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文檔簡介
專題31最值模型之將軍飲馬模型
“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”,這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩,由此卻引申出一系
列非常有趣的數(shù)學(xué)問題,通常稱為“將軍飲馬”。
將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對(duì)稱衍生而來,同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬(即將軍遛馬、造橋
或過橋),主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主,本專題就特殊的平行四邊
形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析,方便掌握。
目錄導(dǎo)航]
例題講模型]
............................................................................1
模型L將軍飲馬模型(雙線段和的最小值)....................................................1
模型2.將軍飲馬模型(雙線段差的最大值)...................................................6
模型3.將軍飲馬模型(多線段和的最值)......................................................9
習(xí)題練模型
...........................................................................15
例題講模型1
模型1.將軍飲馬模型(雙線段和的最小值)
模型解讀
條件:A,5為定點(diǎn),機(jī)為定直線,P為直線機(jī)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求AP+5P的最小值。
模型(D點(diǎn)4、3在直線機(jī)兩側(cè):模型(2)點(diǎn)A、5在直線同側(cè):
A
A*
?-------------------------?m
B
B■m
模型證明
模型(1)點(diǎn)A、3在直線機(jī)兩側(cè):模型(2)點(diǎn)A、3在直線同側(cè):
圖⑴圖(2)
模型(1):如圖(1),連結(jié)A8,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,AP+8P的最小值即為:線段A8的長度。
模型(2):如圖(2),作點(diǎn)A關(guān)于定直線他的對(duì)稱點(diǎn)連結(jié)/'反根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,AP+BP的最小
值即為:線段/‘2的長度。
模型運(yùn)用
例1.(2024?陜西西安?一模)如圖,在四邊形ABCD中,=BC=4,AD=8,AG=2,ZABC=90°,
E是邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),歹為AE的中點(diǎn),則AF+G尸的最小值為.
【答案】275
【分析】本題考查軸對(duì)稱中最短路線問題,正方形的判定,勾股定理,靈活運(yùn)用將軍飲馬模型是解題的關(guān)
鍵.取AD的中點(diǎn)》連接CH,CG,CF,證明出產(chǎn)點(diǎn)就是與AE的交點(diǎn),四邊形3CHD是平行
四邊形,四邊形ABC"是正方形,利用將軍飲馬模型得到CG是AF+G尸的最小值,再在RtaCG”中,利
用勾股定理求出CG即可.
【詳解】取AO的中點(diǎn)”連接3",
VBC=4,AD=8,:.AH=HD=BC=4,
???AD//BC,.?.四邊形3。?!ㄊ瞧叫兴倪呅?,,9〃8,且點(diǎn)H為AD的中點(diǎn),
APAf4I
???受===:,與AE的交點(diǎn)就是AE的中點(diǎn)E連接CH,
AEAD2
VAD//BC,M=8C,.,.四邊形A5C”是平行四邊形,
AB=BC=4,/4及7=90。,四邊形4867/是正方形,,4,C關(guān)于BH對(duì)稱,
連接CF,CG,則AB=CF,AAF+GF=CF+GF>CG,即Ab+G尸的最小值為CG的長,
在Rt"G〃中,CH=AB=4,GH=AH-AG=3-2=2,
由勾股定理,得CGNCH,+GH?=44s+2==26,故答案為:2卮
例2.(2024.四川廣安?中考真題)如圖,在YABCD中,AB=4,AD=5,NABC=30。,點(diǎn)”為直線BC上
一動(dòng)點(diǎn),則M4+MO的最小值為.
【答案】V41
【分析】如圖,作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AO交BC于”,則=AH_L3C,AM'=AM',
當(dāng)M,AT重合時(shí),M4+MO最小,最小值為AO,再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.
【詳解】解:如圖,作A關(guān)于直線3c的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AO交8c于M',則AH=A",AHLBC,
=.?.當(dāng)重合時(shí),M4+MD最小,最小值為AO,
A'
,:AB=4,ZABC=30。,在YABCD中,?.AH=^AB=2,AD//BC,:.AA^2AH=4,AAVAD,
VAD=5,:.AD={4。+52,故答案為:V41
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì),勾股定理,軸對(duì)稱的性質(zhì),求最小值問題,正確理解各性質(zhì)及掌
握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
例3.(2024?廣東?二模)如圖,菱形ABCD的一條對(duì)角線AC=46,/ZMB=60。,P是對(duì)角線AC上的一
個(gè)動(dòng)點(diǎn),E,尸分別為邊D4,DC的中點(diǎn),則尸E+尸尸的最小值是()
DFC
Ei
AB
A.2B.2A/3C.4D.473
【答案】C
【分析】作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G,連接PG,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知PE+PF=Pb+PG,證明四
邊形AGED為平行四邊形,PE+Pb=PG=A£>為最小值,再求出菱形ABCD的邊AD,即為PE+PR的最
小值.
