八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)大題專項(xiàng)訓(xùn)練：全等三角形的證明及計(jì)算（30道）

八上數(shù)學(xué)【全等三角形的證明及計(jì)算】大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

1.(2022?黃州區(qū)校級(jí)模擬)如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF

-LCB,垂足為F.

(1)求證：△ABCZ^ADE；

(2)求NFAE的度數(shù)；

(3)求證：CD=2BF+DE.

2.（2022?忠縣期末）在AABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，設(shè)BE與CD相

交于點(diǎn)F.

（1）如圖①，設(shè)NA=60°,BE、CD分別平分NABC、ZACB,證明：DF=EF.

（2）如圖②，設(shè)BE_LAC,CDLAB,點(diǎn)G在CD的延長(zhǎng)線上，連接AG、AF；若

ZG=Z6,BD=CD,證明：GD=DF.

3.（2022?路北區(qū)期中）如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC=4,AB=CD,BD=6,

點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C

出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C-B-C作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD

向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨

之停止運(yùn)動(dòng).

(1)證明:AD〃BC.

(2)在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△口￡6與4

BFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)aDEG

與4BFG全等的情況.

備用圖1備用圖2

4.(2022?北脩區(qū)校級(jí)期末)如圖，已知凸五邊形ABCDE中，EC,EB為其對(duì)角

線，EA=ED.

(1)如圖1,若NA=60°,ZCDE=120°,且CD+AB=BC.求證：CE平分N

BCD；

(2)如圖2,NA與ND互補(bǔ)，ZDEA=2ZCEB,若凸五邊形ABCDE面積為30,

且CD=5B=4.求點(diǎn)E到BC的距離.

E

5.(2022?宜興市期中)如圖，在aABC中,已知NABC=45°,過(guò)點(diǎn)C作CD,

AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作BMLAC于點(diǎn)M,CD與BM相交于點(diǎn)E,且點(diǎn)E是CD的中

點(diǎn)，連接MD,過(guò)點(diǎn)D作DNLMD,交BM于點(diǎn)N.

(1)求證：ADBN^ADCM；

(2)請(qǐng)?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

6.(2022?淅川縣期末)如圖1,AABC的邊BC在直線1上，AC±BC,且AC=

BC；AEFF的邊FP也在直線1上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.

(1)示例：在圖1中，通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量

關(guān)系和位置關(guān)系.

答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、.

(2)將4EFP沿直線1向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP,

BQ.請(qǐng)你觀察、測(cè)量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.答：

BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是、.

(3)將AFFP沿直線1向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)Q,連接AP、BQ.你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置

關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.(2022?渝中區(qū)校級(jí)期中)如圖，直線AB交x軸正半軸于點(diǎn)A(a,0),交

y軸正半軸于點(diǎn)B(0,b),且a、b滿足Ja—4+14-b|=0,

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)D為OA的中點(diǎn)，連接BD,過(guò)點(diǎn)。作OEJ_BD于F,交AB于E,求證：Z

BDO=ZEDA；

(3)如圖，P為x軸上A點(diǎn)右側(cè)任意一點(diǎn)，以BP為邊作等腰Rt^PBM,其中

PB=PM,直線MA交y軸于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段0Q的長(zhǎng)是否發(fā)

生變化？若不變，求其值；若變化，求線段0Q的取值范圍.

8.(2022?崇川區(qū)校級(jí)期末)如圖1,點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在

x軸上，CD平分NACB與y軸交于D點(diǎn)，NCA0=90°-ZBD0.

(1)求證：AC=BC；

(2)在(1)中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且NDEA=NDB0,

如圖2,求BC+EC的長(zhǎng);

(3)在(1)中，過(guò)D作DFLAC于F點(diǎn)，點(diǎn)H為FC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為0C上

一動(dòng)點(diǎn)，(如圖3),當(dāng)點(diǎn)H在FC上移動(dòng)、點(diǎn)G在0c上移動(dòng)時(shí)，始終滿足N

GDH=NGD0+NFDH,試判斷FH、GH、0G這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)

論并加以證明.

9.(2022?莆田期中)如圖1,0A=2,0B=4,以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象

限作等腰RtAABC,

(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)如圖2,P為y

以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰RtZXAPD,過(guò)D作DELx軸于E點(diǎn)，求OP-DE的

值;

(3)如圖3,已知點(diǎn)F坐標(biāo)為(-2,-2),當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方

向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作RtAFGH,始終保持NGFH=90°,FG與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G(0,

m),FH與x軸正半軸交于點(diǎn)H(n,0),當(dāng)G點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向

運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下兩個(gè)結(jié)論：①m-n為定值；②m+n為定值，其中只有一個(gè)結(jié)論是

正確的，請(qǐng)找出正確的結(jié)論，并求出其值.

