初二數學期末知識點總結

【本講教育信息】一.教學內容：1.平移與旋轉．2.函數和一次函數．3.四邊形．4.分式方程．5.命題與證明．6.數據的代表值與離散程度．二.知識要點：1.平移、旋轉、軸對稱和中心對稱的比較

概念性質圖例聯(lián)系平移在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離對應線段平行（或共線）且相等；對應點所連線段平行且相等；對應角分別相等，且兩邊分別平行且方向一致．①都是在平面內進行的圖形變換；②在變換前后都只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大??；③變換前后兩個圖形全等，對應邊相等，對應角相等．旋轉在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度．對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角；對應點到旋轉中心的距離相等；對應線段相等，對應角相等．中心對稱把一個圖形繞著某一個點旋轉180°連結對稱點的線段都經過對稱中心并且被對稱中心平分．軸對稱在平面內，將一個圖形沿某條直線折疊．對應線段或延長線相交，交點在對稱軸上；對應點的連線被對稱軸垂直平分．

2.函數（1）函數的三種表示方法：表達式法、列表法、圖像法．（2）函數圖像的畫法：列表、描點、連線．3.一次函數的圖像與性質（1）一次函數的圖像是一條直線，類型如下：（2）性質：k＞0時，y隨x的增大而增大；k＜0時，y隨x的增大而減小．（3）直線y＝kx＋b由y＝kx向上（b>0）或向下（b<0）平移︱b︱個單位得到．4.一次函數與方程（組）、不等式之間的關系（1）一元一次方程kx＋b＝y(tǒng)0（y0是已知數）的解就是直線y＝kx＋b上y＝y(tǒng)0時該點的橫坐標．（2）一元一次不等式kx＋b≤y0（或kx＋b≥y0）（y0是已知數）的解集就是直線y＝kx＋b上滿足y≤y0（或y≥y0）的那條射線所對應的自變量的取值范圍．（3）利用二元一次方程組確定一次函數y＝kx＋b中k、b的值；兩條直線y1＝k1x＋b1、y2＝k2x＋b2的交點坐標是方程組的解．5.幾種特殊四邊形的區(qū)別（1）平行四邊形從邊看——從角看——兩組對角分別相等從對角線看——對角線互相平分（2）矩形從角看——從對角線看——（3）菱形從邊看——從對角線看——（4）正方形從邊看——有一組鄰邊相等的矩形從角看——有一個角是直角的菱形6.分式方程解分式方程的基本思想是通過去分母把分式方程轉化為整式方程，并不是每個分式方程都有解，必須驗根．7.命題與證明8.數據的代表值與離散程度三.重點難點：本冊重點內容有三個：一是幾種四邊形的性質的判定方法；二是幾何命題及證明；三是一次函數的圖像和性質．難點內容主要是運用函數知識解決實際問題和幾何命題的證明方法．四.考點分析：平移和旋轉、數據的代表值與離散程度一般會以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，所占比重不大，大概1~2題．有關四邊形、分式方程、函數的內容一般以解答題形式出現(xiàn)，分值較高．【典型例題】例1.下列圖形中哪些是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形（

）A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形分析：平行四邊形是中心對稱圖形不是軸對稱圖形；矩形、菱形、正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．解：A評析：正確把握中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念及識別方法是解決此類問題的關鍵．例2.（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且AC＝12，BD＝9．此梯形的上、下底之和是__________．（2）如果方程＋3＝有增根，那么a＝__________．分析：（1）四邊形問題在不能得到直接解決時可以轉換為三角形問題解決，作DE∥AC交BC的延長線于點E，則DE＝AC＝12，因為AC⊥BD，所以∠BDE＝90°．在Rt△BDE中，BD＝9，DE＝12，所以BE＝15．又AD＝CE，所以BC＋AD＝BC＋CE＝BE＝15．（2）去分母并整理得a＝5－2x．因為此方程有增根，即x－2＝0，所以x＝2，a＝5－2x＝1．解：（1）15，（2）1評析：（1）若題中沒有可以利用的三角形、平行四邊形，可以通過作輔助線構造三角形來解決．（2）x＝2雖不是原分式方程的根，但是它是a＝5－2x的根．例3.如圖所示，已知AB∥CD，求證：∠AEC＝∠1＋∠2．分析：本題已知平行線，關鍵是如何使要證的角與平行線發(fā)生聯(lián)系，需作出輔助線，溝通已知和結論．證法一：如圖所示，過點E作EF∥AB，∴∠3＝∠1（兩直線平行，內錯角相等）．又∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），∴∠4＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）．∵∠AEC＝∠3＋∠4，∴∠AEC＝∠1＋∠2（等量代換）．證法二：如圖所示，連結AC，∵AB∥CD（已知），∴∠BAC＋∠ACD＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），即∠1＋∠3＋∠4＋∠2＝180°，∴∠1＋∠2＝180°－∠3－∠4（等式性質）．在△ACE中，∠3＋∠4＋∠E＝180°（三角形三個內角的和等于180°），∴∠E＝180°－∠3－∠4（等式性質），即∠AEC＝∠1＋∠2．評析：添加輔助線時，需要根據個人對問題的分析思路來確定．例4.我邊防局接到情報，近海處有一可疑船只A正向公海方向行駛，邊防局迅速派出快艇B追擊．如圖所示，l1、l2分別表示兩船相對于海岸的距離s（海里）與追趕時間t（分）之間的關系．根據圖像回答下列問題：（1）哪條線段表示B離海岸的距離與追趕時間的關系？（2）A、B哪個速度快？（3）15分鐘內B能否追上A？（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？（5）當A逃到離海岸12海里的公海時，B將無法對其進行檢查．照此速度，B能否在A逃入公海前將其攔截？分析：注重實際問題向數學問題的轉化，本題依據圖像語言體現(xiàn)數據，注重了數形結合思想．解：由圖像得：（1）當t＝0時，B距海岸0海里，即s＝0，故l1表示B離海岸的距離與追趕時間之間的關系．（2）t從0增加到10時，l2的縱坐標增加了2，而l1的縱坐標增加了5，即10分鐘內，A行駛了2海里，B行駛了5海里，所以B的速度快．（3）延長l1、l2（如圖所示），可以看出，當t＝15時，兩直線未相交，故15分鐘內B不能追上A．（4）如圖所示，l1、l2相交于點P．因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A．（5）圖中，l1和l2交點P的縱坐標小于12，這說明在A逃入公海前，我邊防快艇B能夠追上A．評析：你能用其他方法解決上述問題嗎？體會數形結合的作用，利用圖像很直觀地獲得解決，感悟數形結合的優(yōu)點．此外，如果輪船不是勻速航行，只要航行時間一定，最后結果也一樣，只是所畫的圖像不是直線而已．例5.在一次科技知識競賽中，兩組學生成績統(tǒng)計如下：分數5060708090100人數甲組251013146乙組441621212

