2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：最值模型之將軍飲馬模型解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專題31最值模型之將軍飲馬模型

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系

列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。

將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對(duì)稱衍生而來，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋

或過橋），主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊

形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型］

............................................................................1

模型L將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）....................................................1

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）...................................................6

模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值）......................................................9

習(xí)題練模型

...........................................................................15

例題講模型1

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）

模型解讀

條件：A,5為定點(diǎn)，機(jī)為定直線，P為直線機(jī)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+5P的最小值。

模型（D點(diǎn)4、3在直線機(jī)兩側(cè)：模型（2）點(diǎn)A、5在直線同側(cè)：

A

A*

?-------------------------?m

B

B■m

模型證明

模型(1)點(diǎn)A、3在直線機(jī)兩側(cè):模型(2)點(diǎn)A、3在直線同側(cè):

圖⑴圖(2)

模型(1)：如圖(1),連結(jié)A8,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+8P的最小值即為：線段A8的長度。

模型(2)：如圖(2),作點(diǎn)A關(guān)于定直線他的對(duì)稱點(diǎn)連結(jié)/'反根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小

值即為：線段/‘2的長度。

模型運(yùn)用

例1.(2024?陜西西安?一模)如圖，在四邊形ABCD中，=BC=4,AD=8,AG=2,ZABC=90°,

E是邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，歹為AE的中點(diǎn)，則AF+G尸的最小值為.

【答案】275

【分析】本題考查軸對(duì)稱中最短路線問題，正方形的判定，勾股定理，靈活運(yùn)用將軍飲馬模型是解題的關(guān)

鍵.取AD的中點(diǎn)》連接CH,CG,CF,證明出產(chǎn)點(diǎn)就是與AE的交點(diǎn)，四邊形3CHD是平行

四邊形，四邊形ABC"是正方形，利用將軍飲馬模型得到CG是AF+G尸的最小值，再在RtaCG”中，利

用勾股定理求出CG即可.

【詳解】取AO的中點(diǎn)”連接3",

VBC=4,AD=8,:.AH=HD=BC=4,

???AD//BC,.?.四邊形3。?！ㄊ瞧叫兴倪呅?，，9〃8,且點(diǎn)H為AD的中點(diǎn),

APAf4I

???受===：,與AE的交點(diǎn)就是AE的中點(diǎn)E連接CH,

AEAD2

VAD//BC,M=8C,.,.四邊形A5C”是平行四邊形，

AB=BC=4,/4及7=90。，四邊形4867/是正方形，，4,C關(guān)于BH對(duì)稱，

連接CF,CG,則AB=CF,AAF+GF=CF+GF>CG,即Ab+G尸的最小值為CG的長，

在Rt"G〃中，CH=AB=4,GH=AH-AG=3-2=2,

由勾股定理，得CGNCH，+GH?=44s+2==26，故答案為：2卮

例2.（2024.四川廣安?中考真題）如圖，在YABCD中，AB=4,AD=5,NABC=30。，點(diǎn)”為直線BC上

一動(dòng)點(diǎn)，則M4+MO的最小值為.

【答案】V41

【分析】如圖，作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AO交BC于”，則=AH_L3C,AM'=AM',

當(dāng)M,AT重合時(shí)，M4+MO最小，最小值為AO,再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作A關(guān)于直線3c的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AO交8c于M',則AH=A",AHLBC,

=.?.當(dāng)重合時(shí)，M4+MD最小，最小值為AO,

A'

,：AB=4,ZABC=30。，在YABCD中，?.AH=^AB=2,AD//BC,：.AA^2AH=4,AAVAD,

VAD=5,：.AD={4。+52，故答案為：V41

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌

握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2024?廣東?二模）如圖，菱形ABCD的一條對(duì)角線AC=46，/ZMB=60。，P是對(duì)角線AC上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,尸分別為邊D4,DC的中點(diǎn)，則尸E+尸尸的最小值是（）

DFC

Ei

AB

A.2B.2A/3C.4D.473

【答案】C

【分析】作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G,連接PG,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知PE+PF=Pb+PG,證明四

邊形AGED為平行四邊形，PE+Pb=PG=A￡＞為最小值，再求出菱形ABCD的邊AD,即為PE+PR的最

小值.

