彈性力學(xué)計(jì)算題

二.試確定以下兩組應(yīng)變狀念能否存在(K',A,8為常數(shù))，并說明為什么？

2

(1)4=K(f+V),與=Ky,yxy=IKxy(存在)

(2)￡x=,%=B￡y,yxy=0(不存在)

四.計(jì)算題

1.圖中所示的矩形截面體，受力如下圖，試寫出其邊界條件。

x=b,(7X=0;rry=p

x=-b,4=4；%,=()

次要邊界條件，在y=0上，

(%)戶0=°，滿足；

J；(b)=o公=一/

L^y)v=o^=--

2.圖中所示的矩形截面體，在。處受有集中力/和力矩加=朋/2作用，試用應(yīng)力函數(shù)。=標(biāo)3+區(qū)/

求解圖示問題的應(yīng)力分量，設(shè)在A點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。

(h?b,6=1)

解：應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解，

<1)校核相容方程▽>=(),滿足

(2)求應(yīng)力分量，在無體力時(shí)，得

a.,=6Ax+2B,er.,=rvv=0

考察主要邊界條件，

x=±b,av=r....=0,均滿足。

考察次要邊界條件，在)，=0上，

(rxv)v=0=0,滿足；

ebp

L(b).=0公"乙得8=一不；

fhFbF

L^.v)>=0^=--,得4=一正。

乙OcZ

代入.得應(yīng)力的解答，

F3x

<T=-—(1+—),<T=r=O

)y2b2bttv

上述應(yīng)力已滿足了▽刀二。和全部邊界條件，因而是上述問題的解。

3.圖中所示的懸臂梁，長度為/,高度為力，l?h,在邊界上受均勻分布荷載〃，試驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)

0=出戶++。3+Dx2+Ex2y

能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。

q

4.如下圖矩形截面柱，承受偏心荷載P的作用。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)e=A?+8V2,試求各應(yīng)力分量。

解：(1)檢驗(yàn)相容方程是否滿足，由▽4(。)=0

〔2〕求應(yīng)力分量：

5=0cr=6Ax+2Br=0

(3)由邊界條件：)，=/?邊，由圣維南原理可得:

可得：B=-p/4a

[?，=0出=一〃

2

可得：A=—4

8a2

[4[應(yīng)力分量為：

crv=0

%=_生尸&

4/2a

Qy=0

a。dr

5.試推導(dǎo)平面問題的y方向的平衡微分方程旦+—&+￡=0

dydx

解：

以y軸為投影軸，列出投影平衡方程￡工二0：

d(ry

億+——-dy)dx-<yydx

oy

+(rxy+dx)dy-Txydy+fydxdy=0

約簡之后，兩邊除以anfy,得

答有+3

2、考慮上端固定，下端自由的一維桿件，見題七圖，只受重力作用，＜=0,./；,=用

(P為桿件密度，g為重力加速度)，并設(shè)〃=0。

試用位移法求解桿件豎向位移及應(yīng)力。(14分)

(平面問題的平衡微分方程：見+"L+/.=0,生+也+工,=0；

dxdy-dydx、

示的

應(yīng)力分量表達(dá)式：=—+,%.(孚+〃學(xué))，

1drdyI-//dydx

_^(生+包))

2(1+〃)dxdy

解：據(jù)題意，設(shè)位移“0,u=Ky),按位移進(jìn)行求解。

根據(jù)將用位移分量表示的應(yīng)力分量代入平面問題的平衡微分方程，得到

面應(yīng)力問題的根本微分方程如下：題七圖

222

E.du1-//du1+4dv.r八

----r（一7十一i-------7十一----------）+L=0,

1一dx~2dy~2oxoy

22

E.d~v\-JJdvI+〃du.r..

