方程與不等式（組）有關(guān)的含參問題-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第二章方程與不等式

重難點(diǎn)02方程與不等式（組）有關(guān)的含參問題

（2種命題預(yù)測+17種題型匯總+專題訓(xùn)練）

【題型匯總】

已知方程的解求參數(shù)

已知方程的解求代工的值

同解方程

■方百滿足的情況共

方的雌問題

方程有解、無解問題

.已知分式方程的增根求參數(shù)

利用方程解的范圍求參數(shù)的取值范圍

曝根的情況確定一歷程中字母的m/s;值范圍

不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值

根的判別式與韋達(dá)定理綜合

與含參方程有關(guān)的新定義問題

已知解集求物的值范圍

已知螃解的情況求參數(shù)的值或取值范圍

已知不等式有/無解求參數(shù)的取值范圍

不等式（組）含參問題（5種）

不等式與方稗s合求參數(shù)的取值范圍

與含參（組）有關(guān)的新定義問題

類型一方程含參問題

【命題預(yù)測】

1）.一次方程組的含參問題一是方程組與不等式的聯(lián)系時(shí)，產(chǎn)生的未知數(shù)的正數(shù)解或解的范圍，

解決這類問題是把所給的參數(shù)作為常數(shù)，利用二元一次方程組的解法代入消元法、加減消元法,

先求出二元一次方程組的解，再結(jié)合所給的條件轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的不等式問題;二是利用整體思想,

求代數(shù)式的值，結(jié)合所給的已知條件和所求問題，找到兩者之間的聯(lián)系，利用整體思想和轉(zhuǎn)化

思想加以解決

2）.分式方程的參數(shù)問題主要是分式方程無解、有正數(shù)解或負(fù)數(shù)解、整數(shù)解的問題，解決此類問

題的關(guān)鍵是化分式方程為整式方程，在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程

中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的

解.

3）.一元二次方程的參數(shù)問題主要是含有參數(shù)的一元二次方程的解一元二次方程的解的情況、一

元二次方程的公共解，針對(duì)一元二次方程的參數(shù)，常利用韋達(dá)定理、根的判別式來解決，同時(shí)

注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為零.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)根分別為xi、X2,

則Xl+X2=-2,石x,=工注意運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是ANO,知一元二次方程，求關(guān)于方

aa

程兩根的代數(shù)式的值時(shí)，先把所求代數(shù)式變形為含有%+%,石々的式子，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)

系求解.

題型01已知方程的解求參數(shù)

1.（2021?重慶?中考真題）若關(guān)于x的方程瞪+a=4的解是尤=2,則a的值為.

【答案】3

【分析】將x=2代入已知方程列出關(guān)于。的方程，通過解該方程來求。的值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，知

4-2./

------Fa=4,

2

解得4=3.

故答案是：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次

方程的解.

2.（2024.四川涼山.中考真題）若關(guān)于%的一元二次方程（a+2）x2+%+a2-4=0的一個(gè)根是％=0,則a的

值為（）

A.2B.-2C.2或-2D.|

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項(xiàng)系數(shù)不為0.由一元二次方程的定義,

可知a+2H0；一根是0,代入（a+2）/+汽+Q2—4=0可得小—4=o,即可求答案.

【詳解】解：（a+2）x2+%+a2-4=0是關(guān)于久的一元二次方程，

，a+2W0,即aW—

由一個(gè)根久=0,代入（a+2）x2+x+a2-4=0,

可得M—4=0,解之得a=±2；（2）

由①②得a=2；

故選A

3.（2021?浙江金華?中考真題）已知二:是方程3久+2y=10的一個(gè)解，則m的值是.

【答案】2

【分析】把解代入方程，得6+2加=10,轉(zhuǎn)化為關(guān)于根的一元一次方程，求解即可.

【詳解】是方程3x+2y=10的一個(gè)解，

{y—iii

6+2加=10,

解得m=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，靈活運(yùn)用方程的解的定義，轉(zhuǎn)化為一元一

次方程求解是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?江西九江.模擬預(yù)測）已知％=2是分式方程三=工的解，則根的值為

X—6X

【答案】-2

【分析】本題主要考查了分式方程的解，把x=2代入分式方程，即可得出關(guān)于冽的方程，求解即可.

【詳解】解：把久=2代入與=工，可得出：

x-6x

m_1

2-6-2’

解得：m=-2,

故答案為：-2

5.（2023?河北?中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫出4的值為.匕的值為.

