初中數(shù)學期末壓軸題分類（必刷60題15種題型專項訓練）解析版

期末壓軸專題分類01(必刷60題15種題型專項訓練)

一.解一元二次方程-因式分解法(共1小題)

1.對于實數(shù)a,b,定義運算“*”：a*b=.a-ab(a>b).例如4*2,因為4>2,所以4*2=4?-4X2

ab-b2(a<b).

=8.若XI，X2是一元二次方程，-5x+6=o的兩個根，則X1*X2=3或-3.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：..51,X2是一元二次方程--5x+6=0的兩個根，

(x-3)(x-2)=0,

解得：x=3或2,

①當xi=3,犯=2時，XI*X2=3?-3X2=3；

②當xi=2,X2=3時，XI*X2=3X2-32=-3.

故答案為：3或-3.

二.根與系數(shù)的關(guān)系(共1小題)

2.設(shè)a,0是方程x2+9x+l=0的兩根，則(a2+2009a+l)(儼+20090+1)的值是()

A.0B.1C.2000D.4000000

【答案】D

【解答】解：???a,0是方程/+9x+l=0的兩個實數(shù)根，

/.a+P=-9,a?p=1.

(a2+2009a+l)(儼+20090+1)

=(a2+9a+l+2000a)(儼+邪+1+20000)

又：a,0是方程x2+9x+l=0的兩個實數(shù)根，

/.a2+9a+l=0,伊+邪+1=0.

(a2+9a+l+2000a)(儼+邪+1+2000。)

=2OOOa,2OOO0

=2000X2000鄧，

而支邛=1,

二(a2+9a+l+2000a)(儼+90+1+20000)=4000000.

故選：D.

三.一元二次方程的應(yīng)用(共3小題)

3.如圖，A,B、C、。為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=6cm,動點尸、。分別從點/、。同時出發(fā),

點尸以3c加/s的速度向點3移動，一直到達2為止，點0以2cm/s的速度向。移動.

(1)P、。兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形P3C。的面積為33cm2；

(2)P、。兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點。的距離是10c%.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)設(shè)尸、。兩點從出發(fā)開始到x秒時四邊形尸8C。的面積為33cZ,

貝U尸8=(16-3x)cm,QC=2xcm,

根據(jù)梯形的面積公式得工(16-3x+2x)X6=33,

2

解之得x=5,

(2)設(shè)尸，。兩點從出發(fā)經(jīng)過/秒時，點P,0間的距離是10cm,

作。EL48,垂足為E,

則0￡=/。=6,尸0=10,

,:PA=3t,CQ=BE=2t,

：.PE=AB-AP-2E=|16-5f|,

由勾股定理，得(16-5?)2+62=102,

解得/I=4.8,?2=1.6.

答:(1)尸、。兩點從出發(fā)開始到5秒時四邊形PBC。的面積為33c/；

(2)從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時，點P和點。的距離是10cm.

2

4.閱讀下列材料：求函數(shù)yn:%+2乏的最大值.

x2+x+0.25

解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成X的一元二次方程，得(y-3)X2+(y-2)x1y=O

為實數(shù)，，△=(y_2)2-4(y-3)x[y=-夕+420，因此，y的最大值為4.

2

根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)y=3：+.X.+2的最小值.

X2+2X+1

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程，得S-3)/+(2y-1)x+y-2=o,

為實數(shù)，

???△=(2y-1)2-4(y-3)(廠2)=電-2320,

?＞23

16

因此y的最小值為23.

16

5.某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元.為了

盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么

商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價x元，現(xiàn)在的利潤是(0.3-x)元，則商城多售出100x+0.1=1000x

張.

(0.3-x)(500+1000x)=120,

解得xi=-0.3(降價不能為負數(shù)，不合題意，舍去)，x2=0.1.

答：每張賀年卡應(yīng)降價0.1元.

