北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊知識點(diǎn)總結(jié)

九年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)歸納(最新北師大版)

(八下前情回顧)

※平行四邊的定義：

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點(diǎn)連成的線段叫做它

的對角線.

※平行四邊形的性質(zhì)：

平行四邊形的對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分，是中心對稱圖形(對稱中心是對

角線的交點(diǎn))，對角線分成的四個三角形面積相等(且有兩全等)，面積=底義高(S=ah).

補(bǔ)充：(中心對稱圖形)過對稱中心的任意一條直線都可將其面積平分.

※平行四邊形的判別方法：

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的距

離相等.這個距離稱為平行線之間的距離.

第一章特殊平行四邊形

1.菱形的性質(zhì)與判定

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形是特殊的平行四邊形.

※菱形的性質(zhì)：

(1)具有一般平行四邊形的一切性質(zhì)，且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對

角線平分一組對角.

(2)菱形既是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在直線，也是中心對稱圖形.對角線分成的

四個小直角三角形全等.

面積=底X高=；對角線乘積(S=ah=；be)

注意：在60。的菱形中，短對角線等于邊長，長對角線是短對角線的百倍.

※菱形的判別方法：

⑴四條邊都相等的四邊形是菱形.

(2)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

2.矩形的性質(zhì)與判定

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形.矩形是特殊的平行四邊形.

※矩形的性質(zhì)：

具有一般平行四邊形的一切性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角(矩形既是中心對稱圖形,

又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，是分別過對邊中點(diǎn)的兩條直線)；面積=長乂寬(S=ab).

※矩形的判定：

⑴有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義).

(2)對角線相等的平行四邊形是矩形.

(3)四個角都相等的四邊形是矩形.

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

1

※推論的逆命題：如果一個三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角

三角形，且這條邊為直角三角形的斜邊.

3.正方形的性質(zhì)與判定

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形.

※正方形的性質(zhì)：正方形具有一般平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)(正方形既是中心對

稱圖形，也是軸對稱圖形，有四條對稱軸)；對角線分成的四個等腰直角三角形全等；面積=

邊長的平方=1對角線的平方(S=a2=-b2)

22

※正方形常用的判定：

(1)有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

(2)鄰邊相等的矩形是正方形；

(3)對角線相等的菱形是正方形；

(4)對角線互相垂直的矩形是正方形.

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖所示)：

梯形

1.梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.

一般梯形

2.梯形的分類:Q)直角梯形

特殊梯形

、(2)等腰梯形

⑴直角梯形：有一個角是直角的梯形；

⑵等腰梯形：兩腰相等的梯形；

①等腰梯形的性質(zhì)：

a.等腰梯形兩腰相等，兩底平行；

b.等腰梯形同一底邊上的兩個角相等；

c.等腰梯形的兩條對角線相等.

d.等腰梯形是軸對稱圖形，它只有1條對稱軸，過兩底中點(diǎn)的直線是它的對稱軸.

②等腰梯形的判定：

a.兩腰相等的梯形是等腰梯形；

b.在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；

C.對角線相等的梯形是等腰梯形o

提示：陣腰梯形的判定思*先證四邊形為梯形(即一組對邊平行且不等或另一組對邊不平

行)，再證兩腰相等或同一底上的兩個角相等.

3.梯形的中位線：

(1)定義：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.

2

(2)定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.

4.梯形的周長=上底+下底+腰+腰()若用a,b,c,d分別表示梯形的上底、下底、兩腰，C表

示梯形的周長，則C=a+b+c+d.

5.梯形的面積=(上底+下底)X高+2=梯形的中位線X高.

研究梯形問題的主要方法：

將梯形問題通過作輔助線轉(zhuǎn)化成三角形、平行四邊形或矩形來解決.

梯形常用的輔助線：

作法圖形

平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行

四邊形

平

移

法平移對角線，轉(zhuǎn)化為三角形、

平行四邊形

作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形C

延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形

已知一腰中點(diǎn)，作梯形的中位

線

中

位

線

已知兩條對角線的中點(diǎn)，連接

梯形一頂點(diǎn)與一條對角線中

點(diǎn)，并延長與底邊相交，使問

題轉(zhuǎn)化為三角形中位線

連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中

構(gòu)點(diǎn)

造

全

3

（1）考查梯形的有關(guān)概念、梯形的一些有關(guān)計(jì)算（如求梯形的角、高以及面積）；

（2）考查梯形中位線、梯形的對角線，以及梯形的常見輔助線的添法；

⑶有關(guān)梯形的拼圖問題以及梯形為背景的實(shí)際問題在中考中也有體現(xiàn).

誤區(qū)提醒：

（1）誤認(rèn)為梯形只有等腰梯形與直角梯形兩種，而實(shí)質(zhì)上這兩種只是梯形的一個特殊情況;

（2）對等腰梯形判定定理把握不準(zhǔn)，忽視了“同一底”這一前提條件.

