河北省石家莊市2025屆高三一輪診斷考試數(shù)學(xué)試題（石家莊一模）+答案解析

河北省石家莊市2025屆高三一輪診斷考試數(shù)學(xué)試題（石家莊一模）?

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合4={1,2,3,4,6,8},B={x\2xeA},貝!JG_B)=()

A.{6}B.{6,8}C.{4,6,8}D.{3,4,6,8}

2.若z=2+*則+5=()

z

A.—4+2iB.-4一2iC.4+2zD.4-2z

4.在正四棱臺(tái)AB。。-4bBic1力中,已知48=243=6，^，該正四棱臺(tái)的體積為168,則44=（)

A.3B.4C.5D.6

5.設(shè)函數(shù)/（/）=log3（/—QI+3）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則〃的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

6.現(xiàn)安排甲、乙、丙三位同學(xué)在星期一到星期六值日，每人兩天，且都不連續(xù)值日的不同方法種數(shù)為（）

A.6B.15C.20D.30

x2y2

7.已知雙曲線。：l（a〉0,b〉0）的右焦點(diǎn)為F,其中一條漸近線上存在一點(diǎn)尸，使得另一條漸近

滔一京

線垂直平分線段尸尸，則雙曲線C的離心率為（）

A.2B.^2C.73D.4

第1頁(yè)，共14頁(yè)

8.若函數(shù)/(為的定義域內(nèi)存在為，應(yīng)(y1，)2)，使得“3)；1(/2)=1成立,則稱/(7)為“完整函數(shù)，，.

已知/(力)=—，一LCOSQI+即)(G〉0)是Pp上的“完整函數(shù)”，則G的取值范圍為()

262622

1Q171317

A.B3]U[4,4)B.e3]uU,+cx))

000o

1313

C.[--,+oo)D.,3]U[4,+oo)

55

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.某機(jī)構(gòu)調(diào)查了一個(gè)工業(yè)園區(qū)內(nèi)的小型民營(yíng)企業(yè)年收入情況，并將所得數(shù)據(jù)按

[200,300),[300,400),?一/700,800]分成六組，畫(huà)出了樣本頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是()

A.該工業(yè)園區(qū)內(nèi)年收入落在區(qū)間性00,700)內(nèi)的小型民營(yíng)企業(yè)的頻率為0.55

B.樣本中年收入不低于500萬(wàn)元的小型民營(yíng)企業(yè)的個(gè)數(shù)比年收入低于500萬(wàn)元的個(gè)數(shù)少

C.規(guī)定年收入在400萬(wàn)元以內(nèi)(不含400萬(wàn)元)的民營(yíng)企業(yè)才能享受減免稅政策，則該工業(yè)園區(qū)有70%的小

型民營(yíng)企業(yè)能享受到減免稅政策

D.估計(jì)樣本中小型民營(yíng)企業(yè)年收入的中位數(shù)等于平均數(shù)

10.已知函數(shù)/(n)=(/—a)2Q—2),且c=1是/(乃的一個(gè)極值點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()

A.實(shí)數(shù)a的值為1或一1

B./(，)在(l,+oo)上單調(diào)遞增

C.若/=1是/(/)的一個(gè)極小值點(diǎn)，則當(dāng)2>1時(shí)，/(2c+1)>/(2+2)

D.若2=1是/(2)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則當(dāng)0</<1時(shí)，/(2x-1)>f{x2-1)

11.如圖，該圖展現(xiàn)的是一種被稱為“正六角反棱柱”的多面體，上、下兩底面分別是兩個(gè)全等且平行的正

六邊形4耳6。1后由，ABCDEF,它們的中心分別為5,。，側(cè)面由12個(gè)全等的以正六邊形的邊為底的

第2頁(yè)，共14頁(yè)

等腰三角形組成.若該“正六角反棱柱”的各棱長(zhǎng)都為2,則下列命題正確的是()

7T

A.異面直線Op4i與。/所成的角為w

B,平面。1。』

C.該多面體外接球的表面積為(4\/3+12)%

D.直線481與下底面所成角的正弦值為y73-1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量正,可滿足E=2,|才+2了|=|力—用，則|才+了|=.

13.已知拋物線。：/=42的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸的直線/交拋物線。于4,8兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)尸,弱=2版，

則直線/的斜率為,\FP\=.