?.?菱形A6CD,AB//CD,AB=CD=AD,KA=KC=2出,AC1BD,

'：ZDAB=60°/.ZZMC=30°,：.AD=2DK,

AD2-DK2=12?DK=2,AD=4,

作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G,連接PG,APE+PF=PF+PG,

:點(diǎn)E為邊/⑦上的中點(diǎn)，則點(diǎn)G也為邊A3的中點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)尸、G、尸在一條直線上時(shí)，PE+尸產(chǎn)有最小值，

連接尸G交AC于P,.?.當(dāng)尸,尸'重合時(shí)，PE+PF=FG為最小值,

?.?尸,8為。＜7,筋的中點(diǎn)，；.￡＞尸=46,...四邊形46即為平行四邊形，

FG=AD^4,...PE+尸尸的最小值是4,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱中的最短距離問題、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，

學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決最短距離問題是解答本題的關(guān)鍵.

例4.（2024.河南洛陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在扇形BOC中，ZBOC=60°,OD平分/30C交8c于點(diǎn)。，點(diǎn)E

為半徑03上一動(dòng)點(diǎn).若陰影部分周長的最小值為2&+3,則扇形的半徑08的長為.

c

【分析】本題主要考查扇形周長的計(jì)算，軸對(duì)稱最短路徑的計(jì)算方法，掌握扇形弧長的計(jì)算方法，軸對(duì)稱

求最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可求出NCOD=/3OD=30。，作點(diǎn)。關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)可

得CD最小，則扇形周長最小，由此即可求解.

【詳解】解：：平分NBOC,NBOC=60°,：.Z.COD=Z.DOB=30°,

設(shè)扇形的半徑OC=N=r,，力)的長為：黑、2萬廠=詈，陰影部分的周長最小為2垃+(,

如圖所示，作點(diǎn)。關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接CD與05交于點(diǎn)E,此時(shí)，CE+E?=CE+ED'=CD'的值

最小，即陰影部分的周長最小，

???NCOD=ZCOB+ZBODr=90°,CD'=瓜,

即2+夜r=20+g,解得，r=2,故答案為：2.

o3

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）

模型解讀

條件：A,B為定點(diǎn),膽為定直線，尸為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HP-BPI的最大值。

模型（1）：點(diǎn)4、3在直線機(jī)同側(cè):模型（2）：點(diǎn)A、3在直線m異側(cè):

A

圖⑴圖（2）

模型（1）：如圖（1）,延長A2交直線根于點(diǎn)P,當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：\P-A-P'B\

<AB,當(dāng)A、B、P共線時(shí)，^\PA-PB\=AB,ik\PA-PB\<AB,即|AP-BP|的最大值即為：線段AB的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點(diǎn)8作關(guān)于直線相的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接交直線加于點(diǎn)尸，此時(shí)尸2=尸歹。

當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：IP,A-P,B\=IP,A-P,B,[<AB,,

當(dāng)A、B、P共線時(shí),^\PA-PB\=\PA-PB,\=AB,,^\PA-PB^AB）,即|AP-8尸|的最大值即為：線段/夕的長度。

模型運(yùn)用

例1.（2024?河南南陽?一模）如圖，已知AABC為等腰直角三角形，AC=BC=6,ZBCD=15°,P為直線

CO上的動(dòng)點(diǎn)，貝U|B4一尸2|的最大值為.

【答案】6

【分析】作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)4,連接A'B交CD于P,則點(diǎn)尸就是使|以孑8|的值最大的點(diǎn)，|以-P8|=4B,

連接4C,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NCAB=NABC=45。，NACB=90。，根據(jù)角的和差關(guān)系得到/

ACD=75°,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到4C=AC=BC,ZCA'A=ZCAA'=15°,推出△48C是等邊三角形，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】如圖，作A關(guān)于C￡＞的對(duì)稱點(diǎn)4,連接并延長交CD延長線于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸就是使|PA-尸身的

值最大的點(diǎn)，=連接A'C,

：AASC為等腰直角三角形，AC=BC=6,：.ZCAB=ZABC^45°,ZACB=90°,

:ZBCD=15°,：,ZACD=15°,:點(diǎn)A與A關(guān)于CO對(duì)稱，

CD±AA',AC=AC,ZCA,A=ZCAA,：.ZCAA'^15°,

?：AC=BC,：.A'C=BC,ZCArA=ZCAA'=15°,：.ZACA'=150°,

,：ZACB=90°,：.ZA/CB=60°,△ABC是等邊三角形，：.AB=BC=6.故答案為：6

【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱-最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的

作出圖形是解題的關(guān)鍵.

例2.（2024?陜西渭南二模）如圖，在菱形ABC。中，E為邊中點(diǎn)，而點(diǎn)尸在。C邊上，P為對(duì)角線AC

所在直線上一動(dòng)點(diǎn)，己知AB=8,DF=2,且NABC=60。，則|尸尸-正目的最大值為.

