導(dǎo)數(shù)壓軸小題十四大題型（學(xué)生版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破

重難點(diǎn)專(zhuān)題14導(dǎo)數(shù)壓軸小題十四大題型匯總

dan

題型1恒成立問(wèn)題之直接求導(dǎo)型......................................................1

題型2恒成立問(wèn)題之分離參數(shù)型......................................................2

題型3恒成立問(wèn)題之隱零點(diǎn)型........................................................4

題型4恒成立問(wèn)題之洛必達(dá)法則......................................................5

題型5恒成立問(wèn)題之兩個(gè)函數(shù)問(wèn)題....................................................5

?類(lèi)型1同變量型.............................................................6

?類(lèi)型2不同變量型...........................................................7

?類(lèi)型3函數(shù)相等型...........................................................7

題型6恒成立問(wèn)題之構(gòu)造函數(shù)........................................................8

題型7零點(diǎn)問(wèn)題......................................................................9

題型8同構(gòu)問(wèn)題.....................................................................11

題型9整數(shù)解問(wèn)題..................................................................12

題型10函數(shù)凹凸性問(wèn)題.............................................................13

題型11倍函數(shù)問(wèn)題.................................................................14

題型12二次型函數(shù)問(wèn)題.............................................................16

題型13嵌套函數(shù)問(wèn)題...............................................................17

題型14切線放縮法.................................................................17

題型1恒成立問(wèn)題之直接求導(dǎo)型

)!)：-劃

f.f豐?6、、、

無(wú)論大題小題，分類(lèi)討論求參是導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)，也是復(fù)習(xí)訓(xùn)練重點(diǎn)之一：

1.移項(xiàng)含參討論是所有導(dǎo)數(shù)討論題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生日常訓(xùn)練的重點(diǎn).

2.討論點(diǎn)的尋找是關(guān)鍵.

3.一些題型，可以適當(dāng)?shù)慕柚它c(diǎn)值來(lái)"壓縮"參數(shù)的討論范圍

【例題1】(2023春?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知aeR,設(shè)函

數(shù)/(%)=^x-^x,x＞尹，若關(guān)于如勺不等式N。在％eR上恒成立，貝心的取值范圍

為（）

A.[0,1]B.[1,2]C.[0,e]D,[l,e]

【變式1-1】1.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)正實(shí)數(shù)a

有f（*）=ex+i—alnx—111梟2。在定義域內(nèi)恒成立，則a的取值范圍為（）

22

A.（0,1]B.[l,e]C.（0,e]D.（0,+劃

【變式1-1】2.（2022秋?安徽六安?高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考階段練習(xí)）若不等式

e——皿―2九一3》。對(duì)VxeR恒成立，其中小40,則曲勺最大值為（）

A.-哼B.-In3eC.In3eD.哼

【變式1-1】3.（2023春?四川南充?高三畫(huà)中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一般地，對(duì)于函數(shù)

丫二/④和1二雙乃復(fù)合而成的函數(shù):7=八。。）），它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f（t）,t=g（x）的導(dǎo)數(shù)

間的關(guān)系為以'=yt'-tx'.若關(guān)于%的不等式e.>%+6對(duì)于任意％￡R恒成立，貝哈的最大值

為（）

A.1B.1C.fD.e

【變式1-1J4.（2023?安徽合肥?合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)外嗎=-%-九-1

（m,n￡/?）,若/'（x）2-1對(duì)任意的xeR恒成立，則的最大值是（）

A.e-2B.—e-2C.e-1D.—e-1

【變式1-1】5.（2022春?安徽滁州?高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=（x—口―i）e，+b,

若存在beR,對(duì)于任意xe[1,2],都有|〃>）|<5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

題型2恒成立問(wèn)題之分離參數(shù)型

函數(shù)的最值來(lái)求解參數(shù)的取值范圍.

