人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)常見題型專練：中心對(duì)稱（三種題型）（原卷版+解析）

第13講中心對(duì)稱（三種題型）

【知識(shí)梳理】

一中心對(duì)稱

（1）中心對(duì)稱的定義

把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)

對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)..

（2）中心對(duì)稱的性質(zhì)

①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；

②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.

—.中心對(duì)稱圖形

（1）定義

把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中

心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.

注意：中心對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱不同，中心對(duì)稱是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，而中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形自身

的特點(diǎn)，這點(diǎn)應(yīng)注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應(yīng)用方法相同.

（2）常見的中心對(duì)稱圖形

平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等.

三.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)

（1）兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)尸（尤，y）關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)是P（-X,-

（2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)或圖形屬于中心對(duì)稱，它是中心對(duì)稱在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，它具有中心對(duì)稱

的所有性質(zhì).但它主要是用坐標(biāo)變化確定圖形.

注意：運(yùn)用時(shí)要熟練掌握，可以不用圖畫和結(jié)合坐標(biāo)系，只根據(jù)符號(hào)變化直接寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

【考點(diǎn)剖析】

—.中心對(duì)稱（共16小題）

1.（2023春?江夏區(qū)校級(jí)期末）下列說法中正確的是（）

A.對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形

C.對(duì)角線相等且垂直的四邊形是正方形

D.經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分該平行四邊形的面積

2.（2023?思明區(qū)校級(jí)二模）凸透鏡成像的原理如圖所示，AG//1//HC.若縮小的實(shí)像是物體的2,則物體

3

到焦點(diǎn)F1的距離與焦點(diǎn)放到凸透鏡的中心線GH的距離之比為.（焦點(diǎn)Fi和

F2關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱）

3.（2023?金水區(qū)校級(jí)一模）如圖，在RtZxABC中，ZBAC=90°,AB=20,AC=15,點(diǎn)。，E分別是A8、

AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G,尸在邊上（均不與端點(diǎn)重合），DG//EF.將△BDG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,將

△C￡F繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,拼成四邊形MGFN,則四邊形MGFN周長1的取值范圍

是___________.

4.（2021秋?武漢期末）如圖，在△ABC中，AC=BC,點(diǎn)。、￡分別是邊A3、AC的中點(diǎn)，將△AOE繞點(diǎn)

E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE,求證：四邊形AOCF是矩形.

5.（2023?株洲）如圖所示，在矩形48C。中，AB>AD,AC與8。相交于點(diǎn)O,下列說法正確的是（）

B.點(diǎn)。為線段AB的對(duì)稱中心

C.直線為矩形ABC。的對(duì)稱軸

D.直線AC為線段3。的對(duì)稱軸

6.（2023?任丘市二模）如圖由6X6個(gè)邊長為1的小正方形組成，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的

三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，。是AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，將AABC繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°.以下

是嘉嘉和淇淇得出的結(jié)論，下列判斷正確的是（）

嘉嘉：旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上;

淇淇：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形可形成平行四邊形

A.只有嘉嘉對(duì)B.只有淇淇對(duì)C.兩人都對(duì)D.兩人都不對(duì)

7.（2023?房山區(qū)二模）下列圖形中，點(diǎn)。是該圖形的對(duì)稱中心的是（）

8.（2023?海港區(qū)一模）如圖.在平面直角坐標(biāo)系中12ABeD的頂點(diǎn)分別為A（1,2）,B（4,2）,C（7,5）.

（1）點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

（2）當(dāng)正比例函數(shù)>=丘的圖象平分團(tuán)ABC。面積時(shí)，4的值為.

9.（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，平行四邊形ABC。中，AB=2,BC=3,/B=60°,點(diǎn)尸在上，且

AP=2,若直線/經(jīng)過點(diǎn)P,將該平行四邊形的面積平分，并與平行四邊形的另一邊交于點(diǎn)。，則線段P0

的長度為.

APD

10.（2022秋?利川市期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°,得到△ABC,當(dāng)點(diǎn)。不在△ABC三邊所

在直線上時(shí)，求證：四邊形BC8C是平行四邊形.

