函數(shù)壓軸小題-2025年新高考數(shù)學二輪復習

微專題07函數(shù)壓軸小題

【秒殺總結(jié)】

一、對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立求解參數(shù)的取值時，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新

函數(shù)能直接求出最值點的情況，通常要設出導數(shù)的零點，難度較大.

二、對于雙變量問題，首先變形后引入新變量把問題變?yōu)閱巫兞?，再引入新函?shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)

值的范圍，然后再解相應的不等式可得所求參數(shù)范圍.

三、函數(shù)零點的求解與判斷方法：

(1)直接求零點：令次0=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間團，切上是連續(xù)不斷的曲線，且爪。)正6)<0,還必

須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；

(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾

個不同的值，就有幾個不同的零點.

四、已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖

像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

【典型例題】

例1.(2024?廣西南寧?高三南寧二中?？奸_學考試)已知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足

2/(%+y)/(x-y)=/(x)+/(y),且〃0)孫則()

A.40)=2B.y=/(x)為奇函數(shù)C.y=/(x)有零點D.y(2x)=/(x)

【答案】D

【解析】A：在2/卜+可/(%7)=/(%)+/(丫)中，

令尤=y=0,得2/2(0)=2/(0),

因為/(O)wO,所以/(0)=1,所以本選項不正確；

B：函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，由上可知/'(0)=1,顯然不符合=-/(",因此本選項不正確；

C：在2/(x+y)f(x—y)="x)+/(y)中,

令y=o,得

2/(x)=〃x)+〃0)=2/⑺-/(x)一l=On/(x)=l,或〃尤)=一；，

顯然函數(shù)y=/(x)沒有零點，故本選項不正確，

D：在2/(x+y)/(x-y)=/(x)+/(y)中，

令'=》，

得2/(2x)/(0)=/(x)+/(x)n2/(2x)=2/(x)n/(2x)=〃x),所以本選項正確，

故選：D

例2.(2024?四川雅安.高三雅安中學校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)/(力=2工+6-4,若存在王<馬，使得

仇)<0,則下列結(jié)論不正確的是()

A.再<1B.九2>1

C.””在(%,%)內(nèi)有零點D.若“力在［，上產(chǎn)］內(nèi)有零點，則(五丁J>0

【答案】A

【解析】因為/'(力=2'+4-4在［0,+e)上單調(diào)遞增，且為<々，〃再)/伍)<0,

所以/(占)<0,/(々)>0,根據(jù)零點存在定理可得函數(shù)/(X)在(不，尤2)內(nèi)有零點，故C正確；

又因為/。)=一1<0,所以彳2>1,故B正確；

___3

又因為了(1.21)=2.+7］不_4<25_2.9=2&_2.9<0，則不可能大于1，故A不正確；

若函數(shù)在［占,上產(chǎn)］內(nèi)有零點，則了(11］〉。，故D正確.

故選：A.

例3.(2024.北京?高三北京四中?？奸_學考試)設/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/13一力=/(可，當

-lVx<0時，/(x)=log3(-6x+3),則“2024)的值為()

A.-1B.-2C.2D.1

【答案】C

【解析】由題設/-d=/(X)=-/(-x)=/+x］=一/5)=7(3+x)=-/§+x)=y(x),

所以/(x)是周期為3的奇函數(shù)，

則f(2024)=/(3x675-1)=/(-I)=log39=2.

故選：C

例4.(2024.全國?高三專題練習)已知函數(shù)“X)及其導函數(shù)f(x)的定義域均為R,且〃x-l)為奇函數(shù),

27

r(2-x)+r(x)=-2,r(-i)=-2,則。尸⑵-i)=()

Z=1

A.-28B.-26C.-24D.-22

【答案】B

【解析】由/'(2—力+廣(力=-2,令x=l,得2r⑴=一2,所以廣⑴=一1,

由/(尤-1)為奇函數(shù)，得〃x-l)=-/(—x-1),所以/'(x—=

故r(x)=/'(T—2)①.

