廣西來賓市象州縣2024-2025學年九年級上學期1月期末數(shù)學試題（原卷版+解析版）

2024年秋季學期初中教學質量調研九年級數(shù)學（考試時間120分鐘，滿分120分）注意：請在答題卡上答題，在本試卷上作答無效．第Ⅰ卷選擇題一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.一輛汽車從地開往地，兩地距離為300千米，汽車的速度（千米/小時）與行駛時間（小時）之間的函數(shù)關系為，那么自變量的取值范圍是（）A. B. C. D.2.在一次數(shù)學測驗中，勵志組10名同學的成績分別為：75，80，80，85，90，90，90，95，95，100．這組成績的中位數(shù)是（）A.85分 B.90分 C.87.5分 D.92.5分3.如圖，直角三角形的兩銳角平分線相交所成的銳角的余弦值是（）A. B. C. D.以上都不對4.一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法確定5.如圖，在平面直角坐標系中，有一矩形，頂點坐標為，，，，將該矩形向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，頂點的對應點的坐標為（）A B. C. D.6.有一壓力傳感器，其壓力（單位：牛頓）與電阻（單位：歐姆）之間的函數(shù)關系式為，當壓力牛頓時，電阻的值為（）A2歐姆 B.100歐姆 C.0.5歐姆 D.5000歐姆7.如圖，已知一矩形的長為，寬為．現(xiàn)在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的，根據(jù)題意列出方程并化簡得（其中?。黄渲斜硎綺_____，則符合題意的的值取______．A.圓的半徑； B.圓的直徑；C.圓的半徑； D.圓的直徑；8.如圖，在中，由尺規(guī)作圖得射線，與邊相交于點，過作，垂足分別是點，．其中，，，則的長為（）A. B. C.1 D.9.函數(shù)和（為常數(shù)且）在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（）A. B.C. D.10.小明在學習代入消元法解方程后，發(fā)現(xiàn)一些方程組可以用“整體代入法”求解，例如：解方程組，將方程①代入②得，解得．請仿照上述方法解方程組用整體代入法代入后得（）A. B.C. D.11.著名建筑常用黃金分割設計，緣由為建筑物的某部分高度與整體高度的比值接近黃金分割比時，視覺效果較好．已知某旅游城市一建筑整體高度為20米，若想達到較好視覺效果，其上部高度大約應為（結果保留整數(shù)，黃金分割比取，其中）（）A.11米 B.19米 C.18米 D.12米12.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）的圖象交于，兩點且與軸和軸分別交于點，．有①；②，；③時，的取值范圍是；④當點在軸上，且的面積等于的面積的一半時，點的坐標為或；則正確的選項是（）A.①③ B.②③ C.②④ D.③④第Ⅱ卷非選擇題二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分．13.已知，若，，且的面積為，則的面積為______．14.已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則_________．15.某校從甲、乙兩位同學中選拔一位參加年市級青少年科技運動會氣功槍項目比賽，甲氣功槍射擊訓練平均成績是，方差是；乙氣功槍射擊訓練平均成績是，方差是，該校應選______參加比賽．（填“甲”或“乙”）16.如圖，點是坐標原點，的直角頂點在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，則______．三、解答題：本大題共7小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）解方程：；（2）計算：．18.已知：如圖所示，在平面直角坐標系中，各頂點的坐標分別為，，．（1）在第一象限內作以坐標原點為位似中心，將放大2倍得到；（2）畫出向下平移2個單位長度得到的．并寫出內有一點在中的對應點的坐標．19.某中學對全校學生開展主題為“一周內平均丟塑料袋個數(shù)”的專題調查活動，采用隨機抽查的方式進行了問卷調查，問卷調查的結果分為“A．非常了解”、“B．比較了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四個等級，統(tǒng)計等級如下：等級頻數(shù)頻率A750.375B95C240.12D