C--

11.（2023春?瑞安市月考）如圖，在菱形A8CD中，AB=2,ZA=120°,過菱形ABCZ）的對(duì)稱中心。分

另M乍邊AB,8c的垂線，交各邊于點(diǎn)E,F,G,H,則四邊形EFGH的周長為（）

A.3+V^B.2+273c.2W3D.I-K/3

12.（2023?古冶區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABC。的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）,點(diǎn)8,

C在x軸上，將正方形ABC￡>平移后，點(diǎn)。成為新正方形的對(duì)稱中心，則正方形A8C。的平移過程可能

是（

A.向右平移8個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度

B.向右平移4個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度

C.向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度

D.向右平移4個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度

13.（2023?西安一模）如圖，直線/平分正方形ABC。的面積，直線/分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F,BHL

直線/于H,連接AH,若48=2、歷，則AH長的最小值為.

14.（2023?舟山一模）如圖1,在△ABC中，ZC=90°,AC=Scm,BC=6cm.動(dòng)點(diǎn)尸沿線段AC以5c7Ms

的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，另有一動(dòng)點(diǎn)。與點(diǎn)尸同時(shí)出發(fā)，沿線段BC以相同的速度從點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng).作于點(diǎn)。，再將繞尸。的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,得到DP；作QELAB于點(diǎn)E,再將

繞QE的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,得到△夕EQ.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs.

（1）如圖（2）當(dāng)A'點(diǎn)落在BC邊上時(shí)無的值為；

（2）如圖1,在點(diǎn)尸，。運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)點(diǎn)A'在△B'EQ內(nèi)部時(shí)尤的取值范圍為.

15.（2022秋?惠濟(jì)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=4,BC=8,ZB=60°,過平行四邊

形的對(duì)稱中心點(diǎn)。的一條直線與邊A。、8C分別交于點(diǎn)E、F,設(shè)直線EE與BC的夾角為a.

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形.

（2）填空:

①當(dāng)a的度數(shù)是時(shí)，四邊形AFCE為菱形;

16.（2023?滁州二模）如圖，在菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=8,點(diǎn)、E為AD邊上一點(diǎn),且AE=2,

在BC邊上存在一點(diǎn)RC￡）邊上存在一點(diǎn)G,線段斯平分菱形ABC。的面積，則△EFG周長的最小值

為_______________________

17.（2023?南寧三模）下列圖形中，不是中心對(duì)稱圖形的是（）

18.（2023?江夏區(qū)校級(jí)模擬）下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

19.（2023?梁溪區(qū)模擬）給出下列4種圖形：①線段，②等邊三角形,③矩形，④正六邊形，其中既是軸對(duì)

稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是.（在橫線上填寫圖形前的標(biāo)號(hào)即可）

20.（2023?富錦市校級(jí)三模）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.B.

21.（2022?吉林二模）圖1、圖2、圖3都是由邊長為1的小菱形構(gòu)成的網(wǎng)格，已有兩個(gè)小菱形涂上了黑色,

請你再涂黑兩個(gè)小菱形，使得整個(gè)涂色部分圖形滿足下列條件.

（1）圖1中，整個(gè)涂色部分圖形為軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；

（2）圖2中，整個(gè)涂色部分圖形為中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；

（3）圖3中，整個(gè)涂色部分圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.

22.（2023春?南京期末）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（）

23.（2021秋?建安區(qū)期中）數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，提出了如下問題：如圖1,在△ABC中若AB=5,AC=

3,求8C邊上的中線的取值范圍.

解決方法：延長AD到E.使得DE=AD.再連接BE（或?qū)CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△班。）.把

AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE<8,則1<AD<4.

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,

把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

遷移應(yīng)用：請參考上述解題方法，證明下列命題：

如圖2,在△ABC中，。是邊上的中點(diǎn)，DE±DF,DE交AB于點(diǎn)E,。尸交AC于點(diǎn)R連接所.

（1）求證：BE+CF>EF；

（2）若/A=90°,探索線段BE,CF,EF之間的等量關(guān)系，并加以證明.

、'E

圖1圖2

三.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共9小題）

24.（2023?沁陽市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（a-3,4）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（5,-b）,則必的值

為（）

A.-8B.8C.6D.-12

25.（2023?曲阜市二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知尸（-3,5）和點(diǎn)。（3,m-1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則相

26.（2022秋?錦江區(qū)期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0,1）,B（2,0）,C（4,3）.

