整式與因式分解（含7種解題技巧）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含答案）

第一章數(shù)與式

第02講整式與因式分解

（思維導(dǎo)圖+4考點+2命題點14種題型（含7種解題技巧））

01考情透視?目標導(dǎo)航

02知識導(dǎo)圖?思維引航

03考點突破?考法探究

考點一代數(shù)式

考點二整式的相關(guān)概念

考點三整式的運算

考點四因式分解

04題型精研?考向洞悉

命題點一整式及其相關(guān)計算

題型01實際問題中的代數(shù)式

題型02求代數(shù)式的值.

題型03整式的加減

題型04募的混合運算

題型05整式的乘除

題型06乘法公式的應(yīng)用

題型07整式的化簡求值

題型08整式的混合運算

題型09判斷因式分解的正誤

題型10因式分解

題型11因式分解的應(yīng)用

命題點二規(guī)律探索及新定義問題

題型01圖形類規(guī)律探索

題型02數(shù)字類規(guī)律探索

題型03數(shù)式中的新定義問題

試卷第1頁，共28頁

考情透視?目標導(dǎo)航

/A

01考情透視?目標

考查

中考考點新課標要求

頻率

列代數(shù)式★能分析具體問題中的簡單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示

代數(shù)式求

★★將具體數(shù)代入代數(shù)式進行計算

值

整式的加

★★

減

1.了解整數(shù)指數(shù)罪的意義和基本性質(zhì)；2.理解整式的概念，掌握

合并同類項和去括號的法則；

幕的運算★★

3.能進行簡單的整式加減乘除運算；

整式的乘

理解乘法公式，了解公式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計

★★4.

除

算和推理；

5.靈活運用多種方法化簡代數(shù)式.

整式的混

★★★

合運算

能用提公因式法、公式法（直接利用公或不超過二次）進行因式分解

因式分解★★★

（指數(shù)為正整數(shù)）.

【考情分析】本專題包含整式的概念、整式的運算及因式分解，是中考的必考內(nèi)容，試題形

式多樣，難度不大，乘法公式的靈活運用是整式運算中的重要內(nèi)容，同時在整式的化簡求值

及因式分解中也都有所體現(xiàn).整式求值計算中經(jīng)常用到整體代入法，在應(yīng)用的過程中注意觀

察已知與所求間的關(guān)系，因式分解一般以填空題的形式出現(xiàn)，注意分解要徹底.

知識導(dǎo)圖?思維引航

02知識導(dǎo)圖?思

試卷第2頁，共28頁

分組分W%ma+mb+na+nb=m(a-b)*n(a+b)=(a*bXm?n)

考點突破?考法探究

03考點突破?考

考點一代數(shù)式

1.列代數(shù)式

定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)、字母和運算符號的式子表示出來，這就是列

代數(shù)式.

代數(shù)式的書寫要求：

1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“?”或省略不寫；數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號.

2）字母與數(shù)字相乘時，通常把數(shù)字寫在字母的前面；如果字母前面的數(shù)字是1或-1時，通

常省略不寫.

3）除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù).

4）若代數(shù)式的最后結(jié)果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位.

2.代數(shù)式的值

定義：根據(jù)問題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

求代數(shù)式的值的步驟：

1）代入：將指定的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，代入數(shù)值時，必須將相應(yīng)的字母換成數(shù)值，

其他的運算符號、原來的數(shù)字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；

2）計算：按照代數(shù)式指定的運算關(guān)系計算出結(jié)果，運算時，要分清運算種類及運算順序，

試卷第3頁，共28頁

先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的.

針對訓(xùn)練

（2024?四川廣安?中考真題）

1.下列對代數(shù)式-3x的意義表述正確的是（）

A.-3與x的和B.-3與x的差C.-3與x的積D.-3與x的商

（2024?廣東廣州?中考真題）

2.若/一2a-5=0,則2a2_4°+1=.

（2023?吉林長春,中考真題）

3.2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑,某同學(xué)參加了7.5公里健康跑項目,

他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為—

公里.（用含x的代數(shù)式表示）

（2024?廣東廣州?中考真題）

4.如圖，把4，4,用三個電阻串聯(lián)起來，線路上的電流為/,電壓為。，則

U=I&+IR[+IR3.當4=20.3,R2=31.9,4=47.8,/=2.2時，。的值為

（2024?四川雅安?中考真題）

5.如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高

度〃與杯子數(shù)量〃的變化規(guī)律的活動中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請選用適當?shù)淖?/p>

母表示//=

①杯子底部到杯沿底邊的高生②杯口直徑③杯底直徑4；④杯沿高

考點二整式的相關(guān)概念

1.單項式

試卷第4頁，共28頁

單項式的定義：由數(shù)字與字母、字母與字母的乘積組成的式子叫單項式.

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù).

注意：圓周率乃是常數(shù)，單項式中出現(xiàn)萬時，應(yīng)看作系數(shù)，而不能當成字母；

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).

注意：單項式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無關(guān).