10.(2022?南崗區(qū)校級(jí)月考)在AABC中，AB=AC,BDLAC于點(diǎn)D,BE平分/

ABD,點(diǎn)F在BD上，ZBEF=45°

(1)如圖1,求證:BF=CE；

(2)如圖2,作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接AM,交BE的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)N,若NBAC=30°,請(qǐng)?zhí)骄烤€段EF與MN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖1圖2

11.(2022?運(yùn)城期末)綜合與探究

如圖，在aABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,CE的延長(zhǎng)線交

BD于點(diǎn)F.

(1)求證：ZXACEZZ:\ABD.

(2)若NBAC=NDAE=50°,請(qǐng)直接寫出NBFC的度數(shù).

(3)過(guò)點(diǎn)A作AHLBD于點(diǎn)H,求證：EF+DH=HF.

12.(2022?松桃縣期末)如圖①：AABC中，AC=BC,延長(zhǎng)AC到E,過(guò)點(diǎn)E作

EFLAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CB到G,過(guò)點(diǎn)G作GHLAB交AB的延長(zhǎng)

線于H,且EF=GH.

(1)求證：△AEFZABGH；

(2)如圖②，連接EG與FH相交于點(diǎn)D,若AB=4,求DH的長(zhǎng).

13.(2022?兩江新區(qū)期末)在RtZkABC中，NABC=90°,點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE.AC=DE,BC=BE.

(1)求證：AB=BD；

(2)BF平分NABC交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)G是線段FB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DG,點(diǎn)

H是線段DG上一點(diǎn)，連接AH交BD于點(diǎn)K,連接KG.當(dāng)KB平分NAKG時(shí)，求

證:AK=DG+KG.

14.(2022?濟(jì)南期末)如圖1,AABE是等腰三角形，AB=AE,ZBAE=45°,

過(guò)點(diǎn)B作BC_LAE于點(diǎn)C,在BC上截取CD=CE,連接AD、DE并延長(zhǎng)AD交BE

丁點(diǎn)P;

(1)求證：AD=BE；

(2)試說(shuō)明AD平分NBAE；

(3)如圖2,將4CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么AD與BE的位置關(guān)系

是否發(fā)生變化，說(shuō)明理由.

15.(2022?渭濱區(qū)期末)如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC=4,AB=CD,BD=

6,點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從

點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C-B-C做勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)

沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)

也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)試證明：AD〃BC.

(2)在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△?！?與4

BFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，4DEG與4BFG

全等.

16.(2022?寧津縣期末)(1)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這

種典型的基本圖形.如圖1,已知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直

線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BDL直線1,CEL直線1,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明：DE=

BD+CE.

(2)組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2,將

(1)中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線1上，并且

有NBDA=NAEC=NBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE

是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題:

如圖3,過(guò)4ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC邊

上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I,求證：I是EG的中點(diǎn).

17.(2022?富縣期中)如圖，在AABC中，ZACB=60°,D為aABC邊AC上一

點(diǎn)，BC=CD,點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，CE平分NACM,且AC=CE.連接BE交

AC于點(diǎn)F,G為邊CE上一點(diǎn)，滿足CG=CF,連接DG交BE于點(diǎn)H.

(1)求NDHF的度數(shù);

(2)若EB平分NDEC,則BE平分NABC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(2022?臺(tái)安縣月考)如圖所示，BD、CE是aABC的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線

上，CA=BP,點(diǎn)Q在CE上，QC=AB.

(1)探究PA與AQ之間的關(guān)系；

(2)若把(1)中的4ABC改為鈍角三角形，AOAB,NA是鈍角，其他條件

不變，上述結(jié)論是否成立？畫出圖形并證明你的結(jié)論.

19.(2022?浦東新區(qū)期末)如圖，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC

=ZDAE=90°.

(1)當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖①，線段BD,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

請(qǐng)證明你的猜想；

(2)將圖①中的4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),如圖②，線

段BD,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(2022?吉安縣期末)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題:

如圖1,AABC中，若AB=8,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明

在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,

請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△ADCZZXEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得AD的取值范圍是.

A.6<AD<8B.6WADW8C.1<AD<7D.1<AD<7

(3)如圖2,AD是aABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求

證：AC=BF.

21.(2022?立山區(qū)期中)如圖，已知AABC中，AB=AC=9cm,BC=6cm,點(diǎn)D為

AB的中點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P在邊BC上以1.5cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在

邊CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，ABPD與4CQP是

否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，經(jīng)過(guò)t秒后，4BPD與4CQP

全等，求此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t.

（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同

時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿^ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第

一次在AABC的邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解

題過(guò)程）

A

BpC

22.（2022?太康縣期末）如圖，已知R3AB3R3ADE,ZABC=ZADE=90°,

BC與DE相交于點(diǎn)F,連接CD、BE.

