北京市海淀區(qū)2024年高考數(shù)學(xué)一模試卷（含答案）

北京市海淀區(qū)2024年高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知全集U={%|-2<%<2},集合a={x|-1<%<2},則CiM=（）

A.（—2,—1）B,[—2,—1]C.（—2,—1）U{2}D.[—2,-1）U{2}

2.若復(fù)數(shù)z滿足zi=1+i,貝Uz的共根復(fù)數(shù)是（）

A.-1—iB.1+iC.-1+iD.1—i

3.已知{即}為等差數(shù)列，S.為其前n項(xiàng)和.若的=2ci2，公差Sm=0,則m的值為（）

A.4B.5C.6D.7

4.已知向量2B滿足|方|=2花=（2,0）,且口+應(yīng)=2,則位花〉=（）

A.B.IC.年D,

6336

5.若雙曲線圣—m=l（a>0,b>0）上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)（-，虧,0）的距離比到焦點(diǎn)（d虧,0）的距離大b,則該雙曲

線的方程為（）

A,——y2=1B.-y2=1C.x2—=1D.x2-=1

4,21724

6.設(shè)a,S是兩個(gè)不同的平面，I,血是兩條直線，且mua,110.則“11￡”是“血〃夕’的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知/Xx）={[（]+i）:曰:函數(shù)/（%）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為小,過(guò)點(diǎn)（0,2）與曲線y=/（%）相切的直線的條數(shù)為九,

則771,幾的值分別為（）

A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a以。無(wú)為始邊，終邊在第三象限.則（）

A.sina—cosa<tanaB.sina—cosa>tana

C.sina?cosa<tanaD.sina?cosa>tana

9.函數(shù)/Xx）是定義在（-4,4）上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，/⑶=0.設(shè)/⑴是

人光）的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式/（久+1）"'（久）20的解集是（）

A.[0,2]B,[-3,0]U[3,4)C.(-5,0]U[2,4)D.(-4,0]U[2,3)

第1頁(yè)，共11頁(yè)

10.某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)

律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會(huì)以該直線為對(duì)稱軸分叉(分叉的角度約為60。)，再沿直線繁殖，…；

②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過(guò)程抽象

為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心。開始，沿直線繁殖到41，然后分叉向與方

向繼續(xù)繁殖，其中“2出遇22=60°,且41血1與&血2關(guān)于所在直線對(duì)稱，^11^21=&1&2=方。21，

....若021=4“1,為保證黏菌在繁殖過(guò)程中不會(huì)碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r(r6N*,單位：cm)至少

為()

培養(yǎng)皿壁

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.已知In?=2,則仇a?—仇人2=.

b------

12.已知OC：(x-l)2+y2=3,線段是過(guò)點(diǎn)(2,1)的弦，則的最小值為.

4432

13.若(％—2)=a4x+a3x+a2x+arx+a0,見(jiàn)la。=；.

14.已知函數(shù)/(%)=sin(x+7)sin2x,則疳兀)=____;函數(shù)/(%)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為______

44

15.已知函數(shù)/(%)=y/x3—x,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/(%)是奇函數(shù)；

②YkGR,且/c。0,關(guān)于％的方程/(%)-々％=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

③已知P是曲線y=中)上任意一點(diǎn)，^A\AP\>j；

④設(shè)”(如月)為曲線y=f(x)上一點(diǎn)，火如力)為曲線y=-/(%)上一點(diǎn),若氏+不1=1，則|MN|>1.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

第2頁(yè)，共11頁(yè)

16.(本小題13分)

在△ABC中，bsinC+y/~3ccosB=2c.

(I)求NB；

(II)若a=2y/~3,b+c=4,求aABC的面積.

17.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P—2BC。中，AD//BC,M為8P的中點(diǎn)，AM//平面CDP.

(I)求證：BC=2AD-,

(II)若P4VAB,AB=AP=AD=CD=1,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已

知，使四棱錐P—4BCD存在且唯一確定.

(i)求證：PA

(ii)設(shè)平面CDPn平面BAP=I,求二面角C—I—B的余弦值.

條件①：BP=DP；

條件②：ABLPC；

條件③：乙CBM=ACPM.

注：如果選擇的條件不符合要求，第①問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)

分.

18.(本小題13分)

某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過(guò)程性積分.現(xiàn)從

該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測(cè)試成績(jī)(百分制，且均為整數(shù))及相應(yīng)過(guò)程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：

第3頁(yè)，共11頁(yè)

科普測(cè)試成績(jī)X科普過(guò)程性積分人數(shù)

90<%<100410

80<x<903a

70<%<802b

60<x<70123

0<%<6002

(I)當(dāng)a=35時(shí),

(i)從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率；

(ii)從該?？破諟y(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過(guò)程性積分之和，估計(jì)X

的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(II)從該?？破者^(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為小，上述100名學(xué)生科普

測(cè)試成績(jī)的平均值記為匕.若根據(jù)表中信息能推斷匕<匕恒成立，直接寫出a的最小值.

