2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專(zhuān)題01雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型

線段與角度是初中幾何的入門(mén)知識(shí)，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類(lèi)模型通常由問(wèn)題出

發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)（角平分線）來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部

分的線段雙中點(diǎn)模型和雙角平分線模型，可以寫(xiě)出的線段（角度）和差種類(lèi)較多，這就增加了思考的難度。

目錄導(dǎo)航

例題講模型'

.........................................................................................................................................................2

模型1.線段的雙中點(diǎn)模型...............................................................2

模型2.線段的多中點(diǎn)模型...............................................................7

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型................................................11

習(xí)題練模型一

1

=21........................................................................................20

例題講模型］

模型1.線段的雙中點(diǎn)模型

模型解讀

線段雙中點(diǎn)模型：兩線段在同一直線上且有一個(gè)共同的端點(diǎn)，求這兩條線段的中點(diǎn)距離的模型我們稱(chēng)之為

線段的雙中點(diǎn)模型。

模型證明

條件：點(diǎn)M、N分別為線段AB、的中點(diǎn)，結(jié)論：MN=-AC.

2

證明：①當(dāng)點(diǎn)5在線段AC上，如圖1,

4,11--------6

MBN

圖1

：/、N分別為AB、8c的中點(diǎn)，8河=工48（中點(diǎn)定義）；BN=-BC（中點(diǎn)定義）;

22

MN=BM+BN,MN=-AB+-BC=-（AB+BC}^-AC;

222、72

②當(dāng)點(diǎn)B在線段AC的延長(zhǎng)線上，如圖2,

A?1■1-R

CMN

圖2

VM,N分別為A3、BC的中點(diǎn)，，加（中點(diǎn)定義）；BN=-BC（中點(diǎn)定義）;

22

MN=BM-BN,：.MN^-AB--BC=-（AB-BC}=-AC;

222、72

③當(dāng)點(diǎn)B在線段CA的延長(zhǎng)線上

B??■C

MAN

圖3

VM.N分別為A3、BC的中點(diǎn)，.（中點(diǎn)定義）；BN=-BC（中點(diǎn)定義）;

22

模型運(yùn)用

例1.（23-24七年級(jí)上.江蘇揚(yáng)州?期末）如圖，點(diǎn)C在線段A3上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn).

AMCN~B

（1）若AB=18cm,AM=5cm,求CN的長(zhǎng)；⑵若朧=6cm,求A3的長(zhǎng)；

【答案】⑴C7V=4cm⑵AB=12cm

【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)Af、N分別是AC、2c的中點(diǎn)，所以NC=^BC,已知A3=18cm,A"=5cm,

可得8C的長(zhǎng)，NC=\BC,可得CN的長(zhǎng)；（2）因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，所以CM=《AC,

NC=—BC,已知例V=6cm,可得A5的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：???點(diǎn)M、N分別是AC、3c的中點(diǎn)，.?.AM=；AC,NC=9C,

-：AM=5cm,/.AC=10cm,vAB=18cm,/.BC=8cm,/.CN=4cm；

11

（2）解：?.?點(diǎn)M、N分別是AC、3c的中點(diǎn)，.?.CM=AC,NC=-BC

:2?2f

???MN=CM+CN=6cm,/.AB=AC+BC=2（CM+C7V）=12cm.

例2.（23-24七年級(jí)上?江西贛州?期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M,N分別是線段AC,的中點(diǎn).

????[

AMCNB

（1）若AC=10cm,CB=6cm,求線段MN的長(zhǎng)；（2）若AC+CB=acm,求線段MN的長(zhǎng)度.

【答案】（l）8cm⑵￡cm

【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MC、CN,再根據(jù)線段的和以及線段的差，可得答案；

（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MC、CN,再根據(jù)線段的和以及線段的差，可得答案.

本題考查了線段的長(zhǎng)度問(wèn)題，掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）.??點(diǎn)M,N分別是線段AC,3c的中點(diǎn)；.MC=《AC,CN=3BC

22

：AC=10cm,CB=6cm,：.MC=5cm,CN=3cm：.MN=MC+CN=5+3=8cm

（2）?.?點(diǎn)N分別是線段AC,3c的中點(diǎn)，MC=；AC,CN=；BC

*.*AC+CB=acm，MN-MC+CN——ACH—CB=—cm.