（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC,則△ABC的面積是；

（2）若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

（3）已知產(chǎn)為無軸上一點(diǎn)，若△A2P的面積為4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

VA

5-4-3-2-i(?r1234X

27.(2023春?溫州期末)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(1,-4)B.(-1,4)C.(4,1)D.(-1,-4)

28.(2023?游仙區(qū)模擬)點(diǎn)M(-2,6)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)為()

A.A/'(-6,2)B.W(2,-6)C.W(-1,3)D.M(3,-1)

29.(2023?福田區(qū)校級(jí)三模)若點(diǎn)尸(5,2-b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q(a-2,5),貝U-2a+b=.

30.(2023?綿陽三模)若點(diǎn)A(l,m)與點(diǎn)8(-1,1-國)關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱，則m的最小值為.

31.(2022秋?羅湖區(qū)校級(jí)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,-2),點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn).

(1)4,42分別是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)4,小的坐標(biāo)，并在圖中

描出點(diǎn)4,A2.

(2)求使△AP。為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

32.（2023?市南區(qū)校級(jí)二模）如圖，將三角形向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，然后再關(guān)

于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則最后三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

B.(1,7),(-2,2),(4,3)

C.(1,7),(2,2),(3,4)

D.(1,7),(2,-2),(3,3)

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)P（2,-3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P，的坐標(biāo)是（）

A.（2,3）B.（-2,-3）C.（-3,2）D.（-2,3）

2.（2023?河南信陽?校考三模）把一張菱形紙片按如圖1、圖2依次對(duì)折后，再按圖3打出一個(gè)圓形小孔,

則展開鋪平后的圖形（）

圖1圖2圖3

A.既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形B.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

C.是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形D.是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形

3.（2023?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）,點(diǎn)

B,C在x軸上，將正方形ABCD平移后，點(diǎn)。成為新正方形的對(duì)稱中心，則正方形ABC。的平移過程可

能是（）

A.向右平移8個(gè)單位長度,再向下平移4個(gè)單位長度

B.向右平移4個(gè)單位長度,再向下平移4個(gè)單位長度

C.向右平移2個(gè)單位長度,再向下平移4個(gè)單位長度

D.向右平移4個(gè)單位長度,再向下平移2個(gè)單位長度

4.（2023秋?河北保定?九年級(jí)校考期末）已知點(diǎn)A（-L-2）與點(diǎn)3（?,2）關(guān)于網(wǎng)2,0）對(duì)稱，則？指的是

A.1B.3C.5D.2

5.（2023?河北滄州?模擬預(yù)測）如圖，老師讓同學(xué)們利用棋子在棋盤上拼出一個(gè)中心對(duì)稱圖形（顏色忽

略），為了增加難度，加入了方向角，則下一個(gè)棋子應(yīng)該放在中心點(diǎn)的（）

A.西北方向的A處B.西南方向的A處C.東南方向的B處D.西南方向的8處

6.（2023?江蘇?模擬預(yù)測）在三張透明紙上，分別有-AO3、直線/及直線/外一點(diǎn)尸、兩點(diǎn)M與N,下列

操作能通過折疊透明紙實(shí)現(xiàn)的有（）

①圖1,—AO3的角平分線

②圖2,過點(diǎn)尸垂直于直線/的垂線

③圖3,點(diǎn)M與點(diǎn)N的對(duì)稱中心

A.①B.①②C.②③D.①②③

7.（2022秋?福建福州?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖,△ASC與AAB'C關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱，則下列結(jié)論不

成立的是（）

A.點(diǎn)A與點(diǎn)A是對(duì)稱點(diǎn)B.BO=BO

C.ZAOB=ZAOB'D.ZACB=ZCAB'

8.（2022秋?山西大同?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，畫AABC關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱的圖

形時(shí)，由于緊張對(duì)稱中心選錯(cuò)，畫出的圖形是ADEF,請你找出此時(shí)的對(duì)稱中心是（）

A.(2,0)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,0)

9.（2022秋?九年級(jí)單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，把AABC各點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐

標(biāo)都乘以-1,依次連接這些點(diǎn)，所得到的圖形是（）

10.（2023,河北滄州?統(tǒng)考二模）如圖由6x6個(gè)邊長為1的小正方形組成，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，。是AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，將44BC繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

180°.以下是嘉嘉和淇淇得出的結(jié)論，下列判斷正確的是（）

嘉嘉：旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上；

淇淇：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形可形成平行四邊形

A.只有嘉嘉對(duì)B.只有淇淇對(duì)C.兩人都對(duì)D.兩人都不對(duì)

二、填空題

11.（2022秋?九年級(jí)單元測試）在平行四邊形、等邊三角形、圓、線段中，是中心對(duì)稱圖形的有.