【補(bǔ)充二】

直角三角形的定義、性質(zhì)及判定

三角形類型定義性質(zhì)判定

有一個1.直角三角形的兩銳角互余1.有一個角是直角的三角

角是直2.直角三角形斜邊上的中線等于斜形是直角三角形

角的三邊的一半；2.有兩個角互余的三角形

角形是3.直角三角形中30°角所對的直角是直角三角形

直角三邊等于斜邊的一半（逆命題：在直角3.如果一個三角形中兩條

直角三角形角形，三角形中，如果一條直角邊等于斜邊邊的平方和等于第三條邊

即“Rt的一半，那么這條直角邊所對的角等的平方，那么這個三角形

△”于30。）是直角三角形（勾股定理

4.直角三角形中兩條直角邊的平方逆定理）

和等于斜邊的平方（勾股定理）

三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

逆定理一：在三角形內(nèi)，與三角形的兩邊相交，平行且等于三角形第三邊一半的線段是三

角形的中位線.

逆定理二：在三角形內(nèi)，經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位

線.

中點(diǎn)四邊形:依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形.（中點(diǎn)四邊形只與

原四邊形的對角線有關(guān)：與對角線是相等還是垂直有關(guān)，與對角線互不互相平分無關(guān)）

名稱中點(diǎn)四邊形

任意四邊形平行四邊形

一般的平行四邊形平行四邊形

4

菱形矩形

矩形菱形

正方形正方形

對角線相等的四邊形菱形

對角線互相垂直的四邊形矩形

對角線既相等又互相垂直的正方形

四邊形

對角線互垂直的四邊形：S=-b.c（b,c為兩條對角線的長）

2

基本圖形

⑴四邊形中基本圖形

做證明題的一些思想方法：

⑴方程思想：運(yùn)用方程思想將一個幾何問題化為一個方程的求解問題.

⑵化歸思想方法:解四邊形問題時，常通過輔助線把四邊形問題轉(zhuǎn)化歸為三角形問題來解決。

梯形問題化為三角形、平行四邊形來解決.

⑶分解圖形法:復(fù)雜的圖形都是由簡單的基本圖形組成，故可將復(fù)雜圖形分解成幾個基本圖

形，從而使問題簡單化.

⑷構(gòu)造圖形法：當(dāng)直接證明題目有困難時，常通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形以達(dá)到解題的目

的.

⑸解證明題的基本方法：①從已知條件出發(fā)探索解題途徑的綜合法；②從結(jié)論出發(fā)，不斷尋

找使結(jié)論成立的條件，直至已知條件的分析法；③兩頭湊的方法，就是綜合運(yùn)用以上兩種方

法找到證明的思路（又叫分析一綜合法）.

⑹轉(zhuǎn)化思想：就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化，分解為簡單的問題，或?qū)⒛吧膯栴}轉(zhuǎn)化成熟悉的問題

來處理的一種思想.

【補(bǔ)充三】

二次根式的性質(zhì):

(1)(Va)2=a(a>0)(2)4a>0(a>0)(3)=Ia

(4)4ab=y[a~4b(a>0,Z?>0)(5)L…”>o)

第二章一元二次方程

1.認(rèn)識一元二次方程

（1）概念：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為“2”的整式方程，叫做一元二次方程,

它的一般式是ax?+bx+c=O（a、b、c為常數(shù)，aNO）.

5

警示:①必須化成一般式(ax?+bx+c=O)后再進(jìn)行判斷；

②必須滿足四個條件：一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為“2”；化簡后二次項(xiàng)系數(shù)不

為0；整式方程；

(可以沒有一次項(xiàng)，也可以沒有常數(shù)項(xiàng)，但必須要有二次項(xiàng)，例如x?=0是一元二次方程)

(2)在一元二次方程的一般式ax?+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a=0)中，ax?叫做二次項(xiàng)、

a為二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做二產(chǎn)項(xiàng)、b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng).

警示:必須要化成一般式ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a￥0)后，再進(jìn)行判斷.

2.解一元二次方程的方法：

(1)配方法〈即將其變?yōu)?X+加)2=0的形式>

※用配方法解一元二次方程的基本步驟：

二次項(xiàng)系數(shù)為“1”：

①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

③兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

④把方程轉(zhuǎn)化成(X+加)2=0的形式；

⑤兩邊開方求其根.

二次項(xiàng)系數(shù)不為“1”：

①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②將二次項(xiàng)系數(shù)化成1；

其它步驟同上②一⑤.

【補(bǔ)充】

代數(shù)式“ax2+bx+c(aW0)”的配方：

ax2+bx+c=a(x2+—x)+c=a[x2+—x+(—)2-(—)2]+c=a(x+—)2--+c

aa2a2a2a4a

2a4a

???當(dāng)a>0時，a(x+-^-)220,.,b4ac-b24ac-b2

..a(x+——產(chǎn)+-------3

2a2a4a4a

/b.,b4ac-b24ac-b2

當(dāng)a<0時，a(x+——)Y0,..a(x+——)2+-------

2a2a4a4a

4ac_b2b

綜上所述：當(dāng)a>0時,ax2+bx+c(aW0)有最小值，最小值為-------，當(dāng)x二-一時，取得

4a2a

最小值；

6

當(dāng)aVO時，ax2+bx+c(aWO)有最大值，最大值為4ac-b，當(dāng)年-b二時，取得最大值.

