2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué) 第1章 空間向量與立體幾何 3 直線與平面的夾角教學(xué)實(shí)錄 新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何3直線與平面的夾角教學(xué)實(shí)錄新人教B版選擇性必修第一冊(cè)授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間課程基本信息1.課程名稱：2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何3直線與平面的夾角

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高一（1）班

3.授課時(shí)間：2024年9月15日上午第二節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過直線與平面的夾角這一概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解空間幾何圖形的性質(zhì)，提高空間想象能力；通過公式的推導(dǎo)和計(jì)算，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；同時(shí)，通過問題解決的過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和應(yīng)用意識(shí)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握的相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何的基本概念和性質(zhì)，對(duì)直線和平面的基本關(guān)系有一定的了解。此外，他們應(yīng)該掌握了空間向量的一些基本運(yùn)算，如向量的加法、減法、數(shù)乘等。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高一學(xué)生對(duì)新知識(shí)充滿好奇心，對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)興趣較高。他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出較強(qiáng)的邏輯思維能力和空間想象能力。部分學(xué)生可能更喜歡通過圖形直觀理解問題，而另一部分學(xué)生則更傾向于通過公式和計(jì)算來解決問題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

由于空間幾何概念較為抽象，部分學(xué)生可能會(huì)在理解直線與平面的夾角概念時(shí)遇到困難。此外，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用可能讓學(xué)生感到復(fù)雜。學(xué)生在推導(dǎo)直線與平面夾角的公式時(shí)，可能會(huì)遇到計(jì)算上的困難。同時(shí)，將理論應(yīng)用于實(shí)際問題解決時(shí)，學(xué)生可能會(huì)面臨如何選擇合適的方法和策略的挑戰(zhàn)。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有新人教B版選擇性必修第一冊(cè)教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的空間幾何圖形圖片、夾角計(jì)算公式圖表和立體幾何相關(guān)視頻。

3.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，方便學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)；在黑板上繪制輔助圖形，幫助學(xué)生直觀理解。教學(xué)過程一、導(dǎo)入（約5分鐘）

1.激發(fā)興趣：通過展示一些日常生活中常見的立體幾何圖形，如建筑物、家具等，引導(dǎo)學(xué)生思考這些圖形中的直線與平面之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生對(duì)直線與平面夾角學(xué)習(xí)的興趣。

2.回顧舊知：簡(jiǎn)要回顧平面幾何中直線與直線、直線與平面之間的關(guān)系，以及空間向量在幾何中的應(yīng)用。

二、新課呈現(xiàn)（約30分鐘）

1.講解新知：

a.引入直線與平面的夾角概念，講解其定義和計(jì)算方法。

b.詳細(xì)講解直線與平面夾角的公式推導(dǎo)過程，幫助學(xué)生理解公式的來源和適用范圍。

c.通過具體例子，展示如何利用公式計(jì)算直線與平面的夾角。

2.舉例說明：

a.利用幾何圖形展示直線與平面夾角的具體應(yīng)用場(chǎng)景。

b.通過實(shí)際案例，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。

三、互動(dòng)探究（約10分鐘）

1.引導(dǎo)學(xué)生分組討論，探討如何利用直線與平面夾角的知識(shí)解決實(shí)際問題。

2.教師巡視各組，給予指導(dǎo)和幫助，確保學(xué)生能夠積極參與討論。

四、鞏固練習(xí)（約20分鐘）

1.學(xué)生活動(dòng)：

a.學(xué)生獨(dú)立完成課后習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

b.學(xué)生互相檢查作業(yè)，發(fā)現(xiàn)并糾正錯(cuò)誤。

2.教師指導(dǎo)：

a.教師選取典型習(xí)題進(jìn)行講解，幫助學(xué)生掌握解題方法。

b.教師針對(duì)學(xué)生在練習(xí)中遇到的問題，進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。

五、總結(jié)與反思（約5分鐘）

1.教師總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

2.學(xué)生分享學(xué)習(xí)心得，反思自己的學(xué)習(xí)過程。

六、作業(yè)布置（約2分鐘）

1.布置課后習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

2.鼓勵(lì)學(xué)生課后查閱資料，拓寬知識(shí)面。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.知識(shí)掌握：

學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠正確理解直線與平面的夾角概念，掌握其計(jì)算方法，并能夠熟練運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。他們對(duì)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用有了更深入的認(rèn)識(shí)，能夠?qū)⒗碚撝R(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合。

2.能力提升：

a.空間想象能力：學(xué)生在學(xué)習(xí)直線與平面夾角的過程中，通過觀察幾何圖形和推導(dǎo)公式，提高了空間想象能力，能夠更好地理解和描述空間幾何關(guān)系。

b.邏輯推理能力：學(xué)生在推導(dǎo)直線與平面夾角公式時(shí)，鍛煉了邏輯推理能力，學(xué)會(huì)了如何從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)出結(jié)論。

c.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力：學(xué)生在進(jìn)行夾角計(jì)算時(shí)，提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能夠熟練運(yùn)用向量運(yùn)算和三角函數(shù)知識(shí)。