S）

l-/rdy~2dx~2dxdy

將相關(guān)量代入式(a)、(b),可見(a)式(第一式)自然滿足，而(b)式第二式成為

鏘絲

82一E

可由此解出

2

v=-^y+Ay+B.（c）

此題中，上下邊的邊界條件分別為位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件，且

W）尸o=。，（％.））.■/=0

將(c)代入，可得區(qū)=0,4=絲/

E

反代回(c),可求得位移：

u=黑(2僅—)’2)

*,=pgQ-y)

*設(shè)有函數(shù)①=等[一4/3,1]+戮*,

(1)判斷該函數(shù)可否作為應(yīng)力函數(shù)？(3分)

（2）選擇該函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)時(shí)，考察其在圖中所示的矩形板和坐標(biāo)系（見題九圖）

中能解決什么問題U?/z）o（15分）

解：

（1）將6代入相容方程粵+2“N+粵h/2

a/dx2dy2dy4F—

h/2

（2）應(yīng)力分量的表達(dá)式：

_O?中6/2y44y3qy

4一歹一_+~3h'

=效=幺（_g&]題九圖

v泳22〔h3h）

rvdxdyh3{4.,

考察邊界條件：在主要邊界＞=±AZ2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件

在次要邊界入=0上，應(yīng)用圣維南原理，可列出二個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:

￡（必力=￡（誓聿卜=。（奇函數(shù)）

|"L的匕臂-舒叱。

在次要邊界x=/上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:

￡包）*=跳竽+誓-等卜=0（奇函麴

￡（公"=仁卜竽+景微網(wǎng)楞

￡（%.）3T凈存旬…

對丁如下圖的矩形板和坐標(biāo)系，結(jié)合邊界上面力與應(yīng)力的關(guān)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力

時(shí)，由主邊界和次邊界上的應(yīng)力邊界條件可知，左邊、下邊無面力；而上邊界上受有向下

的均布壓力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶和鉛直面力。

所以能夠解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載9的問題。

1.（12分）試列出圖5/的全部邊界條件，在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊

界條件。（板厚3=1）

圖5-1

解：在主要邊界），二士〃/2上，應(yīng)精確滿足以下邊界條件：

（%）i=_qx1l，（?。㈱2=。；（bJi=°，匕）$2=W

在次要邊界x=0上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚5=1時(shí)，

窗（4）"丫=-6,二；（4）1處=-“，匚：（%）,/"小

在次要邊界X-/上，有位移邊界條件：（〃）i=0，（p）r=7=0,這兩個(gè)位移邊界條件可以改用

三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替：

￡：”）=。內(nèi)=-&+副，J；：?*ydy=—M—FJ啖+除］：=一4-日

2.（1（）分）試考察應(yīng)力函數(shù)力=5>，3,c>o,能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫

出圖5?2所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢和主矩。

拼中①①

解:（1）相容條件：將①=CX），3代入相容方程+2蘇獷十萬0,顯然滿足。

dx4

2

⑵應(yīng)力分量表達(dá)式：區(qū)=土￡=6。卬，a=0,r=-3cy

cy2v、

⑶邊界條件：在主要邊界沖土3上，即上下邊，面力為同)曰「±3的,"工廣-；加

在次要邊界x=o,x=/上，面力的主失和主矩為

6c,ydy0

［：；",)"),=oCoJ/y=C=

6cly2dy=

,必=o心。J*ydy=Ci等

3cy2dy=

CM"〉=-\Z-/1：*工力=￡3cy2dy=卞3

彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界X=0,x=/上面力的主失量和主矩如解圖所示。

3.(14分)設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為夕，在一邊側(cè)面上受均布剪力q,如圖5?3所示，試求應(yīng)

力分量。(提示：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的根本公式中，假設(shè)材料符合簡單的胡克定

律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量。丫=0)

圖5-3

解：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的根本公式中，假設(shè)材料符合簡單的胡克定律，故可認(rèn)為

矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量=0,

(1)假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。o-v=0

(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式。此時(shí)，體力分量為f,=O,｛、=0g。將=0代入應(yīng)力公式