12.（2023?湖北咸寧?模擬預(yù)測）平面直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)尸（-1，5）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P，的坐標(biāo)是.

13.（2023?內(nèi)蒙古包頭?校考三模）數(shù)學(xué)中很多圖形擁有對(duì)稱之美，請你在所學(xué)習(xí)的幾何圖形中，寫出一個(gè)

既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的圖形：.

14.（2018秋?九年級(jí)單元測試）對(duì)于平面圖形上的任意兩點(diǎn)P,Q,如果經(jīng)過某種變換（如：平移、旋

轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等）得到新圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P,Q',保持我們把這種對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相等的變換稱

為"同步變換對(duì)于三種變換：

①平移、②旋轉(zhuǎn)、③軸對(duì)稱，

其中一定是“同步變換"的有（填序號(hào)）.

15.（2022秋?九年級(jí)單元測試）如圖，AABC與AAB'C'成中心對(duì)稱，EO是AABC的中位線，E'D'是

AA'3'C'的中位線，已知BC=4,則￡77=.

16.（2023秋?廣東梅州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A（3a-9,2-a）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為A,點(diǎn)A關(guān)于x

軸對(duì)稱的點(diǎn)為A",點(diǎn)A"在第四象限，那么“的取值范圍是

17.（2020秋?吉林白城?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將AABC繞點(diǎn)C（0,l）旋轉(zhuǎn)180。得到△A'3'C,設(shè)點(diǎn)A的坐

標(biāo)為（a,6）,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

18.（2023?山東濰坊?昌邑市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谌鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中，是邊長為2的等

邊三角形，作A與4與與A04百關(guān)于點(diǎn)耳成中心對(duì)稱，再作A2A2與A與4與關(guān)于點(diǎn)層成中心對(duì)稱，…，

如此作下去，則AB2023Ao23,2022的頂點(diǎn)4（123的坐標(biāo)是-

y

44

三、解答題

19.（2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考三模）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請?jiān)谒o直角坐標(biāo)

系中按要求畫圖：

⑴作出AABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。成中心對(duì)稱的；

(2)作出以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將“1BC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的AABC；

⑶點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

20.(2023?陜西寶雞?統(tǒng)考二模)如圖，AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,3),,C(-l,2).

(1)畫出AABC向右平移3個(gè)單位后的

(2)將AABC繞原點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180。，畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB2c2；

(3)AA22cl的面積為.

21.(2023?廣西貴港?統(tǒng)考三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是42,-1),

⑴將AABC向上平移4個(gè)單位長度得到△A4G,請畫出△AAG；

⑵請畫出AABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△4與G；

⑶請寫出點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)4的坐標(biāo).

22.(2023,安徽蚌埠,模擬預(yù)測)如圖，三角形尸QR是三角形ABC經(jīng)過某種變換后得到的圖形，分別觀察

點(diǎn)A與點(diǎn)尸，點(diǎn)B與點(diǎn)。，點(diǎn)C與點(diǎn)R的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

⑴若三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)M經(jīng)過這種變換后得到點(diǎn)N,根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)N的

坐標(biāo)為.

(2)若三角形尸QR先向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位得到三角形PQ'R,畫出三角形尸'。尺并求三

角形PAC的面積.

⑶直接寫出AC與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo).

23.(2023?山東濰坊?昌邑市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级?如圖1,兩個(gè)正方形拼接成一個(gè)"，'型的圖形，現(xiàn)用一條直

線將圖形分為面積相等的兩部分.小穎在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)了三種不同的分割方法，圖2是其中一種方法.

圖1

⑴請?jiān)谙旅鎴D形中再畫出另外兩種分割方法;

⑵若小正方形的邊長為2,大正方形的邊長為4.小穎在利用繪圖軟件研究分割方法時(shí)，將圖1放置在平

14

面直角坐標(biāo)系中，如圖3所示，此時(shí)圖2所示的分割直線的表達(dá)式為y=.小穎發(fā)現(xiàn)：上述三

種不同的分割直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn).請你證明此發(fā)現(xiàn);

(3)小穎繼續(xù)研究，又發(fā)現(xiàn)了一種分割方法，如圖4所示.請根據(jù)此圖，簡述其作圖思路;

⑷通過上述探究過程，談?wù)勀愕氖斋@.(兩條即可)

24.(2023?陜西漢中,統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)分別為4-2,3),8(-4,1),

C(-l,2).

