等差數(shù)列-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義（人教A版選擇性必修第一、二冊）

第15講等差數(shù)列

【人教A版2019】

1.等差數(shù)列的概念

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫

做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.

2.等差中項

由三個數(shù)aA力組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做。與6的等差中項，則有

2A=a+b.反之，若2A=a+6,則a八力三個數(shù)成等差數(shù)列.

3.等差數(shù)列的通項公式

(1)等差數(shù)列的通項公式

等差數(shù)列的通項公式為為二見+(止l)d,其中火為首項，d為公差.

(2)等差數(shù)列通項公式的變形

已知等差數(shù)列｛%｝中的任意兩項為,am(n,muN*則

(

1Qn

a=------,

。〃=?+(〃_l)d,n—m

,z,x,a?-am=(n-m)d<

am=a\-\-(m-1)d

Ian=am+(n—m)d.

4.等差數(shù)列的單調(diào)性

由等差數(shù)列的通項公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.

①當(dāng)d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；

②當(dāng)d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；

③當(dāng)d=0時，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.

因此，無論公差為何值，等差數(shù)列都不會是擺動數(shù)列.

圖①圖②圖③

5.等差數(shù)列的性質(zhì)

設(shè)｛0“｝為等差數(shù)列，公差為“，則

(1)若m+n=p+q(m,n,p,qGN*),貝!j%+Q〃=即+4.

(2)數(shù)列｛2%+b｝3力是常數(shù))是公差為Ad的等差數(shù)列.

(3)若｛乩｝是公差為"的等差數(shù)列，｛對｝與｛乩｝的項數(shù)一致，則數(shù)列｛4為+%乩(九為常數(shù))是公差為

九d十心"的等差數(shù)列.

(4)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項耿，〃左+帆,歐+2加N*)組成公差為md的等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列｛4｝中，若/=加，am=n,m^n,則有。加+〃=0.

?題型歸納

【題型1等差數(shù)列的基本量的求解】

【例1.1](2024?山東?模擬預(yù)測)在等差數(shù)列｛an｝中，已知的=一9,a?+a5=-9,42兀-1=9,則幾=()

A.7B.8C.9D.10

【例1.2】(24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí))已知等差數(shù)列滿足+a7=32,a6-a4^6,則的=()

A.2B.4C.6D.8

【變式1.1](24-25高二上?福建龍巖?開學(xué)考試)等差數(shù)列｛廝｝滿足a4+a7=12,a5=5,則該等差數(shù)列的

公差d=()

A.1B.2C.3D.4

【變式1.2]（23-24高二下.河南南陽?期末）若｛即｝是正項無窮的等差數(shù)列，且口3+。9=6,則｛/J的公差d

的取值范圍是（）

A.[1,2）B.（0,|）C.（|,+8）D.[0,|）

【題型2等差數(shù)列的通項公式的求解】

【例2.1]（23-24高二上?重慶?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列,且滿足+a7=34g-a6=280,

則其通項公式為（）

A.an=6n-10B.an=3n+2

C.an=2n+7D.an=n+10

【例2.2]（2024?陜西寶雞?模擬預(yù)測）已知首項為2的等差數(shù)列｛an｝,的前30項中奇數(shù)項的和為A,偶數(shù)

項的和為2,且8-2=45,則廝=（）

A.3九一2B.3n—1C.3九+1D.3九+2

【變式2.1]（2024高二.全國?專題練習(xí)）在等差數(shù)列-5,-3|,-2,-右…每相鄰的兩項之間插入一個數(shù)，

使之組成一個新的等差數(shù)列｛a".

（1）求新數(shù)列｛aj的通項公式；

（2）28是新數(shù)列｛時｝的項嗎？若是，是第幾項？

【變式2.21（23-24高二下?北京懷柔?階段練習(xí)）在等差數(shù)列｛a九｝中，已知的+他+ai3=12,a3a8a13=28

⑴求數(shù)列｛即｝的通項公式；

（2）求。23的值；

（3）—蔡是不是數(shù)列｛a九｝中的項？

【題型3利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題】

【例3.1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛an｝滿足的劭+。2a7+a3a9+a7a8=則的=（）

A.|B.5C.5或一5D.［或一］

【例3.2］（23-24高二上?陜西咸陽?階段練習(xí)）在等差數(shù)列｛即｝中，^a3+a4+a5+a6+a7=45,則+

O.Q—（.）

A.16B.17C.18D.19

【變式3.1］（23-24高二下?遼寧鞍山?期中）已知數(shù)列｛的J是等差數(shù)列，若%-的+%7=7,則的+的5等

于（）

A.7B.21C.14D.17

【變式3.21（23-24高三下?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí)）等差數(shù)列中，若以+卷+他+%o+%2=

120,則口9一2的1的值是（）

A.14B.15C.16D.17

【題型4等差數(shù)列的判定與證明】

【例4.1】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知正項數(shù)列｛&J滿足a九+遂九+2+an+1an=2an+2an+1an+

九+2072，日.a1—,a?=—,

2a一14

⑴判斷數(shù)列［二一-二）是否為等差數(shù)列，并說明理由；

lan+ian）

（2）求數(shù)列｛冊｝的通項公式.