4a2a

(2)用公式法求解一元二次方程

【必須為一般式ax2+bx+c=O(a、b、c為常數(shù)，aWO)】

公式法xJ士信心處(A-Z?2-4ac>0)

2a

【注意在找abc時須先把方程化為一般形式】

根的判另Ll式△=￡>?—4ac：

當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時，一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△<()時，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

特別提示：方程有實(shí)數(shù)根即△?()；反之，△BO,方程有實(shí)數(shù)根(這里的“方程”可能是一

元一次方程也可能是一元二次方程).

(3)用因式分解法求解一元二次方程

分解因式法：把方程的一邊變成0|，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解.(主要包括“提

公因式”、“公式法”和“十字相乘”)

3.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

be

如果一^兀一次方程+/?%+C=0的兩根分別為Xi、X2,則有：X]+%2=---，=—

aa

警示:必須是一般式ax?+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a#0)；如果方程中含有字母的還要要判

斷“△力然后才能用根與系數(shù)的關(guān)系.

※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：

⑴已知方程的一根，求另一根；

⑵不解方程，求二次方程的根X1、X2的對稱式的值，特別注意以下公式：

①X：+$(石+%2y-2%/2

11X+%

②一+——=^~~9工

國x2x1x2

③(%1_)2=(X]+%2)2—4玉工2

+々)2-4芯％2

⑤(|西|+|九2。之=(再+九2了一2九1%2+2|X1X2|

3

(§)xf+%2-(%1+X2)-3王%2(%1+九2)

⑦其他能用玉+/或X1X2表達(dá)的代數(shù)式.

7

2

(3)已知方程的兩根XI、X2,可以構(gòu)造一元二次方程：x-(x,+X2)X+XxX2=0

⑷已知兩數(shù)XI、X2的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程

2

X-(x,+x2)x+x1x2=0的根

4.應(yīng)用一元二次方程

※在利用方程來解應(yīng)用題時，主要分為兩個步驟：①設(shè)未知數(shù)(在設(shè)未知數(shù)時，大多數(shù)情況

只要設(shè)問題為X；但也有時也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮)；②尋找等量關(guān)

系(一般地，題目中會含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程)。

※處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：問題^方程慧■—解答

抽象檢驗(yàn)

一元二次方程應(yīng)用題公式總結(jié)

一.平均增長率問題

變化前數(shù)量X(1±X)n=變化后數(shù)量

即a(l±x)n=b【n是增長的次數(shù)】

注意:①如果是增長，則用a(l+x)n=b；①如果是下降(即負(fù)增長)，則用a(l-x)n=b；

二.傳播問題(如病毒感染、細(xì)胞分裂等)

最初的量X(l+x)n=總量

即a(l+x)n=b[n是傳播或分裂的次數(shù)】

例如：有兩人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有242人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染

了多少個人？

解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得：2(l+x)z=242

【特例】某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、

支干和小分支的總數(shù)是13,則每個支干長出—.

解：設(shè)每個支干長出x個小分支，

根據(jù)題意得l+x+x?x=13,

整理得x?+x-12=0,

解得x=3或x=-4(舍去).

即：每個支干長出3個小分支.

三.計(jì)數(shù)問題

(一)握手、單循環(huán)比賽等問題：-x(x-l)=m【m為總數(shù)】

2―

例如：參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行一場比置，共比賽45場比賽，共有多少個隊(duì)

參加比賽？

解：設(shè)共有x個隊(duì)參加比賽，由題意可得：|x(x-l)=45

(二)互發(fā)信息、互送賀卡、雙循環(huán)比賽等問題：x(x-l)=m【m為總數(shù)】

例如：1.參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩次比追，共比賽90場比賽，共有個多少

個隊(duì)參加比賽？

8

解：設(shè)共有X個隊(duì)參加比賽，由題意可得：x(x-l)=90

2.生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182

件，這個小組共有多少名同學(xué)？

解：這個小組共有x名同學(xué)，由題意可得：x(x-l)=182

3.一個小組有若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，這個小組共有多少人？

解：這個小組共有x人，由題意可得：x(x-l)=72

四.數(shù)字問題：

兩位數(shù)=(十位數(shù)字)X10+個位數(shù)字

三位數(shù)=(百位數(shù)字)X100+(十位數(shù)字)X10十個位數(shù)字

五.商品營銷問題

(一)解決利潤問題常用的關(guān)系有：⑴利潤=售價-進(jìn)價；

到海詼利潤inn。/售價-進(jìn)價inn。/

(2)利潤率=--x100%=——--x100%；

進(jìn)價進(jìn)價

⑶售價=進(jìn)價X(l+利潤率)；

⑷總利潤=單品利潤義銷售量=總收入一總支出.