X

2n

結(jié)果代數(shù)式

3%+17b

2%+1

a1

X

【答案】|-2

【分析】把x=2代入得三更=a,可求得a的值；把％=n分別代入3久+1=b和7=1,據(jù)此求解即可.

XX

【詳解】解：當(dāng)％=71時(shí)，3%+l=b,即3n+l=b,

當(dāng)時(shí)，誓=。,即小號(hào)=|

、〕/n\2%+1tpt-t2n+l?

當(dāng)久=九時(shí)，---即----

X=1,n=1,

解得幾=一1,

經(jīng)檢驗(yàn)，九二一1是分式方程的解，

b=3x(—1)+1=-2,

故答案為：|；—2

【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，解分式方程，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

6.(2024.湖北.模擬預(yù)測)若關(guān)于x的一元二次方程久2+.-4=0有一個(gè)根是％=2,求Z?的值及方程的另

一個(gè)根.

【答案】b=0,方程的另一個(gè)根是％=-2

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的定義，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元

二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定義.將％=2代入方程求得到b的值,然后解一元二次方程即可.

【詳解】解：＜%=2是％24-—4=0的一個(gè)根，

.*.4+26-4=0

解得力=0,

將b=0代入原方程得/-4=0,

?\x2=4

角軍得%1=-2,冷=2,

=0/方程的另一個(gè)根是％=—2.

題型02已知方程的解求代數(shù)式的值

7.(2024?云南怒江?一模)已知根是方程%2—3%+1=0的根，求代數(shù)式m3—8m+4的值()

A.1B.3C.4D.7

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的解，求代數(shù)式的值，由題意得出tn?=3m-l,再整體代入血3一8血+4

計(jì)算即可得解.

【詳解】解：,根是方程/—3%+1=0的根，

Am2—3m+1=0,

Am2=3m—1,

.*.m3—8m+4=m(3m—1)—87n+4=3m2—9m+4=3(3m—1)—9m+4=1,

故選：A.

8.(2022?四川雅安?中考真題)已知｛；二；是方程公+辦=3的解，則代數(shù)式2a+46-5的值為一.

【答案】1

Y—1

【分析】把0_2代入“x+0y=3可得a+2b=3,而2a+4b-5=2(a+2b)—5,再整體代入求值即可.

【詳解】解：把｛：Z，弋入ajc+by=3可得：

y-L

a+2b=3,

???2〃+4。-5

=2(a+2h)-5

=2x3—5=1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程的解，利用整體代入法求解代數(shù)式的值，掌握“方程的解的含義及整體

代入的方法”是解本題的關(guān)鍵.

9.(2024?廣東中山?模擬預(yù)測)已知｛j二1是方程組二I7的解，求代數(shù)式①+①①一切的值.

【答案】8

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，以及代數(shù)式求值，先根據(jù)二元

一次方程組的解得出新的二元一次方程組，再根據(jù)加減消元法求出a,6的值，然后代入求值即可.

【詳解】解：依題意得方程組1-3匕=3巴，

[2b-3a=-7②

①X3+②X2得-5b=-5,

b=1,

把b=1代入①得a=3；

貝聯(lián)a+b)(a-b)=(3+1)(3-1)=4X2=8.

10.(2022?廣西?中考真題)閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法.例如“已知3a-6=2,求代數(shù)式6a-

2b-1的值.”可以這樣解：6a-2b-l=2(3a-b)-1=2x2-1=3.根據(jù)閱讀材料，解決問題：若x=2

是關(guān)于x的一元一次方程a久+b=3的解，則代數(shù)式4a2+4ab+b2+4a+2b—1的值是.

【答案】14

【分析】先根據(jù)x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+6=3,再把所求的代數(shù)式變形為

(2a+曠+2(2a+b)-l,把2a+b=3整體代入即可求值.

【詳解】解：=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+6=3的解，

2a+b=3,

4a2+4ab+/+4a+2b—1

=(2a+b)2+2(2a+b~)—1

=32+2x3-1

=14.

故答案為：14.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數(shù)式利用完全平方公式

變形是解題的關(guān)鍵.

11.(2024?湖北十堰?三模)若小、九是一元二次方程/—久—3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，多項(xiàng)式2/—nm+2nl的

值是.

