詳解】解：①???四邊形/BCD是正方形，

OB=OC,AOBE=AOCF=45°,NBOC=90°,ZBOF+ZCOF90°,

???AEOF=90°,NBOF+NCOE=9Q°,：.NBOE=NCOF,

'/BOE=NCOF

在△80E和ACO尸中，＜OB=OC,/\BOE=/\COF(ASA),

NOBE=ZOCF

OE=OF,BE=CF,AEF=4iOE，故正確；

②‘‘$四邊形OEBF=S.BOE+S?BOE=^ABOE+^ACOF=，、BOC=1^正方形相⑺，

???S四邊形OEBk：S正方畛BC0=1：4,故正確；③BE+BF=BF+CF=6OA，故正確；

④過點。作O打工8C,

?/5C=1,OH=-BC=~,設=則5E=CF=1—x,BF=x,

22

SS?

,,,.BEF+.COF=g5E-5JF+gc7-OH=gx(l—x)+g(l—x)xg=一；(x—；]+*,

?*Cl=——<0f.,.當X=I時，S?5即+S^co尸最大；

即在旋轉過程中，當48所與AC。尸的面積之和最大時，AE=~,故錯誤；

4

@vZEOG=ZBOE,ZOEG=ZOBE=45°,

LOEG-△OBE,■■OE:OB=OG:OE,：.OG-OB=OE2,

]B

OB=-BD,OE=—EF,■-OGBD=EF1,

22

???在△BE/中，EF2=BE2+BF2,EF2=AE2+CF2,■■OG-BD^AE2+CF2,故正確.故選C.

【點睛】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質，旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、相似三

角形的判定與性質、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問題.注意掌握轉化思想的應用是解此題的關鍵.

例4.(23-24八年級上?山西呂梁?期末)綜合與探究

問題提出：某興趣小組在綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板/BC中，/A4c=90。，

AB=AC,。為BC的中點，用兩根小木棒構建角，將頂點放置于點。上，得到NMZW,將NMDN繞點。

旋轉，射線DM,DN分別與邊/B,AC交于E,尸兩點，如圖1所示.

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2,當E,尸分別是/C的中點時，試猜想線段與。尸的數(shù)量關系是,

位置關系是.

(2)類比探究：如圖3,當E,萬不是NB,NC的中點，但滿足3￡=4F時，判斷3EF形狀，并說明理由.

(3)拓展應用：①如圖4,將NMCW繞點。繼續(xù)旋轉，射線。M,￡W分別與43,C4的延長線交于E,F

兩點，滿足3￡=/尸，AZ)斯是否仍然具有(2)中的情況？請說明理由；

②若在NMCW繞點。旋轉的過程中，射線DW,DN分別與直線48,C4交于E,尸兩點，滿足3E=4F,

若4B=a,BE=b,則/E=（用含。，b的式子表不）.

【答案】（1）DE=DF,。七，。？（2）”）￡尸是等腰直角三角形，理由見詳解

（3）①必跖是等腰直角三角形，理由見詳解；②a+6或。-6或

【分析】（1）根據(jù)題意易得3￡=?！曛?。，然后可證VBED會VCED,則問題可求證；（2）連接

然后可證△BED之△NED,則有DE=DF,NADF=/BDE,進而問題可求解；（3）①連接ND,然后可證

ABED^AAFD,則有?！?。尸,/4D尸=,進而問題可求解；②根據(jù)①及（2）可直接進行求解.