?.?菱形A6CD,AB//CD,AB=CD=AD,KA=KC=2出,AC1BD,
':ZDAB=60°/.ZZMC=30°,:.AD=2DK,
AD2-DK2=12?DK=2,AD=4,
作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G,連接PG,APE+PF=PF+PG,
:點(diǎn)E為邊/⑦上的中點(diǎn),則點(diǎn)G也為邊A3的中點(diǎn),
當(dāng)點(diǎn)尸、G、尸在一條直線上時(shí),PE+尸產(chǎn)有最小值,
連接尸G交AC于P,.?.當(dāng)尸,尸'重合時(shí),PE+PF=FG為最小值,
?.?尸,8為。<7,筋的中點(diǎn),;.£>尸=46,...四邊形46即為平行四邊形,
FG=AD^4,...PE+尸尸的最小值是4,故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱中的最短距離問題、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,
學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決最短距離問題是解答本題的關(guān)鍵.
例4.(2024.河南洛陽?模擬預(yù)測(cè))如圖,在扇形BOC中,ZBOC=60°,OD平分/30C交8c于點(diǎn)。,點(diǎn)E
為半徑03上一動(dòng)點(diǎn).若陰影部分周長的最小值為2&+3,則扇形的半徑08的長為.
c
【分析】本題主要考查扇形周長的計(jì)算,軸對(duì)稱最短路徑的計(jì)算方法,掌握扇形弧長的計(jì)算方法,軸對(duì)稱
求最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可求出NCOD=/3OD=30。,作點(diǎn)。關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)可
得CD最小,則扇形周長最小,由此即可求解.
【詳解】解::平分NBOC,NBOC=60°,:.Z.COD=Z.DOB=30°,
設(shè)扇形的半徑OC=N=r,,力)的長為:黑、2萬廠=詈,陰影部分的周長最小為2垃+(,
如圖所示,作點(diǎn)。關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)。',連接CD與05交于點(diǎn)E,此時(shí),CE+E?=CE+ED'=CD'的值
最小,即陰影部分的周長最小,
???NCOD=ZCOB+ZBODr=90°,CD'=瓜,
即2+夜r=20+g,解得,r=2,故答案為:2.
o3
模型2.將軍飲馬模型(雙線段差的最大值)
模型解讀
條件:A,B為定點(diǎn),膽為定直線,尸為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求HP-BPI的最大值。
模型(1):點(diǎn)4、3在直線機(jī)同側(cè):模型(2):點(diǎn)A、3在直線m異側(cè):
A
圖⑴圖(2)
模型(1):如圖(1),延長A2交直線根于點(diǎn)P,當(dāng)A、B、P不共線時(shí),根據(jù)三角形三邊關(guān)系,有:\P-A-P'B\
<AB,當(dāng)A、B、P共線時(shí),^\PA-PB\=AB,ik\PA-PB\<AB,即|AP-BP|的最大值即為:線段AB的長度。
模型(2):如圖(2),作點(diǎn)8作關(guān)于直線相的對(duì)稱點(diǎn)夕,連接交直線加于點(diǎn)尸,此時(shí)尸2=尸歹。
當(dāng)A、B、P不共線時(shí),根據(jù)三角形三邊關(guān)系,有:IP,A-P,B\=IP,A-P,B,[<AB,,
當(dāng)A、B、P共線時(shí),^\PA-PB\=\PA-PB,\=AB,,^\PA-PB^AB),即|AP-8尸|的最大值即為:線段/夕的長度。
模型運(yùn)用
例1.(2024?河南南陽?一模)如圖,已知AABC為等腰直角三角形,AC=BC=6,ZBCD=15°,P為直線
CO上的動(dòng)點(diǎn),貝U|B4一尸2|的最大值為.
【答案】6
【分析】作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)4,連接A'B交CD于P,則點(diǎn)尸就是使|以孑8|的值最大的點(diǎn),|以-P8|=4B,
連接4C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NCAB=NABC=45。,NACB=90。,根據(jù)角的和差關(guān)系得到/
ACD=75°,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到4C=AC=BC,ZCA'A=ZCAA'=15°,推出△48C是等邊三角形,根據(jù)等
邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【詳解】如圖,作A關(guān)于C£>的對(duì)稱點(diǎn)4,連接并延長交CD延長線于點(diǎn)尸,則點(diǎn)尸就是使|PA-尸身的
值最大的點(diǎn),=連接A'C,
:AASC為等腰直角三角形,AC=BC=6,:.ZCAB=ZABC^45°,ZACB=90°,
:ZBCD=15°,:,ZACD=15°,:點(diǎn)A與A關(guān)于CO對(duì)稱,
CD±AA',AC=AC,ZCA,A=ZCAA,:.ZCAA'^15°,
?:AC=BC,:.A'C=BC,ZCArA=ZCAA'=15°,:.ZACA'=150°,
,:ZACB=90°,:.ZA/CB=60°,△ABC是等邊三角形,:.AB=BC=6.故答案為:6
【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱-最短路線問題,等腰直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),正確的
作出圖形是解題的關(guān)鍵.