■有2=』~=0對X積分，得==/(x)，(a)

dydy力

①二w(%)+/(工)。(b)

其中/(X)，/⑴都是X的待定函數(shù)。

⑶由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將式(b)代入相容方程中4=0,得

)V￡ZdxWA+￡2dxLAM=0

這是y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多的根(全部豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足)，可見它

的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須等于零。夕但=0,《里口二0,兩個(gè)方程要求

axdx

/(x)=A?++ex,力(%)=Zh3+Ex2

BX2

/(x)中的常數(shù)項(xiàng)，/(x)中的一次和常數(shù)項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在中的表達(dá)式中成為y的

一次和常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。得應(yīng)力函數(shù)

3232

①=y(Ar+Bx+&)+(Dx+Ex)(d)

(4)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。

迎

(e)

分2一獷二°，

》①

-yf=6Axy+2By+6Dx2E-pgy,

%y4-⑴

——=-3AV2-2BA-C.(g)

dxdy

(5)考察邊界條件。利用邊界條件確定待定系數(shù)

先來考慮左右兩邊x=±〃2的主要邊界條件：

")7/2=。，(%)E2=4。

將應(yīng)力分量式(e)和(g)代入，這些邊界條件要求：

(bJi/2=。,自然滿足；/2=~Ab2^Bb-C=0(h)

卜口1=+g=一14"-4"一。=4

(i)

由(h)⑴得B=-W⑴

2b

考察次要邊界y=0的邊界條件，應(yīng)用圣維南原理，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件為

「：(%)dx=￡^(6/)X+2E\lx=2Eb=0；得E=0

J,(crJ^￥=jj6Dx+2E)xdx=——=0,得D=0

3Ar2+xcc

「k)公=---=°&

J-履x〃v=oJ-網(wǎng)b)4

由(h)⑴(k)得A=-=,C=g

b~4

將所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得應(yīng)力分量為:

%=0,0=-6魯“-苒y-儂，，Q=3備d+9一彳

bbbb4

4.圖示曲桿，在邊界上作用有均布拉應(yīng)力外在自由端作用有水平集中力凡試寫出其邊界

條件（除固定端外）。

⑴=0；

⑵,匚二°，

⑶<ydr=-PcosOJTrOdr=Psin^

Jao

1.圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為"的集中力作用，單位寬度上集中力的值

為P,設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為

(P=Asin2〃+Bg)

解：很小，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。

將應(yīng)力函數(shù)以兒。）代入，可求得應(yīng)力分量:

1￡￡+_L^±4sin20；

2

rdrrd6

=L(2ACOS2，+8)

r~

邊界條件：

(11rr/o=o=0,rf6?|^=o=0：0/。=兄=(),rr&\o=^=0

FjtOr*0rxOr/0

代人應(yīng)力分量式,有

與24+8)=0或2A+B=0(1)

r~

(2)取一半徑為「的半圓為脫離體，邊界上受有：?"和

由該脫離體的平衡，得

卻“2"+知=()

將乙。代入并積分，有

J：」(2Acos2e+5)，de+M=0

￡

Asin2〃+M)+知=o得3乃+M=()⑵

聯(lián)立式(1)、(2)求得:

B=_5=一段,人=也

717t2先

代入應(yīng)力分量式，得

2Pdsin2。2PdsiM0

兀r-Xr-

結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)較

遠(yuǎn)處可適用。

2.圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，假設(shè)梁的正應(yīng)力。x由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分

力程求出入,并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容力程。

(12分)

題三(2)圖

解：(1)求橫截面上正應(yīng)力

任意截面的彎矩為M“粘土截面慣性矩為由材料力學(xué)計(jì)算公式有

⑴

x/

(2)由平衡微分方程求Qv、C7V

c?rn,

+T+x=o⑵

平衡微分方程:dx。)'

