江西省重點高中2025屆高三上學(xué)期1月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第頁，共頁第19頁，共19頁高三數(shù)學(xué)考試注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求集合，判斷各元素與集合關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，結(jié)合各選項，A、B、D錯，C對.故選：C2.的內(nèi)角的對邊分別為.已知，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理，得，所以，又，所以，所以.故選：A.3.已知是函數(shù)的極值點，則（）A.8 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)值為0求參數(shù)，注意驗證，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，則，可得，此時且，所以時f′x<0，時f即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，符合題意.故.故選：D4.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各項中線線、線面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷線線、線面的位置關(guān)系即可.【詳解】A：若，則、相交、平行、異面都有可能，錯；B：若，則、平行、異面都有可能，錯；C：若，則或，又，所以，對；D：若，則、平行、相交或都有可能，錯.故選：C5.已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：40050060070080034667若線性相關(guān)，且經(jīng)驗回歸方程為，則據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)時，（）A.18.2 B.19.2 C.20.2 D.21.2【答案】B【解析】【分析】求出和，根據(jù)經(jīng)驗回歸直線必過樣本點中心求出，即可求解.【詳解】，，因為在經(jīng)驗回歸直線上，所以，解得，即，當(dāng)時，.故選：B.6.若定義在上的增函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)易得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性有，再由的單調(diào)性及零點確定不等式解集.【詳解】由，即y=fx的圖象關(guān)于點對稱，所以，而，即，則，又y=fx在R上為增函數(shù)，故，即，，因在上單調(diào)遞增，且，由，可得，即不等式的解集為1,+∞.故選：C.7.如圖，高度為的圓錐形玻璃容器中裝了水，則下列四個容器中，水的體積最接近容器容積一半的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓錐的頂點到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，根據(jù)水體積和容器容積關(guān)系得到，再逐項檢驗即可．【詳解】設(shè)圓錐的頂點到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，則水面半徑為．當(dāng)水的體積等于容器容積的一半時，有，整理得．因為，，，，則D選項更接近.故選：D．8.已知，若不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式同構(gòu)變形為，分類討論，在時，引入函數(shù)，確實單調(diào)性后轉(zhuǎn)化為，，由導(dǎo)數(shù)求得的最大值，從而可得參數(shù)范圍．【詳解】因為，，所以等價于．若，則，，顯然恒成立．若，令，則在1,+∞上恒成立，則在1,+∞上單調(diào)遞增，由，得，則，則在1,+∞上恒成立．令，，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，則，從而，解得．綜上所述，的取值范圍為．故選：B【點睛】方法點睛：不等式同構(gòu)變形：若不等式能變形為，而是單調(diào)的如遞增，則轉(zhuǎn)化為，經(jīng)常用到的如對數(shù)與指數(shù)間的互化：，，，，等等．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，虛數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】首先對式子進(jìn)行因式分解，解得，再分別對每個選項逐個計算得答案.【詳解】由得，，所以或(舍)選項A，因為，所以，A正確；選項B,，B錯誤；選項C,，所以C正確；選項D，，所以D錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.是的一個周期B.的最大值為C.是非奇非偶函數(shù)D.關(guān)于的方程有無數(shù)個實數(shù)解【答案】ACD【解析】【分析】對于A，計算可得，可判斷A；利用輔助角公式可得，計算可知可得與不能同時取得最大值，可判斷B；計算可得，可判斷C；令，可得有無數(shù)個零點，可判斷D.【詳解】，所以是的一個周期，故A正確；，由，可得，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，此時，根據(jù)周期性可得與不能同時取得最大值，所以的最大值小于，故B錯誤；，所以，所以是非奇非偶函數(shù)，故C正確；由，可得，所以，令，由，所以是以為周期的周期函數(shù)，又，，所以有無數(shù)個零點，從而可知關(guān)于的方程有無數(shù)個實數(shù)解，故D正確.故選：ACD.11.我們把形如的曲線叫作拉梅曲線，該曲線是法國數(shù)學(xué)家加布里埃爾?拉梅在研究圓錐曲線方程時進(jìn)行拓展而得的．下列說法正確的是（）A.若，則拉梅曲線圍成的封閉區(qū)域的面積為B.若，則拉梅曲線圍成的封閉區(qū)域的面積小于C.若拉梅曲線與曲線恰有4個公共點，則D.若Px0,y【答案】BCD【解析】【分析】對拉梅曲線理解后，根據(jù)在特定參數(shù)下曲線的性質(zhì)和所圍成區(qū)域面積的計算，通過分析各個選項，結(jié)合拉梅曲線的基本定義和性質(zhì)，逐一驗證每個選項的正確性即可求解．【詳解】當(dāng)時，拉梅曲線方程為為菱形，與坐標(biāo)軸交于點，，則拉梅曲線圍成的封閉區(qū)域的面積為2ab，A不正確．當(dāng)時，根據(jù)對稱性，不妨考慮拉梅曲線在第一象限的情形，此時由可得，下證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，這顯然成立．因為（）表示圓心為，半徑為a的四分之一圓弧，所以其與第一象限圍成的封閉區(qū)域的面積為，則拉梅曲線與第一象限圍成的封閉區(qū)域的面積小于，則拉梅曲線圍成的封閉區(qū)域的面積小于，B正確．當(dāng)拉梅曲線與曲線恰有4個公共點時，根據(jù)對稱性可知，它們在第一象限恰有1個公共點，由，整理得恰有1個正根，則，解得，即，C正確．若為拉梅曲線上第一象限內(nèi)一點，則，從而，D正確．故選：BCD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若非零向量與單位向量共線，且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線得，將兩邊同時平方，化簡求出即可求解.