又r(2r)+_f(x)=-2②,

由①和②得r(2-x)+r(—X—2)=—2,即r(4—x-2)+/'(—X—2)=—2,

所以/'("+/"+4)=-2,③

令尸-1,得r(T)+r(3)=—2,得/'⑶=0,

令X=l,得+/(5)=—2,得/⑸=—1,

又小+4)+/(x+8)=-2④，

由③—④得/'(x)—r(x+8)=0,即/'(x)=/'(x+8),

所以函數(shù)尸(x)是以8為周期的周期函數(shù)，

故廣⑺=m，

所以/'(l)+r(3)+/'(5)+r⑺=—1+0-1—2=T,

27

所以￡:(2、1)=尸⑴+尸(3)+尸(5)+尸(7)+…+:(53)

1=1

=6[尸⑴+/(3)+/'(5)+/(7)]+廣⑴+-(3)+/'(5)=-24-1+。-1=-26.

故選：B.

例5.(2024?湖北襄陽?高三棗陽一中校聯(lián)考期末)已知函數(shù)“元)的定義域為R,且為奇函數(shù),

/(x+1)為偶函數(shù)，則〃2023)=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】函數(shù)的定義域為R,

由/(x—1)—1為奇函數(shù)，得了(-尤-1)-1=一"(》一1)一1],即/(-X—1)=-/(彳-1)+2,

由/(x+1)為偶函數(shù)，得f(-x+l)=f(x+l),即f(-x-l)=/(x+3),

因止匕/(尤+3)=—/。-1)+2,gp/(x+4)=-/(x)+2,貝(尤+8)=—/(x+4)+2=/(x),

即函數(shù)/⑺的周期是8,由/(-x-l)=-f(x-l)+2,得/(-1)=1,

所以/(2023)=/(253x8-1)=/(-1)=1.

故選：D

例6.(2024?湖南?高三校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)的定義域為(。,4),若f(x)是單調(diào)函數(shù),

且“X)有零點，則。的取值范圍是()

A.(0,4)B.(0,3]C.(0,2)D.(0,e]

【答案】B

【解析】因為“X)有零點，所以方程〃x)=0有解，即x-a=0在(0,4)上有解，所以。?0,4).

又由〃x)=0_a)e"可得:/'(x)=x+。一:}+1立

因為/'(X)是單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)g(尤)=%2+(1-4)%+120在(0,4)上恒成立或g(x)=f+(l—a)x+l(。在

(0,4)上恒成立.

因為g(0)=l>0,所以g(x)=f+(l—a)x+ivo在(0,4)上不可能恒成立.

即函數(shù)g(x)=x?+(l-a)x+120在(0,4)上恒成立，即x+』+l-a2。在(0,4)上恒成立.

因為無H\-1-a>3—a(當且僅當x=l時，等號成立)，故須使3-aN),解得

尤

綜上，”的取值范圍是(0,3].

故選：B.

例7.(2024.福建漳州.統(tǒng)考模擬預測)已知廣⑺是定義域為R的函數(shù)/(尤)的導函數(shù)，曲線/。-1)關于(1,0)

對稱，且滿足〃X)-/(6-X)=3-X,則〃2022)+/(2028)=；/((-2025)=.

【答案】-2025；-1/-0.5

【解析】因為曲線/。-1)關于(L0)對稱，

所以曲線/(x)關于坐標原點對稱，即函數(shù)AM為奇函數(shù).

又因為xeR,所以/(0)=0,/(0)-/(6)=3,所以為6)=-3.

X6—X

因為/(無)一/(6-％)=3-x,整理得/(x)+5=/(6-尤)+亍，

X

令g(x)=f(x)+9則函數(shù)g(x)為R上的可導奇函數(shù)，g(0)=0,且g(x)=g(6-X).

又g(6-x)=-g(x-6),所以8(*)=-8(>-6)=8(尤-12),

所以函數(shù)g(x)的圖象關于直線x=3對稱，且12為函數(shù)g(x)的一個周期，

所以g(2022)+g(2028)=g(168x12+6)+g(169x12+0)=g(6)+g(0)=/(6)+|=0,

貝I]/(2022)+/(2028)=g(2022)—+g(2028)-——=-2025.

因為g(x)=g(6-x)=-g(尤-6),所以g'(x)=-g'(6-x)=-gf(x-6),

所以g'(3)=—g'(3)=-g，(—3),所以g，(3)=—g，(3)=—g，(—3)=0.

又g(無)=g(x-12),所以g?)=g，(x-12),所以函數(shù)g'(x)也是以12為周期的周期函數(shù).