【例4.2】（23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛an｝滿足：at=1,a2=4,an+2=2an+1-an+2.

（1）證明：｛冊+i—即｝是等差數(shù)列，并求｛即｝的通項公式；

（2）設(shè)垢=an+2，若數(shù)列｛,｝是遞增數(shù)列，求實數(shù)k的取值范圍.

【變式4.1]（23-24高二下.重慶榮昌?階段練習(xí)）己知數(shù)列5｝滿足限1=魯m缶7*）,且的=3.

（。3,。4；

（2）證明：數(shù)列｛忘｝是等差數(shù)列，并求an.

【變式4.2]（24-25高二上?上海?課后作業(yè)）已知數(shù)列｛&J有的=a,a2=p（常數(shù)p>0）,對任意的正整

n

數(shù)"，S”=a1+a2—+an1并有％滿足%=（"3"i）.

⑴求a的值；

（2）試確定數(shù)列｛即｝是不是等差數(shù)列，若是，求出其通項公式；若不是，說明理由.

等差數(shù)列的前〃項和公式

1.等差數(shù)列的前“項和公式

等差數(shù)列的前“項和公式

"（0+。”）,公甫一、

S?=nai+〃D-d（公式二）.

2.等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

等差數(shù)列｛斯｝的前n項和Sn的常用性質(zhì)

性質(zhì)1等差數(shù)列中依次上項之和Sk,S2lrSk,S^S2k,…組成公差為爐d的等差數(shù)列

若等差數(shù)列的項數(shù)為2〃（幾￡N*）,貝！IS?”=+a〃+i）,S偶一S奇=nd,

S偶_4〃+1

性質(zhì)2S奇4〃’

若等差數(shù)列的項數(shù)為2〃-l（〃￡N*）,則S21=（2〃-1）-a〃（斯是數(shù)列的中

間項），S奇S偶=?！埃琿=

3奇〃

｛斯｝為等差數(shù)列分｛手｝為等差數(shù)列

性質(zhì)3

若｛斯｝，｛5｝都為等差數(shù)列，分別為它們的前〃項和，則咨=>

性質(zhì)4

Um/2m—1

3.求等差數(shù)列前〃項和的最值的常用方法：

（1）鄰項變號法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求

得和的最值；

（2）二次函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前"項和S產(chǎn)A,+Bw（A,B為常數(shù)，AWO）為二次函數(shù),

通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

（3）不等式組法：借助當(dāng)&最大時，有《「二:一】，S22,〃￡N*）,解此不等式組確定〃的范圍，進(jìn)

而確定n的值和對應(yīng)S〃的值（即S〃最大值），類似可求S”的最小值.

?題型歸納

【題型5等差數(shù)列前〃項和的性質(zhì)】

【例5.1］（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知％是等差數(shù)列｛&J的前“項和，若54=12$=40,則2=（）

A.44B.52C.68D.84

【例5.2］（2024高二?全國?專題練習(xí)）已知又是等差數(shù)列｛%｝的前"項和，若的=—2。24,寢-需=6,

貝伊2。24等于（）

A.-4040B.-2024C.2024D.4040

【變式5.1］（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%J,｛與｝都是等差數(shù)列，記Sn,7；分別為｛an｝,｛,｝的

前〃項和，且員=吵二，則”=（）

Tn3nb5

A.-B.-C.-D.-

5533

【變式5.2]（23-24高二上?黑龍江牡丹江?期末）已知等差數(shù)列｛aj也｝的前n項和分別為S,*,若?=一三,

n1flOlliJ.

則笆色=（）

%+匕5

A.—B.—C.—D.—

11111314

【題型6求等差數(shù)列的前“項和】

【例6.1】（24-25高三上?江蘇蘇州?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛an｝的公差大于0,a5+a3-a2=0,a5a7=-1,

則｛5｝的前10項和為（）

A.-4B.0C.-5D.5

【例6.2]（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛即｝,｛.｝通項公式為即=2n-1,刈=3n-2,將數(shù)列

｛即｝｛b｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛%｝,設(shè)數(shù)列｛0｝的前n項和為S”，貝US.=（）

A.3n2B.3n2—nC.2n2—2nD.3n2—2n

【變式6.1]（24-25高二上.福建莆田?階段練習(xí)）記立為等差數(shù)列｛即｝的前n項和,已知a2=-27,a7=-17.

（1）求等差數(shù)列的通項公式；

（2）求出數(shù)列的前n項和

【變式6.2]（23-24高三上?廣東廣州?期中）已知數(shù)列的首項為的=點且滿足與+1+4即+網(wǎng)-即=0.

⑴證明：數(shù)列｛J為等差數(shù)列；

⑵設(shè)數(shù)列身的前n項和為Sn,求數(shù)列｛（一l）"Sn｝的前n項和.

