四川省瀘州市納溪區(qū)納溪中學(xué)集團(tuán)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

瀘州市納溪中學(xué)集團(tuán)校2024—2025學(xué)年度上期七年級學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（共36分）1.剪紙藝術(shù)是中國最古老的民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機(jī)事件的是（）A.點(diǎn)數(shù)的和為1 B.點(diǎn)數(shù)的和為5 C.點(diǎn)數(shù)的和大于12 D.點(diǎn)數(shù)的和小于134.已知⊙O與直線l無公共點(diǎn)，若⊙O直徑為10cm，則圓心O到直線l的距離可以是（）A.6 B.5 C.4 D.35.某班六名同學(xué)體能測試成績（分）如下：80，90，75，75，80，80，對這組數(shù)據(jù)表述錯(cuò)誤的是（）A.眾數(shù)是80 B.方差是25 C.平均數(shù)是80 D.中位數(shù)是756.若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則應(yīng)滿足（）A. B. C.且 D.且7.如圖，量角器外沿上有三點(diǎn)、、，它們所表示的讀數(shù)分別是、、，則的大小是（）A. B. C. D.8.某超市1月份營業(yè)額為36萬元，前3個(gè)月的營業(yè)額共110萬元，設(shè)每月營業(yè)額的平均增長率都為，則平均增長率應(yīng)滿足的方程為（）A. B.C. D.9.如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則（）A. B. C.2 D.110.在同一坐標(biāo)系中，拋物線與有相同的（）A.開口方向 B.形狀 C.對稱軸 D.頂點(diǎn)11.如圖，在中，，，，的中點(diǎn)為．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度得到，的中點(diǎn)為，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，的最大值是（）A B.2 C. D.312.如圖所示，二次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與軸交于點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②若點(diǎn)和均在拋物線上，則；③；④．⑤若點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，則，其中正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)第II卷（非選擇題）二、填空題（共12分）13.直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．14.已知：，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則的值為_________．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為中心，把點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則的值為___________．16.如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)A，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)A恰好落在x軸上的處，若P是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，且是等腰三角形，則P的坐標(biāo)為_____．三、解答題（共72分）17.計(jì)算：18.化簡：．19.如圖，四邊形ABCD中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)A重合，得到．（1）請求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；（2）請判斷AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．20.為了激發(fā)學(xué)生對中國古詩詞學(xué)習(xí)興趣，某校舉行了古詩詞比賽，比賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績分為如下5組（滿分100分），A組：，B組：．C組：，D組：，E組：，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問題：（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，并補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)直方圖：（2）若成績在90分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有3000名學(xué)生，估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？（3）學(xué)校將從獲得滿分的5名同學(xué)（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名，參加五一勞動(dòng)節(jié)的文藝匯演，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．21.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克元銷售，一個(gè)月能售出千克，銷售單價(jià)每漲元，月銷售量就減少5千克，針對此回答：（1）當(dāng)銷售價(jià)定為每千克元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤．（2）商店想在月銷售成本不超過元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？（3）當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，銷售利潤最大？22.已知關(guān)于的方程．（1）求證：無論為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，求代數(shù)式的值．23.圖1是一種淋浴噴頭，圖2是圖1的示意圖，若用支架把噴頭固定在點(diǎn)處，手柄長與墻壁的夾角，噴出的水流與形成的夾角，現(xiàn)在住戶要求：當(dāng)人站在處淋浴時(shí)，水流正好噴灑在人體的處，且使．問：安裝師傅應(yīng)將支架固定在離地面多高的位置？(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)24.如圖，為的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，，．（1）求證：；（2）若，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)為直線下方拋物線上任意一點(diǎn)，連接，，求面積的最大值；（3）將該拋物線向右平移2個(gè)單位長度得到拋物線，平移后拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②已知點(diǎn)為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