已經算得兩組的人平均分都是80分，請根據你學過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這兩個組在這次競賽中哪一組的成績好些，哪一組稍差，并說明理由．分析：本題要求我們用所學過的統(tǒng)計知識，對數據進行進一步分析，是多角度的，不要僅僅局限于用方差．解：①甲組成績的眾數為90分，而乙組成績的眾數是70分，從成績的眾數比較看，甲組成績好些．②通過計算，得＝172，＝256，＜，所以甲組成績的波動?。奂?、乙兩組成績的中位數都是80分，甲組成績在中位數及以上有33人，而乙組成績在中位數及以上有26人，從這一角度看甲組成績總體較好．④從成績統(tǒng)計表看，甲組成績等于或高于90分的有20人，乙組成績等于或高于90分的有24人，乙組成績集中在高分段的人數多，同時乙組滿分人數比甲組得滿分的人數多6人，從這一角度看乙組的成績較好．評析：對于一組數據來說，我們要衡量這組數據的集中趨勢，可以通過平均數、眾數和中位數這三個統(tǒng)計量來分析．如果要衡量這組數據中的離散趨勢，也就是要研究它的波動情況，就需要利用方差或標準差這兩個統(tǒng)計量來衡量，方差越大，波動越大；方差越小，波動越小，越穩(wěn)定．【方法總結】1.輔助線在幾何證明題中的應用證明時，若問題的條件不夠，則需要添加輔助線，構成新的圖形，從而搭建起由已知到未知互相溝通的橋梁．常用的輔助線有：過一點作已知直線的平行線或垂線；連結兩點，構成三角形；連結線段垂直平分線上的點和線段的端點；過角平分線上的點向兩邊作垂線，延長三角形的一邊形成外角等．2.幾種數學思想學習本冊內容最重要的思想方法有兩個：一個是轉化思想，解分式方程時要將其轉化成整式方程來解，四邊形的問題往往轉化成平行四邊形或三角形來解決．另一個是數學建模思想，主要針對一些實際問題，要構建方程或函數模型來解決．【模擬試題】（答題時間：90分鐘）一.選擇題（每小題3分，共30分）1.在以下現(xiàn)象中，①電風扇的轉動；②打氣筒打氣時，活塞的運動；③鐘擺的擺動；④傳送帶上，瓶裝飲料的移動，屬于平移的是（

）A．①②

B．①③

C．②③

D．②④2.在方程①＝8＋②＝x③＝④x－＝0中，分式方程有（

）A．①②

B．②③

C．③④

D．①④3.小薇同學借了一本書共280頁，要在兩周借期內讀完，當她讀了一半時，發(fā)現(xiàn)平均每天要多讀21頁才能在借期內讀完．她讀前一半時，平均每天讀多少頁？如果設讀前一半時，平均每天讀x頁，則下面所列方程中，正確的是（

）A．＋＝14

B．＋＝14C．＋＝14

D．＋＝14.如圖所示，下列推理正確的是（

）A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CF

B．∵∠2＝∠3，∴BE∥CFC．∵∠2＝∠4，∴BE∥CD

D．∵∠1＝∠4，∴AB∥CD5.兩個角的兩邊分別平行，其中一個角是60°，則另一個角是（

）A．60°

B．120°

C．60°或120°

D．無法確定6.若一次函數y＝kx＋b的圖像經過第一、二、四象限，則k、b的取值范圍是（

）A．k＞0，b＞0

B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＜0

D．k＜0，b＞07.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A．等邊三角形

B．等腰直角三角形C．等腰梯形

D．菱形8.一個菱形兩條對角