⑴作出AABC關(guān)于無軸對(duì)稱的點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是4、4、G；

（2）作出AABC關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱的△&與G，點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是4、層、C2.

25.（2023?安徽滁州?統(tǒng)考二模）如圖，已知A,B,C是平面直角坐標(biāo)系上的三個(gè)點(diǎn).

⑴請畫出44BC關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的44片G；

（2）將△AgG向右平移8個(gè)單位得到△&鳥a,請畫出△AS2c2；

⑶AABC與△4&G是否也關(guān)于某個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱？如果是，請寫出它們對(duì)稱中心的坐標(biāo)，如果不是，請

說明理由.

第13講中心對(duì)稱（三種題型）

【知識(shí)梳理】

一中心對(duì)稱

（1）中心對(duì)稱的定義

把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)

對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)..

（2）中心對(duì)稱的性質(zhì)

①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；

②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.

—.中心對(duì)稱圖形

（1）定義

把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中

心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.

注意：中心對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱不同，中心對(duì)稱是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，而中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形自身

的特點(diǎn)，這點(diǎn)應(yīng)注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應(yīng)用方法相同.

（2）常見的中心對(duì)稱圖形

平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等.

三.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)

（1）兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)尸（尤，y）關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)是P（-X,-

（2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)或圖形屬于中心對(duì)稱，它是中心對(duì)稱在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，它具有中心對(duì)稱

的所有性質(zhì).但它主要是用坐標(biāo)變化確定圖形.

注意：運(yùn)用時(shí)要熟練掌握，可以不用圖畫和結(jié)合坐標(biāo)系，只根據(jù)符號(hào)變化直接寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

’【考點(diǎn)剖析】

-.中心對(duì)稱（共16小題）

1.（2023春?江夏區(qū)校級(jí)期末）下列說法中正確的是（）

A.對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形

C.對(duì)角線相等且垂直的四邊形是正方形

D.經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分該平行四邊形的面積

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B,對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、對(duì)角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

。、經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分該平行四邊形的面積，故本選項(xiàng)說法正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形、菱形、矩形的判定定理以及平行四邊形的性質(zhì).注意菱形與正方形的區(qū)別

與聯(lián)系、矩形與正方形的區(qū)別與聯(lián)系.

2.（2023?思明區(qū)校級(jí)二模）凸透鏡成像的原理如圖所示，AG//1//HC.若縮小的實(shí)像是物體的—,則物體

3

到焦點(diǎn)F1的距離與焦點(diǎn)F1到凸透鏡的中心線GH的距離之比為旦.（焦點(diǎn)F1和尸2關(guān)于0點(diǎn)對(duì)

一2一

稱）

【分析】首先證明四邊形。是矩形，再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：；”/HC,CD±l,OHLI,

，四邊形OHC。是矩形，

：.OH=CD,

'：AB//OH,

.BF1-AB-2

?'OFiOH

'：OFI=OF2,

.巴―

?,OF22'

故答案為：

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，中心對(duì)稱，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

3.（2023?金水區(qū)校級(jí)一模）如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=20,AC=15,點(diǎn)。，E分別是A8、

AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G,尸在8c邊上（均不與端點(diǎn)重合），DG//EF.將△8OG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,將

△CEP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,拼成四邊形MGAV,則四邊形MGAV周長I的取值范圍是49W/<

65.

【分析】如圖：連接。E,作AHLBC于〃，首先證明GF=DE=^，要求四邊形MNFG周長的取值范圍,

只要求MG的最大值和最小值即可.

【解答】解：如圖：連接。E,作AXLBC于X,

在RtAABC中，

VZABC=90°,AB=20,AC=15,

???BC=VAB2+AC2=25)

7y-AB-AC=-j-BC-AH-

:.AH=n,

\"AD=DB,AE=EC,

???DE//CB,DE-|BC吟，

*：DG//EF,

???四邊形DGFE是平行四邊形，

9R

??GF=DE二號(hào)，

：.MN//BC,GM//FN,

.四邊形MNFG是平行四邊形,

.?.當(dāng)MG=NF=A8時(shí)，可得四邊形MNFG周長的最小值=2X12+2X善=49，

當(dāng)G與B重合時(shí)可得周長的最大值為65,

：G不與8重合，

；.49W/<65,

故答案為：49W/V65.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)取特殊點(diǎn)解決問題.