【答案】26

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱中最值問題，勾股定理.取AO的中點(diǎn)G,連接PG,易得PG=PE,

故|PP-PE|=|尸尸一PG|V廠G,即當(dāng)凡G,P共線時(shí)，|尸尸—尸耳=而最大，作/WAD于先后求出

HD,HF,GH,最后用勾股定理求FG即可.

【詳解】解：如圖，取AD的中點(diǎn)G,連接PG,??,四邊形ABCD是菱形.?.nG=HE,NG4P=N&LP

AG=AE

在AAPG和YAPE中J/GAP=ZEAPyAPG'APE?^：,PG=PE

AP=AP

連接尸G\PF-PE\=\PF-PG\<FG當(dāng)戶,G,尸共線時(shí)，|P戶一陽=/G最大，圖中P，處

1.______

作尸”_LAD于H?：ND=NB=3：.ZDFH=3。。:.HD=aDF=l：.陽==也

1

???GO=540=4皿=4—1=3...先=^GH-+FH-=243-即歸/一「目的最大值為.

例3.（23-24八年級(jí)下.山東聊城.期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=8,AC與交于點(diǎn)。，N是A0

的中點(diǎn)，點(diǎn)M在3c邊上，且3M=6.P為對(duì)角線3。上一點(diǎn)，則PM-PN的最大值為.

【答案】2

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，最值問題

等,熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.以8D為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N',連接PN',根據(jù)對(duì)稱

性質(zhì)可知，PN=PN',由此可得R0-PN'4MV,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”，此時(shí)即尸河-PN的值

最大，由正方形的性質(zhì)求出AC的長，繼而可得ON'=ON=20，AN'=6應(yīng)，再證明需=霽=g，可

得NM〃AB,ZCMN'=900,判斷出△N'CM為等腰直角三角形，求得N'M長即可得答案.

【詳解】解：如圖，以8。為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N',連接PN',

AD

z

M

根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，PN^PN',：.PM-PN'<MN',當(dāng)尸,三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”，

?.?在正方形ABC。中，AB=BC=CD=AD=8,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAC=90°,

AC=6AB=8亞,:。為AC中點(diǎn)，AO=OC=4應(yīng)，

為04中點(diǎn)，：.0N=2也,，ON，=ON=20,:.AN=60,

CMCN'1

BM=6>/.CM=AB—BM=8—6=2,-----=------=—,

BMAN'3

Z.N'M//AB,/.ZCMN'=ZCBA=90°,ZMCN'=45°,

.?.△從。0為等腰直角三角形，；.。0=y必=2,故答案為：2.

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）

模型解讀

模型（1）：兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)

條件：A,B為定點(diǎn),在直線機(jī)、”上分別找兩點(diǎn)尸、Q,使RL+P0+Q5最小。

兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)（圖1-2）；兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）

模型（2）：一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)

條件：如圖2,A為定點(diǎn)，在直線機(jī)、〃上分別找兩點(diǎn)P、Q,使三角形APQ的周長（AP+PQ+Q4）最小。

模型證明

圖1-1圖1-1圖1-1圖2

模型（1-1）（兩點(diǎn)都在直線外側(cè)型）

如圖（1-1）,連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，9+PQ+08的最小值即為：線段A8的長度。

模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型）

如圖（1-2）,作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B，，連結(jié)AB，，根據(jù)對(duì)稱得到:QB=QB',故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB）,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，出+尸。+。8的最小值即為：線段N夕的長度。

模型（1-3）（兩點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型）

如圖（1-3）,作點(diǎn)B關(guān)于定直線〃的對(duì)稱點(diǎn)2作點(diǎn)A關(guān)于定直線相的對(duì)稱點(diǎn)連結(jié)/3',

根據(jù)對(duì)稱得至lj：QB=QB',PA=PA',PA+PQ+QB^PA'+PQ+QB）,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，B4+PQ+QB的最小值即為：線段/'夕的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點(diǎn)A分別關(guān)于定直線”、〃的對(duì)稱點(diǎn)連結(jié)/'民

根據(jù)對(duì)稱得至lj：QA=QA）,PA=PA",故故E4+PQ+QA=B4"+PQ+QA，，

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，得到出+PQ+QA的最小值即為：線段N'A”的長度。

模型運(yùn)用

例1.（2023?四川廣元?一模）如圖，已知正方形ABCD邊長為3,點(diǎn)E在AB邊上且座=1,點(diǎn)尸，。分別

是邊8C,8的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形4EPQ的周長取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是（）

【答案】B

【分析】作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)A關(guān)于。C的對(duì)稱點(diǎn)A,連接四邊形AEP。的周長最小，根

據(jù)S四邊形4EFQ=S正方形ABCD-^/\ADQ~54PCQ~^^BEP，即可解.