(三)具體問題

1.提價/淡價類問題：

⑴若設(shè)的是“漲價x元"，則:

(售價-進(jìn)價+X)(原銷售量-每提3錢數(shù)X減少的數(shù)量)=總利澗

原來的利潤

有其它支出費(fèi)用的:

(售價-進(jìn)價+X)(原儺量-X減少的數(shù)量)-其它支出藉用=總利潤

每提的錢數(shù)

原來的利潤

例如:某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.經(jīng)

市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克.

(1)現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？

(2)若該商場單純從經(jīng)濟(jì)角度看，每千克這種水果漲價多少元，能使商場獲利最多？

解:(1)設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，則(10+x)(500-，20)=6000

1

解得x=5或x=10,

為了使顧客得到實(shí)惠，所以x=5.

(2)設(shè)漲價m元時總利潤為y,

則y=(10+m)(500-—X20)=-20m2+300m+5000

9

=-20（m2-15m）+5000

=-20[m2-15m+（7.5）2-（7.5）2]+5000

=-20（m-7.5）2+6125

當(dāng)m=7.5時，y取得最大值，最大值為6125.

答：（1）要保證每天盈利6000元，同時又使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價5元;

（2）若該商場單純從經(jīng)濟(jì)角度看，每千克這種水果漲價7.5元，能使商場獲利最多.

（2）若設(shè)的是“售價（定價）x元”,則:

x-原售價

（x-進(jìn)價）（原銷售量-X減少的數(shù)量）=總利潤

每提的錢數(shù)

有其它支出費(fèi)用的:

X-原售價

（X-進(jìn)價）（原銷售量-義減少的數(shù)量）-其它支出費(fèi)用=總利潤

每提的錢數(shù)

例如:將進(jìn)貨單價為50元的商品按60元出售，就能賣出500個.已知這種商品每漲價1元,

其銷售量就減少10個.問為了賺得8000元的利潤，置餌應(yīng)定為多少？這時應(yīng)進(jìn)貨多少？

解:售價應(yīng)定為x元，由題意可得：（x-50）（500-4二如x10）=8000

1

整理，得:x2-160x+6300=0,

（x-70）（x-90）=0

解得:x=70或x=90.

當(dāng)售價為70元時，應(yīng)進(jìn)貨為500-10X10=400個；當(dāng)售價為90元時，應(yīng)進(jìn)貨為500-30X10=200

個.

答：.

2.降價類問題：

⑴若設(shè)的是“降價x元”,則:

（售價-跚-X）（瓊銷售量+石蔭短國L增加的數(shù)量）=總利潤

每降的錢數(shù)

原來的利潤

有其儂謂用的：

（售價-進(jìn)價X）（原銷售量+X增加的數(shù)量）-其它支出費(fèi)用=總利潤

每降的錢數(shù)

例如：西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可

售出200千克.為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0.1

元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經(jīng)營戶要想每天

盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？

解：設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低x元，根據(jù)題意，得：

10

X，八

（3-2-x）（200+—x40）-24=200,

解這個方程,得：x=0.2或x=0.3,

答：應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低0.2或0.3元.

（2話設(shè)的是“售價定價）x元”，貝人

（刖）（原儺量十里露增力的數(shù)量）將鬧

每降的錢數(shù)

有其它支出費(fèi)用的：

（X顆）（原皤量+舞恁＞x增加的數(shù)量）-其微謂用=總順

每降的錢數(shù)

例如:某品牌童裝進(jìn)價為20元/件，如果以60元/件賣出，平均每天可售出20件.為了迎接“六

一”兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存.經(jīng)市場調(diào)

查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在銷售這

種童裝上盈利800元，那么每件童裝應(yīng)定價力多少元？

解:設(shè)每件童裝應(yīng)定價為X元，由題意，得：

60-x0

(x-20)(20+--------x8)=800

4

整理，得：x2-90x+1800=0

(x-30)(x-60)=0

解得：x=30或x=60

因?yàn)樯虉鰶Q定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存，

所以x=30.

答:.

其它例題

1.某商店購進(jìn)一種商品，進(jìn)價30元.試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P（件）與每件的銷售

價x（元）滿足關(guān)系：P=100-2x銷售量P,若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤，那

么每件商品的售價應(yīng)定為多少元？每天要售出這種商品多少件？

解：設(shè)每件商品的售價應(yīng)定為x元，每天要銷售這種商品p件.

根據(jù)題意得：（x-30）（100-2x）=200,

整理得：x2-80x+1600=0,

（x-40）2=0,

Xj=x2=40

2.某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，

已知生產(chǎn)x只熊貓的成本為R（元），售價每只為P（元），且R、P與x的關(guān)系式分別為

R=500+30x,P=170—2x.

11

(1)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時每日獲得的利潤為1750元？

(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解：(1廠.?生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R(元)，售價每只為P(元)，且R,P與x的關(guān)系式分

別為R=500+30x,P=170-2x,

(170-2x)x-(500+30x)=1750,

解得：X]=25,X2=45(大于每日最高產(chǎn)量為40只，舍去).