瀘州市納溪中學(xué)集團(tuán)校2024—2025學(xué)年度上期七年級學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（共36分）1.剪紙藝術(shù)是中國最古老的民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．以下剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)，找到對稱中心，繞中心旋轉(zhuǎn)后與自身重合，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：選項(xiàng)不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；選項(xiàng)不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．2.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：D．3.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件是隨機(jī)事件的是（）A.點(diǎn)數(shù)的和為1 B.點(diǎn)數(shù)的和為5 C.點(diǎn)數(shù)的和大于12 D.點(diǎn)數(shù)的和小于13【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了隨機(jī)事件的判斷，根據(jù)投擲兩枚骰子得到數(shù)字和的范圍判斷即可．【詳解】投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子點(diǎn)數(shù)之和的范圍在之間（包括2，12），可知點(diǎn)數(shù)的和為5是隨機(jī)事件．點(diǎn)數(shù)的和為1，點(diǎn)數(shù)的和大于12是不可能事件，點(diǎn)數(shù)的和小于13是必然事件，故B正確．故選：B．4.已知⊙O與直線l無公共點(diǎn)，若⊙O直徑為10cm，則圓心O到直線l的距離可以是（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】利用已知條件可得直線l與圓相離，根據(jù)直線與圓相離的性質(zhì)可以作出判斷．【詳解】解：∵⊙O與直線l無公共點(diǎn)，∴⊙O與直線l相離．∴圓心O到直線l的距離大于圓的半徑，∵⊙O直徑為10cm，∴⊙O半徑為5cm，∴圓心O到直線l的距離大于5cm．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用直線與圓相離，圓心O到直線l的距離大于圓的半徑解答是解題的關(guān)鍵．5.某班六名同學(xué)體能測試成績（分）如下：80，90，75，75，80，80，對這組數(shù)據(jù)表述錯(cuò)誤的是（）A.眾數(shù)是80 B.方差是25 C.平均數(shù)是80 D.中位數(shù)是75【答案】D【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)，方差、平均數(shù)，中位數(shù)的概念逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A、80出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是80，正確，不符合題意；B、方差是：，正確，不符合題意；C、平均數(shù)是（80+90+75+75+80+80）÷6=80，正確，不符合題意；

D、把數(shù)據(jù)按大小排列，中間兩個(gè)數(shù)都為80，80，所以中位數(shù)是80，錯(cuò)誤，符合題意．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、方差與中位數(shù)的意義．熟記定義是解題的關(guān)鍵．6.若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則應(yīng)滿足（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，由方程為一元二次方程，得,再結(jié)合根的判別式：當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，即可求解,熟練地掌握當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，解得：，且，故選：．7.如圖，量角器外沿上有三點(diǎn)、、，它們所表示的讀數(shù)分別是、、，則的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是量角器的使用，圓周角定理的應(yīng)用，本題先連接，，再求解，再利用圓周角定理可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，依題意，得，∴，故選：C．8.某超市1月份的營業(yè)額為36萬元，前3個(gè)月的營業(yè)額共110萬元，設(shè)每月營業(yè)額的平均增長率都為，則平均增長率應(yīng)滿足的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)每月的平均增長率為x，根據(jù)“前三月份的營業(yè)額共為110萬元”，即可得出方程．【詳解】解：設(shè)每月的平均增長率為x，∴由題意可得：

故選擇：D【點(diǎn)睛】此題考查了平均增長率問題，熟練掌握解題方法是關(guān)鍵．另外注意審清題目“前3個(gè)月的營業(yè)額共110萬元”防止出錯(cuò)．9.如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形．根據(jù)垂徑定理的推論可得，再由圓周角定理可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵為的直徑，∴，∵，，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，∴．故選：D10.在同一坐標(biāo)系中，拋物線與有相同的（）A.開口方向 B.形狀 C.對稱軸 D.頂點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，先寫出兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、開口方向，即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸是直線，開口向上；

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸是直線，開口向下；∴A、D選項(xiàng)不合題意；C選項(xiàng)符合題意；∵，∴兩個(gè)拋物線形狀不同，故B選項(xiàng)不合題意；故選：C．11.如圖，在中，，，，的中點(diǎn)為．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度得到，的中點(diǎn)為，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，的最大值是（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，再求出連接根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出三點(diǎn)共線時(shí)有最大值，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：中點(diǎn)為，連接繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度得到的中點(diǎn)為，由三角形的三邊關(guān)系得，三點(diǎn)共線時(shí)有最大值.