【詳解】解：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)V，點(diǎn)A關(guān)于。C的對(duì)稱點(diǎn)A,連接HE',四邊形AEPQ

的周長最小,

AD=AD=3,BE=BE=1,：.AA,=6,AE'=4.

VDQ//AE',。是AA的中點(diǎn)，二。。是△AA?的中位線,

/.DQ=^AE'=2,CQ=DC-CQ=3-2=1,VBP//AA,Z\BE'P^^AE'A,

.BP_如,即以，333

BP=~,CP=BC-BP=3——=-,

"AA'AE'64222

S四邊形AH3。=S正方形ABCO--S^PCQ~S^BEP=9_5AD-DQ——CQ-CP--BE-BP

113139

=9——x3x2——xlx------xlx-=-,故選：B.

222222

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角

形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出四邊形AEPQ的周長最小時(shí)，P、。的位置.

例2.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，ZAO8=30。，點(diǎn)M、N分別在邊。4、QB上，且0M=3,ON=5,

點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（

C.>/34-2D.735-2

【答案】A

【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)AT,作N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,即為MP+PQ+QN的最小值;

證出△OMV為等邊三角形，AOMM為等邊三角形，得出NMOM，=90。，由勾股定理求出MW即可.

【詳解】解：作M關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)作N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)V,如圖所示：

連接MN,即為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：ON'=ON=5,OM'^OM^3,/N'OQ=NM，OB=3Q。,

：.ZNON'=60°,ZMOM,=60°,△OMV為等邊三角形，AOW為等邊三角形,

22

/.ZN'OM'=90°,...在RtAM'OV中，M'N'=^+5=734-故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題

的關(guān)鍵.

例3.（23-24九年級(jí)上?陜西漢中?期中）（1）如圖①，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4.若點(diǎn)尸

是邊AC上一點(diǎn).則3P的最小值為.（2）如圖②，在RtAABC中，2B90?,AB=3C=2,點(diǎn)E是

BC的中點(diǎn).若點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)，求PB+PE的最小值.（3）公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路，如

圖③.若AD=2000米，CD=1000米，ZA=60°,ZB=90°,ZC=150°.為滿足市民健身需求，現(xiàn)要修一

條由CE,EF,FC連接而成的步行景觀道，其中點(diǎn)E,尸分別在邊A2,AO上.為了節(jié)省成本，要使所修

的這條步行景觀道最短，即CE+EF+/C的值最小，求此時(shí)BE,的長.（路面寬度忽略不計(jì)）

圖①圖②圖③

19

【答案】（1）y;（2）P3+PE的最小值為出；（3）3E的長為500米，。廠的長為1000米

【分析】（1）過8作瓦于P,由垂線段最短可知，BPLAC時(shí)，3P的值最小，由面積法即可求解;

（2）作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)后，連接CE',EE',PE',BE1交AC于P,由E,￡關(guān)于直線AC對(duì)稱，

可知PB+PE=PB+PE'2BE',當(dāng)B,P,F共線時(shí)，此時(shí)尸3+PE最小，最小值為BE'的長度，根據(jù)

ZB=90°,AB=BC=2,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得CE=CE'=1,ZBCE'=90°,再用勾股定理可得答案；

(3)作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)連接DM,CM,交A3于X,作C關(guān)于A3的對(duì)稱點(diǎn)N,連接2N,

延長DC,AB交于G,連接NG,連接MN交AB于E,交AT＞于凡由C,N關(guān)于A3對(duì)稱，C,M關(guān)于AD

對(duì)稱，CE=NE,CF=MF,當(dāng)N,E,F,M共線，CE+EF+CF最小，根據(jù)NA=60。，ZABC=90°,

ZBCD=150°,可得NADC=60。，ZMCD=ZCMD=30°,即得D"=500米，CH=MH=500出米,

CM=10006米，由NADC=60。，ZA=60°,知△ADG是等邊三角形，從而CG=DG-CD=1000米，同

理可得CG=NG=1000米，ZBNG=ZBCG=30°,即得BG=gcG=500米，BC=BN=6BG=5006米,

BN

故CN=1000百米=CM,知2CNM=NCMN=30P,在RtABNE中,8石=耳=500米，在RsMWV中,

FH=MH

=500米,即得。尸=FH+D〃=1000米.

