第二章 函數(shù) 單元檢測(cè)卷（含解析）-2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊(cè)

第二章函數(shù)單元檢測(cè)卷C.若方程/(%)=左x+1恰有3個(gè)實(shí)根，貝依

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：D.若函數(shù)y=/(%)-b在(-8,4)上有6個(gè)零點(diǎn)七(』,2,3,4,5,6),則為%/(%)的取值范圍是(0,6)

Z=1

一、單選題

1.函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且是減函數(shù)，若實(shí)數(shù)“，力滿足了3)+/S)>0,則a,b的關(guān)系是()三、填空題

A.a+b>0B.a+b<0C.a+b=OD.不確定9.函數(shù)的定義域是__.

2.已知函數(shù)y=/(%+D的定義域是［-2,3］,則y=/C"D的定義域是10.定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/a+y)=/(x)+/(y),/(%+2)=-/(%)且/(%)在［-1,0］上是增函數(shù)，給出下

列幾個(gè)命題：

A.［0,5］B.［一1，4］C.［3,4］D.［-3,2］

①/(%)是周期函數(shù)；

3.函數(shù)y=|R(l—x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是()

②/(%)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

A.(―co,0)B.［0,-^-］

③/(勸在口,2］上是減函數(shù)；

C.［0,+co)D.(―,+oo)@/(2)=/(0).

4.已知〃力=匿，則〃力不懣足的關(guān)系是()其中正確命題的序號(hào)是(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫出來).

11.函數(shù)=lg(x-3)的定義域?yàn)?

A./(-x)=/(x)B./')=，(%)

12.已知函數(shù)/(%)=公6+4法4+3%2一2%+1,(。、從c是非零常數(shù))，若/(—5)=17,貝ijf(5)=.

。心…D.Ri

5.已知函數(shù)=L在區(qū)間［1,2］上的最大值為A,最小值為5,則48等于()

四、解答題

-x2+2x,{x>0)

A.-B.--C.1D.-1

2213.已知：奇函數(shù)/(%)=?0，(%=0)

x2+mx,{x<0)

6..偶函數(shù)/(T)在［0,+8)上為增函數(shù)，若不等式/(ov—1)</(2+F)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

A.(-2A/3,2)B.(-2J)C.(-2后2揚(yáng)D.0笨洞I

二、多選題

x

—元2_<a

'一存在最大值，則實(shí)數(shù)。可能的值是()

{—X,x>a

A.-2B.-1C.1D.2

8.已知函數(shù)/1(九)］：一?”<?，以下結(jié)論正確的是()(1)求實(shí)數(shù)”的值；

［/(x-2),x>0

(2)作出y=〃%)的圖象，觀察圖象，指出當(dāng)方程/(乃-〃=0只有一解時(shí)，求〃的取值范圍(不必寫過程)

A./(-3)+7(2019)=-3(3)若函數(shù)f(%)在區(qū)間［T,8-2］上單調(diào)遞增，求匕的取值范圍.

B./(x)在區(qū)間［4,5］上是增函數(shù)

2025年

14.已知函數(shù)f(x)=%+4+l(awR).

x

⑴若4=2,判斷并證明/(X)在(0,+8)上的單調(diào)性；

⑵若存在xe(0,l),使不等式/1(4)<-△+七+4成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

15.已知函數(shù)F(x)=|%-a］?(％—l)(awR).

(1)當(dāng)。=5時(shí)，作出函數(shù)/(%)的圖象；

(2)是否存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)在區(qū)間［3,4］上有最小值8,若存在求出。的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2

16.已知函數(shù)〃x)=x+-,當(dāng)x>0時(shí)，“X)的圖象如圖.

⑴判斷并證明函數(shù)“X)的奇偶性；

(2)寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間(直接寫出結(jié)果);

⑶求函數(shù)“X)在區(qū)間上的最值.

2025年

參考答案:

f-x2+尤,x>0

題12345678

［x2—x,x<0

號(hào)

答B(yǎng)ABBABBCDBCD作出函數(shù)的草圖如圖所示.

案

1.B

【分析】先利用奇函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，再

利用單調(diào)性得到6的不等關(guān)系，即得結(jié)

果.

【詳解】y（x）是奇函數(shù),f（a）+f（b）>0,

由圖易知原函數(shù)在［0,占上單調(diào)遞增.

2

故選：B.

而/（x）是定義在R上減函數(shù)，故。<-6,

【點(diǎn)睛】本題考查了作函數(shù)的圖象，由圖象

即a+b<0.

得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.

故選：B.

4.B

2.A

【分析】根據(jù)函數(shù)“X）的解析式，依次將

【分析】由尤的范圍求得x+1的范圍，此范

圍即為y=/（尤-1）中x-l的范圍，從而可得-無,代入，化簡(jiǎn)后比較即可得到答案.

XX

所求定義域.【詳解】解：???/（x）=E

\—X

【詳解】函數(shù)y=+1）的定義域是［-2,3］,

貝U-24xW3,-l<x+l<4,有

-l<x-l<4,貝IJ0VXV5,貝|丫=/（彳一1）的

定義域是［。,5］.