例2.(2024?陜西渭南二模)如圖,在菱形ABC。中,E為邊中點(diǎn),而點(diǎn)尸在。C邊上,P為對(duì)角線AC
所在直線上一動(dòng)點(diǎn),己知AB=8,DF=2,且NABC=60。,則|尸尸-正目的最大值為.
【答案】26
【分析】本題考查菱形的性質(zhì),軸對(duì)稱中最值問題,勾股定理.取AO的中點(diǎn)G,連接PG,易得PG=PE,
故|PP-PE|=|尸尸一PG|V廠G,即當(dāng)凡G,P共線時(shí),|尸尸—尸耳=而最大,作/WAD于先后求出
HD,HF,GH,最后用勾股定理求FG即可.
【詳解】解:如圖,取AD的中點(diǎn)G,連接PG,??,四邊形ABCD是菱形.?.nG=HE,NG4P=N&LP
AG=AE
在AAPG和YAPE中J/GAP=ZEAPyAPG'APE?^:,PG=PE
AP=AP
連接尸G\PF-PE\=\PF-PG\<FG當(dāng)戶,G,尸共線時(shí),|P戶一陽=/G最大,圖中P,處
1.______
作尸”_LAD于H?:ND=NB=3:.ZDFH=3。。:.HD=aDF=l:.陽==也
1
???GO=540=4皿=4—1=3...先=^GH-+FH-=243-即歸/一「目的最大值為.
例3.(23-24八年級(jí)下.山東聊城.期中)如圖,在正方形ABCD中,AB=8,AC與交于點(diǎn)。,N是A0
的中點(diǎn),點(diǎn)M在3c邊上,且3M=6.P為對(duì)角線3。上一點(diǎn),則PM-PN的最大值為.
【答案】2
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì),平行線分線段成比例定理,等腰直角三角形的判定與性質(zhì),最值問題
等,熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.以8D為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N',連接PN',根據(jù)對(duì)稱
性質(zhì)可知,PN=PN',由此可得R0-PN'4MV,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取“=”,此時(shí)即尸河-PN的值
最大,由正方形的性質(zhì)求出AC的長,繼而可得ON'=ON=20,AN'=6應(yīng),再證明需=霽=g,可
得NM〃AB,ZCMN'=900,判斷出△N'CM為等腰直角三角形,求得N'M長即可得答案.
【詳解】解:如圖,以8。為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N',連接PN',
AD
z
M
根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知,PN^PN',:.PM-PN'<MN',當(dāng)尸,三點(diǎn)共線時(shí),取“=”,
?.?在正方形ABC。中,AB=BC=CD=AD=8,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAC=90°,
AC=6AB=8亞,:。為AC中點(diǎn),AO=OC=4應(yīng),
為04中點(diǎn),:.0N=2也,,ON,=ON=20,:.AN=60,
CMCN'1
BM=6>/.CM=AB—BM=8—6=2,-----=------=—,
BMAN'3
Z.N'M//AB,/.ZCMN'=ZCBA=90°,ZMCN'=45°,
.?.△從。0為等腰直角三角形,;.。0=y必=2,故答案為:2.
模型3.將軍飲馬(多線段和的最值模型)
模型解讀
模型(1):兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)
條件:A,B為定點(diǎn),在直線機(jī)、”上分別找兩點(diǎn)尸、Q,使RL+P0+Q5最小。
兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)(圖1-1);內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)(圖1-2);兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)(圖1-3)
模型(2):一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)
條件:如圖2,A為定點(diǎn),在直線機(jī)、〃上分別找兩點(diǎn)P、Q,使三角形APQ的周長(AP+PQ+Q4)最小。
模型證明
圖1-1圖1-1圖1-1圖2
模型(1-1)(兩點(diǎn)都在直線外側(cè)型)
如圖(1-1),連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,9+PQ+08的最小值即為:線段A8的長度。
模型(1-2)(直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型)
如圖(1-2),作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B,,連結(jié)AB,,根據(jù)對(duì)稱得到:QB=QB',故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB),
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,出+尸。+。8的最小值即為:線段N夕的長度。
模型(1-3)(兩點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型)
如圖(1-3),作點(diǎn)B關(guān)于定直線〃的對(duì)稱點(diǎn)2作點(diǎn)A關(guān)于定直線相的對(duì)稱點(diǎn)連結(jié)/3',
根據(jù)對(duì)稱得至lj:QB=QB',PA=PA',PA+PQ+QB^PA'+PQ+QB),
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,B4+PQ+QB的最小值即為:線段/'夕的長度。
模型(2):如圖(2),作點(diǎn)A分別關(guān)于定直線”、〃的對(duì)稱點(diǎn)連結(jié)/'民
根據(jù)對(duì)稱得至lj:QA=QA),PA=PA",故故E4+PQ+QA=B4"+PQ+QA,,
再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”,得到出+PQ+QA的最小值即為:線段N'A”的長度。
模型運(yùn)用
例1.(2023?四川廣元?一模)如圖,已知正方形ABCD邊長為3,點(diǎn)E在AB邊上且座=1,點(diǎn)尸,。分別
是邊8C,8的動(dòng)點(diǎn)(均不與頂點(diǎn)重合),當(dāng)四邊形4EPQ的周長取最小值時(shí),四邊形AEPQ的面積是()
【答案】B
【分析】作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)A關(guān)于。C的對(duì)稱點(diǎn)A,連接四邊形AEP。的周長最小,根
據(jù)S四邊形4EFQ=S正方形ABCD-^/\ADQ~54PCQ~^^BEP,即可解.