四.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義(共1小題)

6.如圖，兩個反比例函數(shù)y=2和＞=上在第一象限的圖象如圖所示，當尸在y=2的圖象上，PCLx軸于

XXX

點C,交》=上的圖象于點P。，了軸于點。，交＞=工的圖象于點2,則四邊形的面積為1.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由于P點在y=2上，則S口?COD=2,4、8兩點在■上,

xx

貝ISADBO=SAACO=工乂1=—?

22

??S四邊形以O(shè)B=S口?COD-S&DBO-SAACO=2-A-i=1.

22

二四邊形口。8的面積為1.

故答案為：1.

五.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征(共3小題)

7.如圖，△/BC的三個頂點分別為/(1,2),B(2,5),C(6,1).若函數(shù)y=K在第一象限內(nèi)的圖象與

△/BC有交點，則左的取值范圍是()

C.2WK6D.2W左W型

42

【答案】A

【解答】解：反比例函數(shù)和三角形有交點的第一個臨界點是交點為/,

?過點/(1,2)的反比例函數(shù)解析式為y=2,

二欄2.

隨著左值的增大，反比例函數(shù)的圖象必須和線段2C有交點才能滿足題意,

經(jīng)過8(2,5),C(6,1)的直線解析式為y=-x+7,

y=-x+7

.k，得--7%+左=0

y=Y

根據(jù)△》（），得左〈至

4

綜上可知2WLW至.

4

故選：A.

8.如圖，點小，山依次在叵（x>0）的圖象上，點囪，比依次在X軸的正半軸上.若△N1O31，

X

△A2B1B2均為等邊三角形，則點B2的坐標為（6后,0）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：作出。，。團，垂足為C,

???△4。以為等邊三角形，

/.ZAiOBi=60°,

A.C1-

tan60°=―--=、3,

0C

—Moe,

設(shè)出的坐標為（加，加），

?.?點小在歹=生巨（x>0）的圖象上，

x

，冽■愿ir=9?,解得加=3,

???0c=3,

.'.OBi=6f

作42。_￡51比，垂足為D

設(shè)5iQ=a,

則OD=6+a,A2D=y[^a,

??A2（6+a,

,：A2（6+a,在反比例函數(shù)的圖象上,

?，?代入尸9追，得（6+。）

x

化簡得a2+6a-9=0

解得：a=-3±3&.

??Z>0,

.'.a--3+3

-6+6A/2>

,OB2=OB\+B\Bz=6^2，

所以點藥的坐標為（6版,0）.

9.如圖，若雙曲線y=K（左>0）與邊長為3的等邊△/O3（。為坐標原點）的邊04、48分別交于C、D

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：過點C作CELx軸于點E,過點。作。尸，x軸于點凡

設(shè)OC=2x,則3￡>=x,

在RtZkOCE中，NCOE=60。,

則OE=x,CE=MX，

則點C坐標為（x,

在RtZkADF中，BD=x,ZDBF=60°,

則3歹=工，。產(chǎn)=運京，

22

則點。的坐標為（3-1，叵），

22

將點c的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得：k=43x2,

將點D的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得：左=3應(yīng)x-叵￡

24

則后=3區(qū)-退后

24

解得：x\=—,X2=0（舍去），

5

故左=

25

故答案為：毀巨.

六.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共3小題）

10.如圖，動點尸在函數(shù)y=L（x>o）的圖象上運動，PM_Lx軸于PN_Ly軸于N,線段尸河、PN分

2x

別與直線/2：>=-工+1交于點￡、F,則/>的值是（

A.4B.2C.1D.1

2

【答案】C

【解答】解：作/G，x軸，

?尸的坐標為（。，1-）,且PN_L03,PMLOA,

2a

的坐標為（0,_L）,A/■點的坐標為（.a,0）,

2a

:.BN=\-J_,

2a

在直角三角形8NF中，NNBF=45

???三角形OAB是等腰直角三角形,

.\OB=OA=l,

:.NF=BN=\--L,

2a

二尸點的坐標為(1-_L,_L),

2a2a

同理可得出E點的坐標為(Q,1-〃)，

：.AF2=(1-1+—)2+(―)2=_1,BE2=(4)2+(-4)2=2〃2,

2a2a2a2

/.AF2'BE2=—1—?2a2=1,即AF-BE=1.