222

例3.（23-24七年級(jí).山東淄博.期末）已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段AC的三等分點(diǎn).若線段

A5=12cm,則線段3。的長(zhǎng)為（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

【答案】c

【分析】本題主要考查線段的和差，根據(jù)題意作圖，分情況討論，由線段之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】如圖，：點(diǎn)c是線段的中點(diǎn)，.?.AC=BC=：A3=6cm,

2

??1?1

ADxD2CB

2

當(dāng)4。=—AC=4cm時(shí)，CD=AC-AD=2cm：.BD=BC+CD=6+2=8cm；

3f

當(dāng)AD=lAC=2cm時(shí)，CD=AC-AD=4cm,：.BD=BC+CD=6+4=10cm;故選C.

3

例4.（23-24七年級(jí)上.安徽黃山?期末）如圖，C,。是線段AB上兩點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)C右側(cè)），E,F分別是線

段AO,2C的中點(diǎn).下列結(jié)論：

@EF=-AB-②若鉆=3尸，則AC=BD；③AB-CD=2EF；@AC-BD=EC-DF.

2

iIIIIl

AECDFB

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】本題主要考查了線段的和差運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握中點(diǎn)的定義，根據(jù)圖形，分析線段之間的和

差關(guān)系.結(jié)合圖形，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段之間的和差關(guān)系逐一進(jìn)行分析，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：尸分別是線段AD，3C的中點(diǎn).，；.=尸=18C,

22

EF=AB-AE-BF=AB-^（AD+BC）=AB-^（AB+CD）=^AB-^CD,故①不符合題意；

VAE=BF,：.^AD=^BC,即AD=3C,

/.AD-CD=BC-CD,：.AC=BD,故②符合題意；

EF=gAB—gcD,：.AB-CD=2EF,故③符合題意；

@VAC=AE+CE=-AD+CE,BD=BF+DF=-BC+DF,

22

：.AC-BD=^AD+CE^-^BC+DF^=^AD-BC）+（CE-DF）,

：.2（AC-BD）=（AD-BC）+2（CE-DF）,：.2（AC-BD）=（AC-BD）+2（CE-DF）

:.AC-BD=2（EC-DF）,故④不符合題意；故選：B.

例5.（23-24七年級(jí)上.貴州遵義?期末）已知線段AB=24,點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)。為線段AC上的三

等分點(diǎn)，則線段3D的長(zhǎng)的最大值為（）

A'----------------------'B

A.16B.18C.15D.20

【答案】D

【分析】本題考查線段和差.根據(jù)題意先求出AC=3C=12,再根據(jù)題干分情況討論點(diǎn)。所在位置，繼而

得到本題答案.

【詳解】解：：線段AB=24,點(diǎn)C為線段A3的中點(diǎn)，.?.AC=3C=12,

:點(diǎn)。為線段AC上的三等分點(diǎn)，，①當(dāng)點(diǎn)?？拷c(diǎn)A時(shí)：AD=1AC=4,此時(shí)3D=24-4=20；

2

②當(dāng)點(diǎn)D靠近點(diǎn)C時(shí)：AD=-AC=S,此時(shí)30=24-8=16；

V20>16,線段3。的長(zhǎng)的最大值為：20,故選：D.

例6.（23-24七年級(jí)上?遼寧阜新?期末）點(diǎn)A、3在數(shù)軸上所表示的數(shù)如圖所示，尸是數(shù)軸上一點(diǎn)：

BOA

—?——?——?———?——?——?——?——?——>

-5-4-3-2-1012345

（1）將點(diǎn)B在數(shù)軸上向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P,求出A、P兩點(diǎn)間的距離

是多少個(gè)單位長(zhǎng)度.

（2）若點(diǎn)B在數(shù)軸上移動(dòng)了機(jī)個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)P,且A、P兩點(diǎn)間的距離是4,求機(jī)的值.

（3）若點(diǎn)M為"的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若發(fā)生變

化，請(qǐng)你說(shuō)明理由：若不變，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并求出線段的長(zhǎng)度.

【答案】（1）A、尸兩點(diǎn)間的距離是1個(gè)單位長(zhǎng)度

（2”"的值為2或10（3）線段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，MN=3

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算、線段的和差，采用數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)

討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)向右移動(dòng)用加法，向左移動(dòng)用減法求出P點(diǎn)表示的數(shù)為，即可得解；

（2）分兩種情況：當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)左邊時(shí)；當(dāng)尸點(diǎn)在A點(diǎn)右邊時(shí)；分別求解即可得出答案；（3）分三種情況：

當(dāng)尸在A、B之間時(shí)；當(dāng)P在B的左側(cè)時(shí)；當(dāng)尸在A的右側(cè)時(shí)；分別畫(huà)出圖形，計(jì)算即可得出答案.