【詳解】解:如圖1所示,作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)V,點(diǎn)A關(guān)于。C的對(duì)稱點(diǎn)A,連接HE',四邊形AEPQ
的周長最小,
AD=AD=3,BE=BE=1,:.AA,=6,AE'=4.
VDQ//AE',。是AA的中點(diǎn),二。。是△AA?的中位線,
/.DQ=^AE'=2,CQ=DC-CQ=3-2=1,VBP//AA,Z\BE'P^^AE'A,
.BP_如,即以,333
BP=~,CP=BC-BP=3——=-,
"AA'AE'64222
S四邊形AH3。=S正方形ABCO--S^PCQ~S^BEP=9_5AD-DQ——CQ-CP--BE-BP
113139
=9——x3x2——xlx------xlx-=-,故選:B.
222222
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì),三角形相似的判定和性質(zhì),中位線的性質(zhì),三角
形面積的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是作出輔助線,找出四邊形AEPQ的周長最小時(shí),P、。的位置.
例2.(2022?山東泰安?中考真題)如圖,ZAO8=30。,點(diǎn)M、N分別在邊。4、QB上,且0M=3,ON=5,
點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上,則MP+PQ+QN的最小值是(
C.>/34-2D.735-2
【答案】A
【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)AT,作N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,即為MP+PQ+QN的最小值;
證出△OMV為等邊三角形,AOMM為等邊三角形,得出NMOM,=90。,由勾股定理求出MW即可.
【詳解】解:作M關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)作N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)V,如圖所示:
連接MN,即為MP+PQ+QN的最小值.
根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知:ON'=ON=5,OM'^OM^3,/N'OQ=NM,OB=3Q。,
:.ZNON'=60°,ZMOM,=60°,△OMV為等邊三角形,AOW為等邊三角形,
22
/.ZN'OM'=90°,...在RtAM'OV中,M'N'=^+5=734-故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題,根據(jù)軸對(duì)稱的定義,找到相等的線段,得到等邊三角形是解題
的關(guān)鍵.
例3.(23-24九年級(jí)上?陜西漢中?期中)(1)如圖①,在Rt^ABC中,ZB=90°,AB=3,BC=4.若點(diǎn)尸
是邊AC上一點(diǎn).則3P的最小值為.(2)如圖②,在RtAABC中,2B90?,AB=3C=2,點(diǎn)E是
BC的中點(diǎn).若點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn),求PB+PE的最小值.(3)公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路,如
圖③.若AD=2000米,CD=1000米,ZA=60°,ZB=90°,ZC=150°.為滿足市民健身需求,現(xiàn)要修一
條由CE,EF,FC連接而成的步行景觀道,其中點(diǎn)E,尸分別在邊A2,AO上.為了節(jié)省成本,要使所修
的這條步行景觀道最短,即CE+EF+/C的值最小,求此時(shí)BE,的長.(路面寬度忽略不計(jì))
圖①圖②圖③
19
【答案】(1)y;(2)P3+PE的最小值為出;(3)3E的長為500米,。廠的長為1000米
【分析】(1)過8作瓦于P,由垂線段最短可知,BPLAC時(shí),3P的值最小,由面積法即可求解;
(2)作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)后,連接CE',EE',PE',BE1交AC于P,由E,£關(guān)于直線AC對(duì)稱,
可知PB+PE=PB+PE'2BE',當(dāng)B,P,F共線時(shí),此時(shí)尸3+PE最小,最小值為BE'的長度,根據(jù)
ZB=90°,AB=BC=2,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),可得CE=CE'=1,ZBCE'=90°,再用勾股定理可得答案;
(3)作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)連接DM,CM,交A3于X,作C關(guān)于A3的對(duì)稱點(diǎn)N,連接2N,
延長DC,AB交于G,連接NG,連接MN交AB于E,交AT>于凡由C,N關(guān)于A3對(duì)稱,C,M關(guān)于AD
對(duì)稱,CE=NE,CF=MF,當(dāng)N,E,F,M共線,CE+EF+CF最小,根據(jù)NA=60。,ZABC=90°,
ZBCD=150°,可得NADC=60。,ZMCD=ZCMD=30°,即得D"=500米,CH=MH=500出米,
CM=10006米,由NADC=60。,ZA=60°,知△ADG是等邊三角形,從而CG=DG-CD=1000米,同
理可得CG=NG=1000米,ZBNG=ZBCG=30°,即得BG=gcG=500米,BC=BN=6BG=5006米,
BN
故CN=1000百米=CM,知2CNM=NCMN=30P,在RtABNE中,8石=耳=500米,在RsMWV中,
FH=MH
=500米,即得。尸=FH+D〃=1000米.