此時(shí)故選D【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.如圖所示，二次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與軸交于點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②若點(diǎn)和均在拋物線上，則；③；④．⑤若點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，則，其中正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于通過圖像判斷對稱軸，開口方向以及與軸交點(diǎn)．根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及與軸交點(diǎn)問題逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口方向向下，與y軸正半軸交于一點(diǎn)，對稱軸在y軸的左側(cè)，∴，，∴，∴，故①正確；∵是關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∵，∴，故②正確；∵圖象與x軸交于點(diǎn)，∴，∴，∴，故③正確；∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即，∴，故④不正確；觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故，，∴，故⑤錯(cuò)誤；故選：C第II卷（非選擇題）二、填空題（共12分）13.直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．14.已知：，是關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程等知識點(diǎn)，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，根據(jù)題意可知，即，然后將代入得到關(guān)于a的一元二次方程求解，再檢驗(yàn)即可得解．【詳解】解∶∵，是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∵，即，∴，整理得：，解得：或5．當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，不符合題意；故答案為：．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為中心，把點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則的值為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后圖形大小形狀未發(fā)生改變，只是位置發(fā)生改變即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，旋轉(zhuǎn)后如圖所示，∵四邊形是由四邊形繞O旋轉(zhuǎn)得到，∴四邊形≌四邊形，∴，，∴，，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)后圖形大小形狀未發(fā)生改變，只是位置發(fā)生改變．16.如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)A，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)A恰好落在x軸上的處，若P是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，且是等腰三角形，則P的坐標(biāo)為_____．【答案】或或【解析】【分析】先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)，解得，以下分為三種情況：以和為腰，為底，則，以和為腰，為底，以和為腰，為底，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，∴，∴，∵P是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，且是等腰三角形，以和為腰，為底，則，∴，∴P的坐標(biāo)為；以和為腰，為底，設(shè)，∴，在中，由勾股定理得，，即，解得：，∴，∴P的坐標(biāo)為，以和為腰，為底，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴P的坐標(biāo)為，綜上所述，P坐標(biāo)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】此題考折疊的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共72分）17.計(jì)算：【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18.化簡：．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算括號內(nèi)的分式減法，再計(jì)算分式的除法即可得．【詳解】解：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，掌握分式混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解答本題的關(guān)鍵．19.如圖，四邊形ABCD中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)A重合，得到．（1）請求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；（2）請判斷AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為90°；（2）AE與BD互相垂直，理由見詳解．【解析】【分析】（1）由題意易得BC=AC，則有∠CBA=∠CAB=45°，進(jìn)而問題可求解；（2）由（1）可得∠DBC=∠EAC，如圖∠1=∠2，∠2+∠DBC=90°，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：（1）由將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)A重合，得到可得：，∴BC=AC，∵，∴∠CBA=∠CAB=45°，∴∠ACB=90°，即旋轉(zhuǎn)角度為對應(yīng)邊的夾角，故旋轉(zhuǎn)角為∠ACB=90°；（2）AE⊥BD，理由如下：如圖所示，由（1）可得：，∴∠DBC=∠EAC，∵∠ACB=90°，∴∠2+∠DBC=90°，∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=90°，∴BD⊥AE．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.為了激發(fā)學(xué)生對中國古詩詞的學(xué)習(xí)興趣，某校舉行了古詩詞比賽，比賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績分為如下5組（滿分100分），A組：，B組：．C組：，D組：，E組：，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問題：（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，并補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)直方圖：（2）若成績在90分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有3000名學(xué)生，估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？