【答案】11

【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.若一元二次方程a/+法+c=0(aH0)的兩個(gè)根為修，^,

則%]+刀2=,冷=二由題意得聲一n-3=0,m+n=1,mn--3,再代入計(jì)算即可求解.

xaa

【詳解】解：由題意得：n2—n—3=0,m+n=1,mn=—3,

n2=n+3,

/.2n2—mn+2m=2n+6—mn+2m=2(m+n)—mn+6=2—(—3)+6=11,

故答案為：11.

題型03同解方程

12.(2024涼州區(qū)三模)已知關(guān)于x的方程瞪=%+5與3%-(%-1)=5的解相同，則血=.

【答案】T

【分析】先解3x-(x-1)=5求出x的值，然后代入以=%+-,解關(guān)于m的方程即可求出m的值.

2m

【詳解】V3x-(x-l)=5

3%—%+1=5

???2%=4

/.x=2,

把％=2代入平=%+^,得

去分母，得

3(2—m)=12+2m,

解得

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程解得定義及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右兩邊相等的未

知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

13.(20241安順市模擬)關(guān)于x的兩個(gè)方程/一萬-6=0與=—=白■有一個(gè)解相同，則m=

【答案】-8.

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即用這

個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；先解方程x2-x-6=0,將它的根分別代入方程工=工，去掉不符合題

意的根，求出m的值.

【詳解】解：解方程/-X-6=0得：x=-2或3；

把x=-2或3分別代入方程二—=工,當(dāng)x=-2時(shí)，得到一―=展，解得m=-8.

—2+m—2—3

故答案為-8.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義；本題注意分式方程中分母不為0.

14.(2020?河北邢臺(tái)二模)已知關(guān)于久的方程5x-2=3*+16的解與方程4a+1=4(x+a)-5a的解相同,

則。=；若［m|表示不大于m的最大整數(shù)，那么g-1］=

【答案】72

【分析】求出第一個(gè)方程的解，因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解釋相同的，則把第一個(gè)方程的解代入第二個(gè)方程即可求

出a；將a代入弓-1］得到周，根據(jù)定義即可求出答案.

【詳解】解：5久一2=3久+16

5%—3%=2+16

2x=18

x=9

將％=9代入4a+1=4(%+a)—5a,

4a+1=4(9+a)—5a

4a+1=36+4a—5a

5a=36—1

a=7

a=7

呢"=劇=2.

故答案為：7；2.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程和新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，熟練應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程及理解新定義是

解題的關(guān)鍵.

15.（2024.貴州畢節(jié)?三模）已知關(guān)于x,y的二元一次方程組二?=表的解也是方程3“-y=26的解，

則k的值為（）

A.-4B.-2C.2D.無法計(jì)算

【答案】C

【分析】此題考查了解二元一次方程組，二元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立

的未知數(shù)的值.把k看作已知數(shù)求出x與.代入已知方程計(jì)算即可求出％的值.

【詳解】解：［廠丁個(gè)幺

（2%+3y=5k②

由①+②得：3%=12fc,

解得：%=4fc,

把％=4k代入①得：4k-3y=7k,

解得：y=-k,

把％=4fc,y=一/c代入3%—y=26,

得：3x4k-（一口=26,

解得：k=2,

故選：C

題型04根據(jù)方程解滿足的情況求解

16.（2023?河北滄州?模擬預(yù)測）對(duì)于a、b定義a團(tuán)6=義，已知分式方程工團(tuán)（-1）=/的解滿足不等式

a—3-3%

（2-a）x-3>0,則a的取值范圍是（）

A.a<1B.a>1C.a<3D.a>3

【答案】D

【分析】根據(jù)新定義的含義，轉(zhuǎn)化為分式方程，按照解分式方程的步驟求出x的值，把龍的值代入不等式中，

解不等式即可.

【詳解】解：根據(jù)新定義可得，f^=看,即二―，

x-(-l)23-3xx-13(x-l)

去分母得：3=-%,

解得x=-3,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-3是分式方程的解，

把x=-3代入不等式可得，一3(2-a)-3>0,

解得a>3.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式，關(guān)鍵是理解新定義，并正確運(yùn)算.

17.(2023?江蘇無錫?二模)若關(guān)于x,y的二元一次方程組「二；。笠工2的解滿足尢+丫〉。，則小的取值

范圍_____.

【答案】m>2

【分析】兩方程相加可得2久+2y=3m-6,根據(jù)題意得出關(guān)于小的不等式，解之可得.