(2)設(shè)每天所獲利潤為肌

由題意得，W=(170-2x)x-(500+30x)

=-2x2+140x-500

=-2(x2-70x)-500

=-2(x2-70x+352-352)-500

=-2(x-35)2+2X352-500

=-2(x-35)2+1950.

當(dāng)x=35時，W有最大值1950元.

答：(1)當(dāng)日產(chǎn)量為25只時，每日獲得利潤為1750元；(2)要想獲得最大利潤，每天必須生

產(chǎn)35個工藝品，最大利潤為1950元.

六.利息問題

常用公式：

利息=本金X利率

本息和=本金+利息=本金+本金X利率=本金X(1+利率)

利息稅=利息〉稅率

實(shí)得本利和=本金+利息-利息稅

例如：某班級前年暑假將勤工儉學(xué)掙得的班費(fèi)中的2000元按一年定期存入銀行，去年暑假,

到期后取出來1000元捐給希望工程，將剩下的1000元,與利息繼續(xù)按一年定期存入該銀行,

待今年暑假畢業(yè)時全部捐給母校，假設(shè)該銀行年利率無變化，且今年暑假到期后取得本息和

1107.45元.那么該銀行一年定期存款的年利率是多少？

解：設(shè)該銀行一年定期存款的年利率是x,根據(jù)題意，得：

[2000d+x)-1000]+[2000(l+x)-1000]x=H07.45.

化簡,(1000+2000x)(l+x)=1107.45

400x2+600x-21.49=0.

解得x=0.035=3.5%或x=-L535(不合題意，舍去).

所以該銀行一年定期存款的年利率是3.5%.

例如:王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金

和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存

款的年利率已下調(diào)到第一次存款時年利率的90%,這樣到期后，可得本金和利息共530元，

求第一次存款時的年利率.(假設(shè)不計(jì)利息稅，只需要列式子)

解:設(shè)第一次存款時的年利率為x,由題意，得：

12

[1000(1+x)-500](l+90%x)=530

例如:周嘉忠同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金

和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存

款的年利率已下調(diào)到第一次存款時年利率的60%,這樣到期后，可得本金和利息共530元，

求第一次存款時的年利率.(利息稅為20%,只需要列式子)

解：設(shè)第一次存款時的年利率為x,由題意，得：

{1000[l+(l-20%)x]-500}[1+60%*(l-20%)x)=530

七.幾何問題

(一)靜態(tài)幾何問題

例1.將一條長為56cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲做成一個正方形.

(1)要使這兩個正方形的面積之和等于100cm2,該怎么剪？

(2)正方形的面積之和可能等于200cm2嗎？

解：⑴解法一：設(shè)其中一個正方形的邊長為xcm,則另一個正方形的邊長為

56-4x.、

------=(14-x)cm,

4

依題意列方程得x2+(14-x)z=100,

整理得：x2-14x+48=0,

(x-6)(x-8)=0,

解方程得：X]=6,X2=8,

當(dāng)x=6時，一段鐵絲長為6X4=24(cm),另一段長為56-24=32(cm)；

當(dāng)x=8時，一段鐵絲長為8X4=32(cm),另一段長為56-32=24(cm)

因此這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是24cm、32cm；

解法二:設(shè)其中一段鐵絲長為xcm,則另一段長為(56-x)cm,由題意，得：

(：了+潭中=100

(2)兩個正方形的面積之和不可能等于200cm2.

理由：由⑴解法一可知若犬+(14七)2=200,

整理，得：x2-14x-2=0,

解得：X[=7-同<0(舍去)，X2=7+庖>14(舍去)

兩個正方形的面積之和不可能等于200cm2.

另外一種解法：由(1)解法一可知x2+(14-x)2=2(x-7)2+98,

V0<x<14,

.\98<2(x-7)2+98<196,

兩個正方形的面積之和不可能等于200cm2.

例2.如圖，在長為10cm,寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的正方形，使得留下的

圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80%,求截去的小正方形的邊長.

13

解:設(shè)截去的小正方形的邊長為xcm,由題意，得：

10X8-4X2=80%X10X8

例3.將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為3cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子,

已知盒子的容積為300cm3,則原鐵皮的邊長為.

解:設(shè)原鐵皮的邊長為xcm,由題意，得：

3(x-3X2)2=300

變式：將一塊長比寬多3cm的長方形鐵皮四角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，做成一

個無蓋的盒子，已知盒子的體積是280cm3.求原鐵皮的長.

解:設(shè)原鐵皮的長為xcm,由題意，得：

4(x-4X2)(x-3-4X2)=280

例4.如圖，在一塊長92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠(水渠的寬都相等)，水渠把耕地

分成面積均為885mz的6個矩形小塊，水渠應(yīng)挖多寬？

-----------92-------------、

解法1：設(shè)水渠寬為cm,根據(jù)題意，得:92x+2X60x-2x2=885X6,

即x2-106x+105=0.

