二次函數(shù)的應(yīng)用與綜合篇（原卷版）-2023年中考數(shù)學(xué)必考考點總結(jié)+題型專訓(xùn)

專題16二次函數(shù)的應(yīng)用與綜合

知識回顧

1.二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像:

形式一般式：y=aj?+fer+c(aw0)頂點式y(tǒng)=tz(x-/z)2+k(aw0)

。的符號a>0a<0a>0a<0

開口方向開口向上開口向下開口向上開口向下

h

x=--,若Q,b同號，則對稱軸在y軸

lax-h,若/iX）,對稱軸在y軸右邊；若

對稱軸左邊；若a,b異號，則對稱軸在y軸右邊。

hVO,對稱軸在y軸左邊，

簡稱左同右異。

bb

當(dāng)%二—2時取得當(dāng)%二—2時取得

2ala當(dāng)x=/z時取得最小當(dāng)了=〃時取得最大

最值22

口..4ac-b口一+4ac-b

最小r值一-——最大值一-——值左值上

4a4a

/,oA

b4ac-b

頂點坐標(biāo)仇，女）

2a9a

\7

圖像在對稱軸左邊圖像在對稱軸左邊圖像在對稱軸左邊圖像在對稱軸左邊

y隨x的增大而減y隨x的增大而增y隨x的增大而減y隨x的增大而增

增減性?。粓D像在對稱軸右大；圖像在對稱軸右??；圖像在對稱軸右大；圖像在對稱軸右

邊y隨x的增大而邊y隨x的增大而減邊y隨x的增大而邊y隨x的增大而減

增大；小；增大；??；

①若二次函數(shù)是一般形式時，則二次函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)為（0,c）。若c>0,則二次函數(shù)與y

軸交于正半軸；若cVO,則二次函數(shù)與y軸交于負(fù)半軸。

②二次函數(shù)開口向上時，離對稱軸越遠(yuǎn)的點函數(shù)值越大；二次函數(shù)開口向下時，離對稱軸越遠(yuǎn)的

函數(shù)值越小。

③二次函數(shù)函數(shù)值相等的兩個點一定關(guān)于對稱軸對稱。

④二次函數(shù)的一般式化為頂點式：利用一元二次方程的配方法。

2.二次函數(shù)的平移:

①若函數(shù)進(jìn)行左右平移，則在函數(shù)的自變量上進(jìn)行加減。左加右減。

②若函數(shù)進(jìn)行上下平移，則在函數(shù)解析式整體后面進(jìn)行加減。上加下減。

3.一次函數(shù)的對稱變換：

①若二次函數(shù)關(guān)于x軸對稱，則自變量不變，函數(shù)值變?yōu)橄喾磾?shù)。

②若二次函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)值不變，自變量變成相反數(shù)。

③若二次函數(shù)關(guān)于原點對稱，則自變量與函數(shù)值均變成相反數(shù)。

4.二次函數(shù)與一元二次方程：

①若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)與x軸有兩個交點o一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不

相等的實數(shù)根=△=后-4ac>0。

②若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)與x軸只有一個交點o一元二次方程ax2+6x+c=0有兩個

相等的實數(shù)根=八=廬一4知=0。

③若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)與x軸沒有交點=一元二次方程ax2+bx+c-G沒有實數(shù)根

=△=》__4acV0o

④若二次函數(shù)y片0)與直線丁=相交，則一元二次方程為a』+6x+c=7〃。交

點情況與方程的解的情況同與X軸相交時一樣。

5.二次函數(shù)與不等式(組)

若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)與一次函數(shù)y=kx+b(kw0)存在交點，則不等式：

a/+6x+c>區(qū)+6的解集取二次函數(shù)圖像在上方的部分所對應(yīng)的自變量取值范圍；

ad+6x+cV丘+6的解集取二次函數(shù)圖像在下方的部分所對應(yīng)的自變量取值范圍。

6.利用二次函數(shù)解決利潤問題

在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題。解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確

定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量的取值要使實際問題有意義，因此在

求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量的取值范圍。

7.幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中

的最值的討論。

8.構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題

利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)

據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題

或其他問題。

9,二次函數(shù)的綜合應(yīng)用：

①二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用：

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵是善

于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘

題目中的一些隱含條件。

②二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題。

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角

坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使

實際問題有意義。

微專題

1.端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進(jìn)4、B兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時，兩種品牌粽子的進(jìn)價不變.第

一次購進(jìn)A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進(jìn)A品牌粽子180袋和B

品牌粽子120袋，總費用為8100兀.