【詳解】解：3m-半

(x+3y=-4@

①+②，得：2x+2y=3m—6,

???x+y>0,

解得m>2,

故答案為：m>2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式是解答此題的關(guān)鍵.

18.(2023金鄉(xiāng)縣一'模)已知%1、%2是方程%?—kx+：k(k+4)=。的兩個(gè)根,且滿足(%1—1)(%2—1)=

則k=.

【答案】-3

【分析】根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可以表示出兩個(gè)根的和與積，代入01-1)(%2-1)=今即

4

X62-01+%2)+1=?，即可得到一個(gè)關(guān)于人的方程，從而求得上的值.

【詳解】解：?.”1、血是方程/-依++4)=0的兩個(gè)根,

4

]

xx

xr+&=k，i2=小也+4),

：(尤1-1)(%-1)=?，

2q

??%-￡%2—(%1+%2)+1=~4~9

解得：k=±3,

當(dāng)/c=3時(shí)，方程為/一3%+2=0,A=9-21=-12<0,不合題意舍去；

4

當(dāng)上=—3時(shí)，方程為第2+3%-三=0,△=9+3=12>0,符合題意.

4

二所求人的值為一3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：若修,%2是一元二次方程a-+bx+c=0(aH0)的

兩根，則修+犯=4x62=5注意：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是：一元二次方程a/+b尤+c=0

的根的判別式A>0.

19.(2023?四川眉山?中考真題)已知關(guān)于居y的二元一次方程組二舞：；的解滿足x—y=4,則相

的值為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】將方程組的兩個(gè)方程相減，可得到久-y=/n+3,代入x-y=4,即可解答.

【詳解】解：儼一"加+舊,

(%+y=2m—5。)

①一②得2%—2y=2m+6,

%—y=TH+3,

代入％-y=4,可得m+3=4,

解得m=1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵.

20.（2024?廣東汕頭?一模）若關(guān)于x,y的方程組的解滿足％+y=—4,則4m+2九的值為

（）

A.8B.-C.6D.-6

8

【答案】B

【分析】本題考查二次一次方程組含參問題，熟練掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵，利用①-②得：x+

y^2m-n-l,即可得到2m—n=—3,再將4巾+2n=2Z巾+2n=2?^-%代入即可得到答案.

