初二數學因式分解知識點總結

整式乘除與因式分解

一、知識點總結：

1、單項式的概念：由數與字母的乘積構成的代數式叫做單項式。單獨的一個數或一個字母也是單項式。單項式的數字因數叫做單項式的系數，字母指數和叫單項式的次數。如：2a2bc的系數為2，次數為4，單獨的一個非零數的次數是0。

2、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數最高項的次數叫多項式的次數。

如：a22abx1，項有a2、2ab、x、1，二次項為a2、2ab，一次項為x，常數項為1，各項次數分別為2，2，1，0，系數分別為1，-2，1，1，叫二次四項式。

3、整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

注意：凡分母含有字母代數式都不是整式。也不是單項式和多項式。

4、多項式按字母的升（降）冪排列：

如：x32x2y2xy2y31

按x的升冪排列：12y3xy2x2y2x3

按x的降冪排列：x32x2y2xy2y31

按y的升冪排列：1x3xy2x2y22y3

按y的降冪排列：2y32x2y2xyx31

5、同底數冪的乘法法則：aaamnmn（m,n都是正整數）

同底數冪相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。

如：(ab)(ab)(ab)

6、冪的乘方法則：(a)amnmn235（m,n都是正整數）

5210冪的乘方，底數不變，指數相乘。如：(3)3

冪的乘方法則可以逆用：即a

如：4(4)(4)

7、積的乘方法則：(ab)ab（n是正整數）nn62332mn(a)(a)mnnm

積的乘方，等于各因數乘方的積。

如：（2xyz)=(2)(x)(y)z32xyz32553525515105

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8、同底數冪的除法法則：amanamn（a0,m,n都是正整數，且mn)

同底數冪相除，底數不變，指數相減。如：(ab)4(ab)(ab)3a3b3

9、零指數和負指數；

a

a01，即任何不等于零的數的零次方等于1。1

app（a0,p是正整數），即一個不等于零的數的p次方等于這個數的p次方的

倒數。如：23()32118

10、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。

注意：

①積的系數等于各因式系數的積，先確定符號，再計算絕對值。

②相同字母相乘，運用同底數冪的乘法法則。

③只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式

④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。

⑤單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。

如：2x2y3z3xy

11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是單項式)

注意：

①積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同。

②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。

③在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合并同類項。]

如：2x(2x3y)3y(xy)

12、多項式與多項式相乘的法則；

多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。如：(3a2b)(a3b)

(x5)(x6)

13、平方差公式：(ab)(ab)ab注意平方差公式展開只有兩項

公式特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。

如：(xyz)(xyz)

14、完全平方公式：(ab)a2abb22222

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公式特征：左邊是一個二項式的完全平方，右邊有三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方，而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍。

注意：

ab2222(ab)2ab(ab)2ab

22(ab)(ab)4ab

(ab)[(ab)](ab)(ab)[(ab)](ab)222222

完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2倍。

15、三項式的完全平方公式：

(abc)abc2ab2ac2bc2222

16、單項式的除法法則：

單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

注意：首先確定結果的系數（即系數相除），然后同底數冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式

如：7a2b4m49a2b

17、多項式除以單項式的法則：

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。即：(ambmcm)mammbmmcmmabc

18、因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

三、知識點分析：

1.同底數冪、冪的運算：

am·an=am+n(m，n都是正整數).

(am)n=amn(m，n都是正整數).

例題1.若2

例題2.若52x1a264，則a=；若273(3)，則n=.n8125，求(x2)

3n2009x的值。例題3.計算x2y

練習

1.若a2n2yx2m3，則a6n

2.設4x=8y-1,且9y=27x-1,則x-y

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2.積的乘方

(ab)n=anbn(n為正整數).積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.例題1.計算：nm3mnnmpp4

3.乘法公式

平方差公式：ababa2b2

完全平方和公式：aba22abb22

完全平方差公式：aba22abb22

例題1.利用平方差公式計算：2009×2007－2008

例題2.利用平方差公式計算：

例題3.利用平方差公式計算：

例題4.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

20072220072007200820062．200820061．

變式練習

1．廣場內有一塊邊長為2a米的正方形草坪，經統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3米，東西方

向要加長3米，則改造后的長方形草坪的面積是多少？

2.（3+1）（3+1）（3+1）…（3242008+1）－34016

2．

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3.已知x

4、已知(xy)216,(xy)2＝4，求xy的值

5.如果a2＋b2－2a＋4b＋5＝0，求a、b的值

6.試說明

（1）兩個連續(xù)整數的平方差必是奇數

（2）若a為整數，則a3a能被6整除

7.一個正方形的邊長增加4cm，面積就增加56cm，求原來正方形的邊長

1x2,求x21x2的值

4.單項式、多項式的乘除運算

（1）（a－1

6b）（2a＋1

3b）（3a2＋1

12b2）；

222（2）[（a－b）（a＋b）]÷（a－2ab＋b）－2ab．

（3）．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．

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5.因式分解：

1.提公因式法：式子中有公因式時，先提公因式。

例1把2ax10ay5bybx分解因式．分析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按x的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式2a與b，這時另一個因式正好都是x5y，這樣可以繼續(xù)提取公因式．