解得X]=105(舍去)，x2=l.

答：水渠應(yīng)挖1m寬.

解法2設(shè)水渠寬為xm,根據(jù)題意,得(92-2x)(60-x)=885X6,

即x2-106x+105=0.

解得X]=105(舍去)，x2=l.

答：水渠應(yīng)挖1m寬.

例5.(1)一塊長方形草地的長和寬分別為20m和16m,在它四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路.

已知小路的面積為160m2,則小路的寬度是.

14

解：如上圖所示，設(shè)小路寬為xm,由題意，得

2%(16+2%)+2X20%=160.

整理,得：x2+18x-40=0.

解得X]=2,X2--20(舍去).

答：小路的寬為2m.

(2如圖，長方形ABCD,AB=16m,BC=20m,在它的|內(nèi)部四周環(huán)繞著寬度相等的小路.已知

小路的面積為160m2,求小路的寬度.

口

解：如上圖所示，設(shè)小路寬為xm,由題意，得

2義16x+2%(20-2x)=160.

例6.某小區(qū)有一塊長方形的草地(如圖)，長18米，寬10米，空白部分為兩條寬度相等的

小路，草地的實(shí)際面積為128m"則小路的寬為米.

解:設(shè)小路的寬為x米，由題意，得：

(18-x)(10-x)=128

變式：某校準(zhǔn)備將兩幢教學(xué)樓間一塊長30m、寬20m的長方形空地，建成一個矩形花園.為

方便同學(xué)們行走和觀賞，準(zhǔn)備在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方

種植花草.如圖，要使種植花草的面積為532mz,那么小道的寬度應(yīng)為多少米？(注：陰影

部分表示道路，所有小道的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形)

解:設(shè)小路的寬為x米，由題意，得:

(30-2x)(20-x)=532

例7.利用一面墻（墻的長度為18米），另三邊用58m長的籬笆圍成一個面積為200nlz的矩形

場地.求矩形的長和寬.

（提示:墻長對列方程沒什么用，只對方程的解起限制作用）

解:設(shè)垂直于墻的一邊為長x米，則平行于墻的一邊長為（58-2x）米，由題意，得：

（）解得：

X58-2x=2OO,X1=25,X2=4,

當(dāng)x=25時，58-2x=58-2X25=8,當(dāng)x=4時,58-2x=58-2X4=50>18（不符合題，舍去）.

所以墻的長為25米，寬為8米.

變式:如圖，學(xué)校要用長24米的籬笆圍成一個長方形生物園ABCD,EF是ABCD內(nèi)用籬笆做

成的豎直隔斷.為了節(jié)約材料，場地的一邊CD借助原有的一面墻，墻長為12米，長方形

生物園ABCD的面積為45平方米，求長方形場地的邊AD的長.

對

AFB

（提示:墻長對列方程沒什么用，只對方程的解起限制作用）

解:設(shè)AD長為X米，則AB長為（24-3X）米，由題意，得：

x（24-3x）=45,

整理,得:x2-8x+15=0,

解得：x=3或x=5,

當(dāng)x=3時，24-3x=24-3X3=15>12（不符合題,舍去），

當(dāng)x=5時，24-3x=24-3X5=9.

答:長方形場地的邊AD的長為5米.

例8.如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12nl的住房墻，另外三邊用25m

長的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍

的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2?

（特別提醒：墻上開門的，原來的長度+門的寬度才是總周長）

解:設(shè)矩形豬舍垂直于房墻的一邊長為xm,則矩形豬舍的另一邊長為（25-2x+1）m.

依題意，得x（25-2x+l）=80,

解得x=5或x=8.

當(dāng)x=5時，26-2x=16>12（舍去）,

16

當(dāng)x=8時，26-2x=10<12.

答：矩形豬舍的長為10m,寬為8m.

(二)動態(tài)幾何問題

例9.如圖所示，己知在aABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB邊向

點(diǎn)B以lcm/s的速度移動，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.

(1)如果Q、P分別從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，那么幾秒后，4PBQ的面積等于gem??

⑵在⑴中，4PBQ的面積能否等于10cm。？試說明理由.

￡

不

A-*QB

解：(1)設(shè)t秒后，△PBQ的面積等于8cm,由題意，可得:

；X2t(6-t)=8,解得：t=2或t=4.

答2秒或4秒后，△PBQ的面積等于8cm2.

(2)△PBQ的面積不能等于10cm，理由如下：

由題意，得：

；X2t(6-t)=10,整理，得：t2-6t+10=0,

b2-4ac=36-40=-4<0,此方程無解，

所以△PBQ的面積不能等于10cm2.

例10.如圖，一艘輪船以30km/h的速度沿既定航線由西向東航行，途中接到臺風(fēng)警報(bào)，某

臺風(fēng)中心正以20km/h的途度由南向北移動，距臺風(fēng)中心200km的圓形區(qū)域(包括邊界)都

屬臺風(fēng)影響區(qū).當(dāng)這艘輪船接到臺風(fēng)警報(bào)時，它與臺風(fēng)中心的距離BC=500km,此時臺風(fēng)中

心與輪船既定航線的最近距離BA=300km.