【詳解】（1）解：連接如圖所示：

VZBAC=90°,AB=AC,。為8c的中點，

:.NB=NC=45。,BD=CD,ADIBC,都是等腰直角三角形，

,:E,尸分別是48,NC的中點，

：.DELAB,DFYAC,Y)ADE=^ADF=45°,DE=-AB,DF=-AC,

22

：.DE=DF,/EDF=90。，；.DELDF；故答案為DE=DF,DELDF■,

(2)解：AZ)跖是等腰直角三角形，理由如下：連接如圖所示：

ABAC=90°,AB=AC,。為3c的中點，:.NB=NC=/D4F=45。,AD=BD,AD1BC,

■：BE=AF,：.ABED咨“4FD(SAS),；.DE=DF,NADF=ZBDE,

ZADE+ZBDE=90°,：,ZADE+ZADF=90°,：.EDLDF,：.HEF是等腰直角三角形；

(3)解：①尸仍然具有(2)中的情況，理由如下：連接如圖所示：

E圖4

VABAC=90°,AB=AC,。為BC的中點,

ZABC=ZC=ZDAC=45°,AD=BD,ADIBC,

ZFAD=180°-ZDAC,ZEBD=180°-NABC,ZFAD=ZEBD,

BE=AF,:.ABED知AFD(SAS),/.DE=DF,ZADF=NBDE,

?：ZADF+ZBDF=90°,:.NBDE+NBDF=9G,:.EDLDF,，SE尸是等腰直角三角形；

②由①和(2)可知：在NMDN繞點。旋轉的過程中，始終有ABED沿AAFD,

當E,F是4B,/C上的點，如圖3,;AB=a,BE=b,：.AE=AB-BE=a-b；

當射線DM,0V分別與直線N8,CA交于E,尸兩點，如圖4,NE=/B+8E=a+b；

當射線DM,0V分別與直線48,C4交于E,尸兩點，如圖所示：4E=5E-43=b-a

故答案為a+6或a-6或6-a.

【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質與判定及全等三角形的性質與判定，熟練掌握等腰直角三角

形的性質與判定及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

模型2.等直+高分線模型

模型解讀

等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個角所在頂點作另一個底角平分線的垂線。

條件：如圖，AABC中，ZABC=45°,于。，BE平分NABC,且于￡,與CD相交于點

F,"是8C邊的中點，連接與BE相交于點G.

結論：①BF=4C；②CE；BF；③ADG尸是等腰三角形；④BD+DF=BC；⑤更=1.

2FC2

證明：CDLAB,BEVAC,ZBDC=ZADC=ZAEB=90°,

:.ZA+ZABE=9。。，/ABE+/DFB=90。，ZA=Z.DFB,

vZ^C=45°,NBDC=90。，ZDCB=90°-45°=45°=ZDBC,:.BD=DC,

ZBDF=ZCDA

在/和AC"中<4=/。匹5,/.A5DF^ACD^(AAS),/.BF=AC.

BD=CD

?.?BE平分/ABC,ZABC=45°,:./ABE=/EBC=225。

?：BE工AC,:.ZA=NBCA=67.5。，BA=BC,?/BELAC,AE=EC=-AC=-BF,

22

?/ZBDC=90°,BH=HC,:./BHG=90。，ZBDF=ZBHG=90°,

vZABE=ZCBE=22.5°,/BGH=/BFD=675。，ZDGF=ZDFG=67.5°,

/.DG=DF,..ADG尸是等腰三角形.?;ABDF心CDA,DF=AD,BC=AB=BD+AD=BD+DF,

SARCFBD

?.?BE平分/NBC,.?.點尸到的距離等于點尸到BC的距離，，于叱=為；，

3A5c尸

...名鱉=生0空=竺，...里=些，?.?三角形BDC是等腰直角三角形，，"=g2=J_=Yl。

FCBD+2FCFCBCFCBC收2

模型運用

例1.（23-24九年級下?浙江金華?階段練習）如圖，在V/8C中，//8C=45。，CDLAB于D,BE平分/ABC,

且8￡，/（7于￡,與CD相交于點尸，〃是3C邊的中點，連接與8E相交于點G,以下結論中:

①VA8C1是等腰三角形；②BF=AC；③BH:BD;BC=1:6:2;@GE2+CE2=BG2.

正確的結論有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】證明之ACEB可得=,即可判定①；證明/BCD=45。=/ABC得到CD=3。，進而證

明△/CD0△用。（ASA）得到/C=8尸，即可判斷②；利用三線合一定理和直角三角形的性質得到

DH=CH=BH=^BC,DHYBC,進而利用勾股定理得到8。=0。8，由此即可判斷③；如圖所示，連

接CG,證明△G〃C且△G〃5(SAS),得至IJ3G=CG,利用勾股定理即可證明GE?+CE?=8G?,即可判斷④.