3%dcrv

彳+1°⑶

其中，x=o,y=o。將式（1）代入式（2）,有

dr

xy6%2

dylh3

積分上式，得

=條/)'+力⑴

in

利用邊界條件：rxv,=0,有

2222

^-xh+/,1U)=0即f(x)=-^xh

4也⑶入一14加

(4)

將式（4）代入式（3〕,有

察療力b+等=0或等“髀（八評）

積分得

利用邊界條件:

q。

(y1

得:

爺"知獷）+人（幻=牛

-翁遙⑴=。

由第二式，得

，式，）=一等

將其代入第一式,得

%%x=-^-x自然成立。

2ix2/

將力(元)代入巴.的表達(dá)式，有

⑸

所求應(yīng)力分量的結(jié)果:

「華告，

<%=靠日產(chǎn)W)⑹

—騫郭

校核梁端部的邊界條件：

(I)梁左端的邊界(x=0):

通/工。力=o，值％，|“0=0代入后可見：自然滿足。

22

(2)梁右端的邊界(x=/)：

dy=O

可見，所有邊界條件均滿足。

檢驗(yàn)應(yīng)力分量b",、、,5是否滿足應(yīng)力相容方程:

常體力下的應(yīng)力相容方程為

『(…)備券—°

將應(yīng)力分量巴R(6)代入應(yīng)力相容方程，有

品?！?瓢+”=-髀

力伍+巴.)=(*&/+,)=-筆"*°

顯然，應(yīng)力分量區(qū)"W巴,不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6J并不是該該問題的正旃解。

3.一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為/,抗彎歐度E/為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)

為鼠梁受有均勻分布載荷，/作用，如下圖。試：

（1）構(gòu)造兩種形式（多項(xiàng)式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)以外；

（2）用最小勢能原理或Rilz法求其多項(xiàng)式形式的撓度近似解（取1項(xiàng)待定系數(shù)）。

（13分）

解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為

卬（1）=/（4+4工+4-+……）——多項(xiàng)式函數(shù)形式

卬(X)=￡4(1一cos冽竺)----三角函數(shù)形式

”1=1I

此時(shí)有：

以3=，(A+A2X4-A?/+......)0=0

w'(x)=2x(A.+Ax+A,x2+......)+/(A+A+........)=0

?4?J4JX,V=0

M?=力A”(1-cos^^)=0

m=l1v=0

vv(x)=)A-------sin---------=0

￡inII

即滿足梁的端部邊界條件。

梁的總勢能為

〃=3f八一工>>3公+；比出)「

2

?。簐v(x)=Aix,有

^■^=24，M</)二A|/2

ax

代入總勢能計(jì)算式，有

〃二;二口(24)2公一工和24公+gz(A"2)2

^L/3l^4

=2EIl\+Z

由H7=0,有

4E〃A=0

qj

A=

3(4EIl+kl4)

代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為

似%)=

3(4EIl+kl4)

三、計(jì)算題

I.試問邑=">2,￡y沖=("十份孫是否可能成為彈性力學(xué)問題中的應(yīng)變分量?

提示：考察是否滿足變形協(xié)調(diào)方程。

2.檢查下面的應(yīng)力分量在體力為零時(shí)是否能成為可能的解答。

q=4x2,%=4y2,%=-8個(gè)

提示：是否滿足相容方程。

3.物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力分量為區(qū)=100,%=50,r.=l()x/50,試求該點(diǎn)的主應(yīng)力

**?-Vn

(7],。2和外。課本P34,習(xí)題2/5。

4.

(a)<T>=Ay2^y2-x2)+Rv)*4-C(x2+>j2)

(b)①=Ad+Bx3y+Cx2y2+Dxy^+Ey4

以上兩式能否作為平面問題應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式？假設(shè)能，那么需要滿足什么條件.

5.試列出以下圖問題的邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。

V

Oh、

yh”>b

6.試列出以下圖問題的邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。

q

參考答案：在主要邊界），=±±上，應(yīng)精確滿足以下邊界條件：

乙

（%）i=_g，（%）1=o,㈤產(chǎn)仇（%）』=.

