2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題拔高訓(xùn)練：特殊平行四邊形存在性問題

特殊平行四邊形存在性問題

問題與方法

問題:如圖3-5-1,直線.y=x上有一點P,點P在第一象限且OP=2V2.

(1)在坐標(biāo)平面內(nèi)有兩個點M,N,若O,P,M,N四個點能夠構(gòu)成正方形，求M,N的坐標(biāo)；

(2)在坐標(biāo)軸正半軸上有一點E,坐標(biāo)平面內(nèi)有一點F,若點O,P,E,F四個點能夠構(gòu)成菱形，求點E的坐標(biāo).

【簡析】易知P(2,2),直線.y=x與坐標(biāo)軸的夾角為45。分OP為邊和OP為對角線兩種情況進行討論.

(1)①當(dāng)0P為正方形的一邊時，如圖3-5-2,過點0作0P的垂線，并在垂線上截取(。刈=0N2=OP;；過點P

作PO的垂線，分別交坐標(biāo)軸于.小,M2兩點，則四邊形(OPMiM,四邊形OPM2N2為所求的正方彩

②當(dāng)0P為正方形的對角線時，連接PNi,PN2,分別與y軸和x軸交于點M3,心則四邊形(ON3PM3是正方彩

根據(jù)正方形及等腰直角三角形的性質(zhì),易求得據(jù)式0,4),N式-2,2))或M2(4,0),N2(2,-2)或“3(0,2),想⑵0).

提醒：由于M,N沒有先后順序，每一對M,N的坐標(biāo)均可以互換.

(2攻口圖3-5-3,①當(dāng)0P為菱形的一邊時，由于點E在坐標(biāo)軸的正半軸上，故將0P分別向右或向上平移2企個

單位，可得菱形。0P&&,此時當(dāng)(2魚，0),E2(O-2&)；；也可將OP平移，使得點P平移至坐標(biāo)軸的正半軸上，

可得菱形OPE3F3,0「區(qū)￡4,,此時E3(4,0).E4(0,4);

②當(dāng)OP為菱形的對角線時，作OP的垂直平分線，分別交x軸，y軸于點.右,飛,可得菱形。55「尸5,此時

現(xiàn)(2,0),F5(0>2),,當(dāng)點E與Fs重合時也符合題意.

綜上，滿足條件的點E的坐標(biāo)為(2w,0),(0,2a),(0,4),(4,0),(2,0),(0,2).

解決特殊平行四邊形存在性問題的常用策略

1.菱形的存在性問題，常常轉(zhuǎn)化成等腰三角形的存在性或平行四邊形的存在性問題，兼顧對角線互相垂直.

2.矩形的存在性問題，常常轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性或平行四邊形的存在性問題，兼顧對角線相等.

3.正方形的存在性問題，常常轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的存在性問題.

幾何構(gòu)圖方法分別如圖3-5-4(注：A,B為定點，C,D為動點)：

Dz

菱形矩形正方形

圖3-5-4

應(yīng)用舉例

例1如圖3-5-5,直線y=聲與雙曲線y=三也豐0)交于A,B兩點，點A的坐標(biāo)為(m,-3).

⑴求k的值并直接寫出點B的坐標(biāo)；

(2)P是坐標(biāo)軸上的點，Q是平面內(nèi)一點，是否存在點P,Q,使得四邊形ABPQ是矩形?若存在,請求出所有符

合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【問題分析】

(1)將點A的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式可求出m,則A點確定，即可求出反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩個解析

式即可求出交點B的坐標(biāo)；

(2)若四邊形ABPQ是矩形，則AB是矩形ABPQ的邊.根據(jù)矩形的構(gòu)圖方法，只需過點B作AB的垂線，與坐標(biāo)

軸的交點即為所求的點P,進而根據(jù)點P的位置求點P的坐標(biāo).

例2如圖356,拋物線y=ax2+6久+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,若OA=OC=2OB=2.

⑴求拋物線的解析式及直線BC的解析式.

(2)如圖356,過點A作ADXBC于點D,過點D作DHLx軸于點H,若點G為直線DH上的動點，N為拋物

線上的動點，在x軸上是否存在點M，使得以M,N,G,H為頂點的四邊形為正方形?若存在，求出M點坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

圖3-5-6

【問題分析】

第(2)問中，利用三角函數(shù)或相似可求出直線AD的解析式，從而求出交點D的橫坐標(biāo)，即可得H點的坐標(biāo).因

為GH±x軸，動點M在x軸上.故GH只能為正方形的一條邊，不能是對角線.由于M在x軸上，可設(shè)M(m,O),再用

m分別表示出MH和MN的長,再根據(jù)MN=MH列方程求解.