【詳解】解：,/BE平分ZABC,；.ZABE=ZCBE,'：BELAC,：.ZAEB=NCEB=90°,

又〈BE=BE,：.AAEB沿ACEB(ASA),；.4B=CB,即V/BC是等腰三角形，故①正確；

ZABC=45°,CD1AB,：.ZBDC=ZADC=90°,

：.NBCD=180°-ABDC-ZABC=45°=ZABC,：.CD=BD,

'：ZCEF=ZBDF=90°,ZCFE=ZBFD,；.ZACD=ZFBD,

；.AACD必FBD(ASA),：.AC=BF,故②正確；

,:H是BC邊的中點，：.DH=CH=BH=^BC,DH1BC,BD=JzW?+BH2=6DH，

BH:BD:BC=DH:41DH:2DH=1:6:2,故③正確；

如圖所示，連接CG,??CH=BH,ZGHC=ZGHB=90°,GH=GH,

：.△GHC^△GHB(SAS),/.BG=CG,

在Rt^ECG中，由勾股定理得GE2+CE2=CG2,/.GE2+CE2=BG2,故④正確；故選A.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，三角形內角和

定理，直角三角形斜邊上的中線的性質等等，靈活運用所學知識，通過證明三角形全等得到相應的線段相

等，進而利用勾股定理得到結論是解題的關鍵.

例2.（23-24八年級上?山東臨沂?期中）如圖，等腰Rt4/BC中，=90。,/。，8c于點￡）,

//3C的平分線分別交/C、4D于E、/兩點，M為斯的中點，的延長線交8c于點N,連接DM,

下列結論：①DF=DN；②△4FE為等腰三角形；③/N4c=22.5。；@AE=NC,其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質得出AD，NDBF=NDAN,ZBDF=ZADN,進而證

△DFB義ADAN,即可判斷①；根據(jù)BE平分/48C,得出ZABE=NCBE=LZABC=22.5再根據(jù)三角形

2

的內角和定理得出/8即=乙4口=90。-22.5。=67.5。，即可得出/尸=N￡,即可判斷②；根據(jù)等腰三角形

的三線合一即可得出=4c=；x4"225,即可判斷③；再證與△C/N,推出

CN=AF=AE,即可判斷④.

【詳解】解：???N5/C=90°,AC=AB,ADIBC,

：.NABC=ZC=45°,AD=BD=CD,ZADN=ZADB=90°,NBAD=45°=ACAD,

BE平分/ABC,ZABE=ACBE=^ZABC=22.5°,ZBFD=ZAEB=90°-22.5°=67.5°,

AAFE=ZBFD=ZAEB=67.5°,:.AF=AE,；.△/尸E為等腰三角形，故②正確；

又,：M為EF的中點，/.NDAN=ZNAC=^ZDAC=1x4?=22.于，故③正確；

ZFBD=ADAN

在AFAD和VM1D中，＜BD=AD:.AFBD^NAD(ASA),DF=DN,故①正確；

ZBDF=ZADN

NB4F=/C=45。

在△NFS和VCW中:AAFB均CNA〈AS0,：,AF=CN,

NABF=NC4N=225。

■：AF=AE,:.AE=CN,故④正確；即正確的有4個，故選：D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角性質，三角形內角和定理，直角三角形斜邊上

中線性質，等腰三角形的判定與性質，垂直平分線的判定與性質以及勾股定理等相關知識的應用，能熟練

運用相關圖形的判定與性質是解此題的關鍵，主要考查學生的推理能力.

例3.(23-24八年級?浙江杭州?階段練習)已知:如圖，“BC中，ZABC=45°,CDLAB于D,BE平分/ABC,

且3￡，/(7于￡,與CD相交于點尸，〃是邊的中點，連結ZW與5E相交于點G.(1)說明：BF=AC

(2)說明：CE=^BF；(3)試探索CE,GE,8G之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

A

【分析】(1)利用AAS判定RtADFB絲RtADAC,從而得出BF=AC.

(2)利用AAS判定RtABEAgRtABEC,得出CE=AE=^AC,又因為BF=AC所以CE=gAC=3BF

(3)利用等腰三角形“三線合一”)和勾股定理即可求解.