【詳解】解：卜一y=2^u①

Ix—2y=n（2）

①—②得：x+y=2m-n—1,

??%+y=—4,

???2m—n—1=—4,

'-2m—n=—3,

.?.4mq2n=22rn-2n=22?n-n=2-3=-

~~~-8'

故選：B.

題型05方程的整數(shù)解問題

21.（2022?廣東揭陽?模擬預(yù)測）如果關(guān)于x,y的方程組[廣匚3y=6的解是整數(shù),那么整數(shù)小的值為（）

J（6%+my—26

A.4,-4,-5,13B.4,-4,-5,-13

C.4,-4,5,13D.-4,5,-5,13

【答案】B

【分析】先將小看作已知量，解二元一次方程組，用m表示出y,再結(jié)合x,y為整數(shù)，得出y的整數(shù)解，然

后把y的整數(shù)解代入①，得出方的解，再把方程組的整數(shù)解代入②，即可得出山的值.

【詳解】解」，一"=震,

[6x+my=26@

由②X2一①X3,可得：y=就，

Vx,y為整數(shù)，

...當(dāng)（2巾+9）為-34,-17,-2,-1,34,17,2,1時(shí)，y為整數(shù)，

...把（2m+9）的值代入y=可得：y=—1，y=—2,y=-17,y=—34,y—1,y=2,y=17,

y=34,

???把y的整數(shù)解代入①，可得：%=|,%=0,%=—?,x=—24,%=￡%=3,%=苧,x=27,

??方程組：26的整數(shù)解為「二_°2x=-24(x=3(x=27

y=-34'(y=2'[y=34

把方程組的整數(shù)解代入②，可得：m=-13,m=-5,m=4,m=-4.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，解本題的關(guān)鍵是用含小的代數(shù)式表示y.

22.（19-20八年級(jí)上?重慶沙坪壩?期末）若二次根式我二元有意義，且關(guān)于x的分式方程4+2有正

1-xX-1

數(shù)解，則符合條件的整數(shù)機(jī)的和是（）

A.-7B.-6C.-5D.-4

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式二元有意義，可得m<2,解出關(guān)于x的分式方程F+2=2的解為x=噂，

1-xx-12

解為正數(shù)解，進(jìn)而確定加的取值范圍，注意增根時(shí)機(jī)的值除外，再根據(jù)，〃為整數(shù)，確定機(jī)的所有可能的整

數(shù)值，求和即可.

【詳解】解：去分母得，—m+2（x—1）=3,

解得，乂=等

???關(guān)于x的分式方程三+2==有正數(shù)解,

???等>0，

/.m>—5,

又??5=1是增根，當(dāng)％=1時(shí),

等=1,即巾=-3

.".m*—3,

有意義,

2-m>0,

m<2,

因此一5<m<2且小中-3,

???根為整數(shù)，

.?.根可以為-4,-2,-1,0,1,2,其和為-4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】考查二次根式的意義、分式方程的解法，以及分式方程產(chǎn)生增根的條件等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理

解正數(shù)解，整數(shù)加的意義.

23.（2024?河北保定.一模）若關(guān)于x的方程mx+x=4的解是整數(shù)，寫出一個(gè)滿足條件的正整數(shù)機(jī)的值:

【答案】3（答案不唯一）

【分析】本題考查解一元一次方程，求出方程的解后，根據(jù)解為整數(shù)，寫出一個(gè)滿足條件的正整數(shù)，”的值

即可.

【詳解】解：：mx+K=4,

解得：x=^~,

m+1

:方程的解為整數(shù)，

；.巾+1能被4整除，

當(dāng)m=3時(shí)，x=1滿足題意，

.?.正整數(shù)機(jī)的值可以為3；

故答案為：3（答案不唯一）.

24.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程（k-2）/—2x+2=0無實(shí)數(shù)根，則整數(shù)k的最小值

為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的構(gòu)成條件、解一元一次不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是掌握根的判別式.要使一元二次方程沒有實(shí)根，只需二次項(xiàng)系數(shù)不等于。且根的判別式小于0,由此可求

出人的范圍，再找出最小值即可.

【詳解】解：二?關(guān)于x的一元二次方程（k-2）/-2x+2=0沒有實(shí)數(shù)根，

:.k—2豐0且△=（—2）2-4（fc-2）x2<0,

解得kH2,k>l，

??/>1，

整數(shù)%的最小值是3,

故答案為：3.

題型06方程有解、無解問題

25.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知關(guān)于x的分式方程衛(wèi)-2=工無解，則左的值為（）

x-33-x

A.fc=2或k=-1B.fc=-2C.k=2或k=1D.k=-1

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵.先將分式方程去分

母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解：去分母得，kx-2(%-3)=-3,

整理得，(fc-2)%=-9,

當(dāng)k=2時(shí)，方程無解，

當(dāng)k豐2時(shí)，令久—3,

解得k=-1,

所以關(guān)于無的分式方程與一2-無解時(shí)，卜=2或k=一1.

故選：A.

26.(2024?遼寧丹東?模擬預(yù)測)已知關(guān)于x的分式方程岑=a有解，貝必的取值范圍是.

X+1

【答案】aH［且QW0

【分析】本題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個(gè)條件.分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示