(1)如果這艘輪船不改變航向，那么它會不會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)？

(2)如果你認(rèn)為這艘輪船會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)，那么從接到警報(bào)開始，經(jīng)過多長時間它就會進(jìn)

入臺風(fēng)影響區(qū)？(結(jié)果精確到O.Olh)

⑶假設(shè)輪船航行速度和航向不變，輪船受到臺風(fēng)影響一共經(jīng)歷了約多少小時？

解：(1)這艘輪船不改變航向，他會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū).

理由：如上圖所示，在RtZXABC中，NBAC=90°,BC=500km,BA=300km,由勾股定理，得:

17

AC=A/5002-3002=400(km).

當(dāng)這艘輪船不改變,航向時，輪船由C地到A地的時間為4二00'二40,(h),

303

臺風(fēng)中心由B地到A的時間為理=15(h).

20

故輪船到達(dá)A地時，臺風(fēng)中心距離A地為300-20X—(km).

33

而W^km〈200km,所以這艘輪船不改變航向會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū).

3

(2)設(shè)從接到報(bào)警開始，經(jīng)過th這艘輪船就會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)，則CD=30tkm,BE=20tkm,

AD=AC-CD=(400-30t)km,

AE=AB-BE=(300-20t)km,DE=200km.

在RtADAE中，由勾股定理，得AD2+AE2=DE2,

即(400-30t)2+(300-20t)2=2002.

整理,得13tz-360t+2100=0,

解得t-8.35或t-19.34.

所以從接到報(bào)警開始，經(jīng)過8.35h它就會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū).

(3)19.34-8.35=11(小時)

所以輪船受到臺風(fēng)影響一共經(jīng)歷了約11小時.

例11.如圖，一次函數(shù)y=-2x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P在線段AB上(不

與點(diǎn)A,B重合)，過點(diǎn)P分別作0A和0B的垂線，垂足為C,D.點(diǎn)P在何處時，矩形0CPD

的面積為1?

3

解：設(shè)點(diǎn)p(x,-2x+3),一次函數(shù)y=-2x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A(—,0),交y軸于點(diǎn)B(0,3).

2

?.?點(diǎn)p在第一象限，.-.x>0,-2x+3>0,；.PD=x,PC=-2x+3.

根據(jù)題意，得S矩形OCPD=PD-PC=1,x(-2x+3)=l.

化簡，得-2x?+3x-l-0,

解這個方程，得*=1或*=2.

2

當(dāng)x=l時，-2x+3=-2X1+3=1,

18

...點(diǎn)A(i,i),

當(dāng)x=L時，-2x+3=-2X-+3=2,...點(diǎn)6(；，2)....當(dāng)點(diǎn)《(1,1)或￡(；,2)時,

22

矩形OCPD的面積為1.

第二章《一元二次方程》易錯點(diǎn)

1.用“十字相乘”分解因式(式子是二次三項(xiàng)式)

思路：對于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c,將a和c分別分解成兩個因數(shù)的乘積，往往

寫成a=a1?a2,c=c1?c2,b=a1c2+a2cl的形式，將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解.

即ax?+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

具體如下圖

al^xy-d

"a2xx、c2

b=a1c2+a2c1

即aW+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

2.解一元二次方程的方法：

(1)配方法(注意方程的配方和“代數(shù)式的配方”的區(qū)別)

(2)求根公式法【必須在一般式ax2+bx+c=0(aW0)下，寫a,b,c,判斷△】

(3)因式分解法:①提公因式法；②公式法(完全平方公式和平方差公式)；③十字相乘法.

【必須化成“=”右邊為“0”再進(jìn)行解】

如果題目沒有限定用哪種方法解方程的話，優(yōu)先考慮“因式分解法”，因式分解法行不通時,

再考慮“求根公式法”.【注意：”因式分解法”只適用于一部分題目，而“求根公式法”只

要△》()時都能用，應(yīng)用更廣泛，但計(jì)算沒有因式分解簡便.】

3.一元二次方程有實(shí)數(shù)根即△》()，反之，△》()即一元二次方程有實(shí)數(shù)根.

特別注意:當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)里含有字母時，除了要保證△滿足題意外，還要保證二次項(xiàng)系數(shù)W0；

例如：關(guān)于X的一元二次方程(k+l)x2-2x+l=0有兩個實(shí)數(shù)棚則k的取值范圍是

k+1^0

提示：由題意，可得《

△=(-2)2-4(k+l)xl>0

方程有實(shí)數(shù)根時，一定要看清楚二次項(xiàng)系數(shù)是否是已知數(shù)，如果已知，直接用△判斷，如果

未知，就需要分“二次項(xiàng)系數(shù)=0”和“二次項(xiàng)系數(shù)/0”兩種情況討論.