-22-2-2

在次要邊界x=0上應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件

1aL0公=&，日（4）"必=M，公=一屬

222

在次要邊界工=/列出位移邊界條件，（〃）t=o，（Hi=（）。

也可應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件

7.單位厚度的楔形體，材料比意為月，楔形體左側(cè)作用比重為0的液體，如下圖。試寫出楔形體的邊

界條件。

參考答案

左側(cè)面：I=-cosa,m=-sina,y=-xcota

-er,cosa—rvvsina=p}gycosa

、,"〔

-ersina—7n.cosa—gysina

右側(cè)面，/=cos氏m=-sin/3,y=^cotp

cosp-rvvsin/?=0

-（rvsin/3+rxycos/3=0

8.試用應(yīng)力函數(shù)中=AD+893求解圖示懸臂梁的應(yīng)力分量（設(shè)/?〃）。

試用應(yīng)

（I）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程①=0,其中

4

①Aa①八8』①八

—r=0，—=（），——r=（）

dxcx~ydy

滿足相容方程。

12）應(yīng)力分量表達(dá)式為

加①八①“a2o人…

b,=L=°'b、===6匹口，T=-——=-A-3Bx-

dy-oxdxcy

13）考查邊界條件

在主要邊界K=±2上，應(yīng)清確滿足以下邊界條件：

2

（a）T=。，（金）房=-4

22

在次要邊界y=0上，（bJ、o=O能滿足，但卜甲）、、。=0的條件不能精確滿足，應(yīng)用圣維南原理

列出積分的應(yīng)力邊界條件代替

2

將應(yīng)力分量代入邊界條件，得

A=46=3

2h2

應(yīng)力分量

%=°，%'=攀沖'%=￡、123J

10.設(shè)有矩形截面豎柱，密度為P，在一邊側(cè)面上受均布剪力q,試求應(yīng)力分量。提示:假設(shè)巴=0=邙

ay

參考答案:

⑴、假設(shè)巴=0=22,由此推測①的形式為①q（x）y+力（X）

o~y

〔2）、代入V4中=0,得''/f）y+"/!。二0

dxdx

要使上式在任意的y都成立，必須

"；=0,得/（x）=Av+Bx2+Cx+D

d63=0,得/（戈戶山+&2+a+”

dxA

代入①，即得應(yīng)力函數(shù)的解答①二（43+以2+0：）），+3:3+?：2（略去了］、y的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)）

⑶、由中求應(yīng)力分量，f、=o4、=pg

巴=吧=。

32中/、

<TV=-fyy=（6Av+2B）y+6Ex+2F-pgy（1分）

募=一（3松+2a+C）

xy

(4)、校核邊界條件

主要邊界

(4)的=0[已滿足)

(^1=0,C=()

\冷/.v=O

(&)i=q,-(3A/?2+2M+C)=q(1)

次要邊界

J；(巴J,。公二°，3E/?+2F=0(2)

](%,)3=0,2劭+/=0(3)

Jo\vAr=0

公=°，A〃+8=0(4)