故選：A.

3.B

【解析】先去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)解析式>=|尤|（1

一x）,再作出函數(shù)的示意圖，得到函數(shù)的增

區(qū)間.

（兀（1一%）,%之0故選：B.

［詳解］y=|x|（l-無）=1\n=

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的運(yùn)算與化簡(jiǎn),

主要涉及函數(shù)的解析式的意義和分式運(yùn)算，

2025年

屬基礎(chǔ)題.考點(diǎn)：偶函數(shù)的單調(diào)性

5.A點(diǎn)評(píng):本題給出偶函數(shù)的單調(diào)性，叫我們討

【解析】利用/⑺=，的單調(diào)性將區(qū)間值代論關(guān)于x的不等式恒成立的問題，著重考查

了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、一元二次不等式

入可求得答案.

解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題

【詳解】函數(shù)〃尤)=」在區(qū)間［1,2］是減函

X7.BCD

數(shù)，

【分析】求出二次函數(shù)部分的對(duì)稱軸，再討

所以x=l時(shí)“X)有最大值為1,即4=1,論a與對(duì)稱軸的大小，求出。的的取值范圍

x=2時(shí)〃尤)有最小值;，即2=；,即可得到答案

則A-8=l-；=；,【詳解】解：y=—2x圖象的對(duì)稱軸

方程為％=-1,

故選：A.

①當(dāng)時(shí)，〃力=-%有最

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的單調(diào)性及最xWa2-2x

值，屬于基礎(chǔ)題.大值=又x>a2-l,所以一x<l,

6.B

所以此時(shí)有最大值1；

【詳解】試題分析：根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于原

②當(dāng)a<-L,時(shí)，/(力-f-2x有最

點(diǎn)對(duì)稱，得f(x)在［0,+oo)上單調(diào)增且在

Joo,0］上是單調(diào)減函，由此結(jié)合2+/是大值“a)=-/-2a,

正數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為|ax-l|<2+x2恒成立,

當(dāng)尤>a時(shí)，/(x)=—x在(a,+00)單調(diào)遞減,

去絕對(duì)值再用一元二次不等式恒成立的方

法進(jìn)行處理，即得實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：所以=f<-a，

Vf(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,；.f所以要有最大值，得-

(x)在［0,+<?)上的單調(diào)性與的單調(diào)性相

解得一1?。40,與a<-l矛盾，舍去，

反，由此可得f(x)在Joo,0］上是減函數(shù),

綜上，當(dāng)時(shí)，“X)有最大值，

不等式f(ax-1)<f(2+%2)恒成立，等價(jià)

故選：BCD.

于|ax-l|<2+x2恒成立，即不等式-2-/<ax-l

8.BCD

<2+/恒成立，得Y+ax+lX)

【分析】利用函數(shù)的圖象結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行

,x2-ax+3>0的解集為R,2結(jié)合一元二次

分析，注意函數(shù)在大于。部分的周期

方程根的判別式，得：/_4<o且(_a)2/2

性，從而進(jìn)行選項(xiàng)判斷，即可得到答案.

<0,解之得-2<a<2,故選B

2025年

【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：解之得無>3,

對(duì)A,『(一3)=—9+6=—3,所以函數(shù)的定義域?yàn)?3,y)，

/(2019)=/(1)=/(-1)=1,所以

故答案為(3,+8)

/(-3)+/(2019)=-2,故A錯(cuò)誤；

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，

對(duì)B,由圖象可知在區(qū)間［4,5］上是增

意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

函數(shù)，故B正確；

10.①②③④

對(duì)C,由圖象可知上直線【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，

f(x)=Ax+l與函數(shù)圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，故C再逐一判斷各個(gè)命題作答.

正確；【詳解】依題意，

對(duì)D,由圖象可得，當(dāng)函數(shù)y=/(x)在f{x+y)=f{x)+f(y),取x=y=0得:

(-8,4)上有6個(gè)零點(diǎn)X］(z=1,2,3,4,5,6),則/(0)=0,

6VxeR,取>=一龍，則有

所以當(dāng)bf0時(shí)，(無0；

i=l/(x)+f(-x)=/(x-x)=/(0)=0,即函數(shù)

66

當(dāng)bf1時(shí)，￡士了(無)-6,所以￡'"(七)

/(尤)是R上的奇函數(shù)，

Z=1Z=1

的取值范圍是(0,6),故D正確.由/(x+2)=_/(x)得：

〃x+4)=-/(x+2)=/(x),因此函數(shù)/⑴以4

故選：BCD.

為周期的周期函數(shù)，①正確；

/(x+2)=—7'(尤)=/(一x),因此f(x)的圖象

關(guān)于直線x=l對(duì)稱，②正確；

因/(x)在上是增函數(shù)，則/(x)在［0,1］

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的圖象研究分段

上是增函數(shù)，于是得/(x)在口,2］上是減函

函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求

數(shù)，③正確；

解時(shí)畫出函數(shù)圖象是求解問題的關(guān)鍵.

由/(x+2)=_/(x)得：

9.(3,+co)/(2)=-/(0)=0=/(0),④正確.