例如：已知關(guān)于x的方程kx2-3x+l=0有實(shí)數(shù)根.求k的取范圍；

提示:①當(dāng)k=0時，原方程為-3x+l=0,解得x=L,；.k=0符合題意;

3

19

②當(dāng)k#0時，原方程為一元二次方程，因?yàn)樵撘辉畏匠逃袑?shí)數(shù)根，

9

AA=(-3)2-4XkX1^0,解得:kW—.

4

綜上所述:k的取值范圍為kW‘9.

4

4.涉及到根與系數(shù)的關(guān)系的題目，首先看方程是不是一般式，不是一般式的，要化成一般

式，再看方程中是否含有其它字母，如果含有其它字母，還要保證△滿足題意，最后再用

根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答.

例如：已知X]、X?是關(guān)于x的方程x2+(3k+l)x+2k2+l=0的兩個不相等實(shí)數(shù)根，且滿足

2

(x；-l)(x2-l)=8k,則k的值為.

提示：由題意可得:A=(3k+1)2-4X1X(2k2+1)>0,EPk2+6k-3>0,

2

X1+x,=-(3k+l),x1.x2=2k+l,

22

V(Xj-1)(x2-l)=8k,/.XpXj-CXj+x2)+l=8k,

；.2k2+l+3k+l+l=8k2,解得:k=l或,

2

1173

當(dāng)k=l時，△=l+6-3=4>0,滿足題意，當(dāng)k=-一時，△=--3-3=-一<0,不滿足題意，

244

k=l.

5.△與Rt三角形、等腰三角形

已知關(guān)于x的方程x2-(2k+l)x+4(k--)=0

2

(1)求證：這個方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰三角形ABC的一邊長a=4,另兩邊恰好是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根,求4ABC的周長.

(1)證明：：△=[-(2k+l)]2-4XlX4(k--)=4k2-12k+9=(2k-3)2^0,

2

這個方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)解:a為腰長時，16-4(2k+l)+4(k--)=0,

2

解得：k=—,

2

此時原方程為x2-6x+8=0,

??x?—2,x2=4,

:?△ABC的周長為4+4+2=10；

當(dāng)a為底長時，△=(2k-3/=0,

3

解得k=—,

2

，此時原方程為x2-4x+4=0,

??x]=x2=2,

20

：2+2=4,.?.該情況不符合題意.

.二△ABC的周長為10.

第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識

用樹狀圖或表格求概率

（看清楚“放回還是不放回"，一次抽/摸“兩張/兩個…”當(dāng)做“不放回”對待，注意書寫格

式）

相關(guān)知識點(diǎn)鏈接：

頻數(shù)與頻率

頻數(shù)：在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中，每個對象出現(xiàn)的次數(shù)叫做頻數(shù).

頻率：每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率.

概率的意義和大?。焊怕示褪潜硎久考虑榘l(fā)生的可能性大小，即一個事件發(fā)生的可能性大

小的數(shù)值。必然事件發(fā)生的概率為1;不可能事件發(fā)生的概率為0；不確定事件發(fā)生的概率

在。與1之間.

【知識點(diǎn)1］利用畫樹狀圖或列表法求概率（重難點(diǎn)）

應(yīng)用畫樹狀圖法和列表法求概率的共同前提是：（1）各種情況出現(xiàn)的可能性是相等的，

某事件發(fā)生的次數(shù)

且總次數(shù)不是很大；（2）某事件發(fā)生的概率公式均為P（A）=(3)

各種情況出現(xiàn)的次數(shù)

在列出并計(jì)算各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)和某事件發(fā)生的次數(shù)時不能反復(fù)也不能遺漏.

區(qū)別：樹狀圖法適用于兩步或兩步以上試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率；列表法適用于兩步

試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

注意書寫格式：（概率題很簡單，但有些同學(xué)由于不注意書寫格式，導(dǎo)致丟分）

解：由題意，可列表（或畫樹狀圖）如下：

表格（或樹狀圖）【略】

由上表（或圖）可知，共有…種等可能的情況，其中誰有…種情況，；.P「尸……，

答：……

游戲是否公平：就是看游戲雙方獲勝的機(jī)會是否相等，計(jì)算機(jī)會的大小實(shí)際上就是計(jì)算

概率的大小.

【知識點(diǎn)2］通過實(shí)驗(yàn)運(yùn)用穩(wěn)定的頻率來估計(jì)某一事件的概率

當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時，試驗(yàn)頻率穩(wěn)定在某一數(shù)值附近，此時我們可以用這個穩(wěn)定數(shù)值來估計(jì)

該事件發(fā)生的概率.

第四章圖形的相似

21

成比例線段

1.線段的比

XI.如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線

段的比AB:CD=m:n，或?qū)懗?=巴.

CDn

X2.成比例線段及比例的性質(zhì)：

(1)成比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即q=工，那

bd

么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段.

※注意點(diǎn)：

①a:b=k,說明a是b的k倍;

②由于線段a、b的長度都是正數(shù)，所以