由⑴-⑷聯(lián)立可解得A、B、E、F。

II.設(shè)體力為零，試用應(yīng)力函數(shù)①=1+)，2,求出上圖所示物體的應(yīng)力分量和邊界上的面力，并把面力

分布繪在圖上，圓弧邊界AB上的面力用法線分量和切向分量表示。04=08=1。

12.平面應(yīng)力問題矩形梁，梁長L,梁高h(yuǎn),E=200000Pa,//=0.2,位移分量為：

〃(x,y)=6(x-0.5L)y/E,v(x,y)=3(L-x)x/E-3py2/E,求以下物理量在點(diǎn)P(x=L/2,y=h/2)的

值：(1)應(yīng)變分量(2)應(yīng)力分量，(3)梁左端(x=0)的面力及面力向坐標(biāo)原點(diǎn)簡化的主矢和主矩。

.過P點(diǎn)的應(yīng)力分量%=15Mpa,ay=25Mpa,rxy=l^Mpa。求過P點(diǎn)，

Z=cos30°>機(jī)=cos60°斜面上的>八KV>外、TNO

解：XN=lax+niT^,=cos30°xl5+cos60°x20=22.99Mpa

YN=fnay+lrxy=cos6()°x25+cos30°x20=2982Mpa

2

(Tv=I%*+max+2hnTxv

=cos230°X15+cos260°X25+2Xcos30°xcos60°x20

=34?82則

l2

TN=hn(ay-ax)^(l-m)Txy

=cos30°xcos60°x(25-15)+(cos230°-cos2600)x20

=14.33Mpa

2.在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六面體，x、y、z方向的尺寸分別為dx、dy、dz。試依據(jù)以下圖證明:

證明：

Z4=o：

6b

一

(crv+xdxxdzTbJxdxxdz

dz)xdxx.dy—(r_)xdxxdy

dzy

dxyxdyxdz—(r)xdyxdz

dxxv

+Ydxdydz=0

化簡并整理上式，得：

dydzdx

3.圖示三角形截面水壩，材料的比重為p,承受比重為y液體的壓力，己求得應(yīng)力解為

+by

a^cx+dy-pgy^試寫出直邊及斜邊上的邊界條件。

rxy=-dx-ay

解：由邊界條件

帆什=G

=Y

左邊界：I—cos/7,m=—sin/?

，_

cosfi(ax+by)—sin-dx-ay)=0

<ss

一

sin"cx+dy-pgy)*4-cosP(-dx-ay)s=0

右邊界：I——1,/7?=0

-(ax+by)=rgy

<s

(dx+ay)s=0

4.一點(diǎn)處的應(yīng)力分量cr*=30Mpa,%=-25Mpa,Txy=5QMpa,試求主應(yīng)力a2以及b1與

x軸的夾角。

解：

3^+^30^p(50)；=59.56”,

-卜丁+3=-55.06

力］二/"59.56-(30)、

%=以=30.59°

50

4

1.過P點(diǎn)的應(yīng)力分量%=VSMpa,ay=25Mpa,Txy=20Mpa。求過P點(diǎn)，

T

Z=cos30°>=cos60”斜面上的X?、KV>外、N°

解：XN=lax4-nir^=cos30°x15+cos60°x20=22.99Mpa

Vv=tnay+lrxv=COS60°x25+cos300x20=29.82Mpa

22

aN=lax+mav+2lmTXY

=cos230°xl5+cos260°x25+2xcos30°xcos60°x20

=34.S2Mpa

12

tN=ImicTy-crJ+d-m)txy

=cos300xcos600x(25-15)+(cos230°-cos2600)x20

=14.33Mpa

2.在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六面體，x、y、z方向的尺寸分別為dx、dy、dz。試依據(jù)以下圖證明:

證明：

z%=。：

Ob,

(crv+?dyyxdxxdz-(cr、,)xdxxdz

0T

?J"。dz)xdxxf/y—(r_)xdxxdy

dzv

QT

l-“dx)xdyxdzTr)xdyxdz

dxxv

+Ydxdydz=0

化簡并整理.卜.式，得：

dcrT.dr

—v+V+—^xv+y=0

dydzdx

3.圖示三角形截面水壩，材料的比重為p,承受比重為y液體的壓力，己求得應(yīng)力解為

ar=ax+by

j=cx+力-用廠試寫出直邊及斜邊上的邊界條件。

r=-dx-ay

解：由邊界條件

l((rx)s+m(Tyx)s=X

in((ry)s+1(Txy)s=Y

左邊界：I=cos0,m=-sin0

cosJ3(axby)5-sin仇-dx-ay)s=0

-sinJ3(cx^dy-pgy)s+cosp{-dx-ay)x=0

右邊界：/=-1,m=0

-(ax+by)x=ygy

(dx+ay)s=0

一點(diǎn)處的應(yīng)力分量,試求主應(yīng)力以及?與

4.=30Mpa,ay=-25Mpa,txv=50Mpa<TP<T2

x軸的夾角。

解:

=30125+J(30；25)+⑸))?=59.5pa

=—55.06Mpa

.]=次-彳經(jīng)3]=30.59。

%V50J

5.在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六面體，x、y、z方向的尺寸分別為dx、dy>dz。試依據(jù)以下圖證明:

E%比

--+—+^+z=()。

ozexdy

0O-

(cr.H-------dz)xdxxdy—(cr.)xdxxdy

dz

c?r

+(rH------dx)xdyxdz—9)xdyxdz

dx

dyyxdzxdx—(rv_)xdzxdx

+Zdxdydz=0

化簡并整理上式:

d(r.vdr,

——-4-^xz-4-—Y—+Z=0

dzdxdy

6.圖示懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為P，設(shè)應(yīng)力函數(shù)。=4/+8/丁+。町/+勿3恒能滿

足雙調(diào)和方程。試求應(yīng)力分量并寫出邊界條件。

解：

所設(shè)應(yīng)力函數(shù)。

相應(yīng)的應(yīng)力分量為：

%=翳=26+6為

4二零一刀=64+2By-py

%=一霸=-2版-2。

邊界條件為：

上外表要求

XN=(-rj=o=。，B=0

A=(-by)y=0=0,A=。

斜邊界：y=xtgc/,/=-sina,m=cosa,邊界條件得：

-(2Cr+6Dy)sina-2Cycosa=0

2。sina-pycosa=0

計(jì)算題

I.圖中所示的矩形截面體,受力如下圖，試寫出其邊界條件。

x=b,<yx=0;rxy=p

x=-b,q=q;%,=0

次要邊界條件，在y=0上，

（rxv）v=0=0,滿足；

rb

L億）尸戶二一尸

LM億）…x公=一F彳b

2.圖中所示的矩形截面體，在。處受有集中力b和力矩M=M/2作用，試用應(yīng)力函數(shù)。=Av5+8K

求解圖示問題的應(yīng)力分展，設(shè)在A點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。

X

Fb/2

b

-Ay

Fb

(h?b,6-1)

解：應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解，

（1）校核相容方程▽T=0,滿足

（2）求應(yīng)力分量，在無體力時(shí)，得

crY=6Ax4-2B,（yv=rrv=0

考察主要邊界條件，

x=±b,av=rvv=0,均滿足。

考察次要邊界條件、在），=（）上，

（%）尸0=°，滿足；

￡（叫）尸0八=一尸，得B=$

fbFbF

［（cr）x^Zr=----,得4=----y

J4yvzo28b2

代入，得應(yīng)力的解答，

F3x

cr=----（14-——），=T=0

）v2b2bxxy

上述應(yīng)力已滿足了▽》=（）和全部邊界條件，因而是上述問題的解。

3.圖中所示的懸臂梁，長度為/,高度為力，l?h,在邊界上受均勻分布荷載4,試驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)

（/）=出戶+Bx2/+Cv3+Dx2+Ex2y

能否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。

4.如下圖矩形截面柱，承受偏心荷載P的作用。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)e=+81,試求各應(yīng)力分量。

解：（1）檢驗(yàn)相容方程是否滿足，由▽4（。）=0

〔2〕求應(yīng)力分量：

cr=0（TV=6Ax+2BrKV=0

（3）由邊界條件：），=/?邊，由圣維南原理可得:

可得：B=-p/4a

工9）=。a=一〃?（

可得：A=-4

8〃2

〔4〕應(yīng)力分量為：

cr(0

:x-2

4a22cl

=°

aa

5.試推導(dǎo)平面問題的y方向的平衡微分方程%+吆+<=()

dydx

解:

dj

△dx

dx

6