（1）請(qǐng)你找出圖中其他的全等三角形；

（2）試證明CF=EF.

A

23.（2022?潮安區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD

//BC,E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE,BEXAE,延長(zhǎng)

AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.已知AD=2cm,BC=5cm.

（1）求證：FC=AD；

5----------C--------F

(2)求AB的長(zhǎng).

24.(2022?黃石期末)已知AABC和ADEF為等腰三角形，AB=AC,DE=DF,Z

BAC=NEDF,點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在射線AC上.

(1)如圖1,若NBAC=60°,點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，求證：AF=AE+AD；

(2)如圖2,若AD=AB,求證:AF=AE+BC.

25.(2022?濟(jì)南期中)把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形

ACBD以D為頂點(diǎn)作NMDN,交邊AC、BC于M、N.

(1)若NACD=30°,ZMDN=60°,當(dāng)NMDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM、MN、BN三

條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)NACD+NMDN=90°時(shí)，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證

明你的結(jié)論；

(3)如圖③，在(2)的條件下，若將M、N改在CA、BC的延長(zhǎng)線上，完成圖

3,其余條件不變，則AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論，不必證

明)

c

26.（2022?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖1,OP是NMON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫

一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形,并將添加的全等條件標(biāo)注在圖上.

請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖2,在AABC中，NACB是直角，ZB=60°,AD、CE分別是NBAC和

NBCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F,求NEFA的度數(shù)；

（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）如圖3,在aABC中，如果NACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，

試問(wèn)在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

27.（2022?長(zhǎng)壽區(qū)期末）如圖，ZXABC中，AOAB,D是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)

E是NCAD平分線上一點(diǎn)，EB=EC過(guò)點(diǎn)E作EF_LAC于F,EGJ_AD于G.

（1）請(qǐng)你在不添加輔助線的情況下找出一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形，并加以證

明;

(2)若AB=3,AC=5,求AF的長(zhǎng).

28.(2022?呼和浩特期中)如圖：AE±AB,AFLAC,AE=AB,AF=AC,

(1)圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論.

(2)連接AM,求證：MA平分NEMF.

29.(2022?句容市校級(jí)月考)把兩個(gè)含有45°角的大小不同的直角三角板如圖

放置，點(diǎn)D在BC上，連接BE,AD,AD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)F.說(shuō)明：AFXBE.

30.(2022?雅安期末)如圖，在aABC中，AC=BC,ZACB=90°，點(diǎn)D為AABC

內(nèi)一點(diǎn)，且BD=AD.

(1)求證：CDXAB；

(2)ZCAD=15°,E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CA.

①求證：DE平分NBDC；

②若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM,請(qǐng)判斷ME、BD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明;

③若N為直線AE上一點(diǎn)，且4CEN為等腰三角形，直接寫出NCNE的度數(shù).

參考答案及解析

1.(2022?黃州區(qū)校級(jí)模擬)如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂足為

F.

(1)求證：△ABC法△ADE；

(2)求NFAE的度數(shù);

【分析】(1)根據(jù)題意和題目中的條件可以找出^ABC咨4ADE的條件；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到NFAE的度數(shù)；

(3)根據(jù)題意和三角形全等的知識(shí)，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立.

【解答】證明：(1)VZBAD=ZCAE=90°,

/.ZBAC+ZCAD=90°,ZCAD+ZDAE=90°,

，NBAC=NDAE,

JAB=AD

在4BAC和ADAE中，zBAC=zDAE,

AC=AE

AABAC^ADAE(SAS)；

(2)VZCAE=90°,AC=AE,

/.ZE=45°,

由⑴知△BACdDAE,

；.NBCA=NE=45°,

VAFXBC,

/.ZCFA=90°,

，NCAF=45°,

...NFAE=NFAC+NCAE=45°+90°=135°；

(3)延長(zhǎng)BF到G,使得FG=FB,

VAF±BG,

...NAFG=NAFB=90°,

(BF=GF

在4AFB和AAFG中，zAFB=zAFG)

(AF=AF

AAAFB^AAFG(SAS),

AAB=AG,NABF=NG,

ABAC^ADAE,

AAB=AD,NCBA=NEDA,CB=ED,

AAG=AD,NABF=NCDA,

/.ZG=ZCDA,

VZGCA=ZDCA=45°,

(ZGCA=ZDCA

在4CGA和ACDA中，ZCGA=ZCDA，

VAG=AD

AACGA^ACDA(AAS),

，CG=CD,

CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

.\CD=2BF+DE.

2.(2022?忠縣期末)在AABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，設(shè)BE與CD相交于點(diǎn)F.