（3）學(xué)校將從獲得滿分的5名同學(xué)（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名，參加五一勞動(dòng)節(jié)的文藝匯演，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）400，60，D，（2）估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生有1680人（3）【解析】【分析】（1）用C組的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出參與調(diào)查的人數(shù)，由此即可求出m的值，根據(jù)總?cè)藬?shù)及已知各組人數(shù)，計(jì)算出E組的人數(shù)，從而補(bǔ)全直方圖；（2）根據(jù)樣本中優(yōu)秀人數(shù)占比即可估計(jì)3000人中成績優(yōu)秀的數(shù)量；（3）由畫樹狀圖的方法得到全部結(jié)果及滿足題意的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求解即可得到答案．【小問1詳解】解：本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為（名）；∴B組的人數(shù)為（名），即；∴E組的人數(shù)為：（人），補(bǔ)全學(xué)生成績頻數(shù)分布直方圖如下：【小問2詳解】解：（人），答：估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生有1680人；【小問3詳解】解：畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，其中抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的結(jié)果有12種，∴抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查概率與統(tǒng)計(jì)綜合，涉及扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)、補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體及列舉法求概率等知識，熟記相關(guān)統(tǒng)計(jì)量及求法，熟練掌握列舉法求概率是解決問題的關(guān)鍵．21.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克元銷售，一個(gè)月能售出千克，銷售單價(jià)每漲元，月銷售量就減少5千克，針對此回答：（1）當(dāng)銷售價(jià)定為每千克元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤．（2）商店想在月銷售成本不超過元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？（3）當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，銷售利潤最大？【答案】（1）千克，元（2）元（3）元【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，根據(jù)題意正確列出方程和函數(shù)解析式成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，可知銷售價(jià)為55元時(shí)，銷售單價(jià)上漲了5元，那么月銷售量將較少50千克，然后再計(jì)算出月銷售量和月銷售利潤；（2）設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克元，則月銷售量為，而每千克的銷售利潤為元，根據(jù)題意列出方程求解，然后再檢驗(yàn)是否符合題意即可；（3）設(shè)月銷售利潤為，銷售單價(jià)定為每千克元，然后根據(jù)利潤（售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷量，列出關(guān)于的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算出最大值．【小問1詳解】解：銷售單價(jià)每漲0.5元，月銷售量就減少5千克當(dāng)銷售價(jià)定為每千克55元時(shí)，銷售單價(jià)上漲了5元，那么月銷售量將較少50千克，月銷售量為：月利潤為：元故月銷售量為，月銷售利潤為6750元；【小問2詳解】解：設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克元，則月銷售量為，而每千克的銷售利潤為元根據(jù)題意得，整理得，解得：，當(dāng)銷售單價(jià)為每千克60元時(shí)，月銷售量為（千克），月銷售成本為（元），不符合題意；當(dāng)銷售單價(jià)為每千克80元時(shí)，月銷售量為（千克），月銷售成本為（元），符合題意；答：在月銷售成本不能超過10000元時(shí)，要使月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克80元．【小問3詳解】解：設(shè)月銷售利潤為，銷售單價(jià)定為每千克元，由（2）可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值，答：當(dāng)售價(jià)定為每千克70元時(shí)，銷售利潤最大．22.已知關(guān)于的方程．（1）求證：無論為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，求代數(shù)式的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論即可．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，再整理代入即可求解．【小問1詳解】解：∵，∴方程總有實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，∴．23.圖1是一種淋浴噴頭，圖2是圖1的示意圖，若用支架把噴頭固定在點(diǎn)處，手柄長與墻壁的夾角，噴出的水流與形成的夾角，現(xiàn)在住戶要求：當(dāng)人站在處淋浴時(shí)，水流正好噴灑在人體的處，且使．問：安裝師傅應(yīng)將支架固定在離地面多高的位置？(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，在中，利用含30°角的直角三角形性質(zhì)解得GB、AG的長，在中，由正切定義解得CF的長，最后根據(jù)線段的和差解題．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足點(diǎn)在中，在中，答：安裝師傅應(yīng)將支架固定在離地面高的位置．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及正切、余弦、含30°角的直角三角形性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．24.如圖，為的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，，．（1）求證：；（2）若，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】本題考查圓的切線，扇形面積的計(jì)算，相似三角形，銳角三角函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．（