【詳解】（1）解：由數(shù)軸可得：B點(diǎn)表示的數(shù)為-2,A點(diǎn)表示的數(shù)為4,

P點(diǎn)表示的數(shù)為一2-2+7=3,

?；4-3=1,...A、尸兩點(diǎn)間的距離是1個(gè)單位長(zhǎng)度；

(2)解：：A、尸兩點(diǎn)間的距離是4,.?.當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)左邊時(shí)，P點(diǎn)表示的數(shù)為4-4=0,

丁點(diǎn)B在數(shù)軸上移動(dòng)了小個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)尸，2點(diǎn)表示的數(shù)為-2,..?此時(shí)m=0-(-2)=2；

當(dāng)尸點(diǎn)在A點(diǎn)右邊時(shí)，尸點(diǎn)表示的數(shù)為4+4=8,

???點(diǎn)2在數(shù)軸上移動(dòng)了m個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)P,3點(diǎn)表示的數(shù)為-2,

此時(shí)機(jī)=8-(-2)=10；綜上所述，加的值為2或10；

(3)解：線段肱V的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，MN=3,

由數(shù)軸可得：3點(diǎn)表示的數(shù)為-2,A點(diǎn)表示的數(shù)為4,??.45=4-(-2)=6,

:點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，；.=PN=BN=；PB,

如圖，當(dāng)尸在A、8之間時(shí)，此時(shí)肱V=PM+PN=；AP+；PB=：(AP+PB)=：AB=3；

BNPMA

??111A

圖1

如圖，當(dāng)尸在B的左側(cè)時(shí)，止匕時(shí)MN=/W-PN=；A尸一：B尸=：(AP—BP)=gAB=3；

PNBMA

j??iIa

圖2

如圖，當(dāng)P在A的右側(cè)時(shí)，此時(shí)削=附_尸知=；82_：24=3(5?_尸4)=348=3；

BNAMP

IIII]>

圖3

綜上所述，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，MN=3.

模型2.線段的多中點(diǎn)模型

模型解讀

條件：如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MV=2a,第1次操作：分別取線段AM和AV的中點(diǎn)叫、

N「第2次操作:分別取線段AMX和AM的中點(diǎn)AG,N?；第3次操作：分別取線段AM2和AN2的中點(diǎn)71^，

代；…連續(xù)這樣操作〃次，結(jié)論：M,N,

IIlliIIII

AN3M3N2M2N\MINM

模型證明

證明：乂是蜀1和AN的中點(diǎn)，AN、=；AN,

：.MiNl=^AM-^AN=^MN=a,VM2,N2是AM1和4乂的中點(diǎn)，

AA/?=—AA/],AN、=—AN[,a*.=3AM1—AN、=—M=-a,

222222

M3,多是⑷1%和AN?的中點(diǎn)，：.AM3=^AM2,AN3=^AN2,

：.M3N3=^AM2-^AN2=^-M2N2=^a=(^-\-a,...發(fā)現(xiàn)規(guī)律：.〃，

模型運(yùn)用

例1.（23-24七年級(jí)上?貴州六盤(pán)水?期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)。為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為-3,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)0

出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次從點(diǎn)。跳動(dòng)到。4的中點(diǎn)A處，第2次從點(diǎn)A跳動(dòng)到AA的中點(diǎn)&處，第3

次從點(diǎn)&跳動(dòng)到4A的中點(diǎn)4處，…，第”次從點(diǎn)4T跳動(dòng)到4TA的中點(diǎn)4處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)

到點(diǎn)A"A，A，…，&B4處，那么點(diǎn)4024所表示的數(shù)為

3

【答案】-3+尹元

【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，兩點(diǎn)間的距離，探究圖形的規(guī)律，找到圖形變化中線段44"的變化規(guī)

律是解題的關(guān)鍵

根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到。4的中點(diǎn)A處，即在離A點(diǎn)的長(zhǎng)度為:義3,第二次從A點(diǎn)跳動(dòng)到&處，即在

離A點(diǎn)的長(zhǎng)度為[gjx3,則跳動(dòng)w次后，即跳到了離A點(diǎn)的長(zhǎng)度為[g]x3,再根據(jù)線段的和差關(guān)系可得

線段。4的長(zhǎng)度，最后確定點(diǎn)4期的表示的數(shù)即可.

【詳解】解：由題可知：04=3,此第一次跳動(dòng)到0A的中點(diǎn)A處時(shí)，A4,=goA=；x3,

同理，第二次從A點(diǎn)跳動(dòng)到七處，AA2=^xAAi=(^x3,

同理，第三次從4點(diǎn)跳動(dòng)到A處，AA=gxA4=]￡|x3同理，跳動(dòng)〃次后，A4“=]jx3,

故線段的長(zhǎng)度為：O4=Q4-A4n=3-出x3=3-捺，當(dāng)”=2024時(shí)，0^=3-^,

333

,點(diǎn)七)24在負(fù)半軸，；.點(diǎn)4024表示的數(shù)是_(3_02024)=—3+.2024，故答案為：-3+/元.