14.在/XAB。中，角42,C的對(duì)邊分別為a,b,C.已知b+c=tan^(5tanB+ctanC),b=M，A=4C>

則Q=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/(c)=(x-a)2ex.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求的圖象在點(diǎn)(1"⑴)處的切線方程；

⑵討論/(2)的單調(diào)性，并求當(dāng)/(2)的極大值等于4時(shí)，實(shí)數(shù)a的值.

16.(本小題15分)

一家調(diào)查機(jī)構(gòu)在某地隨機(jī)抽查1000名成年居民對(duì)新能源車與燃油車的購(gòu)買(mǎi)傾向，得到如下表格：

第3頁(yè)，共14頁(yè)

傾向于購(gòu)買(mǎi)燃油車傾向于購(gòu)買(mǎi)新能源車合計(jì)

女性居民150250400

男性居民350250600

合計(jì)5005001000

(1)依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)新能源車與燃油車的購(gòu)買(mǎi)傾向是否存在性別差異；

(2)從傾向于購(gòu)買(mǎi)燃油車的居民中按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人，再?gòu)闹谐槿?人進(jìn)行座談，

求在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率；

(3)從所有參加調(diào)查的男性居民中按購(gòu)買(mǎi)這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，再?gòu)闹?/p>

隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購(gòu)買(mǎi)新能源車的居民人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

參考公式：/=—八「嗎、人/，其中葭=a+b+c+d.

7(a+b)(c+d)5(a~+"c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

a0.10.050.010.0050.001

①a2.7063.8416.6357.87910.828

17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—43co中，底面N3CD是平行四邊形，￡是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段網(wǎng)上.

(1)證明：〃平面4。石.

(2)若平面/BCD,P4=4B=3,BC=5,AC=4,平面E4D與平面PNC夾角的余弦值為A絲,

29

求篝PF的值.

FB

18.(本小題17分)

第4頁(yè)，共14頁(yè)

22

已知橢圓。：勺+《=1（（1>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為三，F(xiàn)2,焦距為2C,圓（2+。）2+y2=4。2與橢

azbz

圓C相交于a3兩點(diǎn)，乙4/8=120°,的面積為通.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（1,0）的動(dòng)直線/與橢圓。有兩個(gè)交點(diǎn)尸，。，以線段P。為直徑作圓。，點(diǎn)河（磔,0）始終在圓。內(nèi)

（包括圓周），求①o的取值范圍.

19.（本小題17分）

Q.一Cr，

若｛薪｝是遞增數(shù)列，數(shù)列｛廝｝滿足對(duì)任意的打eN*,存在meN*,使得“"&0,則稱｛廝｝是｛金｝

C?i+1

的“分割數(shù)列”.

（1）設(shè)c?=4n—1,an=2n-l,證明：數(shù)列｛廝｝是數(shù)列｛金｝的“分割數(shù)列”.

⑵設(shè)C=n—2,Sn是數(shù)列｛5｝的前"項(xiàng)和，&=C2X，判斷數(shù)列｛SJ是否是數(shù)列｛服｝的“分割數(shù)列”，

并說(shuō)明理由.

（3）設(shè)｛品｝是首項(xiàng)為0,公比為q的遞增等比數(shù)列，4是｛品｝的前〃項(xiàng)和，若數(shù)列｛4｝是｛c?｝的“分割數(shù)

列”，求實(shí)數(shù)。與“的取值范圍.

第5頁(yè)，共14頁(yè)

答案和解析

1.【答案】B

13

【解析】解：因?yàn)锽={右1《,2,3,4},

則AnB=口,2,3,4},

所以口(AAB)={6,8}.

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閦=2+?：,所以三土芻=4二10(2—〃)=4—2i.

z2+/5

3.【答案】A

【解析】解：易知函數(shù)/(2)是定義域?yàn)?—oo,0)U(0,+oo)的奇函數(shù)，所以排除3,C,

又函數(shù)/(乃在原點(diǎn)附近的零點(diǎn)為g和1,可取大于0且接近于0的一個(gè)數(shù)，如0.1,易得"0.1)<0,

故選4

4.【答案】C

【解析】解：連接/C,4G，作為ELA。，垂足為E.易知四邊形ACG4是等腰梯形，小后就是該正

四棱臺(tái)的高，

2

且4。=24cl=12.由，x[(6\/2)+(3魚(yú))2+672x3魚(yú)1AXE=168,得ArE=4,

所以44=,42+(^^=5.