（1）求A、8兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價各是多少元；

（2）當(dāng)3品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進(jìn)

行降價銷售.經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋.當(dāng)8品牌粽子每

袋的銷售價降低多少元時，每天售出2品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

2.某文具店購進(jìn)一批單價為12元的學(xué)習(xí)用品，按照相關(guān)部門規(guī)定其銷售單價不低于進(jìn)價，且不高于進(jìn)價

的1.5倍，通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)

尤=15時，y=50；當(dāng)x=17時，y=30.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）這種學(xué)習(xí)用品的銷售單價定為多少時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

3.某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進(jìn)

價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進(jìn)50個.

（1）求第二批每個掛件的進(jìn)價；

（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進(jìn)價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售

價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣

90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？

4.擲實心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項目.如圖1是一名女生投實心球，實心球行進(jìn)路

線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（相）與水平距離無（相）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時起點處高度

為當(dāng)水平距離為時，實心球行進(jìn)至最高點3根處.

3

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的

水平距離大于等于6.70m此項考試得分為滿分10分.該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由.

圖1

圖2

5.某商場新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個）與銷售單價無（元）

之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價是多少元？

(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當(dāng)玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多

少元?

6.2022北京冬奧會自由式滑雪空中技巧比賽中，某運動員比賽過程的空中剪影近似看作一條拋物線，跳臺

高度。4為4米，以起跳點正下方跳臺底端。為原點，水平方向為橫軸，豎直方向為縱軸，建立如圖所

示平面直角坐標(biāo)系.已知拋物線最高點B的坐標(biāo)為(4,12),著陸坡頂端C與落地點D的距離為2.5米，

若斜坡。的坡度7=3：4(即C匕E=二3).

DE4

求：（1）點A的坐標(biāo)；

（2）該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）起跳點A與著陸坡頂端C之間的水平距離0C的長.（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：若-L73）

7.第24屆冬奧會（也稱2022年北京冬奧會）于2022年2月4日至2月20日在中國北京舉行，北京成為

了歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的城市.冬奧會上跳臺滑雪是一項極為壯觀的運動.運

動員經(jīng)過助滑、起跳、空中飛行和著陸，整個動作連貫一致，一氣呵成，如圖，某運動員穿著滑雪板，

經(jīng)過助滑后，從傾斜角9=37°

的跳臺A點以速度vo沿水平方向跳出，若忽略空氣阻力影響，水平方向速度將保持不變.同時，由于受

重力作用，運動員沿豎直方向會加速下落，因此，運動員在空中飛行的路線是拋物線的一部分，已知該

運動員在2點著陸，42=150相.且sin37°=0.6.忽略空氣阻力，請回答下列問題：

（1）求該運動員從跳出到著陸垂直下降了多少機？

（2）以A為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，求該拋物線表達(dá)式;

（3）若該運動員在空中共飛行了4s,求他飛行2s后,

垂直下降了多少機？

8.某校為配合疫情防控需要，每星期組織學(xué)生進(jìn)行核酸抽樣檢測；防疫部門為了解學(xué)生錯峰進(jìn)入操場進(jìn)行

核酸檢測情況，調(diào)查了某天上午學(xué)生進(jìn)入操場的累計人數(shù)y（單位：人）與時間x（單位：分鐘）的變化

情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：-c（0WxW8）,數(shù)據(jù)如表.