2a2

故選：C.

11.如圖，反比例函數(shù)y=-」上的圖象與直線y=L+6(6>0)交于/,B兩點(點/在點2右側(cè))，過點

x2

/作X軸的垂線，垂足為點C,連接/O,B0,圖中陰影部分的面積為12,則6的值為

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：過8作于￡>,過4作軸于H,設(shè)4c交于G,如圖:

設(shè)M■為45的中點，A(xi,yi),B(工2,歹2),

12

由，得了+2及+24=0,

.*.xi+x2=-2b,

yi+y2=(工i+b)+(L2+/O=—(xi+x2)+2b=b,

222

：.M(-b,旦),

2

而直線y=L+b(b>0)交于坐標軸于￡、F,

2

：.E(-2b,0),F(0,6),

二環(huán)的中點為Lb,也■),即E尸的中點也為M,

:.EM=FM,BM=AM,

：.EB=FA,

又NFAH=NBED,ZAHF=ZEDB,

：./\EDB^AAHF(AAS),

：.AH=ED=OC,

,?*(S^ZGO+SaGC。)+(S^GCO+S四邊形GCDB)=—1^|+—|A：|=12,

22

且圖中陰影部分的面積為12,

S^BDE—2s&GCO

：.工ED?BD=2X1VC*GC,

22

:.BD=2GC,

：.OD=2OC,即X2=2XI

設(shè)％1=冽，貝!J工2=2冽，

?"?A(m,--A2.),B(2m,-—

mm

將4(m,-衛(wèi)_),B(2m,--)代入得:

,解得加=2jE（舍去）或加

：.b=---X(-2?)=3?.

-2V32

故答案為：3M.

12.如圖，A(-4,—),5(-1,2)是一次函數(shù)yi=Qx+b與反比例函數(shù)》=典圖象的兩個交點，AC-Lx

2x

軸于點C,軸于點D

(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當x取何值時，yi-y2>0?

(2)求一次函數(shù)解析式及機的值；

(3)P是線段上一點，連接PC,PD,若△PC4和△PD8面積相等，求點尸的坐標.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：⑴當yi-”>0,

即:y\>yi,

...一次函數(shù)y1=ax+b的圖象在反比例函數(shù)夕2=四■圖象的上面,

x

\'A(-4,■1),B(-1,2)

2

當-4<x<-1時，yi-y2>0；

(2),?》2=典圖象過5(-1,2),

x

:?m=-1X2=-2,

?.?i=ax+6過N(-4,-1),8(-1,2),

2

j1fa』

??.「4a+b=q,解得？

,-a+b=2b節(jié)

???一次函數(shù)解析式為；y=L+$,

22

（3）設(shè)尸（加，上《+?）,過尸作尸軸于M,PN_Ly軸于N,

22

PN—-m,

22

；APCA和△PZM面積相等，

即；yXy（m+4）=yXIX（2-ym-y）,

乙乙乙乙乙

解得,

2

：.P（-分,互）.

24

七.反比例函數(shù)綜合題（共8小題）

13.如圖，點/是反比例函數(shù)y=_2在第二象限內(nèi)圖象上一點，點2是反比例函數(shù)yni■在第一象限內(nèi)圖象

XX

上一點，直線45與歹軸交于點C,&AC=BC,連接04、OB,則△405的面積是（）

T11

A.2B.2.5C.3D.3.5

【答案】c

【解答】解：分別過4、5兩點作軸，反口軸，垂足為。、E

■:AC=CB,

：.OD=OE,

設(shè)4（-a,2）,則B（a,A）,D。［~~E*

aa

=

故S"OB=S梯形ADEB-S"OD-S^BOE—（—+—）X2。-LxZ-AcZXA=3.