出分式方程的解，確定出。的范圍即可.

【詳解】解：分式方程去分母得：2a+l=a%+a,

整理得：ax=a+1,

當(dāng)。=0時(shí)，方程無解，

???分式方程的增根是：%=-1,

把％=-1代入a%=a+1,得

—a=a+1,

解得：a=—I，

所以。的范圍是且aWO.

故答案為：且aW0.

27.(2024?四川綿陽?二模)若關(guān)于x的分式方程公=1有解，且關(guān)于y的方程'2一2、+血=0有實(shí)數(shù)根，

則根的范圍是.

【答案】m<1且THW0

【分析】本題考查了分式方程的解有意義的概念，一元二次方程實(shí)數(shù)根的判斷，掌握求解的方法是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)分式有意義的情況得到X73,化簡分式后代入即可得到小的取值，再根據(jù)一元二次方程根的判別式求

解即可.

【詳解】解：—=1,化簡得：x=3-m,

3-x

3—%0,即無。3,

/.3—m3,解得：m0,

Vy2-2y+m=0有實(shí)數(shù)根，

/.△=b2—4ac=（-2）2—4xlxm>0,

解得：m<l,

二?綜上m<1且?nW0,

故答案為：血<1且7nH0.

28.（2021?上海?中考真題）若一元二次方程2/一3%+。=0無解，則c的取值范圍為.

【答案】c>l

O

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義得到△=（一3）2_4X2c<0,然后求出C的取值范圍.

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程2/-3x+c=0無解，

?[a=2,b=—3,c=c,

/.△=b2—4ac=（-3）2—4x2c<0,

解得c>[

o

；.C的取值范圍是c>:

o

故答案為：c>

o

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程加+6x+c=0（存0）的根的判別式△=/-4℃：當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.

2

29.（2024.安徽六安.模擬預(yù)測）已知關(guān)于久的一元二次方程/_kx+k=3有解.

（1）當(dāng)k=0時(shí)，方程的解為；

（2）若根是該一元二次方程的一個(gè)根，令y=-m2+km+k2,則y的最大值和最小值的和為.

—

【答案】%i-V3，x2—V32

【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判別式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈

活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)當(dāng)k=0時(shí)，則久2=3,再利用直接開平方法求解即可；

(2)根據(jù)原方程有解得出卜？<4,將ni代入方程得出一巾2+km=k2-3,從而得到y(tǒng)=-m2+km+k2=

2k2-3,求出y的最大值與最小值即可得解.

【詳解】解:(1)當(dāng)k=0時(shí)，則/=3,

解得Xi=V3,不=-V3,

故答案為：%i-V3,x2=-V3；

(2),關(guān)于萬的一元二次方程/-fcx+fc2=3有解,

k2-4(k2-3)>0,

得卜2<4.

若m是該一元二次方程的一個(gè)根，則nt?-/cm+fc2=3,

得—巾2+km=k2—3,

y=—m2+km+k2=2fc2—3,

???1的最大值為4,

.?.當(dāng)1取最大值時(shí)，y取最大值，y的最大值為2x4—3=5.

的最小值為—3,

.??y的最大值和最小值的和為5+(—3)=2,

故答案為：2.

30.(2024九年級(jí)下?全國?專題練習(xí))小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個(gè)數(shù)“？”看不清楚：一；+3=

X-2

1

2-x'

(1)她把這個(gè)數(shù)“？”猜成5,請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；

(2)小華的媽媽說：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是久=2,原分式方程無解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“？”

代表的數(shù)是多少？

【答案］⑴x=0

(2)-1

【分析】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應(yīng)用.增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程

的分母為。的根增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可

求得相關(guān)字母的值.

(1)“？”當(dāng)成5,解分式方程即可,

(2)方程有增根是去分母時(shí)產(chǎn)生的，故先去分母，再將％=2代入即可解答.

【詳解】(1)解：依題意，-^-+3=—

x-22-x

方程兩邊同時(shí)乘以0-2)得

5+3(%-2)=-1

解得久=0

經(jīng)檢驗(yàn)，x=0是原分式方程的解；

(2)解：設(shè)?為m,

方程兩邊同時(shí)乘以O(shè)-2)得

m+3(%—2)=—1

??"=2是原分式方程的增根，

.?.把x=2代入上面的等式得

m+3x(2—2)——1

m=—1

原分式方程中“？”代表的數(shù)是-1.

題型07已知分式方程的增根求參數(shù)

31.(2023?山東德州?模擬預(yù)測)己知關(guān)于x的分式方程三+1等標(biāo)=2時(shí)出現(xiàn)增根，則機(jī)的值可能是

x-1(x-l)(x+2)x+2

()

A.-6B.-3C.-2D.1

【答案】A