3.應(yīng)用能力：

學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題，如計(jì)算建筑物的高度、分析幾何圖形的穩(wěn)定性等。他們能夠運(yùn)用直線與平面夾角的知識(shí)，解決生活中遇到的一些幾何問題。

4.學(xué)習(xí)興趣：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)立體幾何產(chǎn)生了濃厚的興趣，愿意主動(dòng)探索和拓展相關(guān)知識(shí)。他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情得到提升，更加積極地參與課堂討論和實(shí)踐活動(dòng)。

5.團(tuán)隊(duì)合作能力：

在分組討論和互動(dòng)探究環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)會(huì)了與他人合作，共同解決問題。他們學(xué)會(huì)了傾聽他人的觀點(diǎn)，尊重他人的意見，并在團(tuán)隊(duì)中發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)，提高了團(tuán)隊(duì)合作能力。

6.自主學(xué)習(xí)能力：

學(xué)生在完成課后習(xí)題和自主學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會(huì)了如何查閱資料、整理筆記和總結(jié)規(guī)律。他們逐漸形成了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高了自主學(xué)習(xí)能力。板書設(shè)計(jì)①直線與平面的夾角概念

-定義：直線與平面所成的角，即直線與它在平面上的投影線所成的銳角。

-記號(hào)：θ

②直線與平面夾角的計(jì)算方法

-公式：θ=arccos(向量n與向量l的點(diǎn)積/|向量n|*|向量l|)

-其中，向量n為平面的法向量，向量l為直線的方向向量。

③直線與平面夾角的應(yīng)用

-求解空間幾何問題，如建筑物的高度、幾何圖形的穩(wěn)定性等。

-分析直線與平面之間的垂直、平行關(guān)系。

④空間向量在計(jì)算中的應(yīng)用

-向量n與向量l的點(diǎn)積：向量n·向量l=|向量n|*|向量l|*cos(θ)

-向量n與向量l的叉積：向量n×向量l=|向量n|*|向量l|*sin(θ)

⑤舉例說明

-通過具體實(shí)例，展示直線與平面夾角的計(jì)算過程。

-分析實(shí)例中的關(guān)鍵步驟，如確定法向量、計(jì)算點(diǎn)積和叉積等。

⑥總結(jié)與反思

-強(qiáng)調(diào)直線與平面夾角計(jì)算的重要性和實(shí)用性。

-引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，提高解題能力。重點(diǎn)題型整理1.**題型一：求直線與平面的夾角**

-**題目**：已知直線l：x=2t+1，y=t，z=t+1，平面π：x+y+z=4，求直線l與平面π的夾角。

-**解題步驟**：

1.求直線l的方向向量：s={2,1,1}。

2.求平面π的法向量：n={1,1,1}。

3.計(jì)算向量s與向量n的點(diǎn)積：s·n=2*1+1*1+1*1=4。

4.計(jì)算向量s和向量n的模：|s|=√(2^2+1^2+1^2)=√6，|n|=√(1^2+1^2+1^2)=√3。

5.計(jì)算cosθ=(s·n)/(|s|*|n|)=4/(√6*√3)=2/√18。

6.求得θ=arccos(2/√18)。

2.**題型二：求兩平面之間的夾角**

-**題目**：已知平面π1：x+y-z=1，平面π2：2x-y+z=1，求兩平面之間的夾角。

-**解題步驟**：

1.求平面π1的法向量：n1={1,1,-1}。

2.求平面π2的法向量：n2={2,-1,1}。

3.計(jì)算向量n1與向量n2的點(diǎn)積：n1·n2=1*2+1*(-1)+(-1)*1=0。

4.由于點(diǎn)積為0，兩平面垂直，夾角θ=90°。

3.**題型三：求直線與兩平面的夾角**

-**題目**：已知直線l：x=2t-1，y=3t，z=t+2，平面π1：x-y+z=1，平面π2：2x+y-2z=3，求直線l與平面π1、π2的夾角。

-**解題步驟**：

1.求直線l的方向向量：s={2,3,1}。

2.求平面π1的法向量：n1={1,-1,1}。

3.求平面π2的法向量：n2={2,1,-2}。

4.分別計(jì)算直線l與平面π1、π2的夾角，步驟與題型一類似。

4.**題型四：求點(diǎn)到平面的距離**

-**題目**：點(diǎn)P(1,2,3)到平面π：x+2y-3z=5的距離是多少？

-**解題步驟**：

1.求平面π的法向量：n={1,2,-3}。

2.求點(diǎn)P到平面π的距離：d=|(向量n·向量OP)|/|向量n|，其中向量OP為點(diǎn)P到原點(diǎn)的向量。

3.計(jì)算向量OP={1,2,3}。

4.計(jì)算向量n·向量OP=1*1+2*2+(-3)*3=1+4-9=-4。

5.計(jì)算|向量n|=√(1^2+2^2+(-3)^2)=√14。

6.求得d=|(-4)|/√14=4/√14。

5.**題型五：求兩條直線之間的距離**

-**題目**：直線l1：x=3t-1，y=2t+2，z=t，直線l2：x=t+2，y=t