【解析】解：(1)?/CD±ABZBDF=ZCDA=90ZA+ZACD=90

VBE±AC.\ZA+ZFBD="90".,.ZFBD=ZACD

；/4BC=45。NBDC="90".?.NDCB=//3C=45。ABD^CD"

.".△BDF^ACDABF=AC

(2)BE平分/ABCBE±AC：.AABC關于直線BE成軸對稱圖形

ACE=-AC'：BF=AC：.CE=-BF

22

(3)連結GC?.,/DCB=//3C=45。

VCD±AB.*.ABDC是等腰直角三角形

VH是BC的中點，DH是BC的中垂線；.CG="BG"ZEGC=2ZEBC=45

B歷

VBE±AC.?.△GEC是等腰直角三角形.'.CE=GE=—CGBPCE=GE=—BG

22

例4.（23-24八年級上?廣東東莞?期末）如圖，等腰直角VN8C中，NCAB=90。,AC=AB,點、E為BC上

一點，BD工AE于點、M,交NC于點。，AHLCB于點、H,交BO于點G,連接。E,MH.

A

⑴若BE=B4,求證：AD垂直平分/E；（2）若點E在線段上運動.

①請判斷CE與NG的數(shù)量關系，并說明理由；②求證：MH斗的NEMB.

【答案】（1）證明見解析（2）①CE=/G,理由見解析；②證明見解析

【分析】本題考查了三角形的綜合題，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，線段垂

直平分線的判定，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

（1）利用HL證明R34MBmR3EMB得到AM=EM,即可推出BD為AE的垂直平分線；

（2）①利用同角的余角相等得到=利用ASA證明電/XB/G,即可得到CE=/G；②

作HNLHM交BA于點、N,先證明N4=N5,Z6=Z7,BH=AH,再利用ASA證明■也

推出是等腰直角三角形，據(jù)此即可證明/EMH=45。，從而得到結論.

【詳解】(1)證明：VAE1BD,:.ZAMB=NEMB=90°,

MB=MB

在Rt/XAMB和RtAEMB中,：.（HL）,

BE=BA

/.AM=EM,，BD為AE的垂直平分線；

方法二：?.?8石=2/且3。_1/￡1,，8￡）垂直平分/￡1；

(2)解：CE=AG,理由如下：AEVBD,：.ZEAD+ZADB=90°,

'.?RtZX/BC中，ABAC=90°,:.ZADB+ZABD=90°,：.ZEAD=ZABD,

:AC=AB,：.ZC-45°,

又：在等腰直角VNBC中，AC=AB,AH1CB,：.ZBAG=-ZBAC=45°,：.AC=ABAG,

2

ZEAD=ZABG

在ZUCE和△詡G中，＜AC=BA,：.AACE^ABAG(ASA),：.CE=AG

NC=/BAG

②作HN工HM交BD于點、N,：.ZAHB=ZMHN=90°,：.Z4=Z5,

VZ7+ZAGM=90°,N6+NBGH=90。，S.ZAGM=ZBGH,N6=/7,

:等腰直角V/8C中，AC=AB,AHLCB,：.BH=AH,

N6=N7

在AAMH和ABNH中，＜BH=AH,L.AMH=^BNH(ASA),

N5=N4

:?HM=HN,即△MW是等腰直角三角形，:?/HMN=45。,

ZBME=90°:?MH平分4EMB.

習題練模型

1.（23-24山東威海九年級上期中）己知V/BC中，AC=BC=4,NACB=90°,。是N8邊的中點，點￡、

廠分別在/C、8c邊上運動，且保持/E=CF.連接DE、DF、E下得到下列結論：①9跖是等腰直角

三角形；②ACEF面積的最大值是2；③Ek的最小值是2.其中正確的結論是（）

【答案】B

【分析】證明進一步可得尸，ZEDC+ZCDF=ZEDF=90°,所以可知

△DFE是等腰直角三角形.故①正確；根據(jù)由于△DFE是等腰直角三角形，可知當。尸±BC時，DF最

小，此時DF=-5C=2,EF--\l2DF-2^/5"?故③錯誤；利用VADE=^lCDF，推出S四邊形CEZ＞尸=$△，℃，當

△CEF面積最大時，此時力EF的面積最小，求出此時&CEF=5四邊形CEDF-S2EF=%℃~S^EF=2,故②

正確；

【詳解】解：①：V4BC是等腰直角三角形，.?./DC8=/4=45。，CD=AD=DB；

'AE=CF

在V/DE和ACD尸中，＜ZDCB=ZA：./\ADE^\CDF（SAS）；ED=DF,NCDF=NEDA；

CD=AD

；ZADE+ZEDC=90°,：.ZEDC+ZCDF=ZEDF=90°,△DFE是等腰直角三角形.故此選項正確;