例2.(23-24七年級(jí)上.河南濮陽(yáng)?期末)已知：如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段〃N=16,第一

次操作：分別取線段AM和4V的中點(diǎn)第二次操作：分別取線段4叫和AM的中點(diǎn)加2，N2.

第三次操作：分別取線段AM和的中點(diǎn)連續(xù)這樣操作次，則

2AN2M,4M4N4=.

IIIIIIIII

AN2M2N\M\NM

【答案】1

【分析】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握兩點(diǎn)的距離計(jì)算的方法進(jìn)行計(jì)算及根據(jù)題意找出問(wèn)題的

規(guī)律進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可得AM-4V=MN,根據(jù)線段的差可得

M2N2=^^MN,/3又=]￡[皿的長(zhǎng)度表示，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行推理即可得出M,N“，即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，?：MN=16,AM-M=MN=16,

???線段AM和AN的中點(diǎn)M，N、,：.M\N[=^_*=AM；AN=；MN,

1=1工田AaNTAM.,AN11(1V?r..,,

同理：MN=---------=—MN=—M#NA,..MNr=—MNr,....

2222[l12J33\)

依次類(lèi)推，MN,：.M,N,=^X16=l,故答案為：4.

例3.(23-24七年級(jí)上.湖南張家界.期末)如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN=2,第一次操作:

分別取線段A"和AN的中點(diǎn)；第二次操作：分別取線段AM1和AM的中點(diǎn)AG，M；第三次操作：

分別取線段AM?和AM的中點(diǎn)M3,%；…連續(xù)這樣操作2024次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之

和M[N1+M?N2T-------1~^2024-^2024=.

|IIIIIII|

AN3M3N2M2N\M、NM

【答案】2-^y

【分析】本題考查了線段規(guī)律性問(wèn)題，準(zhǔn)確根據(jù)題意找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，比較有難度.根據(jù)線段

中點(diǎn)定義先求出的長(zhǎng)度，再由的長(zhǎng)度求出M2M的長(zhǎng)度，從而找到”的規(guī)律，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：N1是24M和⑷V的中點(diǎn)，AN、=；AN,

：.-^AN=^MN=1,VM2,必是AM】和AA\的中點(diǎn)，

Z.AM=-AM,AN=-AN,：.MN=-AM,--AN=-MN=-,

22X22122222t2li

M3,恤是，2和AN2的中點(diǎn)，：.AM3=^AM2fAN3=^AN29

：.M3N3=^AM2-^AN2=^M2N2=^=^^,...發(fā)現(xiàn)規(guī)律：,

.1（1丫°23

,,,必乂+”2生+-?+以024乂024=1+萬(wàn)+-?+[]）

cI1門(mén)產(chǎn)

2(M]N[+MNHF^2024-^2024)=2+1+—+???+—

222⑶

門(mén)、2。23

92———

兩式相減，得M+M?N2T---------M2024N2024=2—[QJ=2-^2023故答案為:?2023?

例4.（23-24七年級(jí)上.廣東?期中）學(xué)習(xí)了線段的中點(diǎn)之后，小明利用數(shù)學(xué)軟件GeoGe"。做了"次取線段中

點(diǎn)實(shí)驗(yàn)：如圖，設(shè)線段。凡=1,第1次，取。4的中點(diǎn)片；第2次，取14的中點(diǎn)鳥(niǎo)；第3次，取《鳥(niǎo)的中

點(diǎn)A，第4次，取呂巴的中點(diǎn)舄；…

?,?A阜,

OPlP3P5Po

（1）請(qǐng)完成下列表格數(shù)據(jù).

次數(shù)線段。4的長(zhǎng)

0勺=。6-耐=i-;

第1次

OP=OPPP=l-+^

第2次2l+]2

IOP=OP-PP=l-^^-^

第3次3223+

。月=0月+巴鳥(niǎo)=1-)+:一最+J

第4次

第5次?____②________

(2)小明對(duì)線段OR的表達(dá)式進(jìn)行了如下化簡(jiǎn)：

因?yàn)?巴=1一；+>9+?，所以2。4=211一：+(-*++

171

兩式相加，得30舄=2+^,所以O(shè)〃=w+不中.

，JJX，

請(qǐng)你參考小明的化簡(jiǎn)方法，化簡(jiǎn)。心的表達(dá)式.