640（x>8）

時間X（分鐘）0123…8x>8

累計人數(shù)y0150280390…640640

（人）

（1）求a,b,c的值；

（2）如果學(xué)生一進(jìn)入操場就開始排隊進(jìn)行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘檢測5人，求排

隊人數(shù)的最大值（排隊人數(shù)=累計人數(shù)-已檢測人數(shù)）；

（3）在（2）的條件下，全部學(xué)生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20分鐘讓全部學(xué)生完

成核酸檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個檢測點？

9.某商店購進(jìn)了一種消毒用品，進(jìn)價為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價

x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8/無（15,且x為整數(shù)）.當(dāng)每件消毒用品售價為9元時，每天的

銷售量為105件；當(dāng)每件消毒用品售價為11元時，每天的銷售量為95件.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元？

(3)設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w(元)，當(dāng)每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利

潤最大？最大利潤是多少元？

10.如圖，題目中的黑色部分是被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字，導(dǎo)致題目缺少一個條件而無法解答，經(jīng)查

詢結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該二次函數(shù)的解析式為y=/-4x+l.

已知二次函數(shù)？=/+版+<:的圖象經(jīng)過點A(0,1),8(1,-2),—"邀爨.

求該二次函數(shù)的解析式.

(1)請根據(jù)已有信息添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：;

（2）當(dāng)函數(shù)值y<6時，自變量尤的取值范圍：；

（3）如圖1,將函數(shù)y=/-4x+l（x<0）的圖象向右平移4個單位長度，與>=/-4x+l（尤24）的圖

象組成一個新的函數(shù)圖象，記為L若點尸（3,相）在L上，求相的值；

（4）如圖2,在（3）的條件下，點A的坐標(biāo)為（2,0）,在L上是否存在點。，使得SAOAQ=9.若存

在，求出所有滿足條件的點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

11.如圖（1）,二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖象與x軸交于4、8兩點，與y軸交于C點，點8的坐標(biāo)為（3,

0）,點C的坐標(biāo)為（0,3）,直線/經(jīng)過8、C兩點.

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖象的頂點坐標(biāo)；

（2）點P為直線/上的一點，過點P作無軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點再過點M作y軸

的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點N,當(dāng)尸時，求點尸的橫坐標(biāo)；

2

（3）如圖（2）,點C關(guān)于x軸的對稱點為點。，點尸為線段上的一個動點，連接AP,點。為線段

A尸上一點，且AQ=3P。，連接。。，當(dāng)3AP+4。。的值最小時，直接寫出。。的長.

12.如圖，二次函數(shù)y=o?+6x+c的圖象與x軸交于。(。為坐標(biāo)原點)，A兩點，且二次函數(shù)的最小值為

-1,點機)是其對稱軸上一點，y軸上一點8(0,1).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P,連結(jié)必，PB,設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為f,ABV?的面積為S,

求S與f的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點N,使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，

直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

13.如圖，拋物線y=o?+x+c經(jīng)過8(3,0),0(-2,-1)兩點，與x軸的另一個交點為A,與y軸相

交于點c.

(1)求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo);

(2)若點M在直線BC上方的拋物線上運動(與點B,C不重合)，求使△AffiC面積最大時M點的坐標(biāo),

并求最大面積；(請在圖1中探索)

(3)設(shè)點。在y軸上，點P在拋物線上，要使以點A,B,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求所

有滿足條件的點P的坐標(biāo).(請在圖2中探索)

14.如圖，拋物線y=-7+6x+c與x軸相交于A,8兩點(點A在點8的左側(cè))，頂點。(1,4)在直線/：y

4一、

=—x+t,E,動點尸(〃2,n)在x軸上方的拋物線上.

3

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)過點P作軸于點PNLI于點、N,當(dāng)1＜相＜3時，求PM+PN的最大值;

(3)設(shè)直線AP,8尸與拋物線的對稱軸分

別相交于點E,F,請?zhí)剿饕訟,F,B,G

(G是點E關(guān)于x軸的對稱點)為頂點的