（1）求表格中的參數(shù)、的值：（2）求扇形統(tǒng)計圖中A等級和B等級部分所對的圓心角度數(shù)之和；（3）該校共計有學生4220人，請根據(jù)統(tǒng)計結果估計該校達到A、B等級的人數(shù)．20.如圖，一枚運載火箭從地面處豎直向上發(fā)射，首次到達點處，后，火箭直線上升到達點處，此時地面處的雷達站測得處的仰角為．在上取一點，連接、，測得．（1）求證：；（2）求值．21.為培養(yǎng)青少年的創(chuàng)新意識、動手實踐能力、現(xiàn)場應變能力和團隊精神，年月日至日某市開展青少年機器人競賽活動．某商家為本次比賽供應器材，因供過于求，還余套器材需要進行零售．為了盡快減少庫存，商家決定采取降價措施，原來每套器材的售價為元，經(jīng)過兩次降價后每套器材的售價為元，并且每次降價的百分率相同．（1）求每次降價的百分率；（2）若每套器材的進價為元，通過以上兩次降價的方式，將剩余的套器材全部售出，并且確保兩次降價銷售的總利潤不少于元，那么第一降價至少售出多少套器材后方可進行第二次降價？22.如圖1，反比例函數(shù)與一次函數(shù)（）的圖象交于點，點，一次函數(shù)與軸相交于點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）連接，，求的面積；（3）如圖2，點是反比例函數(shù)圖象上點左側一點，連接，把線段繞點順時針旋轉，點的對應點恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點的坐標．23.【綜合與實踐】數(shù)學課上，“奮進”學習小組的同學自制測角儀器（如圖）．把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測角儀，利用它可以測量仰角或俯角．將這個儀器用手托起，拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好看到被測物最高點即可測量出被測物．例：如圖，已知人眼睛離地面，測得樹頂仰角為，人和樹的水平距離為．求樹的高度（，，）．解：因為，其中，．所以求得，所以樹高．（1）“奮進”小組的同學站在地面測量某棵樹，人眼睛離地面為，測得樹頂仰角為，測量點到樹腳距，求樹的高度（結果保留位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，）．（2）湖泊中間有一座古塔，無法測量古塔到岸邊的距離，為了能夠計算出古塔的高度，“創(chuàng)新”小組計劃通過圖的方式進行測量計算，已知操作者高度，測得，，兩個測量點距離，用這個方法是否能夠計算出古塔高度？若能，請計算出古塔高度，若不能，請說明理由：（3）在原有儀器情況下增加一面鏡子并且已知古塔與岸邊的距離，你能否給出新的測算方法，請畫出示意圖并加以說明．

2024年秋季學期初中教學質量調研九年級數(shù)學（考試時間120分鐘，滿分120分）注意：請在答題卡上答題，在本試卷上作答無效．第Ⅰ卷選擇題一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.一輛汽車從地開往地，兩地距離為300千米，汽車的速度（千米/小時）與行駛時間（小時）之間的函數(shù)關系為，那么自變量的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的實際應用，根據(jù)的實際意義解答即可．【詳解】解：∵汽車的速度（千米/小時）與行駛時間（小時）之間的函數(shù)關系為，∴自變量的取值范圍是．故選：A．2.在一次數(shù)學測驗中，勵志組10名同學的成績分別為：75，80，80，85，90，90，90，95，95，100．這組成績的中位數(shù)是（）A.85分 B.90分 C.87.5分 D.92.5分【答案】B【解析】【分析】本題主要考查中位數(shù)，熟練掌握求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是解題的關鍵；根據(jù)題意可知：中位數(shù)應是第5個和第6個數(shù)據(jù)之和的平均數(shù)，進而問題可求解．【詳解】解：由題意得：該組成績的中位數(shù)是（分）；故選B．3.如圖，直角三角形的兩銳角平分線相交所成的銳角的余弦值是（）A. B. C. D.以上都不對【答案】B【解析】【分析】由題意得，是的平分線，是的平分線，由三角形角平分線的定義可得，，進而可得直角三角形的兩銳角平分線相交所成的銳角，然后由特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案．【詳解】解：由題意得：是的平分線，是的平分線，，，直角三角形的兩銳角平分線相交所成的銳角，，故選：．【點睛】本題主要考查了求角的余弦值，特殊角的三角函數(shù)值，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，三角形角平分線的定義等知識點，熟練掌握三角形的內角和外角是解題的關鍵．4.一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．求出一元二次方程根的判別式的值即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴沒有實數(shù)根．故選：C．5.