③由于△。尸E是等腰直角三角形，因此當。尸最小時，也也最??；

即當。尸18c時，DE最小,Ji匕時。尸=；8C=2.:.EF=?DF=26.故此選項錯誤；

②VADE^JCDF,S&CDF=S/\ADE，$四邊形CEDF=^/\ADC＞

當ACEF面積最大時，此時力EF的面積最小，

VZC=90°,AC=BC^4,：.AB=742+42=4A/2>**-AD=CD=2^j2，

此時以CEF=S四邊形CEDF-=SMDC-S^EF=-x2A/^<26—2<2=4-2=2,故此選項正確；

故正確的有①②，故選：B

【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質，等腰直角三角形的判定及性質，勾股定理，解題的關鍵是熟

練掌握以上相關知識點，并能夠綜合運用.

2.（2024?廣東汕頭?二模）如圖，四邊形/BCD為正方形，/C4B的平分線交3c于點E,將繞點8

順時針旋轉90。得到VC8尸，延長/￡交C/于點G,連接3G,OG與/C相交于點H.有下列結論:①BE=BF；

r-

?ZACF=ZF；?BG±DG；④-=其中正確的結論有（）個

【答案】D

【分析】①由旋轉的性質得=尸，可得BE=BF；

②由正方形的性質得NR4C=NNC8=45。，BPZBAE=ABCF=22.5°,進而可得乙IC尸=NF=67.5。；

③先證明A42G=AT)CG(&4S),可得N4G3=/DGC,根據(jù)乙4c尸=NF,/E平分/C3可得NG_LCF進而

可得BG1.DG；

④先證明可得里=生=①，BP—=V2,故可求解.

AEAC2DG

【詳解】解：①：根據(jù)旋轉可知，AABE=ACBF,:.BE=BF,故①正確；

②由正方形的性質得NA4C=NNC8=45。，?:AE平分/ACB,:.ZBAE=ZBCF=22.5°,

ZACF=ZACB+ZBCF=67.5°,ZF=ZAEB=90°-22.5°=67.5°,ZACF=ZF=61.5°,故②正確；

③?；NACF=NF,：.AC=AF,平分N/C8,:.FG=CG,

ZCBF=90°,BG=CG,ZCBG=ZBCG,ZABC=ZDCB=90°,ZABG=ZDCG,

;AB=CD,AABG=AZ)CG(SAS),ZAGB=NDGC,■：AC=AF,AE平分NCAB,AGLCF,

ZAGB+ZDGA=ZDGC+ZDGA=90°,BG±DG,故③正確；

@vNABG=\DCG,:.NCDG=NBAG=NCAG,

-ZDCH=ZACE=45°,;.\DCH?MCE,=sinZD^C=sin45°,

AEAC2

Ar1—

:3=6,故④正確，綜上，正確的結論是①②③④，共四個，故D正確.故選：D.

DH

【點睛】本題主要是正方形的一個綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判斷，角平分

線的性質，相似三角形的性質與判定，直角三角形的性質，等腰三角形的性質與判定，涉及的知識點多，

綜合性強，難度較大，靈活運用這些知識解題是關鍵.

3.（2024?山東泰安?模擬預測）如圖，等腰直角V/3C中，ABAC=90°,AD上BC于點、D,24&C的平分

線分別交AC,，。于點E,F,"為斯中點，4W延長線交BC于點N,連接DM,下列結論：?DF=DN

@FM+AM=y[lDM;③DM平分NBMN；?S^M=S^DBM；⑤MN.BF=BD-CN,其中正確結論的個數(shù)

是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)三線合一的性質證明AEB。也AN40（ASA）,即可判斷①；證明/、B、D、M四點共圓，貝I」

ZABM=ZADM=22.5°,得到/DAW=45。，即可判斷③；證明=過點。作。于

點、H,則NAHD=90。，設DH=MH=x,則DM=而汨=5=AM，得至1]博=亞-1,貝I]

AM

FM,^FM=42AM-AM=42DM-AM>即可判斷②；求出S.如,=，過點。

作DPLBW于點P,求出=2^^創(chuàng)/2,即可判斷④；證明ABMDSA/CN,則空=器，利用等

"DBM4ANCN

量代換即可判斷⑤.