1.分離參數(shù)思維簡(jiǎn)單，不需過(guò)多思考；

2.參變分離原則是容易分離且構(gòu)造的新函數(shù)不能太過(guò)復(fù)雜

3.缺點(diǎn)是，首先得能分參，其次求導(dǎo)計(jì)算可能十分麻煩，甚至需要二階，三階..等等求導(dǎo).

【例題2】（2023春?江蘇?高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式/

（3k—%）<2x+3對(duì)任意的xe（0,+8）恒成立，則整數(shù)k的最大值為（）

A.-1B.0C.1D.3

【變式2-1]1.（2022秋?四川內(nèi)江?高三威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知不等式xe'+i—久>

Inx+2ni+3對(duì)V比6（0,+8）恒成立，則m取值范圍為（）

11

A.m<--B.m>--C.m<—2D.m>—2

【變式2-1】2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知f（x）,g（x）分別為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)和

奇函數(shù)，且/（X）+g（x）=ex,若關(guān)于X的不等式2f（x）-ag2（x）>0在（0,In2）上恒成立,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（一8冷）B.惇,+8）c.（-oo,y]D.（一（,0）

【變式2-1]3.（2022秋?山西運(yùn)城?高三?？茧A段練習(xí)）已知久1,電是函數(shù)f（x）=%2-2ax

+21nx的兩個(gè)極值點(diǎn)，且/<久2,當(dāng)a濘時(shí)，不等式f（孫）2皿2恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值

范圍（）

A.[—1—ln2,o]B.—00,—1—ln2]

C.[—盛—ln2,0）D.[一看—ln2,+8）

【變式2-1】4.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式一+2￡inx+i<%在（0,+8）

上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.(—oo,0]B.(—co,-e]

C.(-oo,e]D.(-oo,-1]

題型3恒成立問(wèn)題之隱零點(diǎn)型

解題框架(主要的)：

(1)導(dǎo)函數(shù)(主要是一階導(dǎo)函數(shù))等零這一步，有根xo但不可解.但得到參數(shù)和xo的等量代

換關(guān)系.備用

(2)知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)處，可代入虛根xo

(3)利用xo與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出xo不等式，求得xo范圍.

(4)再代入?yún)?shù)和xo互化式中求得參數(shù)范圍.

【例題3](2023訶南鄭州統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/⑺=：+號(hào)+1,g(久)=(1+m)e%

(meR),若/(X)<g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

【變式3-1】1.(2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí))若關(guān)于工

的不等式嘮一。211?；+￡1對(duì)一切正實(shí)數(shù)封亙成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,3B.(―oo,e]C.(—oo,l]D.(—oo,2]

【變式3-1】2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=§—對(duì)任意久>0,都

有人切>aln(x+1)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【變式3-1】3.(2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于x的不等式1

(2k—x)<x+3對(duì)任意的x6(0,+8)恒成立，則整數(shù)k的最大值為.

【變式3-1】4.(2022?安徽?巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知不等式辦-等2?對(duì)

Vxe[l,+8)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為()

A.1B.|C.1D.1

43Z

題型4恒成立問(wèn)題之洛必達(dá)法則

A./⑺是周期為2兀的奇函數(shù)B./）在（號(hào)書(shū)上為增函數(shù)

C./（%）在（-10兀,10兀）內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn)D./（x）》a尤在[0方上恒成立的充要條件是

a<l

【變式4-1】1.（2020春?黑龍江哈爾濱?高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)

/（X）=x2lnx-a（x2-l）（aeR）,若/（無(wú)）>。在xe（0,1]時(shí)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.呼,+8）B.[|,+oo）C.[2,+oo）D.[1,+OO）

【變式4-1]2.（2020?江西九江?統(tǒng)考三模）若對(duì)任意xe（0,n）,不等式e*—>asinx

恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.（―8旬C.（―8,2]D.（―8,1]

【變式4-1]3.（2020春河北唐山?期中）若*a-1）N+i<e，r對(duì)V無(wú)>。恒成立，貝按

數(shù)a的取值范圍是

A.（—oo,2]B.（—oo,2）C.（—co,l]D.（—oo,3]