如圖，在平面直角坐標系中，有一矩形，頂點的坐標為，，，，將該矩形向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，頂點的對應點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了坐標與圖形變化——平移（由平移方式確定點的坐標），熟練掌握坐標平移的變化規(guī)律是解題的關鍵：左減右加，上加下減．根據(jù)坐標平移的變化規(guī)律“左減右加，上加下減”即可直接得出答案．【詳解】解：，將該矩形向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，頂點的對應點的坐標為，即，故選：．6.有一壓力傳感器，其壓力（單位：牛頓）與電阻（單位：歐姆）之間的函數(shù)關系式為，當壓力牛頓時，電阻的值為（）A.2歐姆 B.100歐姆 C.0.5歐姆 D.5000歐姆【答案】A【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的應用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵；由題意可把牛頓代入函數(shù)進行求解即可．【詳解】解：由題意把代入函數(shù)得：，解得：；故選A．7.如圖，已知一矩形的長為，寬為．現(xiàn)在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的，根據(jù)題意列出方程并化簡得（其中?。?；其中表示______，則符合題意的的值取______．A.圓的半徑； B.圓的直徑；C.圓的半徑； D.圓的直徑；【答案】C【解析】【分析】本題考查的知識點是一元二次方程的實際應用，解題關鍵是正確理解題意．根據(jù)題意找到等量關系即可找到表示的意思，再用直接開平方法解一元二次方程求解即可．【詳解】解：依題得：圓的面積是原矩形面積的，，，當取時，，即，又根據(jù)題意列出方程并化簡得，該方程中的表示的為圓的半徑，，解得，圓的半徑不能為負數(shù)，．故選：．8.如圖，在中，由尺規(guī)作圖得射線，與邊相交于點，過作，垂足分別是點，．其中，，，則的長為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了勾股定理逆定理，正方形的判定與性質，相似三角形的判定與性質．先求出，進而證明四邊形是正方形，可得，，然后證明，利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∴．∵，，∴四邊形是矩形，由作圖可知，平分，∴，∴四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴．故選D．9.函數(shù)和（為常數(shù)且）在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象，分別根據(jù)反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象的特點對四個選項進行逐一分析即可，解題的關鍵是先根據(jù)反比例函數(shù)所在的象限判斷出的符號，再根據(jù)一次函數(shù)的性質進行解答．【詳解】解：、由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知，，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，故本選項不符合題意；、由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知，，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，故本選項不符合題意；、由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知，，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，故本選項不符合題意；、由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知，，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，故本選項符合題意；故選：．10.小明在學習代入消元法解方程后，發(fā)現(xiàn)一些方程組可以用“整體代入法”求解，例如：解方程組，將方程①代入②得，解得．請仿照上述方法解方程組用整體代入法代入后得（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵；根據(jù)題意及整體思想可進行求解．【詳解】解：由題意可知用整體代入法代入后得：；故選C．11.著名建筑常用黃金分割設計，緣由為建筑物的某部分高度與整體高度的比值接近黃金分割比時，視覺效果較好．已知某旅游城市一建筑整體高度為20米，若想達到較好視覺效果，其上部高度大約應為（結果保留整數(shù)，黃金分割比取，其中）（）A.11米 B.19米 C.18米 D.12米【答案】D【解析】【分析】本題考查黃金分割，黃金分割的定義是：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值，則這個比值即為黃金分割，其比值是．