19.(本小題15分)

已知橢圓G：龍2+爪〉2=爪的離心率為苧,4］，4分別是6的左、右頂點(diǎn)，尸是G的右焦點(diǎn).

(I)求m的值及點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(II)設(shè)P是橢圓G上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線x=2上，且PF1FQ,直線PQ與x軸交于點(diǎn)M.比較與

IMA/?陽(yáng)加的大小.

20.(本小題15分)

1

已知函數(shù)/(%)=xe所產(chǎn).

(I)求人久)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)g(x)=|/(x)+e~2a\,xe(0,+8)存在最大值，求a的取值范圍.

21.(本小題15分)

已知：Q：a］，a?,…，<2巾2(巾N2,meN*)為有窮正整數(shù)數(shù)列，其最大項(xiàng)的值為?n,且當(dāng)k=0,1,m-1

時(shí),均有a/?n+t豐afcm+7(l<i<j<m).設(shè)壇=0,對(duì)于te［0,1,1},定義=min{n\n>bt,an>t},

其中，m譏M表示數(shù)集M中最小的數(shù).

(I)若Q：3,1,2,2,1,3,1,2,3,寫出瓦，仇的值；

(II)若存在Q滿足：&+歷+以=11，求小的最小值；

(III)當(dāng)爪=2024時(shí)，證明：對(duì)所有Q,歷023320240.

第4頁(yè)，共11頁(yè)

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】4

12.【答案】2

13.【答案】16-g

14.【答案】—1(一％0)(答案不唯一)

15.【答案】②③④

16.【答案】解：(I)bsinC+y/~3ccosB=2c,

???由正弦定理得，sinBsinC+y/~3sinCcosB=2sinC,

CG(0,7r),???sinCW0,

???sinB+y[3cosB=2,

1.,<3門y

:.-sinBn+—cosB=1,

???sin(B+^)=1,

???B=I；

o

(II)???B=^,a=2/3,b+c=4,

由余弦定理=a2+c2—2accosB,得爐=12+(4—b)2—2x2V~3x(4—fa)x苧,

第5頁(yè)，共11頁(yè)

解得b=2,

c-2j

ABC的面積S=^acsinB=jx273X2X1=<3.

17.【答案】解：（I）證明：取PC的中點(diǎn)N,連接MN,ND,

1

因?yàn)镸為BP的中點(diǎn)，所以MN=：BC,MN//BC,

因?yàn)?D〃BC,所以AD〃MN,所以M,N,D,4四點(diǎn)共面.

因?yàn)?M〃平面COP,平面MN￡MCl平面CDP=DN,所以4M〃DN,

所以MN=4D.所以BC=2AD.

(II)取BC的中點(diǎn)E,連接AE,AC,

由(I)知BC=2AD,所以EC=AD.

因?yàn)镋C〃4D,所以四邊形4ECD是平行四邊形.

所以EC=4。=1,AE=CD.

1

因?yàn)?B=CD=L所以4E=1=/8C,所以NB"=90。，^AB1AC.

第6頁(yè)，共11頁(yè)

選條件①：BP=DP.

(i)證明：因?yàn)?B=4D=LPA=PA,所以aPAB之△「&￡>,所以NPAB=NPAD.

因?yàn)?8_LPA,所以ZJMB=90。，所以NPA￡)=90。，即AP_L2D所以4P1平面ABCD.

(花)由(i)知4PJ?平面ABCD,所以AP_LAC.

因?yàn)?4LAB,AP=1,如圖建立空間直角坐標(biāo)系2—xyz,

則P(0,0,l),C(0,V3,0),D(—

所以麗=(一a一苧,0),而=(4,亨1),IC=(0,/3,0)，

設(shè)平面PDC的法向量為元=(x,y,z),貝4g,邁=°,即!一彳”后-o

AyO

tn-PD=01_工久中-Z-

令x=6,貝1Jy=-1，Z=-<3>所以元=(，1,一1,—，I)，

因?yàn)檎秊槠矫鍼AB的法向量，且cos(而，元>=備5=—?,

|因帆|7

所以二面角C一/—B的余弦值為—

選條件③：乙CBM=LCPM.

(i)證明：所以CB=CP.因?yàn)锳B=2P=1,CA=CA,所以△ABC絲△2PC.

所以NP4C=N84C=90。，即PA_L4C.因?yàn)镻A_L48,所以PA1平面48CD.

(ii)由(i)知AP_L平面4BCD,所以AP1AC.