【詳解】因為非零向量與單位向量共線，則，且，因為，則，即，整理得，解得（舍）或，所以.故答案為：.13.已知為雙曲線的左焦點，是的右頂點，是上一點，且，，則的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及余弦定理得到關(guān)于和的齊次式，求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，因為為雙曲線的左焦點，是雙曲線上一點，根據(jù)雙曲線的定義知，，因為是雙曲線的右頂點，所以，又，，所以，所以，在中，根據(jù)余弦定理得，即，整理得，等式兩邊同時除以得，，解得（舍）或，所以的離心率為.故答案為：.14.如圖，在的方格中，每一行隨機(jī)設(shè)置1個陷阱（起點和終點處無陷阱）.玩家從起點方格出發(fā)，每次可以向右或向下移動一格到達(dá)下一格.若遇到含有設(shè)置陷阱的方格，則被重置回起點，然后該玩家會尋找未走過的路線繼續(xù)挑戰(zhàn)，直至到達(dá)終點.若重置若干次以后始終未能到達(dá)終點，則挑戰(zhàn)失敗.該玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由題知，玩家從起點方格出發(fā)，每次向右或向下移動一格，可以順利到達(dá)終點，即為挑戰(zhàn)成功，反之挑戰(zhàn)失敗.用表示第行第列含有陷阱的方格，則第1行含有陷阱的方格為，第2行含有陷阱的方格為，第3行含有陷阱的方格為，所以每一行隨機(jī)設(shè)置1個陷阱（起點和終點處無陷阱）共有個基本事件，具體如下：，，，，，，，，，，，，玩家挑戰(zhàn)失敗的基本事件有，，，，，，，共個，所以玩家挑戰(zhàn)失敗的概率為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.甲，乙，丙三人計劃參加某項800米跑步比賽，規(guī)定比賽成績不超過為優(yōu)秀．為了預(yù)測三人中比賽成績優(yōu)秀的人數(shù)，收集了這三人近8次的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)：甲乙丙用頻率估計概率，且甲，乙，丙三人的比賽成績相互獨立．（1）分別求甲，乙，丙三人比賽成績優(yōu)秀的概率；（2）記為甲，乙，丙三人中比賽成績優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）甲，乙，丙三人比賽成績優(yōu)秀的概率分別為，，（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）直接利用古典概型進(jìn)行求概率即可；（2）根據(jù)相互獨立求出，，，，列出分布列，利用分布列求出數(shù)學(xué)期望即可．【小問1詳解】由題意可知，甲，乙，丙三人比賽成績優(yōu)秀的概率分別為：，，，故甲，乙，丙三人比賽成績優(yōu)秀的概率分別為，，；【小問2詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為，，，；，，，，故的分布列如下：0123故數(shù)學(xué)期望為：．16.如圖，在三棱臺中，平面，，為的中點，.（1）證明：.（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，證明四邊形是平行四邊形，再由線面垂直證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由面面角的向量求法求解即可.小問1詳解】取的中點，連接，，因為為的中點，所以且，又三棱臺，，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以；【小問2詳解】因為平面，平面，所以，，又，則以為原點，分別以，，為軸，軸，軸正向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為m=x則，取，則，，所以，設(shè)平面的一個法向量為n=x，取，則，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知數(shù)列滿足.（1）若為遞增數(shù)列，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項之積.【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）由題設(shè)，恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)求右側(cè)最大值，即可得參數(shù)范圍；（2）根據(jù)已知可得，結(jié)合等比數(shù)列定義證明結(jié)論，進(jìn)而可得，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式求.【小問1詳解】由題設(shè)，即，恒成立，而在上單調(diào)遞減，則，所以；【小問2詳解】由題設(shè)，則，又，所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，故，所以，則，所以.18.已知點，平面內(nèi)過一動點（異于）的直線分別與直線4相交于兩點，且，記動點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）若斜率為1的直線與相交于兩點，且，求的方程；（3）記與外接圓的半徑分別為，求的最小值.【答案】（1）（）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)Px,y（2）設(shè)l方程為，，，聯(lián)立曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長公式列方程求參數(shù)m，即可得結(jié)果；（3）設(shè)直線PA的方程為，則直線PB的方程為，進(jìn)而求出坐標(biāo)及，應(yīng)用正弦定理求外接圓半徑，結(jié)合可得，最后應(yīng)用基本不等式求最值即可.小問1詳解】設(shè)Px,y，由，得，整理得.因為點P異于點A，B，所以C的方程為（）.【小問2詳解】設(shè)l的方程為，，，則.聯(lián)立方程組，整理得，則，即，所以，，則，解得，滿足題設(shè)，所以l的方程為.【小問3詳解】設(shè)直線PA的方程為，則直線PB的方程為.令，得，同理得，則.在中，由正弦定理知，同理可得.因為，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.19.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若對于任意的，存在，均有，則稱為“函數(shù)”．（1）若函數(shù)，證明：不是“函數(shù)”．（2）若函數(shù)，證明：是“函數(shù)”．（3）對于區(qū)間，定義，已知，且為“函數(shù)”，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）不妨假設(shè)是“函數(shù)”，得出，通過取特殊值時，判斷出不等式不成立，得出假設(shè)不成立即可判斷；（2），求導(dǎo)后，進(jìn)一步令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，并且結(jié)合零點存在定理解決隱零點問題，進(jìn)一步判斷出原函數(shù)的單調(diào)性求解；（3）根據(jù)是“函數(shù)”，得出在區(qū)間上也滿足題目給定的不等式的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而進(jìn)一步求出的取值范圍，最后再利用作差法比較兩者的大?。拘?