【題型7等差數(shù)列前"項和的最值】

【例7.1](24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試)在等差數(shù)列｛廝｝中，若a4+2a9=ci2=8,則下列說法錯誤

的是()

A.%=9B.Si。=45

C.Sn的最大值為45D.滿足%>0的n的最大值為19

【例7.2](2024.黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知｛冊｝是等差數(shù)列，是其前n項的和，則下列結(jié)論錯誤的是

()

A.若與=2/1—25,則％取最小值時n的值為12

B.若斯=-3n+27,則%的最大值為108

C.若Si3=S"，則必有$30=0

D.若首項的>0,S6=S12,則％取最小值時n的值為9

【變式7.1](23-24高二下?北京懷柔?期中)已知數(shù)列的前n項和為Sn=21-18Tl

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式a“

(2)判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，若是，加以證明；若不是請說明理由；

(3)求工的最小值，并求又取最小值時n的值.

【變式7.2](23-24高二下?貴州遵義?階段練習(xí))已知等差數(shù)列｛an｝的前〃項和為Sn,a3=7,S9=27.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)當(dāng)"為多少時Sn取得最大值，并求先的最大值；

(3)若“=|*,求數(shù)列｛砥｝的前〃項和田.

【題型8等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】

【例8.1](23-24高二上.云南迪慶?期末)明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由，n,S”和d求各

項的問題，如九兒問甲歌：“一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七.借問長

兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.”意思是一位老人有九個兒子，不知道他們的出生年月，他們的年齡從大到小排

列都差3歲，所有兒子的年齡加起來是207.只要算出長子是多少歲，其他每個兒子的歲數(shù)就可以推算出來，

則該問題中老人長子的歲數(shù)為（）

A.27B.31C.35D.39

【例8.2］（23-24高二上?河南洛陽?期末）倜髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、

立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，小寒、

立春、驚蟄日影長之和為31.5尺，前八個節(jié)氣日影長之和為80尺，則谷雨日影長為（）

A.1.5尺B.3.5尺C.5.5尺D.7.5尺

【變式8.1］（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）一支車隊有15輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù).第一輛

車于14時出發(fā)，以后每間隔lOmin發(fā)出一輛車.假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開車，并都在18時停下來休息.

（1）截止到18時，最后一輛車行駛了多長時間？

（2）如果每輛車行駛的速度都是60km/h,這個車隊當(dāng)天一共行駛了多少千米？

【變式8.2］（23-24高二下?全國?單元測試）用分期付款的方式購買家用電器需11500元，購買當(dāng)天先付1500

元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率為0.5%,若從交付1500元后的第1個月開始算分期付款的

第1個月，問：

（1）分期付款的第10個月應(yīng)交付多少錢？

（2）全部貸款付清后，買家用電器實際花了多少錢？

A課髓施（19題）

一、單選題

1.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）等差數(shù)列｛&J中，a2=4,a4=10,則ag=（）

A.26B.22C.18D.14

2.（24-25高二上?全國?隨堂練習(xí)）若a,b是方程%2一2%-3=0的兩根，則a,b的等差中項為（）

33

A.-1B.--C.1D.-

22

3.（23-24高二上?河北保定?期末）已知數(shù)列｛&J滿足即+1=即+6,｛a｝的前幾項和為無,則黯-濡=

n20242022

（）

A.12B.6C.3D.2

4.（24-25高三上?山西忻州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛冊｝滿足皿+皿=2,且a2=#則3a1oo=

G九ClTI+2+17

（）

A.-B.-C.-D.—

65676971

5.（2024高二?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛冊｝中，的=l,a2=30,2an=an+1+an_r+2（neN*且n>2）,

則數(shù)列｛%J的最大項是（）

A.。15B.。16C.。17D.。18

6.（2024高二?全國?專題練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他們手里的錢不一樣多，依次成

等差數(shù)列，已知甲、乙兩人共237錢，戊、己、庚三人共261錢，則丁有（）

A.107錢B.102錢C.101錢D.94錢

7.⑵-24高二下?河北張家口?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛廝｝,%=-4048,其前n項和為金，若黑-普=4,

則52025=（）

A.0B.20242C.2025D.20252

8.（24-25高三上?河北衡水?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛an｝的公差小于0,前〃項和為%,若a2=安,S8=44,

則土的最大值為（）

A.45B.52C.60D.90

二、多選題

9.（23-24高二上?重慶?階段練習(xí)）對于數(shù)列｛%3，若的=1,a4=2,an+2-an+2（neN*）,則下列

說法正確的是（）

A.a2=0B.數(shù)列｛a"是單調(diào)遞增數(shù)列

C.數(shù)歹式。2?.1｝是等差數(shù)列D.數(shù)列｛廝+an+J是等差數(shù)列

10.（23-24高二上.江蘇南通?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛aj的前"項和為無,且公差dK0,若對于任意正

整數(shù)”，5^252022,則（）

A.%>0B.d>0

C.。2022=°D.S4045>0

11.（24-25高三上?內(nèi)蒙古包頭?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛an｝的前〃項和為Sn,的<0,且（S7-53）67-S。<

0,則（）

A.<0B.S4<S7<S3

C.當(dāng)幾=6時，Sn取最小值D.當(dāng)0時，”的最大值為10

三、填空題

12.（24-25高三上?重慶?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛an｝中，的=-3,a2+a3=0,