【詳解】解:(1)過8作成,AC于尸,如圖:
由垂線段最短可知,BP_LAC時(shí),*.*ZABC=90°?AB=3,AC=y/AB2+BC2=5,
?:S^c=^ABBC=^ACBP,;.BP=^=^;故答案為:y;
(2)作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)EL連接CE',EE',PE',BE'交AC于P,如圖:
V£,£關(guān)于直線AC對(duì)稱,:.PE=PE,:.PB+PE=PB+PE'>BE',
當(dāng)8,P,E'共線時(shí),PB+PE最小,最小值為BE'的長度,
VZS=90°,AB=BC=2,:.ZACB=45°,:點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),:.CE=1,
,:E,£關(guān)于直線AC對(duì)稱,AZACE'=ZACB=45°,CE=CE'=1,:.ZBCE'=90°,
在RtABCE'中,=&,,RB+PE的最小值為近;
(3)作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)連接DM,CM,CM交AD于H,作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N,連接3N,延
長DC,A3交于G,連接NG,連接MN交A3于E,交AD于E,如圖:
,:由C,N關(guān)于A3對(duì)稱,C,Af關(guān)于AD對(duì)稱,
/.CE=NE,CF=MF,:.CE+EF+CF=NE+EF+MF>MN,
當(dāng)N,E,F,M共線時(shí),此時(shí)CE+EF+CF最小;
ZA=60°,NB=90°,ZC=150°,ZADC=60°,
VC,M關(guān)于AD對(duì)稱,/.ZMDH=ZCDH=60°,NCHD=ZMHD=90。,
:.ZMCD=ZCMD^30°,:.DH=1cD=500*,由勾股定理得O”=SOOS'米,CM=2C〃=1000/米,
VZADC=60°,ZA=60°,二ZVIDG是等邊三角形,;.06=40=2000米,CG=DG—CD=1000米,
:/BCD=150。,:.ZBCG=30°,VC,N關(guān)于AB對(duì)稱,:.C,B,N共線,ZBNG=ZBCG=30。,
:.BG=(CG=5OO米,由勾股定理得BC=6BG=500A米,,CN=1000百米=CM,ZCNM=Z.CMN,
VZBCD=150°,ZMCD=3Q°,:.ZNCM=UQ°,:.ZCNM=ZCMN=30°,
在RMBNE中,跖=軍=5°呼=500(米),在RtA"?"中,"=翠=雪亙=500(米),
V3V3V3V3
OB=EF/+=500+500=1000(米),答:BE的長為500米,。尸的長為1000米.
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了直角三角形性質(zhì),勾股定理,解直角三角形,等邊三角形的判定和
性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì)等,解題的關(guān)鍵是作對(duì)稱,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問題.
習(xí)題練模型]
1.(2024?河南周口?一模)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)N分別為AB,3c上的動(dòng)點(diǎn),S.AM=BN,DM,
AN交于點(diǎn)、E,點(diǎn)、F為AB的中點(diǎn),點(diǎn)P為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PE,PF.若AB=4,則PE+尸尸的
最小值為()
9
A.710-1B.2屈-2C.5D.-
【答案】B
【分析】先根據(jù)SAS得△ZMA/gAABN,進(jìn)而可得ZAED=90,由此可得E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在是以AD為直徑
的圓上.延長AB至F使BF=BF,得少與B關(guān)于直線3C對(duì)稱.連接。尸交于尸點(diǎn),交圓。于E點(diǎn),
則PE+PF=PE+PP=O尸'—OE,止匕時(shí)尸E+尸尸的值最小,根據(jù)勾股定理求出。尸的長,即可得尸E+PF的
最小值.
【詳解】;ABCD是正方形,.\/14=£>8,ZDAM=ZABN=90°,
5L-:AM=BN,.-.△OAM^AABMSAS),ZADM=ZBAN,
又?:NDAE+/BAN=90°,ZDAE+ZADM=90°,..ZAED=90°,
:.E點(diǎn)在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).設(shè)AD的中點(diǎn)為O,則R=2,
延長AB至P使3尸=3尸,則F與尸關(guān)于直線BC對(duì)稱,
連接OF交8C于P點(diǎn),交圓。于E點(diǎn),則尸尸=尸尸,PE+PF=PE+PF'=OF'-OE,
此時(shí)尸、E、/三點(diǎn)共線,因此PE+PF的值最小.在RtKMF'中,CM=2,AF=4+2=6,
OF'=y/22+62=2710'OF'-OE=2y/10-2,尸石+尸尸的最小值為2屈-2,故選:B.