[x-3>0故答案為：①②③④

【分析】由題得*??解不等式組即

IZ—O7=U

11.(3,+co)

得解.

【分析】解不等式彳-3>0即可求出答案.

x-3>0

【詳解】由題得【詳解】解：由題意，x-3>0,

2x-8^0

%>3,

2025年

故答案為：(3,+8).

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域

的求法，屬于基礎(chǔ)題.

12.-3；

【分析】將-5和5分別代入函數(shù)表達(dá)式，

兩式相減即可得結(jié)果.

【詳解】/(x)=ax6+4to4+3cx2-2x4-1,

當(dāng)方程/(功-。=0只有一解，。的取值范圍:

/(5)=56a+4-54xZ?+75c-9@,{。|。<一1或a>l},

〃—5)=(―5)6a+4.(―5)%+3x(—5)2c+11=5%+界州黜O數(shù)/⑴在區(qū)間5上

單調(diào)遞增，

①一②得：f(5)-17=-9-ll=-20,故

故—0,3]

/(5)=-3,

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查

故答案為-3.數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，是中檔

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，涉及題.

函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.(l)f(x)在(0,0)上單調(diào)遞減，在

13.(1)m=2(2)a>l或。<一1(3)

(①,+ao)上單調(diào)遞增；證明見解析

1<&<3

【分析】(1)利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化求解機(jī)⑵卜嗎)

即可.【分析】(1)計(jì)算

(2)利用函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，〃%)")=(；2),考慮占，

然后求解。的取值范圍即可.

(3)結(jié)合函數(shù)的圖象求》的取值范圍.

x2e(0,A/2)和X],x,e(V2,+oo)兩種情況，

【詳解】解：(1)設(shè)x<0,則T>0,

得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

f(—x)=—JC—2%,

(2)變換得到a<-2x++1,設(shè)t=&,

V函數(shù)是奇函數(shù)，

計(jì)算函數(shù)的最大值得到答案.

f(x)==x2+2x(x<0).

2

m=2.【詳解】(1)。=2,則/(尤)=x+—+1,

(2)函數(shù)圖象如圖所示:

2025年

當(dāng)x>0時(shí)，y（x）在（0,0）上單調(diào)遞減，在a<—2廠+3f+1

所以a<(-2廠+3/+1),te(0,1).

（應(yīng),+■?）上單調(diào)遞增.\/max

又一2〃+3/+1=-2「一A+y,所以當(dāng)

證明：Vxj,尤2e（。，+8）且%>再，

%+：+1-%+：+1=伍+專)，忡?{+3/+1%=*

1717

所以〃<一,即QW一8,可

8

(2、（馬鳥5值困象可解析;⑵存在，=T或〃=7

=(%2—%1)1

滿足菜件，理由見解析.

【分析】（1）將。=5代入，去絕對(duì)值,然后做

出函數(shù)圖象即可；

X2>Xl>0,故々一玉>°,%芯>0，

（2）分〃工3,3<〃<4和〃24三種情況，結(jié)

當(dāng)今，尤時(shí)，x2xi-2<0,所以

合二次函數(shù)的性質(zhì)討論函數(shù)在［3,4］上的最

（）（）（

%-4/3-20小值，令其等于8,可求出答案.

x2xx

【詳解】（1）當(dāng)〃=5時(shí)，

故/㈤-/⑺<。,即/（々）</（不）,所

(x—5)(x—1)^>5

/(X)H|X-5|(X-1)=

一(x—5)(x1),xv5

以函數(shù)/（X）在（0,友）上單調(diào)遞減；

當(dāng)X］,x26（5/2,+00）時(shí),X2Xj-2>0,所以

（馬一百）（毛司一2）,0

x2xx

故/（凡）-〃再）>0,即/㈤>〃石）,所

以函數(shù)/(X)在(V2,+oo)上單調(diào)遞增.

(2)f電)〈-6+；+4,即

?+f+1<-J'x++4,（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間

［3,4］上有最小值8,

即—j=<-2y[x+-^=+3,存在%￡(0,l),使

y/x7xf(x)=|x-"|(x-l),xe[3,4].

得。<成立.

-2x+3y[x+1①當(dāng)時(shí)，

令f=?,xe(0,l),今(0,1).所以存在。(0,1),/(x)=(x-a)(x-1)=x2-(a+l)x+a,

2025年

函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸為》=答，查了學(xué)生的推理能力，屬于難題.

16.(1)奇函數(shù)；證明見解析

1--a<3,苫^<2,/(%)在［3,4］上單調(diào)遞

(2)單調(diào)遞增區(qū)間是：［6\+8),(-00,-0］,

增，

單調(diào)遞減區(qū)間是：(0,0),(-72,0)

f⑶=2(3-a)=8，解得a=-l,

O

符合題意；(3)最小值為20，最大值為萬

②當(dāng)3<a<4時(shí),/(a)=。v8,/(%)不可能【分析】(1)利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性;

有最小值8(舍去)；(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在(0,+")上

③當(dāng)a24時(shí)，

的單調(diào)性，判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;

(a-x)(x-l)=-x2+(a+V)x-a,

/(x)=(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值即可.