⑶類(lèi)比猜想：/片=，。匕=,隨著取中點(diǎn)次數(shù)W的不斷增大，。匕的長(zhǎng)最終接近的值是

【答案】⑴①5等②*。兄-酬=T+導(dǎo)導(dǎo)U⑵。吟-七(3片,|+嘉,|

【分析】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，找到規(guī)律并會(huì)表現(xiàn)出來(lái)是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)表中的規(guī)律可求出乙乙，根據(jù)。心=。乙-乙月可得出答案；

(2)參照小明對(duì)線段。8的表達(dá)式的化簡(jiǎn)可得?！鞯谋磉_(dá)式；(3)根據(jù)類(lèi)比猜想可得答案.

【詳解】⑴解：P4P5=^,OP5=OP4-P4P5=1-^+^--^-+^--^-；

故答案為:舄心弓，OP5=OP4-PtP5=1-1+±-1+!_1.

⑵因?yàn)?=1-宗〉**泉所以2利=213+1卜/一￡|=2-1+：-：+￡-3

191

兩式相加，得304=2-丞.所以保=^^；

，JJX，

⑶心￡《'”空+尋’隨著取中點(diǎn)次數(shù)”的不斷增大。匕的長(zhǎng)最終接近的值是

12(-1)〃2

故答案為:F?3+3x2n，3

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型

模型解讀

雙角平分線模型：共頂點(diǎn)的三條射線組成的三個(gè)角中（兩角共一邊），已知任意兩個(gè)角的平分線，求角平分

線夾角。下面是最完整的角平分線模型結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程，推導(dǎo)過(guò)程是需要掌握的，也并不難推，同學(xué)們自

己嘗試著推導(dǎo)一遍，再去記結(jié)論，印象會(huì)更加深刻。

模型證明

圖1圖4

1）雙角平分線模型（兩個(gè)角無(wú)公共部分）

條件：如圖1,已知：OD、OE分別平分乙4。8、ZBOC；結(jié)論：ZDOE=-ZAOCo

2

證明：?：OD、0E分另1j平分乙4。8、ZBOC,：.ZDOB=-ZAOB>ZBOE=-ZBOC>

22

?1111

??ZDOB+ZBOE=-ZAOB+-ZBOC=-ZAOC??ADOE=-AAOC-

2222

2）雙角平分線模型（兩個(gè)角有公共部分）

條件：如圖1,已知：OD、0E分另IJ平分NA03、ZBOC；結(jié)論：ZDOE=-ZAOCo

2

證明：,：OD、。七分另IJ平分NAOB、ZBOC,ZDOB=-ZAOB/BOE=L/BOC，

22

.1111

??NBOE-NDOB=—NBOC——ZAOB=-ZAOC>?,NDOE=—NAOC。

2222

3）拓展模型：雙角平分線模型（三個(gè)角圍成一個(gè)周角）

條件：如圖3,已知NAO8+N2OC+NAOC=360。，。尸i平分/AOC、OP2平分/80C；

結(jié)論：=180。-；ZAOB。

證明：YOP平分/AOC、OP2平分/8℃，，N冊(cè)O(shè)C=；ZAOC，NgOC=：NBOC，

'：ZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,：.ZBOC+ZAOC=3600-ZAOB,

=N6OC-N5OC=；ZAOC+；NBOC=：(ZAOC+NBOC)=180。-：ZAOB。

4）角〃等分線模型

條件：如圖4,AAOB=a,OAi,。片分別是NAOM和NMQB的平分線，。&、。員分別是乙4,。加和/〃。用

的平分線，。4、。片分別是/4。加和/林明的平分線…，。4，。4分別是/41。M和/〃。紇7的平分

線；結(jié)論：404,=晟.

證明：QZAOB=a,。4、。片分別是—40M和NMO3的平分線，

.■.ZAOM=-ZAOM,ZBOM=-ZBOM,=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-a,

i{2

?.?。&、O"分別是NAOM和NMO81的平分線，.-.ZA.OM=1Z^OM,ZB2OM=|ZB^OM,

:.SOB2=-(ZAlOM+ZB}OM)=-ZAlOBl=-x-ZAOB=胃，

???。4、0B3分另I］是ZA.OM和ZMOB2的平分線，.-.ZA.OM=^ZA2OM,NB30M=:NB20M,

ZA3OB3=-(ZA.OM+ZB2OM)=-A\OB2=-^-^08,=-x1x-ZAOB=,...,

ry

由此規(guī)律得：ZA,OB,,=—o

模型運(yùn)用

例1.（2023?河南周口?校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)。為直線A3上一點(diǎn)，0E平分/BOC,0。平分/AOC,若

ZBOE=28°,則ZAOD的度數(shù)為（）

A.58°B.60°C.62°D.70°

【答案】C

【分析】先根據(jù)OE平分/BOC,0D平分,AOC,求出ZEOD=90。，再根據(jù)NCOE=N3QE=28。，求出

ZE>OC=90°-28°=62°,即可得出答案.