【點(diǎn)睛】本題是一道動(dòng)點(diǎn)問題和最值問題的綜合性題目,考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、
直徑所對(duì)圓周角等于90度、軸對(duì)稱的性質(zhì).找出E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.
2.(2024?山東泰安?二模)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=5,點(diǎn)E是AQ邊的點(diǎn),ED=3,點(diǎn)F是
線段CO上一點(diǎn),連接所,以昉為直角邊作等腰直角AEFG,FG為斜邊,連接AG,則AG+EG的最小
值為()
A.6B.2A/10C.—D.3A/5
【答案】B
【分析】過點(diǎn)G作G",AD于氏則可證明VEDFASHE,得GH=OE=3;取A3中點(diǎn)0,則A。=^-AB=3,
2
則點(diǎn)G在直線0G上運(yùn)動(dòng),連接BG,則3G=AG,AG+EG=BG+EG,當(dāng)E、G、3三點(diǎn)共線時(shí)3G+EG
最小,從而AG+EG最小,由勾股定理即可求得最小值.
【詳解】解:如圖,過點(diǎn)G作GHLAD于H,則NGHE=90°NGEH+/EGH=90°;
四邊形A3CD是矩形,.?.NO=NDW=90°,?.?NFEG=90°,跖+/GEW=90。,.?.NDEF'=NEGH;
?:EF=EG,.NEDF^VGHE(AAS),:.GH=DE=3;
取AB中點(diǎn)。,連接GO,則AO=』A2=3,.?.G"=AO=3,.?.四邊形AHGO是平行四邊形,
2
???卬3=90。,.,.四邊形A//GO是矩形,,GO_LAB,則點(diǎn)G在直線0G上運(yùn)動(dòng);
連接BG,則GO垂直平分A3,:.BG^AG,AG+EG=BG+EG,
當(dāng)E、G、3三點(diǎn)共線時(shí)BG+EG最小,從而AG+EG最小,
QAE=AD—DE=2,則由勾股定理==675^=2瓦,即AG+EG的最小值為2M.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理,
確定點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑是解題的關(guān)鍵.
3.(2022.內(nèi)蒙古赤峰.統(tǒng)考中考真題)如圖,菱形A3CD,點(diǎn)A、B、C、。均在坐標(biāo)軸上,ZABC=120°,
點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)E是CO的中點(diǎn),點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn),則PD+PE的最小值是()
A.3B.5C.2五D.173
【答案】A
【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)尸到£、。兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型,由。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)
B,連接BE,則線段BE的長即是PD+PE的最小值.
【詳解】如圖:連接2E,:菱形ABC。,二夙。關(guān)于直線AC對(duì)稱,
?..直線AC上的動(dòng)點(diǎn)尸到E、。兩定點(diǎn)距離之和最小
根據(jù)“將軍飲馬”模型可知2E長度即是PD+PE的最小值.,
?.,菱形ABC。,ZABC=120°,點(diǎn)4(一3,0),;.NCD8=60°,ZDAO=30°,OA=3,
OD=拒,AD=DC=CB=:.△CDB是等邊三角形;.BD=2若
:點(diǎn)E是以?的中點(diǎn),DE=gcD=^,且8ELCDBE7BD2-DE。=3故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長.
4.(2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題)如圖,四邊形ABCO是矩形,AB=&6,AD=4后,點(diǎn)尸是邊AD上
一點(diǎn)(不與點(diǎn)4。重合),連接PB,PC.點(diǎn)、M,N分別是PB,PC的中點(diǎn),連接MN,AM,DN,點(diǎn)E
在邊AD上,ME//DN,則AAf+ME的最小值是()
A.273B.3C.3&D.40
【答案】C
【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得AMDN:CP,通過證明四邊形肱VDE是平行四
22
邊形,可得=則AM+ME=AM+r)N=;(3P+CP),作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)貝U
BP+CP=BP+PM,點(diǎn)、B,P,M三點(diǎn)共線時(shí),BP+PM的值最小,最小值為8M.
【詳解】解:,??四邊形ABCD是矩形,:/54P=NCDP=90。,AD//BC,
?點(diǎn)M,N分別是PBPC的中點(diǎn),AAM=-BP,DN=、CP,MN=-BC,MN//BC,
222
???AD//BC,MN//BC,:.MN//BC,又:ME〃DN,.,.四邊形MVDE是平行四邊形,
:.ME=DN,AM+ME=AM+DN=^(BP+CP),
如圖,作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)連接尸Af,BM,貝IJ3尸+0?=3尸+P/W,
當(dāng)點(diǎn)、B,P,M三點(diǎn)共線時(shí),5P+PH的值最小,最小值為
在RL^BCM中,MC=2CD=2AB=2M,BC=AD=40,
BM=VBC2+MC2=J(4@2+(2>/10)2=6A/2,
AM+ME1的最小值=』2M=3亞故選C.