因?yàn)镻ALAB,AP=1,如圖建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

第7頁(yè)，共11頁(yè)

則P(0,0,l),C(0,<3,0),O(U亨0),

所以麗=(一：,—苧,0),麗=(+，?,—1),Zc=(0,73,0),

1

o

-X--

n2

n-CD=Op

設(shè)平面尸0C的法向量為元=（x,y,z）,則f1

元?麗=0'-X十Z-O

2-

令x=g則y=-Lz=-V3,所以元=（門,一1,-6）,

因?yàn)榻鼮槠矫鍼4B的法向量，且cos（正，元＞=萼1=—?,

所以二面角C—/—8的余弦值為

不可選條件②，理由如下：

由①可得4B14C,XPAA.AB,

PAOAC=A,PA,ACu平面PAC,ABI平面PAC,

???PCu平面PAC,ABLPC,

AB1PC是由已知條件可推出的條件，

故不可選條件②.

18.【答案】解：（I）當(dāng)a=35時(shí),

⑷由表可知，科普過(guò)程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為10+35=45,

所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的頻率為喘=0.45,

所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率估計(jì)為0.45；

（花）根據(jù)題意，從樣本中成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的頻率

珀35_7

力35+10-9"

所以從該校學(xué)生活動(dòng)成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，

第8頁(yè)，共11頁(yè)

這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的概率估計(jì)為，

同理，從該校學(xué)生活動(dòng)成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為4分的概率估

計(jì)為|，

由表可知X的所有可能取值為6,7,8,

P(X=6)="C，P(X=7)=2xZx|=g,P(X=8)=-x-=-)

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=6X^+7X^+8X/=M

olololV

(n)7.

19.【答案】解：(I)由題意知m>1,設(shè)。2=血，b2=1,

則c2=a2-b2=m-1,

因?yàn)镚的禺心率為苧，

所以M=2c2,

即m=2(m—1),

所以m=2,c=1,

所以m的值為2,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0)；

(II)由題意可設(shè)P(%o，yo)，尸(%0，泗)(%0、0。0)，Q(2JQ)，則％O<2,g。/，

XQ+2%=2,①

因?yàn)镻F1FQ,

所以(%o-l,y0)?(l，yQ)=。，

所以=+￡，②

因?yàn)镼,P,M三點(diǎn)共線，xoe(-72,0)0(0,72),

所以笠之=_2^,③

2rox0-xMJ

由①②③可得XM=g

%o

由(I)可知4式一，1,0),X2(72,0),

所以|MP|2-IM41I?IM&I=(x0-$2+據(jù)—舄+<2)(^-72)

=%2-4+±+1-^--1+2=^-1,

第9頁(yè)，共11頁(yè)

y2

所以IMPy-\MAr\-\MA2\=-^-1<0,

即|MP『<\MAr\■\MA2\.

i

20.【答案】解：⑴因?yàn)?Q)=x?為一產(chǎn),

axaxax

所以f'Q)=e4-1-e4=e4(l-1),

令((x)=0,得x=2,

所以在(一8,2)上[(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

在(2,+8)上((%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+8).

(II)令h(x)=f(x)+e~2a,則

由(I)得，函數(shù)/i(x)得單調(diào)遞增區(qū)間為(一附2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+8),

所以h(x)在x=2處取得最大值八(2)=2ea-1+e~2a,

_1

所以當(dāng)%>2時(shí),h(x)=x-ea~2x+e~2a>e~2a=/i(0),

當(dāng)0<x<2時(shí)，/i(x)>h(0),

即當(dāng)％E(0,+8)時(shí),he(/i(0),/i(2)],

所以g(x)=|h(%)|在(0,+8)上存在最大值的充分必要條件是[2?e^T+?-2可>\e~2a\,

2-ea-1+e_2a+e-2a_,_

即0n---------------=eaaL1+e2>0n,

令?n(%)=ex~1+e~2x,則M(%)=ex-1+e~2,

因?yàn)?e*T+e~2>0,

所以TH。)是增函數(shù)，

因?yàn)??i(—1)=e~2—e~2=0,

所以m(a)=ea-1+e~2a>0的充要條件是a>一1,

所以a的取值范圍為[-1,+8).

21.【答案】解：(I)由Q：3,1,2,2,1,3,1,2,3,b0=0,

則瓦=min{n\n>0,an>0},故瓦=1,

b2=min{n\n>l,an>1],故==3,

Z?3=min{n\n>3,an>2],故①=6；

(II)由題意知TH>3,

當(dāng)m=3時(shí)，因?yàn)榈闹?,b0=0,所以d=1,

第10頁(yè)，共11頁(yè)

因?yàn)間。的，且02，%均為正整數(shù)，

所以。2>1，或。3>L

所以與<3,

因?yàn)椤?,。5,與是互不相等的正整數(shù)，所以必有一項(xiàng)大于2,

所以久<6,

所以