5.【答案】C

【解析】解：拋物線沙=/—&立+3的對(duì)稱軸為直線/=*由1解得2<a<4,所以。

-11-。+320,

的最大值為4.

6.【答案】D

【解析】解：把星期一到星期六記為1,2,3,4,5,6,則不連續(xù)值日的三組數(shù)可列舉為(1-3,2-5,4-6),

(1-4,2-5,3-6),(1-4,2-6,3-5),(1-5,2-4,3-6),(1-6,2-4,3-5),所以符合條件的方

法有5黑=30種.

7.【答案】A

第6頁(yè)，共14頁(yè)

【解析】解：不妨設(shè)漸近線？;=2c垂直平分線段尸尸,

a

所以|OF|=|OP|=c.

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

a2c、2

由（^62)+得3a2=62,

所以雙曲線。的離心率e

8.【答案】B

^^sin(3/——)+-cos(wa;——)=

【解析】解:smcvx.

f⑺=2'6)2'67

因?yàn)?31）+/（工2）=2,所以/Q）在［y,y］上有兩個(gè)最大值點(diǎn).

令3X=t,則函數(shù)4=sin力在區(qū)間［竽，竽］上至少存在兩個(gè)最大值點(diǎn)，則到（7T,解得“22.

223

47r

當(dāng)2T=—WTT，即時(shí)，顯然符合題意.

3

、“C/IQm>r37T57r3cJ7T5cJ7T_3cJ7T八_5cJ7T

當(dāng)2WG<4時(shí)，因?yàn)?力〈可，所以一^―Wg1<—^―，3?r—--<6?r,5TT—-—<IOTT,

乙乙乙乙乙乙

分以下兩種情況討論:

^、口，9〃..5G7F、137r、13L13/

①當(dāng)一--(="，n即nCJW3o時(shí)，--—2，即nn所以1r

222255

97r3G7T-口日八5"TF177r17「廣…17/,

②當(dāng)K<F-<6TT,即3<G<4時(shí)，—--a即n所以三<s<4.

222255

1317

綜上，口的取值范圍為33]5』,+8).

00

故選：B.

9.【答案】BD

【解析】解：（0.001+0.002+2a+0.0015+0.0005）x100=1,所以a=0.0025,

則年收入落在區(qū)間性00,700）內(nèi)的小型民營(yíng)企業(yè)的頻率為0.25+0.25+0.15=0.65,A錯(cuò)誤；

由頻率分布直方圖可以看出2正確；

因?yàn)槟晔杖朐?00萬(wàn)元以內(nèi)的小型民營(yíng)企業(yè)的頻率為0.3，所以該工業(yè)園區(qū)有30%的小型民營(yíng)企業(yè)能享受到

減免稅政策，C錯(cuò)誤；

第7頁(yè)，共14頁(yè)

因?yàn)?1+0.2=0.3，所以中位數(shù)應(yīng)該在［400,500)內(nèi)，設(shè)為400+，,則0.0025c=0.2,解得工=棠=80,

所以中位數(shù)約為480,平均數(shù)約為

250x0.1+350x0.2+(450+550)x0.25+650x0.15+750x0.05=480,中位數(shù)等于平均數(shù)，D正確.

10.【答案】ACD

【解析】解：函數(shù)*0)=3—43—2)的定義域?yàn)槌?戶⑶=3Q—a)Q—勺).

O

令/⑶=0,得3=a,工2=十，

O

耳

所以當(dāng)Q=1時(shí)，f'(3)=3(力一l)(x--),

O

由［(乃>0,得2<1或,>■!，由/(乃<0,得

OO

則/⑵在(一8」)和(1+M上單調(diào)遞增，在(13)上單調(diào)遞減，

此時(shí)立=1是/(2)的一個(gè)極大值點(diǎn).

當(dāng)工=1時(shí)，解得a=—1,

則f(x')=3(2+1)(?-1),

由尸(①)〉。得7<-1或.〉1,

由/'3)<o,得一1<2<1,

則/(乃在(一00,—1)和(1,+00)上單調(diào)遞增，在(一1,1)上單調(diào)遞減，

此時(shí)2=1是/(①)的個(gè)極小值點(diǎn).故N正確，B錯(cuò)誤.