2aa2a2a

解法二：過4,5兩點作歹軸的垂線，由NC=5C求兩個三角形全等，再求面積，

故選：C.

14.如圖，梯形4。5。中，對角線交于點E,雙曲線yj：（左＞0）經(jīng)過4、￡兩點，若NC：05=1：3,梯

形4OBC面積為24,貝I左=()

:?CE：EO=1：3,AE：EB=\：3,

設(shè)aXCE的面積為S,則可得出△BOE的面積為9S,△4OE的面積為3S,△。砂的面積為3S,

又??,梯形/O8C面積為24,

???S+9s+3S+3S=24,

解得：s=3,

2

設(shè)的面積為0,則尸的面積也為a,

故可得的面積=18-a,的面積=21-a,

2

27__

從而可得S4BEF=(型)2,即上_1=_9_,

,△ABM福18一216

解得：=即S/^AOM=S/^OEF=

77

故可得人=2X至魚=期.

77

故選：A.

15.如圖，反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過矩形0Ase對角線的交點M，分別與/8、5c相交于點。、

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)河點坐標為（a,b）,則左=。6,即尸或

:點M為矩形OABC對角線的交點,

：.A(2a,0),C(0,2b),B(2a,2b),

點的橫坐標為2a,E點的縱坐標為26,

又?.?點。、點￡在反比例函數(shù)y=3/的圖象上,

X

：.D點的縱坐標為L,E點的橫坐標為L,

22

,**S矩形O45C=S/^O4D+SaOC￡H~S四邊形

2a*2b=—?2a?L?+_L?2b?-lzz+6，

2222

ab=2,

:?k=2.

故答案為2.

16.如圖，已知反比例函數(shù)y上L（x<0）的圖象與直線產(chǎn)檢也將于交于/（-L6）、8（-6,加兩

X

點，直線交x軸于點點C是X軸正半軸上的一點，

（1）求反比例函數(shù)及直線N5的解析式；

（2）若&/BC=25,求點C的坐標；

（3）若點C的坐標為（1,0）,點。為x軸上的一點，點E為直線ZC上的一點，是否存在點。和點E,

使得以點D、E、48為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出￡點的坐標；若不存在，請說

明理由.

y

【答案】(1)y=--,y=x+7；

x

(2)C(3,0)；

(3)存在.點E的坐標為(一魚，7)或(一2,5)或(旦，-5>

333

kk

【解答】解：(1)將/(-1,6)代入y=-L,得6=力，

解得：k\=-6,

???反比例函數(shù)的解析式為：y=-1；

將5(-6,m)代入y=-―,

x

得m=\,

：.B(-6,1),

?.?直線^=切葉6經(jīng)過4(-1,6)、8(-6,1)兩點，

+

6=-k2b

，

??<l=-6k2+b

解得」Q=i,

lb=7

二直線48的解析式為：y=x+7；

(2)在y=x+7中，令y=0,得x=-7,

：.M(-7,0),

:點C是x軸正半軸上的一點，

.?.設(shè)C(x,0)(x>0),

C.MC^x-(-7)=x+7,

S^ABC=S^AMC-s&BMC=25,

/.IMC-(6-1)=25,即5(x+7)=25,

22

解得：x=3；

...點C的坐標為（3,0）；

（3）若點C的坐標為（1,0）,點。為x軸上的一點，點E為直線NC上的一點，是否存在點。和點E,

使得以點。、E、/、8為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出E點的坐標；若不存在，請說

明理由.