Y1

因為“4=8(盼一5,所以/''(》)=g'(x)-/,

所以((2025)=g，(2025)-；=g，(169xl2-3)-1=g'(-3)-1=-1.

因為/(x)+f(—x)=0，所以r(%)-廣(一x)=0，即廣(一無)=/'(幻，

所以/'(-2025)=((2025)=-1.

故答案為：—2025；.

例8.(2024?廣東梅州.高三廣東梅縣東山中學?？计谀?已知函數(shù)/(》)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，

4

f(x)=x+--3,當0v尤<1時，/(x)=l-4%,若函數(shù)且(%)=[/10)]2-時(%)-1恰有4個零點，則實數(shù)機的取

值范圍是.

【答案】:其

【解析】當X21時，/。)=尤+4-322/尤?&-3=1,當且僅當x=2時等號成立，

xVx

當0<x<l時，4'e(1,4),貝收一4'飛(一3,0),

根據(jù)對勾函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)為奇函數(shù)作出整個函數(shù)圖象如下圖所示：

令y(x)=r,則/一〃”一1,

顯然由圖知直線y=f與/(%)圖象最多3個交點，

若要滿足題意，則產(chǎn)-的-1=0有兩個不等實數(shù)解^JA=m2+4>0,且根據(jù)韋達定理得能<0,顯然

當t=0不適合方程，且/7(0)=-1<0,不妨設弓<4，

則由圖知：⑴當直線>="與“X)有3個交點，直線y=72與〃X)有1個交點，

'硝)<01-m-l<0

①4e(l,2],3],則62)[0,即?4-2加-120,無解;

同-3）?09+3m-l<0

'/z(l)<01-m-l<0

,3

②4c(l,2],f2e(-l,0),則〃(2)20,即?4-2m-1>0,解得0<m<—；

2

1+m-l>0

（ii）當直線y與“X）有3個交點,直線y=4與/（X）有1個交點,

A(-l)<01+m—1<0

①％€卜2,—1),4目3,+8),貝葉/?(-2)20,BP4+2m-l>0,無解;

/?(3)<09-3m-1<0

'/?(-1)<0l+m-l<0

（）則㈤一）即《〃?一解得一產(chǎn)相；

②R2GO,1,2N0,4+2120,<0

R(i)>o1-m-l>0

（iii）當直線y=4與/（X）有2個交點，直線y=L與〃尤）有2個交點,

/z(2)<04-2m-l<0

后3即'9-3m-l>0

①心（2,3）,3,-2）,則,cc1C，無解;

9+3m-l>0

〃(-2)<04+2m-l<0

②當％=1時，則方2=-1,由圖知此時符合題意，止匕。+/2=m=。,

33

綜上所述加的取值范圍為-1，］.

33

故答案為：-了萬.

ex+l,x<0

例9.（2024.陜西西安?統(tǒng)考一模）/（x）=1,若y=/（/（x）+l）-左有兩個零點，則上的取值范圍

一,x>0

是.

【答案】M

【解析】易知函數(shù)>=。"在R上增函數(shù)，函數(shù)y=（在（0,+。）上減函數(shù)，

所以，當時，1<ex+1<2,當％>0時，—>0,

于是函數(shù)/（X）的值域為（0,+。），

又函數(shù)/（無）的在（-力,0）上單調(diào)遞增，在（。,+力）上單調(diào)遞減，

函數(shù)圖象如圖所示：

yt

X

設f=〃x)+l,由/(x)>0可知，"1,則/⑺=：.

因為y=/(〃x)+i)-左有兩個零點，所以=0,即;=左，

于是/=：>1,則方程r=〃x)+i=：,即=有兩個零點,

所以，由/(X)的圖象可知，使方程=有兩個零點，

K

->1

“11

貝u滿足,解得*4.

1<--1<2'2

k

綜上所述，實數(shù)上的取值范圍是

故答案為:14■

x—a,x<0/、-

例10.(2024.廣東潮州?高三統(tǒng)考期末)設函數(shù)〃無)=,已知直線y=r與函數(shù)y=〃x）的圖象交

111%,47U

于AI兩點，且|A到的最小值為/(e為自然對數(shù)的底)，則。=

【答案】1-e2

【解析】當x<0時，f[x)=x-a<-a-當x>0時，/(x)=lnxeR.