【詳解】解：(1)過8作成，AC于尸，如圖:

由垂線段最短可知，BP_LAC時(shí)，*.*ZABC=90°?AB=3,AC=y/AB2+BC2=5,

?：S^c=^ABBC=^ACBP,;.BP=^=^;故答案為：y；

(2)作E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)EL連接CE',EE',PE',BE'交AC于P,如圖：

V￡,￡關(guān)于直線AC對(duì)稱，:.PE=PE,：.PB+PE=PB+PE'>BE',

當(dāng)8,P,E'共線時(shí)，PB+PE最小,最小值為BE'的長度，

VZS=90°,AB=BC=2,：.ZACB=45°,:點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，:.CE=1,

,:E,￡關(guān)于直線AC對(duì)稱，AZACE'=ZACB=45°,CE=CE'=1,：.ZBCE'=90°,

在RtABCE'中，=&，,RB+PE的最小值為近；

(3)作C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)連接DM,CM,CM交AD于H,作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N,連接3N,延

長DC,A3交于G,連接NG,連接MN交A3于E,交AD于E,如圖：

,:由C,N關(guān)于A3對(duì)稱，C,Af關(guān)于AD對(duì)稱，

/.CE=NE,CF=MF,：.CE+EF+CF=NE+EF+MF>MN,

當(dāng)N,E,F,M共線時(shí)，此時(shí)CE+EF+CF最小；

ZA=60°,NB=90°,ZC=150°,ZADC=60°,

VC,M關(guān)于AD對(duì)稱，/.ZMDH=ZCDH=60°,NCHD=ZMHD=90。,

：.ZMCD=ZCMD^30°,：.DH=1cD=500*,由勾股定理得O”=SOOS'米，CM=2C〃=1000/米,

VZADC=60°,ZA=60°,二ZVIDG是等邊三角形，；.06=40=2000米，CG=DG—CD=1000米，

：/BCD=150。，：.ZBCG=30°,VC,N關(guān)于AB對(duì)稱，：.C,B,N共線,ZBNG=ZBCG=30。,

：.BG=（CG=5OO米，由勾股定理得BC=6BG=500A米，，CN=1000百米=CM,ZCNM=Z.CMN,

VZBCD=150°,ZMCD=3Q°,：.ZNCM=UQ°,：.ZCNM=ZCMN=30°,

在RMBNE中，跖=軍=5°呼=500（米），在RtA"?"中，"=翠=雪亙=500（米），

V3V3V3V3

OB=EF/+=500+500=1000（米），答：BE的長為500米，。尸的長為1000米.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和

性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問題.

習(xí)題練模型］

1.（2024?河南周口?一模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)N分別為AB,3c上的動(dòng)點(diǎn)，S.AM=BN,DM,

AN交于點(diǎn)、E,點(diǎn)、F為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE,PF.若AB=4,則PE+尸尸的

最小值為（）

9

A.710-1B.2屈-2C.5D.-

【答案】B

【分析】先根據(jù)SAS得△ZMA/gAABN,進(jìn)而可得ZAED=90,由此可得E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在是以AD為直徑

的圓上.延長AB至F使BF=BF，得少與B關(guān)于直線3C對(duì)稱.連接。尸交于尸點(diǎn)，交圓。于E點(diǎn)，

則PE+PF=PE+PP=O尸'—OE,止匕時(shí)尸E+尸尸的值最小，根據(jù)勾股定理求出。尸的長，即可得尸E+PF的

最小值.

【詳解】；ABCD是正方形，.\/14=￡>8,ZDAM=ZABN=90°,

5L-：AM=BN,.-.△OAM^AABMSAS）,ZADM=ZBAN,

又?：NDAE+/BAN=90°,ZDAE+ZADM=90°,..ZAED=90°,

：.E點(diǎn)在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng).設(shè)AD的中點(diǎn)為O,則R=2,

延長AB至P使3尸=3尸，則F與尸關(guān)于直線BC對(duì)稱，

連接OF交8C于P點(diǎn)，交圓。于E點(diǎn)，則尸尸=尸尸，PE+PF=PE+PF'=OF'-OE,

此時(shí)尸、E、/三點(diǎn)共線，因此PE+PF的值最小.在RtKMF'中，CM=2,AF=4+2=6,

OF'=y/22+62=2710'OF'-OE=2y/10-2,尸石+尸尸的最小值為2屈-2，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題是一道動(dòng)點(diǎn)問題和最值問題的綜合性題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