例3如圖357,拋物線y=ax2+6久+3交x軸于A(3,O),B(-1,。)兩點，交y軸于點C,動點P在拋物線的對稱

軸上.

⑴求拋物線的解析式.

(2)若點Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點，是否存在點Q,使得以A,C,P,Q為頂點的四邊形是菱形?若存

在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【問題分析】

根據(jù)點P在對稱軸上，橫坐標(biāo)已知，可設(shè)出點P的坐標(biāo).由于點A,C為定點，菱形的四條邊相等，故考慮先求

出AC2,AP2,PC2.再通過平移AC和作線段AC的垂直平分線，大致確定點P,Q的位置，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)列方

程求解點P的縱坐標(biāo).最后根據(jù)點A,C,P的坐標(biāo)和菱形對角線互相平分求得點Q的坐標(biāo).

進階訓(xùn)練

L如圖3-5-8,在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=￡的圖象經(jīng)過點A(3,m)與B(6,m-6),過點A作AC±x軸，垂

足為C,連接AB,BC.

⑴求m的值

(2)求證:△ABC為等腰三角形.

(3)點E是平面內(nèi)一點，第一象限的雙曲線上是否存在點D,使得以B,C,D,E為頂點的四邊形是正方形?若

存在，求出點D,E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖3-5-8

2.如圖3-5-9在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點A,B在x軸上,拋物線yx2+bx+c經(jīng)過B,D(-4,5)

兩點，且與直線DC交于另一點E.

⑴求拋物線的解析式.

(2)F為拋物線對稱軸上一點，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點，是否存在以點Q,F,E,B為頂點的四邊形是以

BE為邊的菱形?若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.綜合與探究

如圖3-5-10,拋物線y=#+2久-6與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,連接AC,BC.

⑴求A,B,C三點的坐標(biāo)并直接寫出直線AC,BC的函數(shù)表達式.

⑵點P是直線AC下方拋物線上的一個動點.過點P作BC的平行線1,交線段AC于點D.試探究：在直線1上是

否存在點E，使得以點D,C,B,E為頂點的四邊形為菱形?若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

4.如圖3-5-11,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c(a*0)與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,

連接BC,OA=1,對稱軸為直線x=2，點D為此拋物線的頂點.

⑴求拋物線的解析式；

(2)求拋物線上C,D兩點之間的距離；

(3)點P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點Q，使以點B,C,P,Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q

備用圖

圖3-5-11

答案

I應(yīng)用舉例I

例1解:⑴將點A的坐標(biāo)(m,-3)代入直線y=)中，得-3=|6,解得m=-2,.\A(-2,-3).

—(一3)=6;反比例函數(shù)解析式為3/=*］；了'或憂二氯

.?.點B的坐標(biāo)為(2,3).

⑵存在.如圖,過點B作AB的垂線，分別交x軸，y軸于點P15P2,

①當(dāng)點P在x軸上時，如圖，設(shè)點Pi的坐標(biāo)為(a,0).過點B作BE±x軸于點E,

???(OEB="BP*=90°,乙BOE=ZJ\OB,

：.AOBE^AOPiB./.OBP^OE.

,、1—A213

8(2,3),OE=2,OB=V13.*?-----=,CL=.

aV132

???點Pl的坐標(biāo)為(￡，o).

②當(dāng)點P在y軸上時，過點B作BN±y軸于點N.如圖，設(shè)點P2的坐標(biāo)為(0,b).

ZONB=ZP2BO=90°,ZBON=ZP2OB,

ABON^AP2OB.?.OBP2=OB,即半=言.

.?”=3???點P2的坐標(biāo)為(0年)

綜上，點P的坐標(biāo)為號0)或(0號)

例2解:(1)：OA=OC=2OB=2,

.??A(2,0),B(-l,0),C(0,2).

將點A,B,C的坐標(biāo)代入.y=ax?+匕％+c中，可得

'4a+2b+c=0,ci——1,

a—b+c=0,解得b=1,

、c=2,(c=2,

；?拋物線的解析式為y=-x2+x+2.

由B(-l,0),C(0,2)可得直線BC的解析式為.y=2x+2.

⑵存在點M，使得以M,N,G,H為頂點的四邊形為正方形.

AD±BC,CO±BO,.\ZDAO=ZBCO.

??1tanzBCO=|,.\AD與y軸的交點為（0,1）.

直線AD的解析式為y=-|x+1.