(1)如圖①，設(shè)NA=60°,BE,CD分別平分NABC、ZACB,證明：DF=EF.

(2)如圖②，設(shè)BELAC,CDLAB,點(diǎn)G在CD的延長(zhǎng)線上，連接AG、AF；若NG=N6,BD

=CD,證明：GD=DF.

【分析】（1）在BC上截取BM=BD,連接FM,證明ABFD等AfiFM,AECF^AMCF,進(jìn)而可

以解決問(wèn)題；

（2）根據(jù)已知條件證明4BDF咨4CDA,進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【解答】證明：（1）如圖，在BC上截取BM=BD,連接FM,

ZA=60,

/.ZBFC=90°+60°4-2=120°,

AZBFD=60°,

VBE平分NABC,

/.Z1=Z2,

(BD=BM

在ABED和ABFM中，Nl=乙2,

BF=BF

AABFD^ABFM(SAS),

/.ZBFM=ZBFD=60°,DF=MF,

...NCFM=120°-60°=60°,

VZCFE=ZBFD=60°,

.*.ZCFM=ZCFE,

,.,CD平分NACB,

，N3=N4,

又CF=CF,

(ZCFE=ZCFM

在4ECF^DAMCF中，F(xiàn)C=FC

Z3=Z4

AAECF^AMCF(ASA),

.,.EF=MF,

.\DF=EF；

(2)VBEXAC,CD±AB,

...NBDF=NCDA=90°,

.\Z1+ZBFD=9O°,N3+NCFE=90°,ZBFD=ZCFE,

：.Z1=Z3,

VBD=CD,

(ZBDF=ZCDA

在4BDF和ACDA中，BD=CD,

Ll=Z3

AABDF^ACDA(ASA),

.\DF=DA,

VZADF=90°,

，N6=45°,

：NG=N6,

.?.N5=45°

.?.NG=N5,

.\GD=DA,

，GD=DF.

3.(2022?路北區(qū)期中)如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC=4,AB=CD,BD=6,點(diǎn)E從D點(diǎn)

出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位

的速度沿C-B-C作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，

當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)證明：AD/7BC.

(2)在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有ADEG與ABFG全等的情

況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)aDEG與4BFG全等的情況.

備用圖1備用圖2

【分析】(1)由AD=BC=4,AB=CD,BD為公共邊，所以可證得△ABDZACDB,所以可知

ZADB=ZCBD,所以AD〃BC；

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為v,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

(AD=BC

【解答】(1)證明：在AABD和ACDB中，AB=CD，

BD=DB

AAABD^ACDB(SSS),

ZADB=ZCBD,

；.AD〃BC；

(2)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為v,

當(dāng)0<tW削寸，

若△DEGZABGF,

則fDE=BF

IDG=BG

?ft=4—3t

??t6-BG=BG'

.ft=1

?TBG=3'

?\v=3；

若△DEGgZkBGF,

則［DE=BG

［DG=BF

?ft=BG

e*t6-BG=4-3t，

m二1(舍去);

當(dāng)］vtw|時(shí),

若△DEGZABFG,

則fDE=BF

」lDG=BG

?ft=3t—4

e,t6-BG=BG>

?ft=2

.?IBG=3'

?3

??V=一；

2

若△DEGgZkBGF,

則［DE=BG

lDG=BF

?ft=BG

??l6-BG=3t-4'

..一=:,

|BG=|J

.\v=l.

綜上，當(dāng)點(diǎn)G的速度為3或1.5或1時(shí).會(huì)出現(xiàn)aDEG與4BFG全等的情況.

4.(2022?北培區(qū)校級(jí)期末)如圖，已知凸五邊形ABCDE中，EC,EB為其對(duì)角線，EA=ED.

(1)如圖1,若NA=60°,ZCDE=120°,且CD+AB=BC.求證：CE平分NBCD；

(2)如圖2,NA與ND互補(bǔ)，ZDEA=2ZCEB,若凸五邊形ABCDE面積為30,且CD=|AB

=4.求點(diǎn)E到BC的距離.

E

【分析】(1)延長(zhǎng)CD到T,使得DT=BA,連接ET.證明4EAB咨4EDT(SAS),AECB^

△ECT(SSS),可得結(jié)論.

(2)延長(zhǎng)CD到Q,使得NQED=NAEB,過(guò)點(diǎn)E作EH±BC于H.證明4AEB四Z\DEQ(ASA),

△ECB=AECQ(SAS)，由題意S五邊形AKDE=S四邊形EBCQ=2SZ\EBC=30,推出SAEBC=15,再利用二

角形面積公式求出EH即可.

【解答】(1)證明：延長(zhǎng)CD到T,使得DT=BA,連接ET.