【變式4-1】4.侈選）（2023春河南許昌?）已知函數(shù)7"（>）=e閉sin久，則下列結(jié)論正確的

是（）

A./⑺是周期為2兀的奇函數(shù)B./⑴在（-密）上為增函數(shù)

C./（%）在（-10兀,10兀）內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn)D.八比）川比在[0,白上恒成立的充要條件是a4l

題型5恒成立問(wèn)題之兩個(gè)函數(shù)問(wèn)題

J!?6

此類(lèi)函數(shù)，多采用兩函數(shù)"取最值法".一般地，已知函數(shù)y=f(x),xe[a,b],y=g。),久e[c.d]

⑴若Wxie[a,b],V%26[c,d]，總有/(%1)<g(%2)成立,故f(x)max<9(>2)min；

⑵若6[a,b],3萬(wàn)2C[c,d],有(久1)<9(功)成V"，故AGOmax<3(.^-2)maxi

⑶若6[a,b],三萬(wàn)2€[c,cZ],有/(久1)<g(久2)成V"，故八久)min<^(-^-2)min,

(4)若5e\a,b],Bx2E\c,d],有/Oi)=g(%2),則/(久)的值域是g(x)值域的子集.

?類(lèi)型1同變量型

【例題5-11(2023秋?廣東陽(yáng)江?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=/-ln%,g(%)=以+①

汽e(0,+8),/(%)之g(%)恒成立，則Q+1的最大值為()

A.eB.1C.—1D.—e

【變式5-1】1.(2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)--X2+^x+2(m>0)，9(久)=ex—3x2+1,若不等式g(x)>2f(x)—x2—11對(duì)一切

xeR恒成立，則正整數(shù)小的最大值為()

A.5B.6C.7D.8

【變式5-1】2.(2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知nX)=mx+n,g(x)=lnx,對(duì)于Vxe

(0,+8),/(%)2g(x)恒成立,則m+2zi的最小值為()

A.—ln2B.-1C.—ln4D.-2

x

【變式5-1]3.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)f(K)=x—ln(x+l),g(x)=e-x-l,

若g(x)>對(duì)VxG[0,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【變式5-1】4.(2020?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)三次函數(shù)/。)=皿3+如2+=,⑶四

為實(shí)數(shù)且a力0)的導(dǎo)數(shù)為廣Q),記。(乃=尸(無(wú))，若對(duì)任意％eR,不等式「Q)》gO)恒成立,

則島的最大值為

?類(lèi)型2不同變量型

【例題5-2](2022秋?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(幻=(K—1)(/—e)，9。)=也

x-ax,其中aeR.若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)4，%2,不等式/(勺)3g(久2)恒成立，則a的最小值

為()

A.0B.1C.|D.e

【例題5-2]1.(多選)(2023秋?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知f(%)=%ex,9(%)=xln

x.若存在X16R,x2G(0,+oo),使得/'(xD=。(久2)=t成立，則下列結(jié)論中正確的是()

A.當(dāng)t>0時(shí)，%1%2=tB.當(dāng)t>0時(shí)，elnt<xrx2

C.不存在t,使得f'OD=g'(K2)成立D.f(久)>g(x)恒成立，則mW2

【變式5-2】2.(2022秋?四川綿陽(yáng)?高三四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=

等，9(久)=—e/+ax(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，對(duì)任意的久16R,存在久26色2],有了(久1)<。

(久2)，貝M的取值范圍為.

【變式5-2】3.(2022秋?四川高三棠湖中學(xué)階段練習(xí))函數(shù)f(%)=lnx—ax,g(x)=ax2

+1,當(dāng)aW0時(shí),對(duì)任意打、久2e[l,e],者隋/'(X。>久2)成立，則a的取值范圍是.