聯(lián)立直線AD,BC的解析式可得一義％+1=2x+2,解得x=-|,；?H0）,

設(shè)M（m,0）//GH±x軸點M在x軸上.

.?.以M,N,G,H為頂點的四邊形為正方形時，GH為正方形的邊.

.*.MN,MH也是正方形的邊.N(m，-m2+m+2).

,2

MN=\—m2+m+2\,MH=|m+-1.

2

???|—m2+m+21=|m+-1.

解得m=±（當(dāng)E,0）或M（-號0）或M（1+半，0）或M（1-等，0）.其位置如圖所示.

例3解：(1)拋物線的解析式為y=-%2+2%+3.

⑵存在.符合條件的點Q的坐標(biāo)為：(4,-舊)或(4,g)或(-2,3+舊)或(-2,3-舊)或(2,2).

［解析］由已知，設(shè)P(l,t),：A(3,0),C(0,3),

???AC2=32+32=18,AP2=(1_3)2+t2=t2+4,PC2=I2+(t-3)2=產(chǎn)_6t+10.

①當(dāng)以AC為邊，且點Q在對稱軸右側(cè)時，如圖①,CP=CA,

???t2-6t+10=18.解得t=3±V17,

Pi(L3-V17),P2(l>3+V17).

Qi(4--V17),Q2(4-V17).

當(dāng)以AC為邊，且點Q在對稱軸左側(cè)時，如圖②，AP=AC,

產(chǎn)+4=18.解得t=±V14,

P3(VV14),P4(V-V14).

Q3(-2>3+V14),<2i(-2-3-V14).

②當(dāng)以AC為對角線時,如圖③，則PC=AP,

t2—6t+10=t2+4.角星彳導(dǎo)t=l,

.,.P5(1,1),Q5(2,2).

綜上所述，符合條件的點Q的坐標(biāo)為(4,-舊)或(4,舊)或(2,2)或(-2,3+”4)或(-2,3-V14).

I進階訓(xùn)練I

1.解:⑴???反比例函數(shù)y=笑勺圖象經(jīng)過點A(3,m),B(6,m-6),

3m=k,且6(m-6)=k./.3m=6(m-6).解彳導(dǎo)m=12.

⑵過B作BMXAC于點M,

；m=12,.?.點A的坐標(biāo)為(3,12),點B的坐標(biāo)為(6,6),點C的坐標(biāo)為(3,0).

，點B的縱坐標(biāo)為6,即CM=6.

???點A的縱坐標(biāo)為12,/.AC=12.

；.AM=AC-CM=6.

/.CM=AM.

ABM垂直平分AC.

/.AB=BC.

.二△ABC為等腰三角形.

(3)存在.如圖，只有以CB為邊在CB右側(cè)作正方形CBDE一種情況，可使得點D在雙曲線上,分別過點C,D

作x軸的垂線，分別過點B,E作x軸的平行線,分別相交于點M,N,Q,P,

ZMCB+ZMBC=90°,ZMBC+ZNBD=90°.

NMCB=NNBD.

2CMB=乙BND,

在AMCB與ANBD中［NMCB=/.NBD,：.AMCBANBD(AAS).

,BC=DB,

同理可得:AMCB0Z\PEC絲△QDE絲ANeD,則MC=PE=QD=NB=6,BM=CP=EQ=DN=3,；.D(12,3),E(9,-3).

；?點D恰好在雙曲線上，即存在點D,使得以B,C,D,E為頂點的四邊形為正方形，此時.點D(12,3),E(9,-3).

2.解:⑴由點D的縱坐標(biāo)知,正方形ABCD的邊長為5,.*.OB=AB-AO=5-4=1.

AB(1,O).

將B(l,0),D(-4,5)的坐標(biāo)代入.y=x2+bx+c.

+b+c=0,

—4b+c=5,

解得唐=2,

故拋物線的解析式為y=%2+2%-3.

（2）存在符合條件的菱形.

由拋物線的解析式知，其對稱軸為直線x=-l,

故設(shè)點F的坐標(biāo)為（-1,a）,

:點D,E關(guān)于拋物線對稱軸對稱，故點E的坐標(biāo)為（2,5）.

由點B,E的坐標(biāo)得，BE2=(2—I)?+(5-0)2=26.

解法1:當(dāng)以點Q,F,E,B為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形時，根據(jù)菱形的性質(zhì)可分為：

①當(dāng)BF=BE時，如圖①所示:

BF2=BE2,

即((1+I)2+(0—a)?=26.

解得：a—±A/22,

...點F的坐標(biāo)為（（-1，伍）或（-1，-伍）.