圖1

VZCDE=120°,

.".ZEDT=180o-120°=60°,

VZA=60°,

/.ZA=ZEDT,

(AE=DE

在4EAB和ZiEDT中，zA=zEDT,

(AB=DT

.".△EAB^AEDT(SAS),

.\EB=ET,

CB=CD+BA=CD+DT=CT,

EC=EC

EB=ET-

ICB=CT

AAECB^AECT(SSS)，

.,.ZECB=ZECD,

，CE平分NBCD.

(2)解：延長(zhǎng)CD到Q,使得NQED=NAEB,過(guò)點(diǎn)E作EHLBC于H.

圖2

VZA+ZCDE=180°,ZCDE+ZEDQ=180°,

?.NA=NEDQ,

ZAEB=ZDEQ

在AAEB和aDEQ中，｛EA=ED,

ZA=ZEDQ

AAAEB^ADEQ(ASA),

；.EB=EQ,

ZAED=2ZBEC,

NAEB+NCED=NBEC,

.*.ZCED+ZDEQ=ZBEC,

.\ZCEB=ZCEQ,

(EB=EQ

在ACEB和ACEQ中，NBEC=ZCEQ,

EC=EC

AAECB^AECQ(SAS),

?S五邊形ABCDE=S四邊形EBCQ=2SAEBC=30，

??SAEBC—15,

VCD=-3AB=4,

AB=6,CD=4,

BC=CD+QD=CD+AB=10,

.\ixl0XEH=15,

/.EH=3,

...點(diǎn)E到BC的距離為3.

5.(2022?宜興市期中)如圖，在AABC中，已知NABC=45°,過(guò)點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)D,過(guò)

點(diǎn)B作BMLAC于點(diǎn)M,CD與BM相交于點(diǎn)E,且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接MD,過(guò)點(diǎn)D作DN

±MD,交BM于點(diǎn)N.

(1)求證：△DBNgaDCM；

(2)請(qǐng)?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

D,

M

【分析】(1)根據(jù)兩角夾邊相等的兩個(gè)三角形全等即可證明.

(2)結(jié)論：NE-ME=CM.作DFLMN于點(diǎn)F,由(1)△DBNg^DCM可得DM=DN,由ADEF

二△CEM,推出ME=EF,CM=DF,由此即可證明.

【解答】(1)證明：VZABC=45°,CDXAB,

.,.NABC=NDCB=45°,

；.BD=DC,

VZBDC=ZMDN=90°,

ZBDN=ZCDM,

VCD±AB,BM±AC,

/.ZABM=90°-ZA=ZACD,

(ZBDN=ZCDM

在ADEN和ADCM中，BD=DC，

ZDBN=ZDCM

/.△DBN^ADCM.

(2)結(jié)論：NE-ME=CM.

證明：由(1)ADBN^ADCM可得DM=DN.

作DFLMN于點(diǎn)F,又NDLMD,

...DF=FN,

(ZDEF=ZCEM

在Z\DEF和Z\CEM中，ZDFE=ZCME>

DE=EC

/.△DEF^ACEM,

.*.ME=EF,CM—DF,

...CM=DF=FN=NE-FE=NE-ME.

D

6.(2022?淅川縣期末)如圖1,AABC的邊BC在直線1上，ACXBC,且AC=BC；4EFP的

邊FP也在直線1上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.

(1)示例：在圖1中，通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系.

答：AB與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是AB=AP、ABLAP.

(2)將4EFP沿直線1向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP,BQ.請(qǐng)你觀

察、測(cè)量，猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.答：BQ與AP的數(shù)量關(guān)系

和位置關(guān)系分別是BQ=AP、BQLAP.

(3)將4EFP沿直線1向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連

接AP、BQ.你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，

給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理

【分析】(1)由于ACLBC,且AC=BC,邊EF與邊AC重合，且EF=FP,則aABC與4EFP

是全等的等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NBAC=NCAP=45°,AB=AP,

則NBAP=90°,于是APLAB；

(2)延長(zhǎng)BQ交AP于H點(diǎn)，可得到△QPC為等腰直角三角形，則有QC=PC,根據(jù)“SAS”

可判斷△ACPg^BCQ,則AP=BQ,ZCAP=ZCBQ,利用三角形內(nèi)角和定理可得到NAHQ=

ZBCQ=90°,BPAP±BQ；

(3)BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系為相等，位置關(guān)系為垂直.證明方法與(2)一樣.

【解答】解：(1)AB=AP,AB±AP；

(2)BQ=AP,BQ±AP；

(3)成立.

證明：如圖，：/EPF=45°,

.?.NCPQ=45°.

VAC±BC,

.?.NCQP=NCPQ,

CQ=CP.