【詳解】解：：點(diǎn)。為直線AB上一點(diǎn)，0E平分NBOC,。。平分/AOC,

Z.ZCOD=ZAOD=-ZAOC,ZCOE=ZBOE=-ZBOC,

22

,/ZEOD=ZCOD+ZCOE=^(ZAOC+ZBOC)=g*180。=90。，ZEOD=90°,

NBOE=28°,：.ZCOE=28°,，ZDOC=90°-28°=62°,

：.ZAOD=ZDOC=62°,故C正確.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解角平分線的定義，求出N￡OD=90。.

例2.（2023春?遼寧遼陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線OC平分NAQB,射線0。平分/3OC,則下列等

式中成立的有（）

①NCOD=ZAOD-NBOC；②NCOD=ZAOD—NBOD；③2/COD=2ZAOD-ZAOB；④

NCOD=L/AOB.

【答案】B

【分析】利用角平分線的性質(zhì)計(jì)算角之間的數(shù)量關(guān)系即可.

【詳解】解：OC平分ZAOB,OD平分ZBOC,：.NAOC=ZBOC,ZCOD=NBOD

VZCOD=ZAOD-ZAOC,ZAOC=ZBOCZCOD=ZAOD-ZBOC故①正確；

ZBOD豐ZBOC:./COD豐ZAOD-ZBOD故②錯(cuò)誤；

ZAOD=ZAOC+ZCOD：.2ZAOD=2（ZAOC+ZCOD）=ZAOB+2ZCOD

2ZAOD-ZAOB=ZAOB+2ZCOD-ZAOB=2ZCOD2ZCOD=2ZAOD-ZAOB故③正確；

ZCOD=-NBOC,ZBOC=-ZAOBZCOD=-x-ZAOB=-ZAOB故④錯(cuò)誤；故選B.

22224

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)以及熟練運(yùn)用角的和差表示角的關(guān)系是

解決本題的關(guān)鍵.

例3.（2023春?黑龍江?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，射線OG是/AOC的角平分線，射線O"是2A03的

角半分線，射線ON是-3OC的角平分線，則下列結(jié)論成立的有（）個(gè).

M

OC

?ZMON=Z.COG■,?ZMOG^^(AAOG-ABOG)；③NGON=J(/COG+40G)；④

AMON=1(ZAOC+NBOG)；

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)角平分線的定義以及角的和與差，計(jì)算即可求解.

【詳解】角阜：由題意得：4OG=NCOG='/AOC,?AOM?MOB-?AOB,ZBON=ZNOC=-ZCOB,

222

①ZMON=NMOB+NBON=1ZAOB+1ZBOC=1(NAOB+ZBOC)=；ZAOC=ZCOG,故①正確；

②ZMOG=ZAOG-ZAOM=ZAOG-Z.BOM=ZAOG-(ZBOG+AMOG)=ZAOG—ZBOG-ZMOG,

BPZMOG=1(ZAOG-ZBOG),故②正確；

③Z.GON=ZCOG-4cON=ZCOG-ZBON=ZCOG-{Z.GON-/BOG)=ZCOG-AGON+NBOG,

BPZMOG=1(ZAOG-ZBOG),故③正確；④由①得NMON=：ZAOCw；(NAOC+NBOG),故④錯(cuò)誤;

綜上，①②③正確，共3個(gè)；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是利用了角平分線的定義和圖中各角之間的和差關(guān)系.

例4.(2023?河南?七年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖，ZAOB=a,OAl,。用分別是和/MO3的平分線，

。4、。3分別是ZAOM和NMO4的平分線，。&、。&分別是和NMO層的平分線，…，O\,OBn

【分析】由角平分線性質(zhì)推理得幺。瓦=ga，最，N4。鳥(niǎo)=*，據(jù)此規(guī)律可解答.

【詳解】解：QZAOB=a,。4、。片分別是/AOM和NMQB的平分線,

Z^OM=-ZAOM,ZBOM--ZBOM,AA.OB,=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-a,

t2

?,?<?A、OB2分別是/&OM和/MOB］的平分線，.-.Z^OM=~Z^OM,ZB2OM=g/BQM,

:./&OB2=^(ZAiOM+NBQM)=~ZAiOBl=-x-ZAOB==

?.?04、OB3分別是4420M和ZMOB2的平分線，,ZA.OM=^ZA2OM,NB30M=~NB20M,

.-.Z4OB3=-(Z40M+ZB2OM)=-ZAOBJ=-x-ZL4iOB1=-x-x-ZAOB=-a=-^-,...,

222222282、

由此規(guī)律得：NAOB.q.故答案為：會(huì).