Q

②

②當(dāng)EF=BE時,如圖②所示:

則E產(chǎn)=3所,即(2+I)2+(5-a)2=26,

解得a=5±V17,

點F的坐標(biāo)為（（一1，5-g）或（一1，5+V17）.

綜上所述，點F的坐標(biāo)為（-1,g）或（（-1，-g）或（一1，5-VI7）或（一1，5+V17）.

解法2：如圖③，以點E為圓心，EB長為半徑畫圓，交拋物線的對稱軸于點FiE再分別以EFi,EB或EF2,EB

為鄰邊作菱形EFiQiB,菱形EF2Q2B.

設(shè)拋物線的對稱軸與DE交于點M廁EM=2+1=3,.-.FM=VF￡2-ME2=VSE2-ME2=-26—9=V17.

Fi(-l-5+V17),F2(-l-5-V17).

如圖④,以點B為圓心，BE長為半徑畫圓，交拋物線的對稱軸于點FsR再分別以BE,BF3或BE,BF4為鄰邊作

菱形EBF3Q3,菱形EBF4Q4.

設(shè)拋物線的對稱軸與X軸交于點N,則.BN=1+1=2,.,.FN=<FB2-BN2=VBE2-BN2=A/26—4=V22

/3(_［值),

綜上所述,F點的坐標(biāo)為(一1，5+V17),(-1,5-V17),(-1-V22),(-L-V22).

解法3:設(shè)點Q的坐標(biāo)為(s,t),

?.?以Q,F,E,B為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形，點B向右平移1個單位，向上平移5個單位得到點E,

，點Q(F)向右平移1個單位，向上平移5個單位得到點F(Q).且BE=EF(BE=EQ).

???&+5=a,或<t-5=a,

[26=(2+l>+Q-5)3-l26=(s-2)2+(/-5)\

a=5±V17,(s=0,

解得Js=-2,"5士V22,

、t-+V17(a=+V22,

故點F的坐標(biāo)為((-1，5+VT7)或(-1,5-VI7)或(-1，V22)ng(-1--V22).

3.解:(1)當(dāng)y=O0yt,|x2+2%-6=0,

解得.Xi=-6,X2=2,

:點A在點B左側(cè),.5(60),B(2,0).

當(dāng)x=0時,y=-6,；.C(0,-6).

VA(-6,0),C(0,-6),

直線AC的函數(shù)表達式為y=-x-6.

：B(2,0),C(0,-6),.,?直線BC的函數(shù)表達式為y=3x-6.

(2)本題中已知DE〃:BC,故當(dāng)DE=BC時以點D,C,B,E為頂點的四邊形為平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平

行四邊形是菱形列方程求解.

存在.設(shè)點D的坐標(biāo)為其中-6<m<0,：B(2,0),C(0,-6),

BD2=(m—2)2+(m+6)2,BC2=22+62=40,DC2=m2+(-m-6+6y=2m2.

：DE〃BC,.?.當(dāng)DE=BC時，以點D,C,B,E為頂點的四邊形為平行四邊形.

分兩種情況:如圖①，當(dāng)BD=BC時.四邊形BDEC為菱形,

???BD2=BC2.(m-2)2+(m+6)2=40.

解得：m1=-4,m2=06(舍去)，，點D的坐標(biāo)為(-4,-2).

.??點E的坐標(biāo)為(-6,-8).

如圖②，當(dāng)CD=CB時,四邊形CBED為菱形,.?.。標(biāo)=CB2,2m2=40.

解得爪i=—2逐,m2=2遮倍去),

點D的坐標(biāo)為((-2V5-6).

.。.點E的坐標(biāo)為(2-2通2V5).

綜上,存在點E，使得以點D,C,B,E為頂點的四邊形為菱形，點E的坐標(biāo)為(-6,-8)或((2-2后2曲).

4.(1)拋物線的解析式為y=-1x2+2x+|.

(2)由⑴知y=-|x2+2x+I，.-.C(0，|),D(2，?如圖①，過點D作DM±y軸于點M,則DM=2,CM=2.

在RtACDM中,(CD=VDM2+CM2=V22+22=2V2.

⑶解法1：①以BC為矩形的一條邊，則過點C,B分別作BC的垂線交直線x=2于點PiH,過點Pi作PxQilBPz

于點Qi,過點P2作P2Q21PIC于點Qz,如圖②所示，設(shè)PiC與x軸交于點E,

直線CE的解析式為y=2久+1，,P]0號).

同理可得P2(2,-6).

通過平移可以得到QI