【變式5-2】4.(2021秋?湖北襄陽(yáng)?高三開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=ln久—%+嵩—1,g(x)

=(1)一m,p=[m|任意Xl,X2e(0,2),f(Xl)2g(x2)},Q=

{ml任意Xie(0,2),存在X2e(0,2),f(x。>g(X2)1,則PCQ=.

?類(lèi)型3函數(shù)相等型

1久1

一4[<19(K)=收

(log(x+3),x>1

2

+2x+a-l,若對(duì)任意的久j,eR,總存在實(shí)數(shù)電6(0,+8),使得/'(燈)=。(K2)成立，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為()

A-[°41B-[°4)C-(一8,3)A1,+co)

【變式5-3】1.(2022?天津和平?耀華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)f0)=21,。(久)=

器心12；若對(duì)任意“1G[1,+8)，總存在久2eR,使/(打)=93),則實(shí)數(shù)a

I人I乙Lt,U

的取值范圍是()

A.(—8,4B.(一8京)昨,2]

C.(-)>[1,2]D,(I,|]ug,2]

【變式5-3]2.(2023?新疆烏魯木齊?烏市一中?？既?已知函數(shù)f(x)=e2x-2%+l,g(x)

=2x-2lnx,若存在%1,刀2e(1,+8),使得/(%i)=g(%2),則()

A./(%!)<5(%i)B.2%i<ln%2

C.In(2xx)<lnx2<D.%1<lnx2<2%i

【變式5-3】3.(2021?河南?統(tǒng)考一模)定義：[ln(g(x))]，=卷0(x)統(tǒng)函數(shù)/■Q)=%2

+2x+a,g(x)=81n(x+1),若m久口冷6(0,3),打4久2,使得f(久加=9(刈)，/(x2)=9

(%2)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.(161n2-15,0)B.(161n2-15,81n2-3)

C.(0,81n2-3)D.(0,15-161n2)

【變式5-3]4.(2021春?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/⑶=%2-e-"。(久)=-

|x3+2x2-3x+c,若對(duì)￡(0,+00),a%2G[1,3],使/'(叼)=。(冷)成立，則c的取值范圍

B

()

A

444444

<c<B-<C<CC<aC>

一

---一

.3--3-3-

次

.次

e2

些復(fù)雜結(jié)構(gòu)，需要先構(gòu)造合理的函數(shù)形式再求導(dǎo)研究，以達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”的目的

【例題6】（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知￡>0,x,ye（-^4），且產(chǎn)引叮=/sinx,

則下列關(guān)系式恒成立的為（）

A.cosx<cosyB.cos%>cosyC.sin%<sinyD.sin%>siny

【變式6-1]1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（J=（N+i）e\若對(duì)任意0<%2<%i,

"二譬）<Me'-e為恒成立,則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

1

e'ez

A.（—8,1]B.[L+8）

C.（-00,3]D.+

【變式6-1]2.（2022秋?重慶?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（無(wú)）=aln（x+1）+%2,

在區(qū)間（3,4）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)向，切且打力久2,若不等式"-一?7但-1）>1恒成立,則實(shí)數(shù)。

人1人2

的取值范圍為（）

A.[-9,4-00）B.[—7,+oo）C.[9,+8）D.[7,+8）

【變式6-1】3.（2022秋?河南鄭州?高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

x

/（%）=ae+4%,對(duì)任意的實(shí)數(shù)久1/2e（-8,+00）,且孫力乂2,不等式+久2

人1人2

恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A?信+8）B.《,+8）C.g+8）D,+oo）

【變式6-1】4.（2022秋?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知20211n

a=a+m,20211nfo=b+m,其中a力b,若a6<2恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A.((2021e)2,+oo)B.(20212,+oo)C.[20212,+oo)D.[(2021e)2,+oo)

題型7零點(diǎn)問(wèn)題

1.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)

數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；

2.方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處

理，可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法、把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；

3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形:

合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

【例題7]（2022秋?江西撫州?高三臨JI|一中?？计谥校┤艉瘮?shù)f⑴=ex+依-1）+b在區(qū)