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、圖形規(guī)律等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

例5.（2022秋?山西太原?七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖，ZAOC=ZBOD=90°,08在NAOC的內(nèi)部，OC在/B。。

的內(nèi)部，。￡是/AOB的一條三等分線.請(qǐng)從A,8兩題中任選一題作答.

A.當(dāng)/BOC=30。時(shí)，NEO。的度數(shù)為.

B.當(dāng)NBOC=a。時(shí)，NE。。的度數(shù)為（用含a的代數(shù)式表示）.

【分析】4、根據(jù)角的和差得到/4。2=90。-30。=60。，根據(jù)0E是NAOB的一條三等分線，分類(lèi)討論，當(dāng)/

AOE=1ZAOB=2.0°,②當(dāng)乙4。8=20。，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；

B、根據(jù)角的和差得到乙4。8,根據(jù)OE是/A08的一條三等分線，分類(lèi)討論，當(dāng)NAOE=；NAOB,②當(dāng)/

8。月=：/402,根據(jù)角的和差即可得至IJ結(jié)論.

【詳解】解：&、如圖，VZAOC=90°,ZBOC=30°,：,ZAOB=90°-30°=60°,

：OE是NAOB的一條三等分線，①當(dāng)/AOE=；/AOB=20。，ZBOE=40°,

?.,ZBOD=90°,JZEOD=ZBOD+ZBOE=130°,

②當(dāng)NBOE=gZAOB=20°,：.NZ)0￡=90°+20°=110°,

綜上所述，NE。。的度數(shù)為130?；?10。，故答案為：130?；?10。；

B、'：ZAOC=90°,ZBOC=a°,：.ZAOB=90°-a°,

iii2

VOE^ZAOB的一條三等分線，.??①當(dāng)NAOE=§ZAOB=30°--a°f：.ZBOE=90°-a-(30--cc)°=60°--a°,

ZBOZ)=90°,JZEOD=ZBOD+ZBOE=150°--ct°,

3

②當(dāng)ZAOB=30°--a°：.ZDOEr=90°+30°--a°=120°--a°,

33f33

2121

綜上所述，/￡。。的度數(shù)為150。-§。?；?20。-]6(。，故答案為：150。-§a?；?20。-§a。；

【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，角的倍分，熟練掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例6.(2023秋?遼寧沈陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，點(diǎn)A,O,8在同一條直線上，OD,OE分別平分/4OC

和N3OC.(1)求NDOE的度數(shù)；(2)如果/COZ)=60。.①求—AOE的度數(shù)；②若NAOF=20。，直接寫(xiě)出

/FOD的度數(shù).

【答案】(1)90°；(2)0150°；②40?；?0°.

【分析】(1)由角平分線定義可知4DOC=；NAOC,NCOE=gNBOC,再根據(jù)NDOE=NDOC+NCOE和

NAOC+/3OC=180?？傻媒Y(jié)果；(2)①利用角之間的和差關(guān)系求解即可；②分當(dāng)O尸在。4上方時(shí)，當(dāng)OF在

下方時(shí)，利用角之間的和差關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)解：,/OD,OE分別平分NAOC和—3OC,ZDOC=-ZAOC,ZCOE=-ZBOC,

22

貝ZDOE=ZDOC+ZCOE=|ZAOC+1ZBOC=|(ZAOC+NBOC),

'：ZAOC+ZBOC=180°,：.NDOE=g(ZAOC+Z8OC)=9。。；

(2)①：ZCOD=60°,ZDOE=90°,；.ZCOE=ZDOE-ZCOD=30°,

由(1)可知，ZDOC=-ZAOC,則ZAOC=2ZDOC=120。，

2

???ZAOE=AAOC+ACOE=120°+30°=150°,

②由①可知，ZAOC=nO°,?：OD^ZAOC,ZAOD=-ZAOC=60°,

2

當(dāng)O尸在。1上方時(shí)，ZFOD=ZAOD-ZAOF=60°-20°=40°；

當(dāng)O尸在OA下方時(shí)，ZFOD=ZAOD+ZAOF=60°+20°=80°；綜上，/FOD為40。或80。.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，利用角的和差關(guān)系求解的度數(shù)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于結(jié)合圖形，找角

之間的和差關(guān)系.

