2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.3平面的基本性質(zhì)與推論教案文含解析新人教A版

PAGEPAGE13§8.3平面的基本性質(zhì)與推論最新考綱考情考向分析1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義．2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡潔命題.主要考查與點、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假推斷和求解異面直線所成的角，題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)，主要為中低檔題.1．平面的基本性質(zhì)及推論(1)平面的基本性質(zhì)基本性質(zhì)2：經(jīng)過不在同始終線上的三點，有且只有一個平面．基本性質(zhì)3：假如不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線．(2)平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：既不平行又不相交的直線))3．直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種狀況．4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種狀況．概念方法微思索分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線嗎？提示不肯定．因為異面直線不同在任何一個平面內(nèi)．分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線可能平行或相交．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)假如兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(√)(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的隨意一條直線．(×)(3)假如兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．(×)(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．(√)(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(×)(6)若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線．(×)題組二教材改編2．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如圖，在三棱錐A—BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當(dāng)AC，BD滿意條件________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿意條件________時，四邊形EFGH為正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.題組三易錯自糾4．α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不行能是()A．垂直 B．相交C．異面 D．平行答案D解析依題意，m∩α＝A，n?α，∴m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，肯定不平行．5.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點AB．點BC．點C但不過點MD．點C和點M答案D解析∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.依據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點C也在γ與β的交線上．6.如圖為正方體表面的一種綻開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為______．答案3解析平面圖形的翻折應(yīng)留意翻折前后相對位置的改變，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，明顯AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對．題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，如圖所示．則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點．思維升華共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：①先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②證兩平面重合．(2)證明共線的方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②干脆證明這些點都在同一條特定直線上．(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．證明(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD.∵在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點共線．題型二推斷空間兩直線的位置關(guān)系例2(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交答案D(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．異面D．平行答案D解析連接D1E并延長，與AD交于點M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點，連接BF并延長，交AD于點N，因為CF＝2FA，可得N為AD的中點，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,BF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,BF)，所以EF∥BD1.思維升華空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．異面直線可采納干脆法或反證法；平行直線可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A.(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________．(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)答案③④解析因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯；取DD1中點E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯；因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故③正確；同理④正確，故填③④.題型三求兩條異面直線所成的角例3(2024·盤錦模擬)如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案D解析連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BC\o\al(2,1)－A1C\o\al(2,1),2×A1B×BC1)＝eq\f(4,5)，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5).引申探究將上例條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(9,10)”，試求eq\f(AA1,AB)的值．解設(shè)eq\f(AA1,AB)＝t(t>0)，則AA1＝tAB.∵AB＝1，∴AA1＝t.∵A1C1＝eq\r(2)，A1B＝eq\r(t2＋1)＝BC1，∴cos∠A1BC1＝eq\f(A1B2＋BC\o\al(2,1)－A1C\o\al(2,1),2×A1B×BC1)＝eq\f(t2＋1＋t2＋1－2,2×\r(t2＋1)×\r(t2＋1))＝eq\f(9,10).∴t＝3，即eq\f(AA1,AB)＝3.思維升華用平移法求異面直線所成的角的三個步驟(1)一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟蹤訓(xùn)練3(2024·全國Ⅱ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)答案C解析如圖，因為AB∥CD，所以AE與CD所成角為∠EAB.在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2，則BE＝eq\r(5)，則tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2)，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq\f(\r(5),2).立體幾何中的線面位置關(guān)系直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與改變，利用空間形式特殊是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題．例如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥FA且BE＝eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？(1)證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH∥AD且GH＝eq\f(1,2)AD.又BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，∴GH∥BC且GH＝BC，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)解∵BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G為FA的中點，∴BE∥FG且BE＝FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH.∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面．素養(yǎng)提升平面幾何和立體幾何在點線面的位置關(guān)系中有許多的不同，借助確定的幾何模型，利用直觀想象探討點線面關(guān)系在平面和空間中的差異．1．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1答案A解析首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面．2．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c答案C解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.3.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線ACB．直線ABC．直線CDD．直線BC答案C解析由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確是()A．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案A解析連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．∴A，M，O三點共線．5．(2024·全國Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(\r(3),3)答案C解析將直三棱柱ABC－A1B1C1補形為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如圖①所示，連接AD1，B1D1，BD.圖①由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(5)，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2×AB×AD×cos∠DAB＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝eq\r(3)，所以B1D1＝eq\r(3).又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ，所以cosθ＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋AD\o\al(2,1)－B1D\o\al(2,1),2×AB1×AD1)＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).故選C.6．正方體AC1中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有________條．答案6解析如圖，在正方體AC1中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6條．7．(2024·東北三省三校模擬)若直線l⊥平面β，平面α⊥平面β，則直線l與平面α的位置關(guān)系為________．答案l∥α或l?α解析∵直線l⊥平面β，平面α⊥平面β，∴直線l∥平面α，或者直線l?平面α.8．在三棱錐S－ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是________．答案平行解析如圖所示，連接SG1并延長交AB于M，連接SG2并延長交AC于N，連接MN.由題意知SM為△SAB的中線，且SG1＝eq\f(2,3)SM，SN為△SAC的中線，且SG2＝eq\f(2,3)SN，∴在△SMN中，eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位線，∴MN∥BC，∴G1G2∥BC.9.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．答案eq\r(2)解析取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D垂直于圓柱下底面，所以C1D⊥AD.因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).10.如圖是正四面體的平面綻開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．答案②③④解析還原成正四面體A－DEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合．易知GH與EF異面，BD與MN異面．連接GM，∵△GMH為等邊三角形，∴GH與MN成60°角，易證DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正確命題的序號是②③④.11.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．(1)證明假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相沖突．故直線EF與BD是異面直線．(2)解取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.12.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，cos∠ADE＝eq\f(AD2＋DE2－AE2,2×AD×DE)＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).13．平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，則m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。帧連1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，∴∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2)，故選A.14.一個正方體紙盒綻開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個命題中，正確命題的序號是________．答案①③解析如圖，①AB⊥EF，正確；②明顯AB∥CM，所以不正確；③EF與MN是異面直線，所以正確；④MN與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是①③.15.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面相互垂直，且AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點，則AD與