解：2ax10ay5bybx2a(x5y)b(x5y)(x5y)(2ab)

說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法．本題也可以將一、四項為一組，二、三項為一組，同學不妨一試．

例2把ab(c2d2)(a2b2)cd分解因式．分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式．

解：ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd

(abcacd)(bcdabd)2222ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)

說明：由例3、例4可以看出，分組時運用了加法結合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運用了分配律．由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用．

2.公式法：根據平方差和完全平方公式

例題1分解因式9x25y

3.配方法：

例1分解因式x6x16

解：x6x16x2x33316(x3)5

(x35)(x35)(x8)(x2)222222222

說明：這種設法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差公式分解．當然，本題還有其它方法，請大家試驗．

4.十字相乘法：

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（1）．x2(pq)xpq型的因式分解

這類式子在許多問題中經常出現(xiàn)，其特點是：

(1)二次項系數是1；(2)常數項是兩個數之積；(3)一次項系數是常數項的兩個因數之和．

22x(pq)xpqxpxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq)因此，x2(pq)xpq(xp)(xq)

運用這個公式，可以把某些二次項系數為1的二次三項式分解因式．

例1把下列各式因式分解：(1)x27x6(2)x213x36

解：(1)6(1)(6),(1)(6)7

x27x6[x(1)x][(6)]x(2)3649,4913x213x36x(4x)(9)(x1．)(6)

說明：此例可以看出，常數項為正數時，應分解為兩個同號因數，它們的符號與一次項系數的符號相同．

例2把下列各式因式分解：(1)x25x24(2)x22x15

解：(1)24(3)8,(3)85

x25x24x[(3)x](8)x(x3)(8)(2)15(5)3,(5)32x22x15x[(5)x](3)x(x5)(3)

說明：此例可以看出，常數項為負數時，應分解為兩個異號的因數，其中絕對值較大的因數與一次項系數的符號相同．

例3把下列各式因式分解：(1)xxy6y2222(2)(xx)8(xx)122222分析：(1)把xxy6y看成x的二次三項式，這時常數項是6y，一次項系數是y，把6y分解成3y與2y的積，而3y(2y)y，正好是一次項系數．2

(2)由換元思想，只要把xx整體看作一個字母a，可不必寫出，只當作分解

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二次三項式a28a12．

解：(1)x2xy6y2x2yx62(x3y)(x2y)

(2)(x2x)28(x2x)12(x2x6)(x2x2)

(x3)(x2)(x2)(x1)

（2）．一般二次三項式ax2bxc型的因式分解

大家知道，(a1xc1)(a2xc2)a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2．反過來，就得到：a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數a分解成a1a2，常數項c分解成c1c2，把a1,a2c,1c,2

寫成a1c1，

a2

c2

這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于ax2bxc的一次項系數b，那么ax2bxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．

這種借助畫十字交叉線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解．

例4把下列各式因式分解：

(1)12x25x2

(2)5x26xy8y2

解：(1)12x5x2(3x2)(4x1)

2

3415

212y

4y

(2)5x6xy8y(x2y)(5x4y)

22

說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當二次項系數不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關常數分解，交叉相乘后，若原常數為負數，用減法”湊”，看是否符合一次項系數，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調整，添加正、負號．

練習

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1、已知2xy1

3，xy2，求2x4y3x3y4的值。

2、若x、y互為相反數，且(x2)2(y1)24，求x、y的值

提高練習

1．（2x2－4x－10xy）÷（）＝15

2x－1－2y．

2．若x＋y＝8，x2y2＝4，則x2＋y2＝_________．

3．代數式4x2＋3mx＋9是完全平方式則m＝___________．

4．（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等于……………（

（A）a4－1（B）a4＋1（C）a4＋2a2＋1（D）1－a4

5．已知a＋b＝10，ab＝24，則a2＋b2的值是…………………（

（A）148（B）76（C）58（D）52

6．（2）（x22

4＋3y）2－（x

4－3y）；（2）（x－2x－1）（x2＋2x－1）；

7．（1－1

22）（1－132）（1－11142）…（1－92）（1－102）的值．

8．已知x＋1

x＝2，求x2＋1

x2，x4＋1x4的值．

2

9．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代數式ab2

2－ab的值．

10．若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展開后不含x2，x3項，求p、q的值．

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《整式的乘除與因式分解》單元試題

一、選擇題：（每小題3分，共18分）

1、下列運算中，正確的是()

A.x2·x3=x6B.(ab)3=a3b3C.3a+2a=5a2D.（x3）2=x5

2、下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）（A）（C）

3、下列各式是完全平方式的是（A、

B、

（B）

（D））

D、

C、

4、下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（）（A）

（B）

（C）

（D）

5、如(x+m)與(x+3)的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）

A.–3

B.3

C.0