4.（2021秋?武漢期末）如圖，在△ABC中，AC=BC,點(diǎn)。、E分別是邊A8、AC的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)

E旋轉(zhuǎn)180°得ACFE,求證：四邊形ADC尸是矩形.

【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再由對(duì)角線相等證明四邊形AOb是矩形.

【解答】解：點(diǎn)。、E分別是邊A3、AC的中點(diǎn)，

；.DE^—BC,AE^-AC,

22

VAC=BC,

：.AE=DE,

'：△AQE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE,

/.AAD￡^ACF￡,

：.AE=CE,DE=EF,

...四邊形ADCF是平行四邊形，

VA￡=CE,DE=EF,AE=DE,

：.AE=CD=DE=EF,

：.AC^DF,

...四邊形AOCF是矩形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判斷，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，矩形的判定方法是解的關(guān)鍵.

5.（2023?株洲）如圖所示，在矩形ABC。中，AB>AD,AC與2。相交于點(diǎn)O,下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)。為矩形ABCD的對(duì)稱中心

B.點(diǎn)。為線段AB的對(duì)稱中心

C.直線8。為矩形ABC。的對(duì)稱軸

D.直線AC為線段8。的對(duì)稱軸

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否

正確，本題得以解決.

【解答】解：矩形A8C。是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)O,故選項(xiàng)A正確，符合題意；

線段48的中點(diǎn)是為線段的對(duì)稱中心，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；

矩形ABC。是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是過一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；

過線段8。的中點(diǎn)的垂線是線段3。的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱、矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記矩形即是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形

是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2023?任丘市二模）如圖由6X6個(gè)邊長為1的小正方形組成，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，AABC的

三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，。是AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，將△ABC繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°.以下

是嘉嘉和淇淇得出的結(jié)論，下列判斷正確的是（）

嘉嘉：旋轉(zhuǎn)后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上；

淇淇：旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)三角形可形成平行四邊形

A.只有嘉嘉對(duì)B.只有淇淇對(duì)C.兩人都對(duì)D.兩人都不對(duì)

【分析】將AABC繞著邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后根據(jù)選項(xiàng)依次作答.

【解答】解：將AABC繞著邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后如圖，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形可形成平行四邊形，正

確；△A8C繞著各邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的B'C都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上,正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱，平行四邊形的判定，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

點(diǎn)。是該圖形的對(duì)稱中心的是（)

【分析】在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與原來圖形重合，那么就說這個(gè)圖形

叫中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，由此即可判斷.

【解答】解：由中心對(duì)稱圖形的定義，得到選項(xiàng)B中的圖形是中心對(duì)稱圖形，并且點(diǎn)。是該圖形的對(duì)稱

中心，故8符合題意；

選項(xiàng)A、C、。中的圖形不是中心對(duì)稱圖形，故A、C、。不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱圖形的定義，

8.(2023?海港區(qū)一模)如圖.在平面直角坐標(biāo)系中回A8C。的頂點(diǎn)分別為A(1,2),B(4,2),C(7,5).

(1)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,5).

(2)當(dāng)正比例函數(shù)的圖象平分團(tuán)ABCC面積時(shí)，k的值為0.875.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；

(2)根據(jù)平分回A8CL)面積必過對(duì)角線交點(diǎn)求解即可.

【解答】解：(1)VA(1,2),B(4,2),

.\AB=3,

V^ABCD,

：.AB=CD=3,

VC(7,5)

：.D(4,5),

故答案為：(4,5)；

(2)設(shè)團(tuán)A8CD對(duì)角線交點(diǎn)為Q,則。為對(duì)角線AC中點(diǎn)，

VA(1,2),C(7,5),

*e,Q(4,y)?

?.?正比例函數(shù)＞=區(qū)的圖象平分團(tuán)ABC。面積，

.?.正比例函數(shù)＞=區(qū)的圖象過Q(4,9■)，

2

??，

解得k』，

8

故答案為：1.

8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，求正比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平分平分回ABC。面積必

過對(duì)角線交點(diǎn)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出0(4,1?).