作出/(x)的圖象如圖所示：

由圖可得f€(_￡?,-a],設4(和乂),35,衛(wèi))，

不妨設再<%2，則%1—〃=%』n%2=%,

故占=f+a,%2=e',所以［AB］=々一%=e'-r-a.

令g?)=e'-r—a?<-a),則g'O=e'—1(/W-a),為單調(diào)遞增函數(shù)，

當-aVO,即aNO時,g'(f)WO,所以g(t)在te(-e,-a］上單調(diào)遞減,

所以g")1n=g(—a)=e-"+a—a=e-"=e?,解得a=—2,舍去；

當-a>0,即a<0時，g'?)單調(diào)遞增，且g'(0)=0,

所以當r<0時，g'")<0；當/>0時，g'(/)>0；

所以g⑺在(-雙。)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(')min=g(°)=l—”=e>解得a=l-e<

綜上所述，a=1-e2.

故答案為：1-ez.

例11.(2024?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=(x+a)(|x-2a|+k+4d)(a<0),若

f(sinO)+/卜in+/［in曰=0,則關于x的不等式一2a)</⑺<3的解集為一

【答案】

［角星析］由題意，得了(一1+%)=%(卜一34+卜+3同)，f(-a-x)=-x(\x+3a\+\x-3a^,

所以〃—，+x)+〃—a—%)=0,即函數(shù)y=〃x)關于點(―〃,0)中心對稱.

因為,一2《+,+44>0恒成立，所以當%時,/(x)>0,

當X<_Q時，/(x)<0.

所以/(%)=。有唯一的解％=—a>0.

2(%+〃)2,工之一4〃

/(x)=<-6a(%+a),2〃<x<-4a,

-2(x+tz)2,x<2tz

當光之-4a時，/(X)=2(X+(2)2,函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，/(x)=-6?(x+a),函數(shù)單調(diào)遞增,

當時，/(%)=-2(x+a)2,函數(shù)單調(diào)遞增,

又2(-4a+a)2=一6々(-4々+々),—2x(2a+a^=—6a(2a+a),

故在R上單調(diào)遞增，

/(sinO)+ffsin^+Jfsin1^=/(O)+JQ^+/(l)=0,

由對稱性可知，（。）=-〃-2a）,

下面證明-。=工，過程如下:

2

若時，則且一2a>1,則/'(_2a)>/?⑴，-/(-2a)<-/(1),

/(O)+/(l)=/(l)-/(-2a)<O,

止匕時/'(o)+/(g)+/(i)<o,

同理可得當一a<g時，/(0)+/^+/(1)>0,

當即°=時，ff|Lo,/(O)+/(l)=O,^f(O)+/QU/(l)=O,即a=_g.

故"無）=

當Q2時，/(x)=2^-1j>|.

當一l<x<2時，令3(x-g)=3,解得x=g,

當x<-l時,/(%)=-2(尤一g)<-|>

又不等式一〃x+2a)<〃x)<3,所以-/(a—)</(x)<3"

由/(x)<3,得尤由〃2-x)<〃x),得尤>1.

所以原不等式的解集為［1（）.

故答案為：［1，句

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?貴州貴陽?統(tǒng)考一模）已知了（無）是定義在R上的偶函數(shù)，且/'（x）+e，也是偶函數(shù)，若

〃a）＞〃24-1）,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-co」)B.(l,+oo)C.D.-oo,§卜(1,+co)

【答案】D

【解析】因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，"r)=,所以-尸(-力=/'⑺，則尸(r)=-尸⑺,

又因為函數(shù)/'(x)+e*也是偶函數(shù)，所以廣(一司+尸=/'("+以得廣⑺

因為丫=0為減函數(shù)，y=e，為增函數(shù)，所以((X)=g(e，-'-e')為減函數(shù),

令r(x)=0,得x=0,

所以x>0時，r(x)<0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增,

所以〃。)>〃2。一1),B|J/(|a|)>/(|2a-l|),即時<|2aT],得”>1或

所以不等式的解集為e(1,+?).