直徑所對(duì)圓周角等于90度、軸對(duì)稱的性質(zhì).找出E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?山東泰安?二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=5,點(diǎn)E是AQ邊的點(diǎn)，ED=3,點(diǎn)F是

線段CO上一點(diǎn)，連接所，以昉為直角邊作等腰直角AEFG,FG為斜邊，連接AG,則AG+EG的最小

值為（）

A.6B.2A/10C.—D.3A/5

【答案】B

【分析】過點(diǎn)G作G"，AD于氏則可證明VEDFASHE，得GH=OE=3；取A3中點(diǎn)0,則A。=^-AB=3,

2

則點(diǎn)G在直線0G上運(yùn)動(dòng)，連接BG,則3G=AG,AG+EG=BG+EG,當(dāng)E、G、3三點(diǎn)共線時(shí)3G+EG

最小，從而AG+EG最小，由勾股定理即可求得最小值.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GHLAD于H,則NGHE=90°NGEH+/EGH=90°；

四邊形A3CD是矩形，.?.NO=NDW=90°,?.?NFEG=90°,跖+/GEW=90。，.?.NDEF'=NEGH；

?:EF=EG,.NEDF^VGHE（AAS）,:.GH=DE=3；

取AB中點(diǎn)。，連接GO,則AO=』A2=3,.?.G"=AO=3,.?.四邊形AHGO是平行四邊形，

2

???卬3=90。，.,.四邊形A//GO是矩形，，GO_LAB,則點(diǎn)G在直線0G上運(yùn)動(dòng)；

連接BG,則GO垂直平分A3,:.BG^AG,AG+EG=BG+EG,

當(dāng)E、G、3三點(diǎn)共線時(shí)BG+EG最小，從而AG+EG最小，

QAE=AD—DE=2,則由勾股定理==675^=2瓦，即AG+EG的最小值為2M.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，

確定點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑是解題的關(guān)鍵.

3.（2022.內(nèi)蒙古赤峰.統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形A3CD,點(diǎn)A、B、C、。均在坐標(biāo)軸上，ZABC=120°,

點(diǎn)A（-3,0）,點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（）

A.3B.5C.2五D.173

【答案】A

【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)尸到￡、。兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)

B,連接BE,則線段BE的長即是PD+PE的最小值.

【詳解】如圖：連接2E,：菱形ABC。，二夙。關(guān)于直線AC對(duì)稱，

?..直線AC上的動(dòng)點(diǎn)尸到E、。兩定點(diǎn)距離之和最小

根據(jù)“將軍飲馬”模型可知2E長度即是PD+PE的最小值.，

?.,菱形ABC。，ZABC=120°,點(diǎn)4（一3,0）,；.NCD8=60°,ZDAO=30°,OA=3,

OD=拒,AD=DC=CB=：.△CDB是等邊三角形；.BD=2若

:點(diǎn)E是以?的中點(diǎn)，DE=gcD=^，且8ELCDBE7BD2-DE。=3故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長.

4.（2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCO是矩形，AB=&6,AD=4后，點(diǎn)尸是邊AD上

一點(diǎn)（不與點(diǎn)4。重合），連接PB,PC.點(diǎn)、M,N分別是PB,PC的中點(diǎn)，連接MN,AM,DN,點(diǎn)E

在邊AD上，ME//DN,則AAf+ME的最小值是（）

A.273B.3C.3&D.40

【答案】C

【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得AMDN：CP,通過證明四邊形肱VDE是平行四

22

邊形，可得=則AM+ME=AM+r）N=；（3P+CP）,作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)貝U

BP+CP=BP+PM,點(diǎn)、B,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PM的值最小，最小值為8M.

【詳解】解：,??四邊形ABCD是矩形，:/54P=NCDP=90。，AD//BC,

?點(diǎn)M,N分別是PBPC的中點(diǎn)，AAM=-BP,DN=、CP,MN=-BC,MN//BC,

222

???AD//BC,MN//BC,：.MN//BC,又：ME〃DN,.,.四邊形MVDE是平行四邊形，

:.ME=DN,AM+ME=AM+DN=^（BP+CP）,

如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)連接尸Af,BM,貝IJ3尸+0?=3尸+P/W,

當(dāng)點(diǎn)、B,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，5P+PH的值最小，最小值為

在RL^BCM中，MC=2CD=2AB=2M,BC=AD=40,

BM=VBC2+MC2=J（4@2+（2>/10）2=6A/2,

AM+ME1的最小值=』2M=3亞故選C.