2
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì),直線三角形斜邊中線的性質(zhì),中位線的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),
軸對(duì)稱的性質(zhì),勾股定理,線段的最值問題等,解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn),熟練運(yùn)用等量代換思
想.
5.(2023?安徽?統(tǒng)考中考真題)如圖,E是線段上一點(diǎn),VADE和ABCE■是位于直線同側(cè)的兩個(gè)等邊
三角形,點(diǎn)P/分別是CRAB的中點(diǎn).若AB=4,則下列結(jié)論埼誤的是()
A.24+PB的最小值為3#B.PE+PR的最小值為2方
C.ACDE周長的最小值為6D.四邊形ABCD面積的最小值為3后
【答案】A
【分析】延長AD,2C,貝豚回。是等邊三角形,觀察選項(xiàng)都是求最小時(shí),進(jìn)而得出當(dāng)E點(diǎn)與b重合時(shí),則
Q,P,P三點(diǎn)共線,各項(xiàng)都取得最小值,得出B,C,D選項(xiàng)正確,即可求解.
【詳解】解:如圖所示,延長A2BC,依題意/。4。=/。氐4=60。.。4?。是等邊三角形,
?.?尸是8的中點(diǎn),/.PD=PC,':ZDEA=ZCBA,:.ED//CQ
:.APQC=APED,NPCQ=ZPDE,:.APDE咨&PCQ:.PQ=PE,
二四邊形OEC。是平行四邊形,則尸為E。的中點(diǎn),如圖所示,
設(shè)AQ,BQ的中點(diǎn)分別為G,H,則GP=工AE,PH=工EB
22
...當(dāng)E點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),尸在G”上運(yùn)動(dòng),當(dāng)E點(diǎn)與尸重合時(shí),即AE=£B,
則。,尸,尸三點(diǎn)共線,PP取得最小值,止匕時(shí)AE=EB=g(AE+E8)=2,
則△ADE四△ECB,C,少到AB的距離相等,則CD〃AB,
此時(shí)pp=@AD=后此時(shí)VM>E和ABCE的邊長都為2,則最小,
2
APF=y-x2=73,APA=PB=^2l+(^=用:?PA+PB=2幣,
或者如圖所示,作點(diǎn)3關(guān)于G”對(duì)稱點(diǎn)E,則=則當(dāng)AP,8'三點(diǎn)共線時(shí),AP+PB=AB'
根據(jù)題意可得尸,。,尸三點(diǎn)共線時(shí),尸尸最小,此時(shí)尸石=尸尸=百,則PE+Pb=2g,故B選項(xiàng)正確;
^CDE^^CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4,即當(dāng)8最小時(shí),ACDE周長最小,
如圖所示,作平行四邊形連接CM,
ZGHQ=60°,NGHM=ZGDM=60°,則ZCHM=120°
如圖,延長DE,龍,交于點(diǎn)N,則NNGO=/QGH=60。,ZNDG=ZADE=60。
:.△NGD是等邊三角形,/.ND=GD=HM,
'NNPD=ZHPC
在ANPD與AHPC中,<NN=ZCHP=60°:.^NPgJlPC
PD=PC
:.ND=CH:.CH=MH:.NHCM=ZHMC=30°
CM//QF,則CM,DM,.??△DMC是直角三角形,
在ADaw中,DC>DM.?.當(dāng)DC=DM時(shí),0c最短,DC=GH=-AB^2
2
,:CD=PC+2PC:.ACDE周長的最小值為2+2+2=6,故C選項(xiàng)正確;
,?*^NPD=^HPC四邊形ABCD面積等于^^ADE+S4EBC+SQEC=^DE+S平行四迦花8”
...當(dāng)△BGD的面積為0時(shí),取得最小值,此時(shí),3G重合,C,"重合
四邊形ABCD面積的最小值為3x,x22=3g,故D選項(xiàng)正確,故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握等邊三角形的性質(zhì),得出當(dāng)E
點(diǎn)與F重合時(shí)得出最小值是解題的關(guān)鍵.
6.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題)如圖,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E在邊BC上,且5E=1,尸為對(duì)角
線上一動(dòng)點(diǎn),連接C尸,EF,則b+跖的最小值為.
【答案】V17
【分析】連接AE交3D于一點(diǎn)尸,連接CF,根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)CF+跖=AE最小,利用勾股
定理求出AE即可.
【詳解】解:如圖,連接AE交8D于一點(diǎn)R連接CP,
??,四邊形A3CD是正方形,.?.點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于3D對(duì)稱,=
CF+EF=AF+EF=AE,此時(shí)CT+EP最小,
???正方形ABC。的邊長為4,AD=4,ZABC=90。,?.?點(diǎn)E在AB上,且8E=1,
?—松+左=肝方=屈,即CF+EF的最小值為J萬故答案為:717.