9.(2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬)如圖，平行四邊形ABC。中，43=2,BC=3,NB=60°,點(diǎn)尸在上，且

AP=2,若直線/經(jīng)過點(diǎn)P,將該平行四邊形的面積平分，并與平行四邊形的另一邊交于點(diǎn)。，則線段P。

的長度為

【分析】連接AC,BD交于O,過C作于由四邊形A2C是平行四邊形，得AB=CD=2,

AD=BC=3,又P。將平行四邊形的面積平分，可知CQ=A尸=2,DP=BQ=l,由含30°角的直角三角

形性質(zhì)可得。M=La)=l,CM=?DM=?,故尸重合，再根據(jù)勾股定理可得答案.

2

【解答】解：連接AC,BD交于O,過C作CMLA。于如圖：

?..四邊形ABC是平行四邊形，

：.AB=CD=2,AD=BC=3,

將平行四邊形的面積平分，

二0在尸。上,

由平行四邊形的中心對(duì)稱性可知CQ=AP=2,

:.DP=BQ=1,

'：ZMDC=ZABC=60a,

.?.NMCr>=30°,

：.DM=^CD=\,CM=43DM=^3,

2

：.DM=DP,

：.M,尸重合，

：.CP=M,/PCQ=NZ)PC=90°,

PQ={cp2死Q2=Q(右)2+22=近，

故答案為：V7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，涉及勾股定理及應(yīng)用，含30°角的直角三角形三邊關(guān)系等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的中心對(duì)稱性.

10.（2022秋?利川市期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°,得到△ABC',當(dāng)點(diǎn)。不在△ABC三邊所

在直線上時(shí)，求證：四邊形BCB'C是平行四邊形.

【分析】連接23,CC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得3。=2'。，CO^CO,再由對(duì)角線互相平分的四邊形是平

行四邊形即可證明.

【解答】證明：連接88',CC,

點(diǎn)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。到以

：.BO=B'O,

；C點(diǎn)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°到C,

:.co=co,

...四邊形8cHe是平行四邊形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

11.（2023春?瑞安市月考）如圖，在菱形ABCZ）中，AB=2,ZA=120°,過菱形ABC。的對(duì)稱中心。分

別作邊AB,BC的垂線，交各邊于點(diǎn)E,F,G,H,則四邊形EEG8的周長為（）

A.3-fV3B.2+2V3C.2+V3D.1W3

【分析】先證明AB跖是等邊三角形，求出ER同理可證△OGH,AEOH,△OFG都是等邊三角形,

然后求出EH,GF,FG即可.

【解答】解：連接8。，AC,

：.AB=BC=CD=AD=2,ZBAO=ZDAO=6Q°,BD±AC,

：.ZABO=ZCBO=3Q0,

AOA-|AB=I,OB=VAB2-OA2=V3

VOE±AB,OFLBC,

：.ZBEO=ZBFO=90°,

在RtZXOBE中，，，

在△BEO和△BP。中,

：./\BEO^/\BFO(AAS),

：.OE=OF,BE=BF,

；/EBF=60°,

是等邊三角形，

"EF=BE=V3X喙=|，

同法可證，ADGti,/\EOH,△。/G都是等邊三角形,

...，EH=FG=OE卷■，

，四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+HE=3W^.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

12.（2023?古冶區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABC。的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）,點(diǎn)2,

C在x軸上，將正方形ABCD平移后，點(diǎn)。成為新正方形的對(duì)稱中心，則正方形ABC。的平移過程可能

是（）

4

AD

BCO~

A.向右平移8個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度

B.向右平移4個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度

C.向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移4個(gè)單位長度

D.向右平移4個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度

【分析】先根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)推出正方形ABC。中的C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，求出對(duì)角線交點(diǎn)坐

標(biāo)，也就是對(duì)稱中心的坐標(biāo)，最后由正方形的平移轉(zhuǎn)化到正方形的對(duì)稱中心的平移即可就出平移過程.

【解答】解：???四邊形ABCD為正方形，已知8、C在無軸上，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6,4）,

.?.根據(jù)正方形的性質(zhì)可得正方形的邊長48=4,

點(diǎn)坐標(biāo)為（-6,0）,C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,

:正方形的對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形對(duì)角線相互平分，

正方形ABCD的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為AC的中點(diǎn)坐標(biāo)，

對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（-4,2）,

:將正方形ABC。平移后，點(diǎn)。成為新正方形的對(duì)稱中心，

正方形ABCD的平移過程即為對(duì)稱中心的平移過程，

:正方形4BC。的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（-4,2）,平移后的正方形的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，

...可得出正方形的平移方式為向右平移4個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱，正方形的性質(zhì)，點(diǎn)的平移等知識(shí)點(diǎn)，求出原來正方形的對(duì)稱中心，結(jié)合對(duì)

稱中心點(diǎn)的平移方式得到正方形的平移方式是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?西安一模）如圖，直線/平分正方形A8CD的面積，直線/分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F,BH1

直線/于X,連接48,若AB=2如,則48長的最小值為■后-1.