若c=l是/(2)的一個(gè)極小值點(diǎn)，則a=—1,/(2)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?〉1,則2/+1>c+2>1,所以/(2z+1)〉/(①+2),故C正確.

若立=1是/(2)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則a=l,/(2)在(—8,1)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?<2<1,所以一1<2/-1<1,-1<a；2-1<0>且2/-1〉/一1等價(jià)于0</<2,

即當(dāng)0<7<1時(shí)，X2-1<2X-1<1>所以/(*—1)</(2X—1),故。正確.

11.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于/,設(shè)小，耳在下底面的射影分別為出，B{,則。(平分/小。外,

7T

所以異面直線014與。/所成的角為故N錯(cuò)誤.

b

對(duì)于B,易知001垂直于底面，所以00J出外，又平分/尚。耳，所以04,尚3，因?yàn)镺An。01=。,

。4。。1c平面O1OA,所以出口灶平面0。4從而小3」平面O1OA,故2正確.

對(duì)于C,設(shè)4區(qū)的中點(diǎn)為G,G在下底面上的射影為“，上、下兩底面間的距離為d,外接球的半徑為R,

第8頁(yè)，共14頁(yè)

則04=2,OH=\/3>所以/=—（2—=4\/^—4,/?2=22+（^）2=\/3+3,

從而所求外接球的表面積為（4通+12）不，故C正確.

對(duì)于。，設(shè)直線481與下底面所成的角為仇由上面可知d=2血—1，所以sinO=2Vz1=遍一1，

故。正確：

12.【答案】2

【解析】解：因?yàn)閲?guó)+2用=|記-曲,

所以同2+4/.T+4岡2=何”2才.t+|了『，化簡(jiǎn)得閏+2方.7=0.

又因?yàn)椋?+7）2=|司2+2方?7+=|團(tuán)2=4,

所以國(guó)+了|=2.

13.【答案】土裔；4

【解析】解；設(shè)直線/的方程為沙=kQ—1），則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（—1,一2人），因?yàn)榫辡=2版，所以點(diǎn)8的

坐標(biāo)為G孝），因?yàn)辄c(diǎn)2在拋物線上，所以（—）2=；解得卜=±通,因?yàn)?l+g=*所以

\FP\=4.

14.【答案】3

【解析】解：因?yàn)閎+c=tanK（btan_B+ctan。），

DIDI

所以sin——-——cosBcosC(sinB+sinC)=cos——-——.(sin2BcosC+cosBsin2C),

fOSifinBC.+C

移項(xiàng)得sinBcosC(sinB)=sinCcosB(sinCcos——-------cosCsm——-——），

2222

C-BC-B

即sinBcosCsin=sinCcosB?sin

22

C-B

移項(xiàng)并整理得sinsin(B-C)=0,

2

第9頁(yè)，共14頁(yè)

解得8=。,又因?yàn)?=4。，所以4+B+C=6C=7T,

解得。=[,A=§,

63

所以a2=3+3—2x3x(--)=9,

解得a—3.

,2x

15.【答案】解:⑴因?yàn)閍=0,所以/Q)=居3f(x)^(2x+x)e,

所以戶⑴=3e,又/⑴=e,

所以所求切線的方程為y-e=3eQ-1),即3ec—4—2e=0.

⑵/(c)的定義域?yàn)镽,尸⑶=[2(a;-a)+(①-可討=(a?-a)(x-a+2)e",

當(dāng)/'(工)=。時(shí)，"=<2—2或/=以

由尸(工)>0,得田<61—2或2〉&,由尸(工)<0,得a-2<x<a,

則/Q)在(-co,a-2)和(a,+oo)上單調(diào)遞增，在(a-2,a)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=a—2時(shí)，/(為取得極大值.

由/(a—2)=4e-2=4,解得a=2.

【解析】詳細(xì)解答和解析過(guò)程見(jiàn)【答案】

16.【答案】解：(1)零假設(shè)為為:對(duì)新能源車與燃油車的購(gòu)買(mǎi)傾向不存在性別差異.

用坦主心物短工者考利21000x(150x250-350x250)2125，-八

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到x2=-----7~~~-=—?41.7>10.828=0)001，

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷“不成立，

即認(rèn)為對(duì)新能源車與燃油車的購(gòu)買(mǎi)傾向存在性別差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.