2

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì),

軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思

想.

5.（2023?安徽?統(tǒng)考中考真題）如圖，E是線段上一點(diǎn)，VADE和ABCE■是位于直線同側(cè)的兩個(gè)等邊

三角形，點(diǎn)P/分別是CRAB的中點(diǎn).若AB=4,則下列結(jié)論埼誤的是（）

A.24+PB的最小值為3#B.PE+PR的最小值為2方

C.ACDE周長的最小值為6D.四邊形ABCD面積的最小值為3后

【答案】A

【分析】延長AD,2C,貝豚回。是等邊三角形,觀察選項(xiàng)都是求最小時(shí)，進(jìn)而得出當(dāng)E點(diǎn)與b重合時(shí)，則

Q，P,P三點(diǎn)共線，各項(xiàng)都取得最小值，得出B,C,D選項(xiàng)正確，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長A2BC,依題意/。4。=/。氐4=60。.。4?。是等邊三角形,

?.?尸是8的中點(diǎn)，/.PD=PC,'：ZDEA=ZCBA,：.ED//CQ

：.APQC=APED,NPCQ=ZPDE,：.APDE咨&PCQ：.PQ=PE,

二四邊形OEC。是平行四邊形，則尸為E。的中點(diǎn)，如圖所示，

設(shè)AQ,BQ的中點(diǎn)分別為G,H,則GP=工AE,PH=工EB

22

...當(dāng)E點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，尸在G”上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E點(diǎn)與尸重合時(shí)，即AE=￡B,

則。，尸，尸三點(diǎn)共線，PP取得最小值，止匕時(shí)AE=EB=g（AE+E8）=2,

則△ADE四△ECB,C,少到AB的距離相等，則CD〃AB,

此時(shí)pp=@AD=后此時(shí)VM>E和ABCE的邊長都為2,則最小，

2

APF=y-x2=73,APA=PB=^2l+(^=用：?PA+PB=2幣,

或者如圖所示，作點(diǎn)3關(guān)于G”對(duì)稱點(diǎn)E,則=則當(dāng)AP,8'三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PB=AB'

根據(jù)題意可得尸，。，尸三點(diǎn)共線時(shí)，尸尸最小，此時(shí)尸石=尸尸=百，則PE+Pb=2g,故B選項(xiàng)正確;

^CDE^^CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4,即當(dāng)8最小時(shí)，ACDE周長最小,

如圖所示，作平行四邊形連接CM,

ZGHQ=60°,NGHM=ZGDM=60°,則ZCHM=120°

如圖，延長DE,龍，交于點(diǎn)N,則NNGO=/QGH=60。，ZNDG=ZADE=60。

：.△NGD是等邊三角形，/.ND=GD=HM,

'NNPD=ZHPC

在ANPD與AHPC中，<NN=ZCHP=60°：.^NPgJlPC

PD=PC

：.ND=CH：.CH=MH：.NHCM=ZHMC=30°

CM//QF,則CM，DM,.??△DMC是直角三角形，

QQ

在ADaw中，DC>DM.?.當(dāng)DC=DM時(shí)，0c最短，DC=GH=-AB^2

2

,：CD=PC+2PC：.ACDE周長的最小值為2+2+2=6,故C選項(xiàng)正確；

,?*^NPD=^HPC四邊形ABCD面積等于^^ADE+S4EBC+SQEC=^DE+S平行四迦花8”

...當(dāng)△BGD的面積為0時(shí)，取得最小值，此時(shí)，3G重合，C,"重合

四邊形ABCD面積的最小值為3x，x22=3g，故D選項(xiàng)正確，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)E

點(diǎn)與F重合時(shí)得出最小值是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E在邊BC上,且5E=1,尸為對(duì)角

線上一動(dòng)點(diǎn)，連接C尸，EF,則b+跖的最小值為.

【答案】V17

【分析】連接AE交3D于一點(diǎn)尸，連接CF,根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)CF+跖=AE最小，利用勾股

定理求出AE即可.

【詳解】解：如圖，連接AE交8D于一點(diǎn)R連接CP,

??,四邊形A3CD是正方形，.?.點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于3D對(duì)稱，=

CF+EF=AF+EF=AE,此時(shí)CT+EP最小，

???正方形ABC。的邊長為4,AD=4,ZABC=90。，?.?點(diǎn)E在AB上，且8E=1,

?—松+左=肝方=屈,即CF+EF的最小值為J萬故答案為：717.