【分析】本題考查分式方程有增根的情況.先將分式方程去分母后化為整式方程(皿+1)X=-5,根據(jù)原分

式方程有增根得到67-1,%=一一三，進(jìn)而當(dāng)x=-一，時(shí)，(X-1)(久+2)=0,求解即可解答

m+1m+1

【詳解】解：方程兩邊同乘(％-1)(%+2),得2(%+2)+771%=%-1,

整理，得(血+1)%=-5,

??,分式方程有增根，

*.m+1W0,即mH—1

?5

??X=---------,

m+1

???分式方程有增根

當(dāng)％=---二時(shí)，(汽—1)(%+2)=0,

m+l

即(----1)(--—+2)=0,

解得：m=-6或TH=|,

經(jīng)檢驗(yàn)，m=—6或m=|都是方程(—《7一1)(—^71+2)=0的解.

工機(jī)的值為一6或|.

故選：A

32.(2023?四川巴中?中考真題)關(guān)于X的分式方程把*=3有增根，則僧=

x-22-x

【答案】-1

【分析】等式兩邊同時(shí)乘以公因式(X-2),化簡分式方程，然后根據(jù)方程有增根，求出x的值，即可求出山.

【詳解】可+r=3,

x-22-x

解：方程兩邊同時(shí)乘以(x—2),得乂+??1+(-1)=30-2),

m=2%—5,

???原方程有增根，

x—2=0,

.*.%=2,

Am=2x—5=—1,

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的增根.

33.(2023?四川樂山?模擬預(yù)測)已知關(guān)于x的分式方程嚏+E=1.

x+2x2-4

(1)當(dāng)TH=4時(shí)，解這個(gè)分式方程；

⑵若方程有增根，求相的值.

【答案】(1)%=4

(2)m=-8

【分析】本題考查了解分式方程，分式方程有增根的條件；

(1)按步驟：去分母，解方程，檢驗(yàn)，進(jìn)行解答，即可求解;

(2)化成整式方程，求出含有TH的解，由方程有增根得％=±2,即可求解；

掌握解分式方程的步驟及分式方程有增根的條件，并能將求出小的值進(jìn)一步檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：方程兩邊同時(shí)乘以(％+2)(%-2)得

—2)+4=/—%

解得久=4,

檢驗(yàn)：當(dāng)％=4時(shí)，

(x+2)(%—2)

=(4+2)(4-2)

=8W0,

:?x=4是原分式方程的解.

(2)解：去分母得

x(x—2)+m=x2—4,

m+4

???X=--，

2

???方程有增根，

??.(%+2)(%—2)=0,

???x=±2,

?m+4,0

?.x=-----=+2,

2一

解得血=0或一8,

當(dāng)m=0時(shí)，

—=1,

x+2

整理得：2=0,矛盾；

.?.m=0舍去，

???m=-8.

題型08利用方程解的范圍求參數(shù)的取值范圍

34.(2022?四川德陽?中考真題)如果關(guān)于久的方程”=1的解是正數(shù)，那么m的取值范圍是()

X-1

A.m>—1B.m<—1且TH-2C.m<—1D,m>—1且znW0

【答案】B

【分析】此題主要考查了分式方程的解，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠?/p>

化為整式方程的過程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分

式方程的解.

【詳解】解：：生子=1有正數(shù)解，

X-1

x—10,則％W1,

2x+m"

-1,

x-1

去分母，得，2%+TH=X-1,

移項(xiàng)合并，得，x=—1—m,

?.?方程W=1的解是正數(shù)，

X-1

.(—1—m>0

"t—1-m41'

解得：m<一1且zn豐-2,

故選：B.

35.(2023?江蘇蘇州?三模)關(guān)于x的一元二次方程/+(a+4)x+3a+3=0有一個(gè)大于一2的非正數(shù)根，那

么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】—1Wa<l/l>a2—1

【分析】先計(jì)算△>0,再利用因式分解法解方程得/=-3,亞=一?！?，再根據(jù)題意得到-2<-a-l<0,

然后解不等式組即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，△=(a+4)2-4(3a+3)=(a-2)2>0,

解方程/+(a+4)x+3a+3=(x+3)(x+a+1)=0得x1=—3,x2=-a—1,

?.?該方程有一個(gè)大于—2的非正數(shù)根，-3<-2,

—2<—CL—1<0,解得—1<Gt<1,

故答案為：—1<a<1.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式組，理解一元二次方程的解，

正確得到關(guān)于。的不等式組是解答的關(guān)鍵.

36.(2023?浙江杭州?一模)已知關(guān)于x的分式方程a+&=1的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是___,m=4

x-11-x

時(shí)，分式方程的解為.

【答案】m22且mH3x=2/2

【分析】本題考查了分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解出分式方程，根據(jù)解是非負(fù)數(shù)求出血的取

值范圍，再根據(jù)久=1是分式方程的增根，求出此時(shí)TH的值，得到答案再把4代入求出久=2,然后檢驗(yàn)

即可，理解分式方程的增根的判斷方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原方程去分母得：m-3=x-l,

解得：%=m-2,

??,原方程的解是非負(fù)數(shù)，

m-2>0且zn—2W1,

解得：m>2且mW3；

當(dāng)m=4時(shí)，x=4—2=2,

檢驗(yàn)：當(dāng)％=2時(shí)，％-2。0,

故此時(shí)原方程的解為％=2,

故答案為：m22且znW3；%=2.