故選：D

2.(2024.福建福州.統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)“X)及其導函數(shù)/⑺的定義域均為R,記g⑺=/(%).若

g(x-2)的圖象關于點(2,0)對稱，且g(2x)-g(-2x-l)=g(l-2x),則下列結(jié)論一定成立的是()

A./(x)=/(2-x)B.g(x)=g(x+2)

20242024

C.Zg(")=°D.￡/(“)=()

n=l〃=1

【答案】C

【解析】因為g(x-2)的圖象關于點(2,0)對稱，所以g(x)的圖象關于原點對稱，即函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，則

g(0)=0,又g(2x)-g(-2x-l)=g(l-2x),

所以g(2x)+g(2x+l)=-g(2x-l),所以g(I)+gG)+g(f+l)=O,

所以g(r)+g(r+l)+g(f+2)=。，所以g(r—l)=g(r+2),

所以g(r)=g(f+3),即g(x)=g(x+3),所以3是g(x)的一個周期.

20242024

因為￡g(w)=￡g(w)=—x[g(0)+g⑴+g(2)]=0,故C正確；

n=ln=0°

取符合題意的函數(shù)"X)=cos二27r無，則g(x)=尸(x)=-胃27rsin0二TTX

所以g(0)=0,又g(0+2)=-gsin?=q=g(0),故2不是g(x)的一個周期，所以g(x)wg(x+2),故

B不正確;

因為〃1)=COS^=不是函數(shù)“X)的最值，所以函數(shù)“X)的圖象不關于直線X=1對稱，

所以y(x)w〃2-力,故A不正確;

20242024y

因為￡/(〃)=￡COSF~w=-lw0,故D不正確；

n=ln=lD

故選：c.

3.(2024?北京西城?高三北師大實驗中學?？奸_學考試)函數(shù)/'(X)及其導數(shù)尸(x)的定義域均為R,記

g(x)=f'(x),若/(l-X)和g(x+2)都是偶函數(shù),則()

A.”X)是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)

C.g(元)是奇函數(shù)D.g(x)是偶函數(shù)

【答案】D

【解析】由/(1-X)是偶函數(shù)，得尸(1—X)=尸(1+X),

所以函數(shù)/(尤)的圖象關于直線x=l對稱；

由g(x+2)是偶函數(shù)，得g(尤+2)=g(-x+2),

所以函數(shù)g(x)的圖象關于直線尤=2對稱，又g(x)=f\x),

則/⑴關于(2,〃2》對稱，所以(0J(0))是函數(shù)Ax)圖象的對稱中心，

由于不確定/(0)的值，所以無法判斷函數(shù)人無)的奇偶性，故排除選項A、B；

又g(x)=f'(x)，由尸(1一X)=又+X),得-f'(l-x)=f'(l+x),

即-g(l-x)=g(l+x),得g(l+x)+g(l-x)=0,

所以函數(shù)g(x)的圖象關于點(1，。)對稱；

由-g(l-無)=g(l+無)，得-g(-x)=g(2+x),即-g(-x)=g(2-x),

所以一g(x)=g(2+x),即g(4+x)=-g(2+x)=g(?,

所以函數(shù)gO)的周期為4,所以g(x)=g(4+x)=g(-x),

所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，故排除C,選擇D.

故選：D

4.(2024?陜西安康.高三統(tǒng)考開學考試)己知/(X)是定義在R上的函數(shù)，對任意的小馬，且再都有

[伍)+1<0,且函數(shù)y=〃x+2)的圖象關于點(-2,0)對稱.若對任意的xe(2,5],不等式

一4x)+/(4y-y2)4。成立，則六的取值范圍是()

A.,2B.1,2)C.1。0,-：D.[2,+oo)

【答案】B

【解析】.y=〃x+2)的圖象關于點(-2,0)對稱，

y=/(力關于點(0,0)對稱,即/(f)=一/⑴，

一甸+/(4y—力40等價于/(必―甸<—/(4'一力=/02一4')；

由〃％)一〃%)+i<o得:“xJT⑷

X,—x2%一%2

???/(X)為定義在R上的減函數(shù)，，無2-4xNy2-4y,

BP(x-2)2>(y-2)2,又xe(2,5］,.-.x-2>|y-2|,

當》22時，x-2>y-2,即x—y20；

當y42時，x-2>2-y,gpx+y-4>0；

由此可得可行域如下圖陰影部分所示：

一的幾何意義為可行域內(nèi)的點(x,y)與M(l,0)連線的斜率，

由二一4一0得Y:又川2'2),

7-1-0172-0c

^AM="7""T=一：，化BM=7；~~7=2,

J—14Z—1

結(jié)合圖象可知：。427<即"，,々的取值范圍為［一!？］.

x-1x-1L4J

故選：B.