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

7.（2024?陜西寶雞?二模）如圖，點(diǎn)。是矩形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)尸，。分別在邊AO,BC上,且尸。經(jīng)

過點(diǎn)。，AB=6,AP=3,3C=8,點(diǎn)E是邊A3上一動(dòng)點(diǎn).貝心口。周長的最小值為.

【答案】10+2^/2710+10

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段和的最小值計(jì)算；作尸關(guān)于A3的對(duì)稱點(diǎn)P，連接PQ,

交AB于E,連接尸E,則PE+QE的最小值為尸。，證明出△砂。周長的最小值為PQ+PQ,作P'P_LBC

于尸，PHLBC于H,利用勾股定理求出P'Q和尸。即可.

【詳解】解：如圖，作尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,連接PQ,交AB于E,連接PE,

=+的最小值為尸。，周長的最小值為尸'。+尸。,

作PFLBC于F,PH_LBC于H,-.-AP=3,:.PA=3=FB,

,?,點(diǎn)。是矩形ABCD的對(duì)稱中心，PQ經(jīng)過點(diǎn)0,AP=CQ=3

VBC=8,-BQ=5,:.FQ=8,-.?P'F=AB=6,P'Q^IO,

-.-PH=AB=6,HQ=5-3=2,；.PQ=2M，.1AEP。周長的最小值為10+2&U.

8.（2024?陜西渭南?二模）如圖，在四邊形ACBD中，ZBAC=ZBAD=60°,ZACB=ZADB=90°,BC=6,

連接CO、A2交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn)，連接OP、DP,則。P+D尸的

最小值為.

【答案】6

【分析】本題考查全等三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定、軸對(duì)稱最短路徑問題，找到對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化線段是

解題關(guān)鍵.

過點(diǎn)尸作AB的平行線分別交AC、BC于點(diǎn)M、N,由點(diǎn)E為A3上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CE的中點(diǎn)可得到

點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)，MN為AABC的中位線，求證人鉆。四△4BD,用等腰三角形“三線合一”證明

AB±CD,所以MN_LCO,即點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于MN對(duì)稱，所以O(shè)P+OP=￡>P+CP2CD,同時(shí)證明△3CD

是等邊三角形，CD=BC=6,即OP+DP的最小值為6.

【詳解】解：過點(diǎn)尸作A￡V〃AB分別交AC、BC于點(diǎn)〃、N,

:點(diǎn)E為A2上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CE的中點(diǎn).?.點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，且為URC的中位線，

ZACB=ZADB

,/在AABC和AABD中，NBAC=NBAD=60°,；.^ABC^ABD(AAS),

AB=AB

：.BC=BD,ZABC=ZABD=90°-60°=30°,ABLCD,NCBD=60°,

：.MNLCD,△BCD是等邊三角形，.?.點(diǎn)C與點(diǎn)0關(guān)于肋V對(duì)稱，Z.DP+OP=DP+CP>CD,

XVCD=BC=6：.OP+DP的最小值為6.

9.(2024.陜西商洛.三模)如圖，點(diǎn)。為正方形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E為AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接OE,作

OFLOE交CD于點(diǎn)、F,連接呼，P為歷的中點(diǎn)，G為邊CD上一點(diǎn)，且CD=4CG=8,連接上4,PG,

則PA+PG的最小值為.

【答案】2月

【分析】如圖，連接。4,OD,由題意知，ZOAE=ZODF=45°,ZAOD=90°,OA=OD,由

ZAOE=ZAOD—NDOE,/DOF=/EOF-/DOE得,/AOE=/DOF,證明AAOE絲AOO尸(ASA),則

OE=OF,AEOP是等腰直角三角形，由尸是石尸中點(diǎn)，則OPLEF,NO尸尸=90。，NPFO=45。=NPOF,

如圖，過。作OM_LAD于M,過。作QV_LCD于N,由NOPF+NON尸=180。，可知。P,F,N四點(diǎn)

共圓，由尸尸=2尸，可得ZPNF=ZPOF=45。,進(jìn)而可得尸在線段MV上運(yùn)動(dòng)，如圖，延長跖V,作點(diǎn)A關(guān)

于MN對(duì)稱的點(diǎn)4,過A作A'HLCD于連接A'G交"N于P，連接AP’,由題意知=4"=g=4,

AP=AP，且A'P'+P'G=AA+P'G,可知當(dāng)4,P,G三點(diǎn)共線時(shí)，AP'+P'G值最小，在RMA,GH中，

由勾股定理得，AG^SJAH2+HG2-計(jì)算求解A'G的值即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,