【分析】連接BD交EF于O,取中點(diǎn)連接AM,作MN±AB于N,由正方形的性質(zhì)得到O是

的中點(diǎn)，求出08的長，得到MH,M2的長，由勾股定理求出AM的長，由三角形三邊關(guān)系得到A8

^AM-MH=45-1,于是即可求出AH長的最小值.

【解答】解：連接BD交所于。，取02中點(diǎn)M,連接AM,作MNLAB于N,

?.?直線/平分正方形ABC。的面積，

是的中點(diǎn)，

:四邊形ABC。是正方形，AB=2如,

：.BD=y[2AB=4,

：.OB=LBD=2,

2

"：BH±FE,

:./BHO=90°,

是中點(diǎn)，

:.MH=LOB=I,

2

'JMNLAB,/MBN=45°,

：.ANBM是等腰直角三角形,

:.MN=BN=—BM,

2

2

J?

:.MN=BN=上,

2

：.AN=AB-BN=2近-亞=

22

'：AH^AM-MH=4S-1,

...AH長的最小值是泥-1.

故答案為：V5-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱，正方形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，求線段長的最小值，關(guān)鍵是通過作輔

助線，由三角形的三邊關(guān)系得到

14.（2023?舟山一模）如圖1,在△ABC中，NC=90°,AC=8c〃z,BC=6cm.動(dòng)點(diǎn)尸沿線段AC以5c?t/s

的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，另有一動(dòng)點(diǎn)。與點(diǎn)尸同時(shí)出發(fā)，沿線段BC以相同的速度從點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)

動(dòng).作PO_LA8于點(diǎn)。，再將△APD繞尸。的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,得到△?!'DP-,作于點(diǎn)E,再將

△BQE繞。E的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,得到AB'EQ.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs.

（1）如圖（2）當(dāng)A'點(diǎn)落在8c邊上時(shí)x的值為致；

-41―

（2）如圖1,在點(diǎn)P,0運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)點(diǎn)A'在△B'E。內(nèi)部時(shí)x的取值范圍為歿＜%＜改

一531L

【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)的意義直接求出;

（2）找出分界點(diǎn)①A剛好到達(dá)BE邊時(shí)，②A剛好到達(dá)EQ邊時(shí)，利用同一條線段兩種算法求出無值,

即可得尤的取值范圍.

【解答】解：(1)VZC=90°,AC=8cm.BC=6cm,

.,.AB=lQcm,

4.33

cosA---sinA----，tanA----，

554

由題意得：AP=5x,

/.B4=A￡>=APcosZA=-X5x=4x,CP=8-5尤，

5

cosZCB\—cosZA—^-—^~">x

PA4x5

???Av―40,

41

故答案為：40

41

(2)同(1)可得sin8=居，cosB=—taaB=—,

553

①A剛好到達(dá)BE邊時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)可知，四邊形AD4P是平行四邊形，四邊形BEB。是平行四邊形,

：.AP//DA,BQ//EB,

：.ZADE=ZA,ZBED=ZB,

：.ZADE+ZAED=ZA+ZB=90°,即/￡>AE=90°,

；ZM=E4=8O=5無，

則BE^BO'cosZB=3x,DE=——辿——=$X5x=^^,

cosZADE44

;.4尤+2旦+3x=AB=10,

4

???xA=-4-0-.,

53

②A剛好到達(dá)EQ邊時(shí)，

c

A

/.DE=ADcosZADE=5xX—=4x,

5

.?.4x+4x+3x=A3=10,

./<3.

5311

故答案為：i2<x<12..

5311

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)，解直角三角形等知識(shí)，具體的規(guī)劃是學(xué)

會(huì)用分類討論的思想思考問題屬于中考常考題.

15.(2022秋?惠濟(jì)區(qū)校級(jí)月考)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,8C=8,ZB=60°,過平行四邊

形的對(duì)稱中心點(diǎn)。的一條直線與邊A。、分別交于點(diǎn)E、F,設(shè)直線所與BC的夾角為a.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形.

(2)填空：

①當(dāng)a的度數(shù)是60。時(shí),四邊