【詳解】解：vZBAC=90°,AC=AB,ADIBC,

NNBC=/C=45。，AD=BD=CD,NADN=ZADB=90°,NB4D=45。=NC4D,

?：BE平分ZABC,AABE=Z.CBE=-AABC=22.5c,

2

/.NBFD=ZAEB=90°-22.50=67.5°,Z.ZAFE=ZBFD=ZAEB=675,/.AF=AE,

■為跖中點，/.AMLBE,：.AAMF=ZAME=ZBMN=90°,

ADAN=90°-67.5°=22.5°=ZMBN,/.ACAN=ACAD-ADAN=22.5°

ZFBD=ZDAN

在△尸和VW。中<5。=/。,A^FBD^NAD(ASA),.*.DF=DN,???①正確；

/BDF=ZADN

?:/ADB=NAMB=9(T,：.A,B、D、加四點共圓，ZABM=ZADM=22.5°,

AADMN=ADAN+ZADM=22.5°+22.5°=45°,VZBMN=90°,二。河平分NBMV???③正確；

ZDNA=ZC+/CAN=45。+22.5。=67.5°，.二AMDN=180。—45?！?7.5。=67.5°=ZDNM,：.DM=MN,

*.?/DAN=ZADM=22.5°，：.AM=DM,：.AM=DM=MN

DNDN

過點。作。H_L/N于點凡則/Affl)=90。，ZDMN=ZMDH=45°,

設DH=MH=x,典\DM=?DH=6x=AM，AAH=AM+MH=[^2+1)x

“ncFMDH

??tan/D4M—tan22.5—----------

?AMAH

：.FM=(47.-^AM,gpFM=y/2AM-AM=4^DM-AM>FM+AM=;故②正確;

■-S^BM=-BM-AM=

過點。作。尸，BM于點P,則DP=BPtanNDBP=BP-tan225=(￡-1p尸，BP=(&+1)DP,

■：ZPMD=-ZBMN=45°,是等腰直角三角形，PO=PM,

2

BM=BP+PM=(V2+1)DP+DP=(6+2)DF：.DP=，

2

???SADBM=-BMDP=-BM-^^BM=^^BM；?SAABM*SADBM,故④錯誤；

2224

■:NDBM=/CAN=225°,ABMD=ZACN=45°,ABMD^^ACN,：.—=,

ANCN

,：AFBD%NAD：.BF=AN,'：DM=MN,：.—=—,：.MN-BF=BDCN,故⑤正確；

BFCN

綜上可知，正確結論是①②③⑤，故選：C

【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、解直角三角形，全等三角形的

判定和性質、四點共圓等知識，熟練掌握相關知識點是解題關鍵，綜合性較強.

4.（2023?廣東深圳?模擬預測）如圖，△NBC中，ZABC=45°,C￡>_L4B于點。，BE平分/4BC,且2E_L

AC于點,E,與CD交于F,〃是8C邊的中點，連接與交于點G,則下列結論：①BF=AC；②//

=/DGE；?CE<BG；?S^ADC^SmCEGH；⑤DG?AE=DC,EF中,正確結論的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】證明ABDF峪ACDA可判斷①；

由CD，AB,BE1AC,利用三角形的外角的性質及四邊形的內角和定理可判斷②；

連接CG,利用DH是BC的垂直平分線，從而可判斷③；

過G作GJ_LAB于J,過F作FM_LBC于M,連接GM,設D/=JG=1,分別計算三角形ADC的面積和四

邊形CEGH的面積可判斷④；由ABDFsaCEF,可判斷⑤.