%（m+sinYou=1

5.(2024?浙江金華?高三統(tǒng)考期末)已知公差為d的等差數(shù)列{??},S”為其前〃項和，若

出13+sin（須逐一？）^

貝U()

A.52023=2023,d<lB.S2023=2023,d>1

C.52023=-2023,d<\D.S2023=-2023,d>\

【答案】A

【解析】令“力二無+sinx,則/?'(x)=l+cosx20,故/(無)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

又/(r)=-x+sin(-x)=—x-sinx=-/(x),故/(%)為奇函數(shù)，

由Goi3+sin(%o]3—2)=1,可得苗013_2+sin(%0]3—2)=1—2=—1,

故有〃4ou)=l，/(即H3-2)=7,又“X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，

故有％011+4013-2=0,即4011+4013=2,即端二1，

5

故2023=2023。1Go2=2023,

又/(0)=0+sin0=0Ol<Xl)=l+sinl,即。<.1<1,

=

故d=%012-%0111-"1011<1.

故選：A.

6.(2024?江蘇鎮(zhèn)江?高三揚中市第二高級中學開學考試)已知函數(shù)/(%)的定義域為R,且/(x)+f為奇函

數(shù)，〃x)-2x為偶函數(shù).令函數(shù)=若存在唯一的整數(shù)%,使得不等式

[g(x())T+心8(無0)<0成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[-8,-3)1(1,3]B.[—3,—1)"3,8]

C.[-3,0)_(3,8]D.[-8,-3)0(0,3]

【答案】B

【解析】/(x)+d為奇函數(shù)，/(x)-2x為偶函數(shù)，

---/(-x)+(-x)2=-f(x)-%2,/(-x)+2x=y(x)-2x,

兩式相減整理得/(X)=2x-公，

,、2X—X2,X>0,

'g(x)=29

[x-2x,x<0.

g(x)的圖象如圖所示：

.存在唯一的整數(shù)%,使得不等式[g(Xo)T+a.g(Xo)<O成立,

即存在唯一的整數(shù)與，使得不等式g(x0)[g(x°)+a]<0成立，

2

當0=0時，[g(x0)]<0,顯然不成立；

當。<0時，需滿足g(5)e(o,-a)只有一個整數(shù)解，

=g(-l)=3,貝！J1〈一aV3,即一34a<-1；

當a>0時，需滿足g(x0)?-a,O)只有一個整數(shù)解，

g(2)=0,g⑶=-3,g(4)=—8,貝i]_8W_a<_3,即3<口48.

綜上，實數(shù)〃的取值范圍為[-3,-1)W(3,8].

故選：B.

7.(2024.江蘇蘇州.高三統(tǒng)考期末)若sin會是函數(shù)/(刈=加-法+l(a,6eN*)的一個零點，則〃1)=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】因為sin36=cos54，所以

2sinl8cos18=cos(2xl8+18)=cos36cos18-sin36sin18

=(2cos?18-l)cosl8-2cosl8(sinl8),

可得2sinl8=4COS218—3,2sinl8=4(l-sin218)-3,

BP4sin218+2sinl8-1=0,解得sinl80=好匚，

4

fsin—=a(sin—-Z?xsin—+1=0,

I10JIioJ10

可得與〕|一六與1+1=0,即尊心而“與！+1=0,

y[5(a-2b)+2b-2a+8=0,

[a—2b=01a=8

因為a,6wN*,所以”cc，解得人.

[26-2<7+o8=0[b=4

/⑴=a—6+1=8—4+1=5.

故選：D.