'BC=AC

在RtABCQ和RtAACP中，］zBCQ=ZACP

CQ=CP

ARtABCQ^RtAACP(SAS)

/.BQ=AP；

延長(zhǎng)QB交AP于點(diǎn)N,

...NPBN=NCBQ.

VRtABCQ^RtAACP,

ZBQC=ZAPC.

在RtaBCQ中，ZBQC+ZCBQ=90°,

AZAPC+ZPBN=90°.

/.ZPNB=90°.

AQBXAP.

7.(2022?渝中區(qū)校級(jí)期中)如圖，直線AB交x軸正半軸于點(diǎn)A(a,0),交y軸正半軸于

點(diǎn)B(0,b),且a、b滿足Va-4+|4-b|=0,

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)D為0A的中點(diǎn)，連接BD,過(guò)點(diǎn)0作0ELBD于F,交AB于E,求證：ZBD0=ZEDA；

(3)如圖，P為x軸上A點(diǎn)右側(cè)任意一點(diǎn)，以BP為邊作等腰其中PB=PM,直

線MA交y軸于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段0Q的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求其

值；若變化，求線段0Q的取值范圍.

【分析】①首先根據(jù)已知條件和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a、b的方程,解方程組即可求出a,

b的值，也就能寫出A,B的坐標(biāo)；

②作出NAOB的平分線，通過(guò)證△BOGTZ^OAE得到其對(duì)應(yīng)角相等解決問(wèn)題；

③過(guò)M作x軸的垂線，通過(guò)證明△PBOmAMPN得出MN=AN,轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形中去

就很好解決了.

【解答】解：①..?V^m+|4-b|=0

，a=4,b=4,

；.A(4,0),B(0,4)；

(2)證明：作NAOB的角平分線，交BD于G,

.\ZB0G=Z0AE=45o,OB=OA,

Z0BG=ZA0E=90°-ZBOF,

，ABOG^AOAE,

OG=AE.

VZG0D=ZEAD=45°,OD=AD,

.,.△GOD^AEDA.

.\ZGDO=ZADE.

(3)過(guò)M作MN，x軸，垂足為N.

VZBPM=90°,

AZBP0+ZMPN=90°.

VZA0B=ZMNP=90°,

...NBP0=NPMN,NPBO=NMPN,

VBP=MP,

AAPBO^AMPN(AAS),

MN=OP,PN=AO=BO,

OP=OA+AP=PN+AP=AN,

.\MN=AN,ZMAN=45°.

VZBA0=45°,

ZBA0+Z0AQ=90°

/.△BAQ是等腰直角三角形.

0B=0Q=4.

???無(wú)論P(yáng)點(diǎn)怎么動(dòng)0Q的長(zhǎng)不變.

8.(2022?崇川區(qū)校級(jí)期末)如圖1,點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸上，CD

平分NACB與y軸交于D點(diǎn)，ZCA0=90°-ZBD0.

(1)求證：AC=BC；

(2)在(1)中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且NDEA=NDB0,如圖2,求

BC+EC的長(zhǎng)；

(3)在(1)中，過(guò)D作DFLAC于F點(diǎn)，點(diǎn)H為FC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為0C上一動(dòng)點(diǎn)，(如

圖3),當(dāng)點(diǎn)H在FC上移動(dòng)、點(diǎn)G在0C上移動(dòng)時(shí)，始終滿足NGDH=NGD0+NFDH,試判

斷FH、GH、0G這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明.

圖1圖2圖3

【分析】(1)由題意NCA0=90°-ZBDO,可知NCAO=NCBD,CD平分NACB與y軸交于

D點(diǎn)，所以可由AAS定理證明△ACDgZ^BCD,由全等三角形的性質(zhì)可得AC=BC；

(2)過(guò)D作DNLAC于N點(diǎn)，可證明RtZXBDO等RtaEDN、ADOC^ADNC,因此，BO=EN、

OC=NC,所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC,即可得BC+EC的長(zhǎng)；

(3)在x軸的負(fù)半軸上取OM=FH,可證明△DFH注△DOM、AHDG^AMDG,因此，MG=GH,

所以，GH=OM+OG=FH+OG,即可證明所得結(jié)論.

【解答】(1)證明：?.,NCA0=90°-NBD0,

.\ZCA0=ZCBD.

(ZACD=ZBCD

^△ACD和4BCD中，ZCAO=zCBD,

(CD=CD

/.AACD^ABCD(AAS).

，AC=BC.

(2)解：由(1)知NCAD=NDEA=NDBO,

/.BD=AD=DE,過(guò)D作DNLAC于N點(diǎn)，如右圖所示：

ZACD=ZBCD,

.\DO=DN,

在RtZkBDO和RSEDN中，徽

(DO=DN

ARtABDO^RtAEDN(HL),

.*.BO=EN.