間[Q]上有零點(diǎn)，則a2+〃的最小值為（）

A.募B.e2C.ID.e

【變式7-1】1.（2023?安徽黃山?屯溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=

鼠吩3；<%<3，若函數(shù)9。）=+21有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

是（）

A-M）uQ閭B.（0,窄）u島閭

C（。普）咤圖D.（0,f）u（±,f）

【變式7-1]2.（2021秋?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)f㈤=或—％2缶>

有且只有一個(gè)零點(diǎn)，貝M的取值范圍為（）

A.（1,藍(lán)）B.（e葡C.（￡,+8）D.（￡+8）

【變式7-1】3.（2023?浙江溫州?樂(lè)清市知臨中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a>0,6eR,已知函

數(shù)/'0）=*6“+口。一3）+6,x6[1,3]有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則。2+。2的最小值為（）

A-<B.fC.亨D.f

【變式7-1]4.（2023?四川廣元?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)了⑴=21nx-3a/在[魚(yú),封上存在

兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是)

A?隼）B.增JC.信用D.內(nèi)）

題型8同構(gòu)問(wèn)題

、1,4I

#塾重點(diǎn)

同構(gòu)法的三種基本模式：

hl

①乘積型，如ae°W61nb可以同構(gòu)成ae。W（lnb）e\進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)/（x）=%e\

②比商型，如曰<"可以同構(gòu)成言<總進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)人支）=￡；

③和差型，如e"士a>6±lnb,同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)fO）=e*±刀或/（*）=*±歷k

【例題8】（2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)久6（0,+8）,不等式ln（mx）

+（1—爪）％20恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.0<m<1B,m<1C.0<m<eD.m<e

【變式8-1]1.（2021秋?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)k>0,若存在正實(shí)數(shù)

%,使得不等式Iog27》—H3-T20成立，貝此的最大值為（）

A-^―B—C—D—

A.eln3D,eln3U-2

【變式8-1]2.（2023秋?廣東中山?高三?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意Xe（0,+oo）,y+1）-

（1+31?>0恒成立，則實(shí)數(shù)k的可能取值為（）

112

A--1B.-C.-D.-

【變式8-1]3.（2023秋?江西南昌?高三南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已如函數(shù)〃式）=a

ex+Ina+l（a>0）,若任意實(shí)數(shù)t>1,不等式/（t）>ln（t-1）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為（）

A-僅瑞）B.（0塌Cg,+8）D.七,+8）

【變式8-1】4.（2022秋?福建莆田?高三莆田二中?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意x>0,若不等式

a/wy+axlnx（a>0）恒成立，則a的取值范圍為（）

A.（0,2e]B.（0,e]C.（0,1]D.[l,e]

【變式8-1】5.（2023春?四川內(nèi)江?高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）

在（a力）上的導(dǎo)函數(shù)為r（x）,若廣（久）在（a,6）上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)y=/（久）在（a力）上存

在二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)記為y=f"O）.若在區(qū)間（a,6）上f"（x）>0,則稱(chēng)函數(shù)丫二人功在區(qū)間但力）

上為"凹函數(shù)".已知/（久）=疑2'比—Ina—|）在區(qū)間（0,+8）上為"凹函數(shù)"，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

題型9整數(shù)解問(wèn)題

#塾量點(diǎn)

1.通過(guò)函數(shù)討論法，參變分離，數(shù)形結(jié)合等來(lái)切入

2.討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題

【例題9】（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式x（x-爪/）>小聲有且僅有兩個(gè)

正整數(shù)解（其中e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)6的取值范圍是（）

A-（5e4,4e31B"（礙，帝]C.[5e4>4e3）D.[備，帝）

【變式9-1]1.（2023?重慶巴南?統(tǒng)考一模）已知偶函數(shù)f（比）滿(mǎn)足/（4+嗎=/（4-%）,/（0）

=-1,且當(dāng)xe（0,4]時(shí)，f（x）=竽若關(guān)于%的不等式f（x）>a在[-48,48]上有且只有60個(gè)整

數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-1,0]B.（野）C.（-L,竽）D.[竽野）

【變式9-1】2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)/（久）=。一l）lnx-ax-l（a€R）,若不