（3）存在.點E的坐標為（一生，7）或（-2,5）或（2，-5）

333

設(shè)直線AC的解析式為y=Qx+c,

則尸a+c,

（0=a+c

解得：卜=-3,

lc=3

直線NC的解析式為：y=-3x+3；

設(shè)。(t,0)、E(〃，-3〃+3),

又A(-1,6)、B(-6,1),

當4B、為平行四邊形的對角線時，AB、的中點重合,

.f-l-6=t+n

16+l=-3n+3+0

r17

t=~

解得：，，

4

n=^3

E（?7）；

o

當4。、為平行四邊形的對角線時，AD、的中點重合,

.（t-l=n-6

16+0=-3n+3+l

f17

t=~

解得Ic

2

-E（4-5）；

o

當AE、5。為平行四邊形的對角線時，AE、的中點重合,

Jn-l=t-6

I0+l="3n+3+6

23

t丁

解得，c

,nT

，E得,-5>

o

綜上所述，點￡的坐標為(一'，7)或(-1*,5)或(,，-5).

17.已知：一次函數(shù)y=-2x+10的圖象與反比例函數(shù)y=K(左>0)的圖象相交于/,8兩點。在3的右

x

側(cè)).

(1)當/(4,2)時，求反比例函數(shù)的解析式及8點的坐標；

(2)在(1)的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點尸，使△/MB是以N2為直角邊的直角

三角形？若存在，求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)當/(a,-2a+10),B(b,-26+10)時，直線CM與此反比例函數(shù)圖象的另一支交于另一點C,

【解答】解：(1)把/(4,2)代入丁=工得k=4X2=8.

X

...反比例函數(shù)的解析式為

X

y=-2x+10

解方程組，8，得

y二一

卜蟲或卜=4

Iy=8Iy=2

...點2的坐標為(1,8)；

(2)①若/A4P=90°,

過點A作AHLOE于H,設(shè)/P與x軸的交點為M,如圖I,

對于y=-2x+10,

當y=0時，-2x+10=0,解得x=5,

:.點E(5,0),OE=5.

\'A(4,2),：.OH=4,AH=2,

：.HE=5-4=1.

,：AHLOE,：.N4HM=N4HE=90°.

又；NBAP=90°,

ZAME+ZAEM^9Q°,ZAME+ZMAH^90°,

ZMAH=ZAEM,

：.AAHMs^EHA,

?AH=MH

"EHAH'

-2=典

-T

：.MH=4,

：.M(0,0),

可設(shè)直線/P的解析式為

則有4加=2,解得加=工，

2

直線NP的解析式為>=工，

-2

...點尸的坐標為（-4,-2）.

②若N48尸=90。，

同理可得：點P的坐標為（-16,-1）.

2

綜上所述：符合條件的點P的坐標為（-4,-2）、（-16,-1）；

2

（3）過點B作BSA-y軸于S,過點C作CTLy軸于T,連接OB,如圖2,

則有8S〃CT,

:.&CTDS/\BSD,

?.?CD=,CT?

BDBS

???BC-_-5，

BD2

???CT_CD_!■3.

BSBD2

'：A(a,-2a+10),B(b,-26+10),

AC(-a,2a-10),CT=a,BS=b,

.,.包=3,即b=2La.

b23

,：A(a,-2a+10),B(.b,-26+10)都在反比例函數(shù)＞=區(qū)的圖象上,

x

**.a(-2a+10)=b(-2b+10),

?.a(-2a+10)=2(?(-2義2?+10).

33

「aWO,

-2a+10=2(-2x2+10),

33

解得：〃=3.

：.A(3,4),B(2,6),C(-3,-4).

設(shè)直線BC的解析式為歹=px+q,

則有的+口=6,

(-3p+q=_4

解得：(p=2,

U=2

直線BC的解析式為y=2x+2.

當x=0時，y=2,則點。(0,2),。。=2,

SACOB=SM)DLSAODB

=1X)D'CT+1JOD'BS

22

=JLX2X3+-LX2X2=5.

22

,：OA^OC,

??S/^AOB~S/^COBf

，SAABC=2sAeOB=10.

18.如圖，直線＞=三X與雙曲線＞=區(qū)■（左WO）交于/,8兩點，點4的坐標為（加，-3）,點C是雙曲線

2x

第一象限分支上的一點，連接8C并延長交x軸于點。，且3c=2CD.