(ZDOC=ZDNC=90°

在ADOC和ADNC中，zOCD=zNCD

(DC=DC

AADOC^ADNC(AAS),

可知：OC=NC；

...BC+EC=BO+OC+NC-NE=20C=8.

(3)GH=FH+OG.

證明：由(1)知：DF=DO,

在x軸的負(fù)半軸上取OM=FH,連接DM,如右圖所示:

(DF=DO

在△DFH和△DOM中，zDFH=ZDOM=90%

(OM=FH

.,.△DFH^ADOM(SAS).

.*.DH=DM,Zl=Z0DM.

.\ZGDH=Z1+Z2=ZODM+Z2=ZGDM.

(DH=DM

在△HDG和△MDG中，NGDH=NGDM,

(DG=DG

AAHDG^AMDG(SAS).

，MG=GH,

.*.GH=OM+OG=FH+OG.

9.(2022?莆田期中)如圖1,0A=2,0B=4,以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt

△ABC,

(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖2,P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn),

PA為腰作等腰Rt^APD,過(guò)D作DE，x軸于E點(diǎn)，求OP-DE的值；

(3)如圖3,已知點(diǎn)F坐標(biāo)為(-2,-2),當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作

RtAFGH,始終保持NGFH=90°,FG與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G(0,m),FH與x軸正半軸交

于點(diǎn)H(n,0),當(dāng)G點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下兩個(gè)結(jié)論：①m-n為定

值；②m+n為定值，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)找出正確的結(jié)論，并求出其值.

【分析】(1)要求點(diǎn)C的坐標(biāo)，則求C的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，因?yàn)锳C=AB,則作CM，x軸，

即求CM和AM的值，容易得△MACTA0BA,根據(jù)已知即可求得C點(diǎn)的值；

(2)求OP-DE的值則將其放在同一直線上，過(guò)D作DQLOP于Q點(diǎn)，即是求PQ的值，由

圖易求得△AOPg/XPDQ(AAS),即可求得PQ的長(zhǎng)；

(3)利用(2)的結(jié)論，可知m+n為定長(zhǎng)是正確的，過(guò)F分別作x軸和y軸的垂線，類似

(2),即可求得m+n的值.

【解答】解：(1)過(guò)C作CM，x軸于M點(diǎn)，如圖1,

VCM±OA,AC±AB,

AZMAC+Z0AB=90°,N0AB+N0BA=90°

則NMAC=NOBA

(ZCMA=ZAOB=90°

在4MAC和AOBA中，zMAC=zOBA

AC=BA

則△MACgZXOBA(AAS)

則CM=0A=2,MA=0B=4,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-6,-2)；

(2)過(guò)D作DQLOP于Q點(diǎn)，如圖2,貝［］OP-DE=PQ,ZAP0+ZQPD=90°

ZAP0+Z0AP=90°,則NQPD=NOAP,

rzAOP=ZPQD=90°

在aAOP和4PDQ中，zQPD=ZOAP

(AP=PD

則△AOPg/SPDQ(AAS)

AOP-DE=PQ=0A=2；

(3)結(jié)論②是正確的，m+n=-4,

如圖3,過(guò)點(diǎn)F分別作FS，x軸于S點(diǎn)，F(xiàn)T，y軸于T點(diǎn),

貝!|FS=FT=2,ZFHS=ZHFT=ZFGT,

(ZFSH=ZFTG=90°

在AFSH和AFTG中，zFHS=ZFGT

FS=FT

則△FSH也Z\FTG(AAS)

則GT=HS,

又?；G(0,m),H(n,0),點(diǎn)F坐標(biāo)為(-2,-2),

/.0T=0S=2,0G=|m|=-m,0H=n,

/.GT=OG-0T=-m-2,HS=0H+0S=n+2,

則-2-m=n+2,

貝［Jm+n=-4.

10.(2022?南崗區(qū)校級(jí)月考)在AABC中，AB=AC,BDLAC于點(diǎn)D,BE平分NABD,點(diǎn)F在

BD上，ZBEF=45°

(1)如圖1,求證：BF=CE；

(2)如圖2,作EMLBE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接AM,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,若NBAC

=30°,請(qǐng)?zhí)骄烤€段EF與MN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【分析】(1)在AB上截取BG=BF,連接EG,利用BE平分NABD,可得NGBE=NFBE,根

據(jù)題意易求證△BGEg/^BFE(SAS),設(shè)NEBG=NEBF=a,NDBC=B,根據(jù)角度關(guān)系可

求證GE〃BC,通過(guò)等量代換即可求解；

(2)數(shù)量關(guān)系為：MN=2EF,理由為連接NC,根據(jù)題意可求證BE=EM,ZEBF=ZCEM=

30°,BF=CE,從而求證4BEF^4EMC(SAS),可得EF=MC,即可求解.