等式f（x）<0最多只有一個(gè)整數(shù)解，貝！]a的取值范圍為（）

A.（-8,吟）B,婚，空]

C.（―8,空]D.（—8,用

【變式9-1】3.（2023春?湖北武漢?高三武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

/（X）=ax+Inez,g（x）=x+e"-Inx,若關(guān)于X的不等式f（x）>g（x）在區(qū)間（0,+8）內(nèi)有

且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（e,e2]B.（e,^]C.（e2,e3]D.（亨南

【變式9-1]4.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考期末）已知f（x）=a

（x+l）e%-2%,若有且只有兩個(gè)整數(shù)解使/（x）<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

【變式9-1】5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=kx（久+1）—Inx,若f（久）W0有

且只有兩個(gè)整數(shù)解，則k的取值范圍是（）

A席嗎fln51n2

130T0」Wo'ioJ

「Jn2ln3-.Jn2ln3、

D.（前五）

題型10函數(shù)凹凸性問(wèn)題

【例題10］(2023?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(無(wú))=ln(x+m)-ex+1,滿(mǎn)足f

(x)<0恒成立的最大整數(shù)m的值為—.

【變式10-111.(2021春?湖北鄂州?高二統(tǒng)考期末)已知大于1的正數(shù)a,b滿(mǎn)足翳<

Q)71,則正整數(shù)n的最大值為()

A.7B.8C.9D.11

【變式10-1】2.(2023秋?江蘇南京?高三南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)

足In(4久+3y—6)—ex+y~2>3%+2y—6,貝［jx+y的值為

A.2B.1C.0D.-1

【變式10-1】3.(2022秋?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e，(|lnx|—加―久

有兩個(gè)零點(diǎn)，則小的取值范圍為()

A.(—e,+oo)B.(—|,+oo)C.(—1,+oo)D.(0,+oo)

題型11倍函數(shù)問(wèn)題

駟:-我量占

1.保值函數(shù)，包括“倍增函數(shù)"，"倍縮函數(shù)"，"K倍函數(shù)"，等等新定義

2.應(yīng)用函數(shù)思想和方程思想.

【例題11】(2023春?北京海淀?高二?？茧A段練習(xí))若存在久1的6口切且燈片％2,使

1go1)-9(%2)1>4/(X1)-)(久2)I成立,則在區(qū)間［a,句上，稱(chēng)g(x)為/'(久)的"倍函數(shù)”.設(shè)

/(x)=lnx,。(久)=五目，若在區(qū)間［6冏上，g(x)為f(x)的"倍函數(shù)"，則實(shí)數(shù)L的取值范

圍為()

A.(―8周B.(-00,0

C.(―8,e]D.(―8,e)

【變式11-U1.(2020秋?海南海口?高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí))對(duì)于函數(shù)y=f(x),若存

在區(qū)間［a,b］,當(dāng)xe［a,b］時(shí)的值域?yàn)椋踜a,kb］(k>0),則稱(chēng)y=f(x)為k倍值函數(shù).若

f(x)=ex+3x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

12

A.(e+-,+oo)B.(e+-,+8)

C.(e+2,+oo)D.(e+3,+8)

【變式11-1】2.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如果存在打，久2€［附］且血片冷，使

—g(%2)l>11/(%1)-/。2)1成立，則在區(qū)間回句上，稱(chēng)g(久)為/(X)的"倍函數(shù)”.設(shè)

/(%)=Inx,g(x)=21；+1，若在區(qū)間［6間上，g(x)為/(久)的"倍函數(shù)"，則實(shí)數(shù)L的取值范

圍為—.