（1）求左的值并直接寫出點2的坐標；

（2）點G是y軸上的動點，連接G3,GC,求G8+GC的最小值；

（3）尸是坐標軸上的點，。是平面內(nèi)一點，是否存在點尸，Q,使得四邊形48尸。是矩形？若存在，請

求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）將點4的坐標為（冽，-3）代入直線中,

2

得-3=

2

解得:m=-2,

：.A(-2,-3),

:?k=-2X(-3)=6,

...反比例函數(shù)解析式為y=旦,

...點8的坐標為(2,3)；

(2)如圖1,作軸于點￡,CFLx軸于點凡

：.BE//CF,

：.XDCFsXDBE,

?DC=CF

"DBBE"

'：BC=2CD,BE=3,

C-D1

DB3

C3F1

3

/.CF=1,

：.C(6,1),

作點8關(guān)于y軸的對稱點夕，連接8'C交y軸于點G,

則2,C即為3G+GC的最小值，

?:B'(-2,3),C(6,1),

:-B，c=7(-2-6)2+(3-1)2=2V17-

：.BG+GC=B'C=2V17；

(3)存在.理由如下：

①當點尸在x軸上時，如圖2,設(shè)點P的坐標為(a,0),

過點8作軸于點E,

?：/OEB=/OBP\=90°,NBOE=/P\OB,

:.叢OBEsAOP\B,

.OB_OE

"OP7OB'

,:B（2,3）,

'-OB=422+32=，

.7132

??----=

aV13

???"u———-1-3,

2

...點尸1的坐標為do）；

2

②當點P在了軸上時，過點8作軸于點N,如圖2,

設(shè)點P2的坐標為（0，b）,

'：ZONB=ZP2BO=90°,ZBON=ZP2OB,

:.△BONSBZOB,

-QB_0NgpVi3=3

?

,0P2OB,bV13

.?.Q里

3

...點22的坐標為（o,工3）；

3

綜上所述，點尸的坐標為（至，0）或（0,

19.如圖1,平面直角坐標系xOy中，A（4,3）,反比例函數(shù)y=K（左＞0）的圖象分別交矩形4soe的兩

X

邊4C,AB于E、尸兩點（E、/不與/重合），沿著跖將矩形430C折疊使4、。兩點重合.

（1）4E=4-K（用含有左的代數(shù)式表示）；

3

（2）如圖2,當點。恰好落在矩形/80C的對角線3C上時，求CE的長度；

3

（2）CE=2；

（3）所求。點坐標為（23,3）或（里，3）.

8255

【解答】解：（1）:四邊形/BOC是矩形，且N（4,3）,

：.AC^4,OC=3,

7點E在反比例函數(shù)y=K上,

X

：.E（區(qū)，3）,

3

：.CE=h.,

3

：.AE=4-工

3

故答案為：4-<

3

(2)如圖2,"：A(4,3),

；./C=4,AB=3,

?AC4

??—二一

AB3

點/在y=K上，

X

：.F(4,K),

4

.k

4----

.AE=3T

=-

"AFQJLT

?AE_AC=4,

"AF"ABT

/4=NA,

：.△AEFs^ACB,

：.ZAEF=ZACB,

J.EF//BC,

：.ZFED=ZCDE,

：.￡\AEF^/\DEF,

：.NAEM=/DEM,4E=DE,

：.ZFED=ZCDE=Z.AEF=NACB,

CE=DE=4E=^AC=2；

2

(3)過。點作DN_L4B,

①當時，如圖3,有NZA?=90°，AN=BN=LiB=￡

22

/.ZDAN+ZADN=9G°,

VZDAN+ZAFM^90°,

ZADN=NAFM,

.\tanNADN=tan/AFM=嫗

AF3

??--A-N二-一4，

DN3

,:AN=3,

2

:.DN='

8

：.D(4-9,3),即。(23.,3_).