8.(2024.云南楚雄?云南省楚雄彝族自治州民族中學模擬預測)已知函數(shù)/。)，g(x)的定義域均為R,且

102

f(x+D+g(l-x)=4,g(X-I)=f(x-3)-2,g(l-x)+g(-x-l)=2,若/(1)=2,且〃eN*,則￡/(〃)=

n=\

A.305B.302C.300D.400

【答案】A

【解析】函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,由g(x-l)=f(x-3)-2,得g(-*一1)=/?(一尤一3)-2,

又g(l_x)+g(r_1)=2,則g(l—無)+f(-x-3)=4=f(x+D+g(l-x),

于是f(-x-3)=f(x+l),即/(尤-2)=/(-x),

由g(_x_l)=/(-x_3)_2,^g(-x+l)=/(-.r-l)-2,X/(x+l)+g(l-x)=4,

則/(尤+1)+/(—x—l)—2=4,即/(x)+/(-*)=6,因止匕f(x)+f(尤-2)=6,

即/(尤+2)=—/(X)+6,+4)=—/(尤+2)+6=—[一/(尤)+6]+6=/(%),

則函數(shù)八尤)是周期函數(shù)，周期為4,由/(x)+/(-尤)=6,得〃4)=/(0)=3,/⑵=/(-2)=3,

由〃x)+/(x-2)=6,/(1)=2,得/(3)=4,于是〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=12,

102

所以￡/(?)=25[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2)=25x12+5=305.

n=\

故選：A

9.(2024?廣東廣州?華南師大附中?？级?已知a〉0,b>。且滿足"-2b+/?ln(")=e,則下列結(jié)論一

定正確的是()

A.ab>cB.ab<cC.ab>^D.ab<^

【答案】A

【解析】等式必-2b+bln(")=e,等號兩邊同除以b,

可得Q-2+In(/)=—,

b

e

所以a+Ina=——lnZ?+2,

b

所以Q+lna=￡+(l-lnb)+l,

b

ee

月f以Q+Inci——FIn—bl,

bb

構(gòu)造函數(shù)/(x)=x+lnx,則%)=/閆+1,

顯然，函數(shù)/(x)=x+lnx在定義域(0,+s)內(nèi)是增函數(shù)，

e

所以。>一，即ab>e.

b

故選：A.

10.(2024全國?模擬預測)定義在區(qū)上的函數(shù)〃尤)滿足〃2》+2)+/(2,=0,〃27)=〃》+4),“￡|=；

100(1\

則士引人彳等于()

k=\\二)

A.-100B.-50C.50D.100

【答案】B

【解析】由〃2x+2)+〃2x)=0,將2x替換為無，得：/(x+2)=-/(x),

所以〃x+4)"[(x+2)+2]=-〃x+2)=〃x),所以函數(shù)〃x)的周期為4.

又因為/(2-x)=/(x+4),將x替換為A1,所以/(3-力=/(3+力，

函數(shù)/(x)的圖象關于直線無=3對稱.

又因為〃2—x)=〃x+4),且〃x+4)=〃x),

所以〃2—x)=F(x),將x替換為x+l,得/(lr)=/0+x),

函數(shù)〃x)的圖象關于直線x=1對稱.

同時/(2—x)=/(x+4)=/(x),且/(x+2)=—/⑺,

所以"2—x)+/(2+x)=〃x)—〃x)=0,

函數(shù)〃x)的圖象關于點(2,0)中心對稱.

3=4+》小

因為，I所以7III

513

2I

74+4=/I41-15

由于函數(shù)/(元)的周期為4,且岑=25,

其中當左=4〃+1,〃￡]^時，

k-^13357

222

(%+l)x/1%+,]+(%+2)x/1%+T3(%+3)x/,+|?卜k+(k+l)(左+2)+(左+3)_

++------------------------------------=—2

222

所以左義71%—,)+(%+l)x/(左+,1[+(%+2)+53

+(^+3)x/k+|

22

357

=lxfI+2x/+3x/+4x/-2

"j=25lx/3+3%+4x毛=-5。.

所以Q}+2X/

故選：B.

二、多選題

11.(2024.河南鄭州.高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)〃x)滿足"1)=1,+則(

1-f(x)f(y)

A./(0)=。B.〃T)=-〃x)

c.“X)的定義域為RD.的周期為4

【答案】ABD

【解析】令彳="=。，則=即1=114^，'/(0)=0,A正確,

1-/⑴/(U)1-/(U)

令x=y=l,則/⑵=⑴無意義,即〃尤)的定義域不為R,C錯誤;

1-1

由人…二老黑可知…(…,

,/、、f(x)+f(-x)/、/、

令，=-%,則/(O)=]_〃x)c即/(x)+/(—x)=O,

故/(-x)=-/(x)，B正確;