【詳解】解：VCDXAB,BF±AC,AZBEC=ZBDC=ZADC=90°,

VZABC=45°,AZDCB=45°=ZABC,；.BD=DC,

VZBDC=ZCEF=90°,ZDFB=ZEFC,由三角形內角和定理得：ZDBF=ZACD,

ABDF=CDA

:在ABDF和ACDA中，］BD^DC,.".ABOF^ACDA(ASA),二BF=AC,ZBFD=ZA,.,.①

NDBF=NACD

正確；

VZDFB=ZFBC+ZFCB=ZFBC+45°,ZDGF=ZGBD+45°,ZFBC=ZGBD,AZDFG=ZDGF,

?：CDYAB,BEVAC,乙4+/D氏E=180。，

?;NDFE+NDFG=180°,：.ZA=NDFG.,.ZA=ZDGE,故②正確，如圖，連接CG,

VZABC=45°,ZBDC=90°,△BDC是等腰直角三角形，

是BC邊的中點，.^.DH垂直平分BC,.,.3G=CG,

VZCEG=90°,:.CE<CG,CE<BG,故③正確；

過G作GJ_LAB于J,過F作FM_LBC于M,連接GM,

DC=DB,CD_LAB,DH1BC,ZDBC=ZDCB=ZHDB=ZHDC=45,DJ=JG,FM=MC,

-：BE±AC,BE平分ZABC,GJ=GH,FD=FM,

■：ZDGF=ZDFG,DG=DF,DG=FM,

?.?OH//FM,.?.四邊形DGMF是菱形，DG=GM,

設"=JG=1,則GH=HM=1,DG=GM=FM=DF=?■-FC=2,

四邊形CFGH的面積=梯形GHMF的面積+AFMC的面積

=—(1+\/2)x1+—xJ2xS^CAD=—xV2x(2+V2)=1+5/2,SAADC^S四邊形CEGH，故④錯誤.

22222

.人人BDDF..DCDG

VABDF^ACEF,——=——,.BD=DC,CE=AE,DF=DG,??一二——，

CEEFAEEF

.".DG?AE=DC?EF,故⑤正確.故選：C.

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、菱形的

判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的

壓軸題.

5.（2024?湖南長沙?一模）如圖，在AABC中，/B4c=90°,AB=AC.點E是/C邊上的中點，連接BE,

將繞A點逆時針旋轉90。，得至IJA/CD,延長BE交DC于點G,連接NG,過點A作/尸，NG,交BG

于點尸.現(xiàn)有如下四個結論：①//GD=45°；②EG:GC:尸E=l:2:3；@FE-EG=GC；④S”DC=2SG

中正確的個數(shù)為()

D

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)題意條件可證得但也ANGD(ASA),結合全等三角形的性質得到A/FG是等腰直角三角形,

則ZAGD=AAFG=AAGF=45°,故①正確;過點/作,垂足為點H,通過條件證得FH=HG=HA,

GC=2EG,再通過條件證得A￡GC也A￡H4(AAS),結合對應邊相等可得到FE=3EG,從而說明②③正確;

通過邊長的等量關系能推出房=”￡,最后說明%2k日故能說明④錯誤.

【詳解】解：???由題可知，"BE知ACD,ZBAC=90°,

：.BE=CD,AE=AD,ZAEF=ZADG,ZDAC=90°,/ABE=NACD,

IAFLAG,

：./FAG=90°,

ZFAE+ZEAG=ZEAG+ZGAD=90°,

???ZFAE=/GAD,

在△ZFE■與△NG。中，

ZAEF=ZADG

?.?<AE=AD,

/FAE=/GAD

：."FE注"GD(ASA),

:?AF=AG,NAGD=NAFG,FE=GD,

???△，/G是等腰直角三角形，

即44G。=N4尸G=N/GF=45。，故①正確;

D

A.

----------------^C

如圖，過點N作垂足為點H,

尸G是等腰直角三角形，

：.FH=HG=HA,

?.?點E是ZC邊上的中點,

EA=EC=—AC,

2

*.?/ABE=NACD,

：.tanZACD=-ZACD+ZACB+ZGBC=ZABE+ZGBC+ZACB=90°,

2f

JZEGC=ISO°-ZACD-ZACB-ZGBC=90°,

JGC=2EG