37.(2023九年級(jí)?全國?專題練習(xí))當(dāng)機(jī)取何值時(shí)，關(guān)于x的方程|%-1=6m+5(%-m)的解是非負(fù)數(shù)？

【答案】m<-1

【分析】根據(jù)解的定義直接計(jì)算，非負(fù)即大于等于0.

【詳解】|%—1=6m+5(%—m),

2

-x—5x=6m—5m+1,

3

13.<

-----x=m+1,

3

解得％=-^(m+1),

由題意得一((血+1)20,

m+1<0

解得m<-1.

【點(diǎn)睛】此題考查含參數(shù)的一元一次方程，以及一元一次不等式，解題關(guān)鍵是先求出解，然后對(duì)解進(jìn)行運(yùn)

算.

38.(2023?陜西西安?三模)已知關(guān)于x、y的二元一次方程組/17,它的解是正數(shù).

(1)求機(jī)的取值范圍；

(2)化簡：-2|—(Vm+I)2—^/(m—I)2.

【答案】⑴一卷〈巾<9

(4-

—m,-----<m<1

(2)原式=159

2—3m,1<m<-

<5

【分析】(1)先解方程組，用含，”的式子表示出尤、》再根據(jù)方程組的解是一對(duì)正數(shù)列出關(guān)于根的不等式

組，解之可得；

(2)根據(jù)他的取值范圍判斷出巾-2,6+1與皿-1的范圍，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】⑴解關(guān)于X、y的二元一次方程組「工北藍(lán)上7,得."二3：不，

5

???方程組的解是一對(duì)正數(shù)，

(4

3m+->0

3,

—m+->0

、5

解得一卷<m<^；

、4.Q

(2)--<m<-,

155

當(dāng)—2<m<1時(shí),

m—2<0,m4-1>0,m—1<0,

\m-2\—(Vm+I)2—J(Tn-l)2

=2—m—(m+1)—(1—m)

=2—m—m—1—1+m

=-m；

當(dāng)1WTHVg時(shí)，

m—2<0,m+1>0,m—1>0,

|m—2|—(Vm+l)2—J(m—l)2

=2—m—(m+1)—(m—1)

=2—m—m—1—m+1

=2—3m.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組及解法、一元一次不等式組及解法.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出關(guān)于加

的不等式組及絕對(duì)值的性質(zhì).

39.(22-23九年級(jí)上?北京東城?期末)已知關(guān)于x的一元二次方程/+(1一2爪)％+爪2一機(jī)=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正數(shù)，求小的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)m>1

【分析】(1)根據(jù)一元二次函數(shù)的判別式，進(jìn)行求解即可；

(2)首先根據(jù)十字相乘法解一元二次方程，得出力=血，x2=m-l,然后再根據(jù)題意：方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根都是正數(shù)，得出不等式組，解出即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：在關(guān)于％的一元二次方程式2+(1—2m)%+血2—7n=0中，

*.*△=b2—4ac=(1—2m)2—4(m2—m)=1>0,

???方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：x2+(1—2m)x+m2—m=0

因式分解，可得：(x-m)(x-m+1)=0,

于是得：％—m=0或％-zn+1=0,

.\xr=m,冷=6—1，

???方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正數(shù)，

二可得：｛臂"，

—1>0

解得：m>1,

的取值范圍為：m>1.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的判別式、因式分解法解一元二次方程、解不等式組，熟練掌握一元二

次方程的解法及根的判別式是解本題的關(guān)鍵.

題型09根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍

40.(2024.山東泰安?中考真題)關(guān)于久的一元二次方程2/一3久+k=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.fc<—B.fc<—C.k2—D.k<—

8888

【答案】B

【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是△>0,據(jù)此列不等式求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程2/—3x+k=0有實(shí)數(shù)根，

；.△=（-3）2-4x2fc>0,解得k<

8

故選B.

41.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）關(guān)于x的一元二次方程（加一2）%2+4%+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

m的取值范圍是（）

A.m<4B.m>4C.7nZ—4且mW2D.zn44且znW2

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式.根據(jù)一元二次方程a/+族+。=0缶。0）的根的判別式△=

b2-4ac的意義得到m-2W0且4>0,即4?-4x（m-2）X2>0,然后解不等式組即可得到?n的取值范

圍.

【詳解】解：???關(guān)于工的一元二次方程（m-2）%2+4%+2=0有實(shí)數(shù)根，

???m-2W0且4>0,

即42-4x（m-2）X2>0,

解得：m<4,

??.m的取值范圍是771<4且772