根據(jù)黃金分割的定義求解即可．【詳解】解：由題意，得其上部高度大約應為：米．故選D．12.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）的圖象交于，兩點且與軸和軸分別交于點，．有①；②，；③時，的取值范圍是；④當點在軸上，且的面積等于的面積的一半時，點的坐標為或；則正確的選項是（）A.①③ B.②③ C.②④ D.③④【答案】C【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題，反比例函數(shù)與幾何的綜合應用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合的思想進行求解是解題的關鍵：由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式可判斷①②；根據(jù)圖象可判斷③；先求出，根據(jù)求出，可求出點P的坐標可判斷④【詳解】解：①把代入，得：，故①錯誤；②把兩點代入，，解得：，故②正確；③由圖象可知，的解集為：或，故③錯誤；④由②可知，∴當時，，∴，∴，∵點P在x軸上，∴，即：，∴，∴點的坐標為或，故④正確．故選C．第Ⅱ卷非選擇題二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分．13.已知，若，，且的面積為，則的面積為______．【答案】8【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質，如果兩個三角形相似，那么它們的對應角相等，對應邊的比，對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比，對應周長的比都等于相似比；它們對應面積的比等于相似比的平方．根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵的面積為，∴的面．故答案為：8．14.已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則_________．【答案】4【解析】【分析】一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．利用判別式的意義得到，然后解關于m的方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得m=4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，理解并熟練掌握一元二次方程的根的判別式是解題關鍵．15.某校從甲、乙兩位同學中選拔一位參加年市級青少年科技運動會氣功槍項目比賽，甲氣功槍射擊訓練平均成績是，方差是；乙氣功槍射擊訓練平均成績是，方差是，該校應選______參加比賽．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】【分析】本題考查的知識點是運用方差做決策，解題關鍵是理解方差并熟練運用方差做決策．根據(jù)方差的定義分析即可得解．【詳解】解：甲乙氣功槍射擊訓練的平均成績相同，乙氣功槍射擊訓練成績的方差甲氣功槍射擊訓練成績的方差，乙的成績更穩(wěn)定，該校應選乙參加比賽．故答案為：乙．16.如圖，點是坐標原點，的直角頂點在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了求反比例函數(shù)解析式，中點坐標公式，勾股定理等知識．由勾股定理求出，得出，進而求出，然后可求k的值．詳解】解：∵中，，，∴，∴，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，∴，∴．故答案為：．三、解答題：本大題共7小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）解方程：；（2）計算：．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪的意義．（1）利用配方法求解即可；（2）先代入特殊角的三角函數(shù)值，并化簡零指數(shù)冪，再算乘方，后算減法．【詳解】解：（1）移項，得配方，得方程兩邊同時開平方，得由此得或解得，．（2）原式．18.已知：如圖所示，在平面直角坐標系中，各頂點的坐標分別為，，．（1）在第一象限內作以坐標原點為位似中心，將放大2倍得到；（2）畫出向下平移2個單位長度得到的．并寫出內有一點在中的對應點的坐標．【答案】（1）見解析；（2）見解析，坐標為【解析】【分析】本題考查了作位似圖形，以及位似的性質和平移的性質．（1）先根據(jù)位似的性質確定點的位置，然后連線即可；（2）先根據(jù)平移的性質確定點的位置，然后連線可得，再根據(jù)位似和平移的性質即可求出的坐標．【小問1詳解】解：如圖所示，即所求．【小問2詳解】解：如圖所示，即為所求．與的相似比為，再向下平移2個單位長度，因此對應坐標為．19.某中學對全校學生開展主題為“一周內平均丟的塑料袋個數(shù)”的專題調查活動，采用隨機抽查的方式進行了問卷調查，問卷調查的結果分為“A．非常了解”、“B．比較了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四個等級，統(tǒng)計等級如下：等級頻數(shù)頻率A750.375B95C240.12D