8282

②當/8=/。=3時，如圖4,

在RtLADN中，tanZADN=tanZAFM=9

AF3

,.?-A-N-=--4,

AD5

；.AN=LD=2~X

555

：.BN=3-AN=3-11=3,

55

■:DN=^AN=Sx^-=-1

4455

：.D(4-9,3),即。(H,3)；

5555

③當時，LAEF2LDEF,

：.DF=AF,

：.DF+BF^AF+BF,即DF+BF=AB,

：.DF+BF=BD,

此時。、F、2三點共線且尸點與2點重合，不符合題意舍去，

綜上所述，所求。點坐標為(23,3)或(旦，1).

8255

20.在如圖平面直角坐標系中，矩形。48。的頂點2的坐標為(4,2),04、OC分別落在x軸和y軸上，

QB是矩形的對角線.將△048繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，使點8落在y軸上，得到△ODE,OD與CB相交于

點尸，反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過點尸，交于點G.

x

(1)求人的值和點G的坐標；

(2)連接尸G,則圖中是否存在與42尸G相似的三角形？若存在，請把它們一找出來，并選其中一種

進行證明；若不存在，請說明理由；

(3)在線段04上存在這樣的點尸，使得△尸尸G是等腰三角形.請直接寫出點P的坐標.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1):四邊形。4BC為矩形，點3的坐標為(4,2),

：./OCB=NOAB=NABC=9Q°,0C=48=2,OA^BC=4,

「△ODE是△042旋轉(zhuǎn)得到的，即：LODE2LOAB,

：.ZCOF=NAOB,：.△COFs/\AOB,

.?.史=匹，.?①=2,CF=1,

ABOA24

點尸的坐標為(1,2),

■.>=K(x>o)的圖象經(jīng)過點凡

X

；.2=工,得后=2,

1

,點G在上，

???點G的橫坐標為4,

對于歹=2,當x=4,得》=工，

x2

...點G的坐標為(4,1)；

2

(2)ACOF^ASFG；/\AOB^/\BFG；△ODEs^BFG；/\CBO^/\BFG.

下面對尸G進行證明：

:點G的坐標為(4,工)，

22

,.皿=0/=4,CF=\,AB=2,

：.BF=BC-CF=3,

BG=AB-AG=^-.

2

?AO4膽2—4

?---~____-----

BF3BG33

2

?AOAB

"BF"BG'

'：ZOAB=ZFBG=90°,

：.AOABsAFBG.

(3)設(shè)點尸(m,0),而點尸(1,2)、點G(4,A),

2

貝I］尸G2=9+9=至，PF2=-1)2+4,PG2=(m-4)2+A,

444

當GP=P尸時，即至=(w-I)2+4,解得：2±V29(舍去負值)；

42

當尸歹=PG時，同理可得：m15

T

當G/nPG時，同理可得：m=4-VT1；

綜上，點尸的坐標為（4-Vll>0）或0）或（2±叵_,0）.

82

八.菱形的性質(zhì)（共3小題）

21.如圖，在菱形/BCD和菱形8所G中，點48、￡在同一直線上，尸是線段。尸的中點，連接PG,PC.若

D.亨

【答案】B

【解答】解：如圖，

延長GP交。。于點X,

：尸是線段。尸的中點，

:.FP=DP,

由題意可知。C〃G尸，

：.ZGFP=ZHDP,

:/GPF=AHPD,

：.&GFP”叢HDP,

：.GP=HP,GF=HD,

?.?四邊形/8C。是菱形，

：.CD=CB,

：.CG=CH,

...△CHG是等腰三角形，

：.PG±PC,（三線合一）

又；NABC=/BEF=6Q°,

：.ZGCP=60°,

22.如圖，已知邊長為4的菱形45C。中，AC=BC,E,尸分別為45,40邊上的動點，滿足連

接跖交4。于點G,CE、CF分別交AD與點跖N,給出下列結(jié)論：①/AFC=NAGE；②△成下面

積的最小值為3日；③若4/=2,則氏W=TW=ON；④若/b=1,則跖=3/G；其中所有正確結(jié)論

【答案】①②③

【解答】解：①;四邊形為菱形.