例7.（2023秋?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)校考期末）解答題：（1）如圖，若NAO8=120°,ZAOC=40°,OD、OE分

別平分/493、ZAOC,求NDOE的度數(shù)；

(2)若ZAOB,ZAOC是平面內(nèi)兩個(gè)角,NAOB=m,ZAOC=n(n<m<1^,OD,OE分別平分NAOB、

ZAOC,求ZDOE的度數(shù).（用含加、〃的代數(shù)式表示）

B

【答案】⑴40。⑵所以當(dāng)射線OC在ZAOB的內(nèi)部時(shí)，NDOE=；（加-〃）。；當(dāng)射線OC在NAOB的外部時(shí),

ZD0E=^(n+m)°

【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出48和/AOE度數(shù)，即可得出答案；（2）由于無(wú)法確定射線OC的位

置，所以需要分類(lèi)討論：若射線OC在-AO3的內(nèi)部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出ZA0D=gzA03,

ZAOE^-ZAOC,求出"OE=/AOD—NAOE；若射線OC在NAO3的外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得

2

出ZAOD=」/AO3,ZAOE=~ZAOC,求出"OE=NZXM+ZAOE,代入求出即可.

22

【詳解】（1）VZAOB=120°,0。平分/A03,/.ZAOD=ZBOD=|ZAOB=60°

：0E分別平分/AOC,ZAOC=40°.AZAOE=ZAOC=20

ADOE=ZAOD-ZAOE=60°-20°=40°.

(2)若射線OC在—493的內(nèi)部，如圖2

圖2

VZAOB=m,ZAOC=n,OD、OE分別平分，AC?、ZAOC.

：.ZDOE=ZAOD-ZAOE=|ZAOB-1ZAOC=~(m-n)°：,NDOE=；(m-n)°.

所以當(dāng)射線OC在—A03的內(nèi)部時(shí)，NDOE=；(m-w)。.

若射線OC在—AO3外部時(shí)，如圖3

'：ZAOB=m,ZAOC=n,OD、OE分別平分/403、ZAOC.

：.ZDOE=ZAOD+ZAOE=1ZAOB+1ZAOC=1（H+/?/）°；.ZDOE=^n+m）°.

所以當(dāng)射線OC在NAOB的外部時(shí)，ZDOE=~（n+m）°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義和角的有關(guān)計(jì)算，利用角平分線的定義求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

例8.（2023春?山東濟(jì)南?七年級(jí)統(tǒng)考期末）解答下列問(wèn)題

如圖1,射線OC在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：ZAOB,NAOC和/BOC,若其中有一個(gè)角的度數(shù)

是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱(chēng)射線OC是ZAOB的“巧分線（1）一個(gè)角的平分線.這個(gè)角的“巧分線”,（填“是”

或“不是”）.（2）如圖2,若NMPN=60。,且射線P。是/MPN的“巧分線"，則N"PQ=（表示出所有

可能的結(jié)果探索新知）.（3）如圖3,若/MPN=c（,且射線PQ是—MPN的“巧分線”，則/凹尸。=（用

含a的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）.

112

【答案】（1）是（2）30。，20?；?0。（3）,?；?a或

【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個(gè)角的平分線將一個(gè)角均分成兩個(gè)等角，大角是這兩個(gè)角的兩倍即可解

答；⑵根據(jù)“巧分線”定義，分NMPN=2NMPQ\、NNPQ—NMPQ?、/MPQs=Z/NPQ三種情況求解

即可；（3）根據(jù)“巧分線”定義，分NMPN=2/MPQi、/NPQq/MPQ]、/MPQs=Z/NPQ三種情況求

解即可.

【詳解】（1）解：如圖1：：0C平分/AOB,，NAO3=2NAOC=24OC,

根據(jù)巧分線定義可得0C是這個(gè)角的“巧分線”.故答案為：是.

A

乙

0^=^------B

圖1

（2）解：如圖3：①當(dāng)/MPN=2NMPQ|時(shí)，則/MPQ=；/AfPN=Jx60。=30。；

②當(dāng)NNPQ〔二2NMPQ],貝（j/MPN=NA/PQ?+NNPQ?=3/MP&=60。，解得：ZMPQ2=20°；

3

③當(dāng)/MPQ3=2/NPQ3,則NMPN=NMPQ3+NNP°3=/NMPQ3=60。，解得：ZMPQ3=40°.

綜上，NMPQ可以為30。,20。,40°.

11（y

（3）解：如圖3：①當(dāng)ZMPN=2/MPQ1時(shí)，則NMPQ=5NMPN=/xa=3；