【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì),熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
7.(2024?陜西寶雞?二模)如圖,點(diǎn)。是矩形ABCD的對(duì)稱中心,點(diǎn)尸,。分別在邊AO,BC上,且尸。經(jīng)
過點(diǎn)。,AB=6,AP=3,3C=8,點(diǎn)E是邊A3上一動(dòng)點(diǎn).貝心口。周長的最小值為.
【答案】10+2^/2710+10
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,線段和的最小值計(jì)算;作尸關(guān)于A3的對(duì)稱點(diǎn)P,連接PQ,
交AB于E,連接尸E,則PE+QE的最小值為尸。,證明出△砂。周長的最小值為PQ+PQ,作P'P_LBC
于尸,PHLBC于H,利用勾股定理求出P'Q和尸。即可.
【詳解】解:如圖,作尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,連接PQ,交AB于E,連接PE,
=+的最小值為尸。,周長的最小值為尸'。+尸。,
作PFLBC于F,PH_LBC于H,-.-AP=3,:.PA=3=FB,
,?,點(diǎn)。是矩形ABCD的對(duì)稱中心,PQ經(jīng)過點(diǎn)0,AP=CQ=3
VBC=8,-BQ=5,:.FQ=8,-.?P'F=AB=6,P'Q^IO,
-.-PH=AB=6,HQ=5-3=2,;.PQ=2M,.1AEP。周長的最小值為10+2&U.
8.(2024?陜西渭南?二模)如圖,在四邊形ACBD中,ZBAC=ZBAD=60°,ZACB=ZADB=90°,BC=6,
連接CO、A2交于點(diǎn)。,點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn),連接CE,點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn),連接OP、DP,則。P+D尸的
最小值為.
【答案】6
【分析】本題考查全等三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定、軸對(duì)稱最短路徑問題,找到對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化線段是
解題關(guān)鍵.
過點(diǎn)尸作AB的平行線分別交AC、BC于點(diǎn)M、N,由點(diǎn)E為A3上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P為線段CE的中點(diǎn)可得到
點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng),MN為AABC的中位線,求證人鉆。四△4BD,用等腰三角形“三線合一”證明
AB±CD,所以MN_LCO,即點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于MN對(duì)稱,所以O(shè)P+OP=£>P+CP2CD,同時(shí)證明△3CD
是等邊三角形,CD=BC=6,即OP+DP的最小值為6.
【詳解】解:過點(diǎn)尸作A£V〃AB分別交AC、BC于點(diǎn)〃、N,
:點(diǎn)E為A2上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P為線段CE的中點(diǎn).?.點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng),且為URC的中位線,
ZACB=ZADB
,/在AABC和AABD中,NBAC=NBAD=60°,;.^ABC^ABD(AAS),
AB=AB
:.BC=BD,ZABC=ZABD=90°-60°=30°,ABLCD,NCBD=60°,
:.MNLCD,△BCD是等邊三角形,.?.點(diǎn)C與點(diǎn)0關(guān)于肋V對(duì)稱,Z.DP+OP=DP+CP>CD,
XVCD=BC=6:.OP+DP的最小值為6.
9.(2024.陜西商洛.三模)如圖,點(diǎn)。為正方形ABCD的對(duì)稱中心,點(diǎn)E為AD邊上的動(dòng)點(diǎn),連接OE,作
OFLOE交CD于點(diǎn)、F,連接呼,P為歷的中點(diǎn),G為邊CD上一點(diǎn),且CD=4CG=8,連接上4,PG,
則PA+PG的最小值為.
【答案】2月
【分析】如圖,連接。4,OD,由題意知,ZOAE=ZODF=45°,ZAOD=90°,OA=OD,由
ZAOE=ZAOD—NDOE,/DOF=/EOF-/DOE得,/AOE=/DOF,證明AAOE絲AOO尸(ASA),則
OE=OF,AEOP是等腰直角三角形,由尸是石尸中點(diǎn),則OPLEF,NO尸尸=90。,NPFO=45。=NPOF,
如圖,過。作OM_LAD于M,過。作QV_LCD于N,由NOPF+NON尸=180。,可知。P,F,N四點(diǎn)
共圓,由尸尸=2尸,可得ZPNF=ZPOF=45。,進(jìn)而可得尸在線段MV上運(yùn)動(dòng),如圖,延長跖V,作點(diǎn)A關(guān)
于MN對(duì)稱的點(diǎn)4,過A作A'HLCD于連接A'G交"N于P,連接AP’,由題意知=4"=g=4,
AP=AP,且A'P'+P'G=AA+P'G,可知當(dāng)4,P,G三點(diǎn)共線時(shí),AP'+P'G值最小,在RMA,GH中,
由勾股定理得,AG^SJAH2+HG2-計(jì)算求解A'G的值即可.
【詳解】解:如圖,連接。4,
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