(2)由表格可得傾向于購(gòu)買(mǎi)燃油車的居民中男、女性別比為7:3,所以抽取男性7人，女性3人，

再?gòu)闹谐槿?人進(jìn)行座談，有女性居民記為事件/,貝IJP⑷=1-寡=晨

，6

p2p2o

恰有2名男性居民記為事件B,則P(AB)=7y=-,

所以在有女性居民參加座談的條件下，

恰有2名男性居民也參加座談的概率為4P(-AB^}-3-x-6=9

P[A)10525

(3)在所有參加調(diào)查的男性居民中按購(gòu)買(mǎi)這兩種車的傾向性，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出12人，可得抽

取結(jié)果如下表：

傾向于購(gòu)買(mǎi)燃油車傾向于購(gòu)買(mǎi)新能源車

男性居民75

第10頁(yè)，共14頁(yè)

再?gòu)闹须S機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中傾向于購(gòu)買(mǎi)新能源車的居民人數(shù)為X,X可取0,1,2,3,

求出P(X=0)魂二福

P(X=1)=段21

012

X的分布列如下:

X0123

72171

P

44442222

917

數(shù)學(xué)期望E(X)=lx五+2x/+3x.=*

乙乙乙乙rr

【解析】詳細(xì)解答和解析過(guò)程見(jiàn)【答案】

17.【答案】(1)證明：連接區(qū)),設(shè)80n=G，連接GE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BG=GD，

又￡為尸口的中點(diǎn)，所以GE"PB.

因?yàn)镚EC平面/CE，平面/CE,所以PB〃平面ACE.

⑵解：因?yàn)?B=3，BC=5,4。=4,所以4"+4。？=口。2,則人口工人。.

又P4_L平面A8CD,所以AC,4P兩兩垂直.

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦甘，A5,瓦F的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

由P4=4B=3,BC=5,4。=4,可知4(0,0,0),8(3,0,0),P(0,0,3),0(-3,4,0).

設(shè)四=入道(0(入(1),則/=/+即=(3入0,3—3A),=(-3,4,0)

方.可二°,得—3x+4y=0,

設(shè)方=(今0,z)是平面E1D的法向量，由

7?.AF=0,3Ax+(3—3X)z=0,

取x=4,可得方=(4,3,涓1).取平面尸/C的一個(gè)法向量為記=(1,0,0).

A—1

同?rrl\44^/29

設(shè)平面與平面P/C的夾角為依則c°s?解得A=]

同|利29

,+9+(占)O

第11頁(yè)，共14頁(yè)

PF1

所以方=21

【解析】詳細(xì)解答和解析過(guò)程見(jiàn)【答案】

18.【答案】解：（1）因?yàn)?120°,所以/4?訴2=60°,

則COSZ.AF1F2=；4c2+4c2—(2a—2c)2c2—a2+2ac

2x4c22c2

解得a=2c.

因?yàn)榈拿娣e為3義4°2、5=遮，所以c=l，a=2,b=M，

22

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+紅=1.

43

⑵設(shè)點(diǎn)P（如明），Q（x2,y2）-

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，/的方程為工=1,不妨設(shè)Q（l,—去，

15

易求—2（/o4

y=k(x—1)

力2/

)z+L

消去y得(3+4硝/—8點(diǎn)工+4『—12=0,

8k24k2-12

所以的+此=

3+4依2四=行廬.

因?yàn)辄c(diǎn)M在圓。內(nèi)（包括圓周），所以近.而<0,

所以(3—21)(@)一/2)+加沙2W0,

所以(立0—?l)(?0—±2)+k2(xi—1)(22—1)40,

所以(fc2+1)/m2-(&)+昭)⑶+電)+埠+M〈0，

2

所以(廿+1)(4%2-12)—8k2(XQ+FC)+(XQ+fc2)(3+所2)w0,

即(4%-8x0-5)次2+3嗝-12w0恒成立，

第12頁(yè)，共14頁(yè)

所以5(。，

13城—1240,

解得—]<須)<2.

綜上，?)的取值范圍為[-；,2].

【解析】詳細(xì)解答和解析過(guò)程見(jiàn)【答案】

19.【答案】(1)證明：因?yàn)椋郏沁f增數(shù)列，｛%｝滿足對(duì)任意的"CN*,存在meN*,使得芻

Qm—金+1

所