（1）求表格中的參數(shù)、的值：（2）求扇形統(tǒng)計圖中A等級和B等級部分所對的圓心角度數(shù)之和；（3）該校共計有學生4220人，請根據(jù)統(tǒng)計結果估計該校達到A、B等級的人數(shù)．【答案】（1），；（2）；（3）人【解析】【分析】本題考查了頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體．（1）先根據(jù)C的頻數(shù)和頻率求出樣本容量，進而可求出m和n；（2）用乘以A等級和B等級人數(shù)所占的比例即可求解；（3）用4220乘以A等級和B等級人數(shù)所占比例即可求解．【小問1詳解】解：總人數(shù)：（人）（人），．【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：估計該校達到A、B等級學生人數(shù)為：（人）．20.如圖，一枚運載火箭從地面處豎直向上發(fā)射，首次到達點處，后，火箭直線上升到達點處，此時地面處的雷達站測得處的仰角為．在上取一點，連接、，測得．（1）求證：；（2）求的值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】本題考查了相似撒尿性的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握相關知識是解題關鍵．（1）先證明，燃弧根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似可證結論成立；（2）由得，求出，．再求出，然后根據(jù)正切的定義求解即可．【小問1詳解】解：∵，，∴，即，∵，∴，∴，∴；小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．21.為培養(yǎng)青少年的創(chuàng)新意識、動手實踐能力、現(xiàn)場應變能力和團隊精神，年月日至日某市開展青少年機器人競賽活動．某商家為本次比賽供應器材，因供過于求，還余套器材需要進行零售．為了盡快減少庫存，商家決定采取降價措施，原來每套器材的售價為元，經(jīng)過兩次降價后每套器材的售價為元，并且每次降價的百分率相同．（1）求每次降價的百分率；（2）若每套器材的進價為元，通過以上兩次降價的方式，將剩余的套器材全部售出，并且確保兩次降價銷售的總利潤不少于元，那么第一降價至少售出多少套器材后方可進行第二次降價？【答案】（1）（2）套【解析】【分析】（）設每次降價的百分率，根據(jù)題意列出方程即可求解；（）設第一次降價售出套器材，則第二次降價售出套器材，由題意列出不等式解答即可求解；本題考查了一元二次方程的應用，一元一次不等式的應用，根據(jù)題意找到等量關系和不等量關系是解題的關鍵．【小問1詳解】解：設每次降價的百分率，由題可得，，解得，（不合，舍去），答：每次降價的百分率為；【小問2詳解】解：設第一次降價售出套器材，則第二次降價售出套器材，由題意可得，，解得，∵是整數(shù)，∴的最小值是，答：第一次降價至少售出套器材后，方可進行第二次降價．22.如圖1，反比例函數(shù)與一次函數(shù)（）的圖象交于點，點，一次函數(shù)與軸相交于點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）連接，，求的面積；（3）如圖2，點是反比例函數(shù)圖象上點左側一點，連接，把線段繞點順時針旋轉，點的對應點恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點的坐標．【答案】（1）一次函數(shù)的解析式式為，反比例函數(shù)的解析式式為；（2）；（3）點【解析】【分析】（1）將代入反比例函數(shù)的解析式求得m的值，再將代入，再把點A和點B的坐標代入求解即可；（2）先求出點的坐標為，然后利用即可求解；（3）過點作軸的平行線，作于點，作于點，設，則，，由旋轉的性質得，，證明得，，求出點，然后代入反比例函數(shù)解析式即可．【小問1詳解】解：因為點在的圖象上，所以．所以反比例函數(shù)的解析式式為，因為點在的圖象上，所以．因為點，在的圖象上，所以，所以，所以一次函數(shù)的解析式為．【小問2詳解】解：令，則，則點的坐標為．所以．【小問3詳解】解：如圖，過點作軸的平行線，作于點，作于點，設，∵點，∴，．∵線段繞點順時針旋轉，點的對應點恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，∴，，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∴點．∵點恰好也落在這個反