：.AB=BC=CD=AD.

?：AC=BC.

：.AC=BC=AC.

???△Z5C為等邊三角形.

ZABC=ZBAC=ZACB=60°.

ZCAD=ZACD=ZADC=60°.

；?NABD=NCBD=/ADB=NCDB=30°.

?：AC=BC,/CAD=/CBA,AF=BE.

???△ACFmABCE(SAS)

：.FC=EC,ZFCA=ZECB.

：.ZFCE+ZACE=ZECB+ZACE.

：.ZFCE=ZACB=60°.

.?.△ECF為等邊三角形.

：.ZCEF=6Q°.

ZBEC+ZAEG=120°.

???/AGE=/BEC.

'：△ACFWABCE.

：.ZAFC=ZBEC.

：.ZAFC=ZAGE.

故①正確.

②由①知，方是等邊三角形.

???當CE最小時，XECF的面積最小.

當CE_L/5時，CE=4X近=2%.

2

...△CM面積的最小值為3畬，

故②正確.

@'：AB=AD=4,當4尸=3￡=2時，

CFLAD,CELAB,DF=2.

；/4BD=NADB=30°,DF=BE=2.

：.DN=BM=^H-.

3

'：AB=AD=4,ZBAD=nO°.

:.BD=m

：.MN=BD-DN-BM=^^.

3

:.BM=MN=DN=

3

故③正確.

（4）VZBAC=ZEFC=60°.

ZEGA=ZCGF.

：./\AEG^>/\FCG.

?GE=GC

"AEFC"

同理：4ACF?FCG.

■FC_AF

"CG"GF'

?GF_AF

'GE'AE

；4F=1.

\BE=\.

\AE=3.

AF1_

AE3'

GF

一

GE3'

\GE=3GF.

EF=GE+GF=4GF.

故④錯誤.

故答案為①②③.

23.二次函數(shù)的圖象如圖，點。為坐標原點，點4在y軸的正半軸上，點8、C在二次函數(shù)

的圖象上，四邊形0A4C為菱形，且/。24=120°,則菱形OR4c的面積為，愿

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：連接8C交CM于。，如圖，

?.?四邊形OA4c為菱形，

：.BC±OA,

,：ZOBA=nO0,

；./0出)=60°,

：.OD=43BD,

談BD=t,貝lj

:.B(/,

把8(r,Mt)代入夕=我/得向於=正/,解得a=0(舍去)，包=1，

：.BD=1,OD=M，

:.BC=2BD=2,OA=2OD=2M，

，菱形OBAC的面積=上義2義2畬=2日.

2

故答案為2愿.

九.矩形的性質(zhì)（共3小題）

24.如圖，在矩形/BQ）中，AB=3,AD=4,點尸在上，PELAC^E,PF_LBD于F,則尸E+尸尸等

5555

【答案】B

【解答】解：連接。尸，過。作4c于"，

:四邊形/BCD是矩形，

:.AO=OC=XAC,OD=OB=1.BD,AC=BD,ZADC=90°

22

：.OA=OD,

由勾股定理得：^C=^32+42=5,

?；Syoc=Lx3X4=-lx5XW,

22

:.DM=1L,

R

,**SAAOD=S^APO+S/^DPO,

/.A(AOXDM)=A(AOXPE)+A(DOXPF),

222

即PE+PF=DM=巫,

5

故選：B.

25.如圖，一張矩形紙片沿對折，以中點。為頂點將平角五等分，并沿五等分的折線折疊，再沿

CA剪開，使展開后為正五角星(正五邊形對角線所構(gòu)成的圖形)，則NOC〃等于()

■4....................晶—?/：X

A.108°B.114°C.126°D.129°

【答案】C

【解答】解：展開如圖：五角星的每個角的度數(shù)是：”