【變式11-1】3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)久久)的定義域?yàn)镈,若存在閉區(qū)間口力］

￡D,使得函數(shù)了(x)滿(mǎn)足：①f(x)在［a用內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②八久)在［a用上的值域?yàn)椋?a,20,則

稱(chēng)區(qū)間［a,0為V=/(X)的"倍值區(qū)間下列函數(shù)中存在"倍值區(qū)間"的有

①/(X)=X2(X20)；②f(久)=eR)；

③/'(X)=含(久20)；@/(%)=|%|(%e/?).

【變式11-1］4.(2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))小王準(zhǔn)備在單位附近的某小區(qū)買(mǎi)房，

若小王看中的高層住宅總共有n層(20<n<30,n￡N*),設(shè)第1層的"環(huán)境滿(mǎn)意度”為

1,且第k層(2<k<n,/c￡N*)比第k—1層的"環(huán)境滿(mǎn)意度”多出3k2_3k+l;又已

知小王有“恐高癥"，設(shè)第1層的"高層恐懼度”為1,且第k層(2<kW%k€N*)比

第k-1層的"高層恐懼度"高出%告在上述條件下，若第k層"環(huán)境滿(mǎn)意度"與"高層恐懼

度”分別為電，bkl記小王對(duì)第k層"購(gòu)買(mǎi)滿(mǎn)意度"為”,且4=￡,則小王最想買(mǎi)第

()層住宅.

(參考公式及數(shù)據(jù)：12+22+32+…+聲=2+iy+i),也2=0.6931,ln3=1.0986,

1.1006)

【變式11-1】5.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若存在實(shí)數(shù)K,對(duì)任意xe/,Kf(x)成立,

_久2_2%_4%<0

lnx+|,x>o"和.(%)二」,

若9。)是/(“)在R上的K倍函數(shù)，貝歡的取值范圍是

題型12二次型函數(shù)問(wèn)題

【例題12】(2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(k)=

%2+%+2%V02

在，尤20,若函數(shù)9(乃=26產(chǎn)0)—40)+：恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范

rex，~

圍為.

【變式12-1]1.(2023?全國(guó)?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(工)=(1—x)e\若關(guān)于%的方程2

[/(x)]2-4a/(x)+1=。有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【變式12-1】2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)f(x)=若關(guān)于萬(wàn)的方程產(chǎn)0)

4

-2n/(x)+了=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)"的取值范圍為.

X+3%<0

式;>3,若關(guān)于久的方

{X，

程[/(x)]2+a〃>)—1=。有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，貝！Ja的取值范圍為一.

【變式12-1】4.(2023秋?廣東東莞?高三?？计谀?已知函數(shù)了⑴=[￡父二町

若關(guān)于X的方程f2(久)=2m[/(x)-2]有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則整數(shù)m的值為.

(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

2^+1_]%<0

皿'，若

{X，

F(x)=f2(x)—af(x)+3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

題型13嵌套函數(shù)問(wèn)題

上存在點(diǎn)(%o,yo)使得/(/(yo))=%)，則a的取值范圍是.

【變式13-1】1.(2020春?浙江?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(幻=代2'一上￥

g(x)=f(x)-b,h(x)=f[f(.x)]-b,記函數(shù)g(x)和h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分別是M,N,則

()

A.若M=1,貝(JN42B.若M=2,貝(JN22

C.若M=3,貝[|N=4D.若N=3,貝M=2

【變式13-1]2.(2023?天津二模)已知函數(shù)/⑴=[i駕矣\,若尸(幻=/[/(%)+1]+m

有兩個(gè)零點(diǎn)打,久2,則久1+比2的取值范圍是()

A.[4—21n2,+oo)B.[1+Ve,+a>)C.[4—21n2,l+Ve)D.(—oo,l+Ve)

【變式13-1】3.(2023?浙江?二模)已知函數(shù)/Q)=|x—a|e3貝k(/(久))=a至多有

個(gè)實(shí)數(shù)解.

【變式13-1】4.(2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/0)=仔：:；2荒。，若

F(x)=/(/(%)-。有六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.