【解答】(1)證明：如圖，在AB上截取BG=BF,連接EG,

VBE平分NABD,

/.ZGBE=ZFBE,

VBG=BF,BE=BE,

/.△BGE^ABFE(SAS),

AZGEB=ZFEB=45°,

設(shè)NEBG=ZEBF=a,ZDBC=B,

/.ZAGE=ZGBE+ZGEB=45°+a,

VAB=AC,

；.NC=NABC=2a+B,

VZBDC=90°,

.,.ZDBC+ZC=90°,即2a+B+B=90°,

，a+B=90°,

：.ZABC=2a+0=45°+a,

ZABC=ZAGE,

.，.GE〃BC,

ZAEG=ZC=ZABC=ZAGE,

；.AG=AE,

AAB-AG=AC-AE,即BG=CE,

VBF=BG,

；.BF=CE；

(2)解：數(shù)量關(guān)系為：MN=2EF,理由如下:

VZBAC=30°,AB=AC,

AZABC=ZACB=75°,

VBDXAC,

.,.ZDBC=90°-75°=15°,

：.ZABD=75°-15°=60°,

：BE平分NABD,

AZABE=ZEBD=30°,

.,.ZBAC=ZABE=30°,

\AE=BE,

/.ZBED=ZBAC+ZABE=75°,

，NEMC=45°,

VZEBM=ZEBD+ZDBC=45°,

.*.ZEMC=ZEBM=45O,

ABE=EM,

；.EM=AE,

...NEAM=NEMA=±1NCEM=15°,

2

AZAMC=ZEMC+ZAME=60°=NBEC,

如圖，連接NC,

；.E、N、M、C四點(diǎn)共圓,

AZNCM=ZNEM=90°,

在Rt/XNMC中，NNMC=60°,

/.ZCNM=30°,

1

，CM=-MN,

2

VBE=EM,ZEBF=ZCEM=30°,BF=CE,

AABEF^AEMC(SAS),

；.EF=MC,

.\MN=2EF.

11.(2022?運(yùn)城期末)綜合與探究

如圖，在AABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,CE的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)F.

(1)求證：4ACEmAABD.

(2)若NBAC=NDAE=50°,請(qǐng)直接寫出NBFC的度數(shù).

(3)過(guò)點(diǎn)A作AHLBD于點(diǎn)H,求證：EF+DH=HF.

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得NAEC=NADB,結(jié)合平角的定義可得NDAE+NDFE=180°,

根據(jù)NBFC+NDFE=180°,可求得NBFC=NDAE,即可求解；

(3)連接AF,過(guò)點(diǎn)A作AJ±CF于點(diǎn)J.結(jié)合全等三角形的性質(zhì)利用HL證明RtAAFJ^Rt

△AFH,RtZSAJE等Rt^AHD可得FJ=FH,EJ=DH,進(jìn)而可證明結(jié)論.

【解答】(1)證明：?.?NBAC=NDAE.

.\ZCAE=ZBAD.

AC=AB

在4ACE和AABD中，zCAE=/BAD,

AE=AD

A△ACEABD(SAS)；

(2)解：?.?△ACEgZiABD,

/.ZAEC=ZADB,

AZAEF+ZAEC=ZAEF+ZADB=180°.

.,.ZDAE+ZDFE=180°,

VZBFC+ZDFE=180°,

/.ZBFC=ZDAE=ZBAC=50°；

(3)證明：如圖，連接AF,過(guò)點(diǎn)A作AJLCF于點(diǎn)J.

??SAACE=SAABD，CE=BD,

VAJ±CE,AH±BD.

??AJ=AH?

在RtAAFJ和RtAAFH中，慌二弁，

ARtAAFJ^RtAAFH(HL),

.*.FJ=FH.

在RtAAJE和RtAAHD中，二超，

ARtAAJE^RtAAHD(HL),

，EJ=DH,

EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.

12.(2022?松桃縣期末)如圖①：4ABC中，AC=BC,延長(zhǎng)AC到E,過(guò)點(diǎn)E作EFLAB交AB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,延長(zhǎng)CB到G,過(guò)點(diǎn)G作GHLAB交AB的延長(zhǎng)線于H,且EF=GH.

(1)求證：△AEFgABGH；

(2)如圖②，連接EG與FH相交于點(diǎn)D,若AB=4,求DH的長(zhǎng).

【分析】(1)利用AAS即可證明△AEFgaBGH；

(2)結(jié)合(1)證明△EFD^^GHD,即可解決問(wèn)題.

【解答】(1)證明：?.?AC=BC,

/.NA=NABC.

ZABC=ZGBH,

/.ZA=ZGBH.

VEF±AB,GH±AB,

NAFE=NBHG.

(ZA=ZGBH