1

ZW±+1

〃x+l)=^^J(x+2)=/(x+l)+lI-/U)]

1〃x)+l

l-〃x)

故/(x+4)=-冗島=〃x),即/(x)的周期為4,D正確，

故選：ABD

12.(2024.全國?高三專題練習)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x)x[〃x)-=〃孫)，當天>0

時，/(x)w0.下列結(jié)論正確的是()

A.；B."10)=1

C.“X)是奇函數(shù)D.“X)在R上單調(diào)遞增

【答案】ACD

【解析】C選項，令x=y=0,可得"0)=0,

令X=y=l,W[/(l)]2=/(l).

因為當x>0時，/(x)wo,所以"1)=1.

令丫=工，可得/'(巧可/⑺]%。.

因為YzO,所以當X2。時，/(x)>0.

又因為當x>0時，/(“RO,所以當尤>0時，/(力>0.

令y=l,可得/(x)x[〃x)-〃x-l)]=〃x),①

所以/(%)—/(x—1)=1，/(x+l)-/(x)=l,兩式相加可得/(x+l)-/(x—l)=2.

令y=T,可得〃x)x[〃x)-〃x+l)]=〃-x),②

①-②可得/'(x)x"(x+l)-〃xT)]=〃x)-/(-x)，

故2/(x)=/(x)—〃T),化簡可得/(x)=—/(—x),所以“X)是奇函數(shù)，C正確.

B選項，由-“X-1)=1,可得：f(2)=/(l)+l=2.”3)=/⑵+1=3,

依次計算可得/(10)=/(9)+1=10,B錯誤.

J.

1

y（x+i）-/（x）=i23

A選項，由〈_1，解得了IpA正確.

2

D選項，令尤=占,、=尤1一％，可得/（%）―/（%）=、/）］

/（X）

令0＜工2＜%，則%—々＞0,%（與一無2）＞。.

因為當尤＞0時，/（x）＞0,所以/（玉）＞0,/［占（占-9）］＞。，

M>o,即/⑺>/仁),

所以?。??。?5）

所以/⑺在（0,+8）上單調(diào)遞增.

因為/'（X）為奇函數(shù)，所以/（無）在R上單調(diào)遞增，D正確.

故選：ACD

13.（2024.江蘇蘇州.高三統(tǒng)考開學考試）已知函數(shù)“X）滿足（x+y）/（x）〃y）=R（x+y）,且/⑴=2,

則（）

A./（0）=0

B.〃2）=8

C.函數(shù)/'（X）為奇函數(shù)

D./（1）+/（2）+/（3）++/（〃）=（九一1）2加+2

【答案】ABD

【解析】對于A,令無=0,y=l時，則/（。）/（1）=0,又/。）=2,所以/（0）=0,故A正確;

對于B,令x=y=l時，則2/（1）/。）=/⑵，又/⑴=2,所以42）=8,故B正確；

對于C,當x=-l,y=2時，則/（一1）"2）=—2/（1）,又/（1）=2,“2）=8,

所以-1）=-;片-/（1）,所以函數(shù)/'（X）不為奇函數(shù)，故C錯誤;

對于D,當X=l,y=〃時，則(1+同/(1)/(〃)=械5+1),又/。)=2,

/\\z、f(n+l)J+1

所以2。+〃)/(〃)="(幾+1),即/⑺=2-^-,

所以當金時，瑞，瑞…需pH34n

—X—XX---------

23n-1

即4M="X2”7,即/(")=8〃X2"-3=7ZX2",n>2,

/(2)

當〃=1時，代入上式，1x21=2=/⑴，所以

設S“=/⑴+/(2)+/(3)++/(〃),

貝2=1x21+2x22+3x23+…+〃x2"①

234+i

2Sn=1X2+2X2+3X2+.+nx2"②

①-②得，

-S?=21+22+23+24+.-+2"—〃X2M

=（i）x2"i_2,

所以S“=（〃一1）x2向+2,故〃1）+/（2）+〃3）++”〃）=（〃一1）2向+2,故D正確,

故選：ABD.

14.（2024?全國?武鋼三中校聯(lián)考模擬預測）已知定義域為R的函數(shù)〃x）,滿足

/（x+y）=/（x）/（y）-/（2-^）/（2