例如：單項式（-2），2y3z4的次數(shù)是2+3+4=9而不是14.

2.多項式

多項式的定義：幾個單項式的和叫做多項式.

多項式的項：在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項.

多項式的次數(shù)：一個多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù).

注意：1）多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)之和，而是多項式中次數(shù)最高的單項式的次數(shù)；

2）一個多項式是幾次、有幾項就叫幾次幾項式，如3x?+x+7是二次三項式.

升募排列與降哥排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把

多項式按這個字母降幕排列；若按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項

式按這個字母升累排列.

3.整式

定義：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.

針對訓(xùn)練

（2024?江西?中考真題）

6.觀察a,a2,…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個式子為.

（2024?吉林長春?中考真題）

7.單項式-2a%的次數(shù)是.

（2024?山東濟寧?中考真題）

8.如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1個正方形，第二幅

圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為

（）

試卷第5頁，共28頁

第一幅圖第二幅圖第三幅圖第四幅圖

A.90B.91C.92D.93

（2024?山東濰坊?中考真題）

9.將連續(xù)的正整數(shù)排成如圖所示的數(shù)表.記為數(shù)表中第z?行第J列位置的數(shù)字，如

3)=4,a(3,2)=8,%,4)=22.若％2024，則加=，幾=

14f516tfl7

1518

t（

19

1t4

10fUf12—>1320

25<—24<—23<-2221

I

26->27—>28—>29―>???

（2023?湖北恩施?中考真題）

10.觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：

-2,4,-8,16,-32,64,……①

0,7,-4,21,-26,71）........@

根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個數(shù)為;取每行數(shù)的第2023個數(shù),

則這兩個數(shù)的和為.

考點三整式的運算

1.同類項

定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.

判斷同類項的標準：一是所含字母相同；二是相同字母的指數(shù)也相同，缺一不可.

2.合并同類項

定義：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.

法則：同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母與字母的指數(shù)不變.（簡稱：一相加

兩不變）

3.去括號與添括號

試卷第6頁，共28頁

添（去）括號法則：括號外是“+”，添（去）括號不變號；括號外是添（去）括號都變

號.

【補充】去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤.

4.整式的加減

運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.

【補充說明】整式加減實際上就是：去括號、合并同類項；

5.幕的運算

暴的運算法則中底數(shù)”的規(guī)定：底數(shù)?？梢允菃雾検?，也可以是多項式.

1）同底數(shù)累相乘底數(shù)不變，指數(shù)相加，即*“"=屋"（根，〃都是整數(shù)）

2）幕的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（/）"=*（〃?，〃都是整數(shù)）

注意：幕的乘方法則的條件是“幕”的乘方，結(jié)論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”.這里的“底數(shù)不

變''是指"累”的底數(shù)%”不變.例如：（/）2=06,其中，“募，，的底數(shù)是,，，，而不是“03?,指

數(shù)相乘是指“3x2”.

3）積的乘方積的乘方等于把每一個因式分別乘方，再把所得的積相乘，即（仍）"=優(yōu)％"（〃

為整數(shù)）

4）同底數(shù)幕的除法底數(shù)不變，指數(shù)相減，即+=（°￥0,m,〃都為整數(shù)）

5）零指數(shù)募

任何不等于0的數(shù)的0次塞都等于1,即/=1（分0）.

6.整式的乘除

1）單項式乘單項式運算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，

對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.

實質(zhì)：乘法的交換律和同底數(shù)幕的乘法法則的綜合應(yīng)用.

2）單項式乘多項式運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，

再把所得的積相加，即7W（a+6+c）=ma+mb+me.

實質(zhì)：利用乘法的分配律將單項式乘多項式轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式.

3）多項式乘多項式運算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多

項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+6）（c+1）=ac+ad+6c+6d.

【易錯易混】

試卷第7頁，共28頁

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；

②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應(yīng)該帶上它前面的正負號.且結(jié)果仍是多項式,

在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積.

4)單項式除以單項式運算法則：一般地，單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)幕分別相除作為商

的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

5)多項式除以單項式

運算法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所

得的商相加.

實質(zhì)：把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式.

7.乘法公式

1)平方差公式

平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.即：

(q+6)(q—6)=礦—b~

特點：等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù);

等號右邊是一個二項式，這個二項式是左邊兩個二項式中相同項與相反項的平方差.

2)平方差公式的推導(dǎo)

①用多項式的乘法推導(dǎo)平方差公式

(a+6)(q—+ab—ab-b~=-b~

②通過面積法推導(dǎo)平方差公式：

如圖1所示，左側(cè)涂色部分的面積為右側(cè)涂色部分的面積為g-9s+6),所以可

以得至+=.

【補充】常見驗證平方差公式的幾何圖形

試卷第8頁，共28頁

3)完全平方公式

完全平方公式：兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)乘積

的兩倍.§P(a±^)2=a2+2ab+b2.

特點：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加(或減)

這兩數(shù)之積的2倍.

口訣：首平方，尾平方，二倍乘積放中央，中間符號同前方.

完全平方式的常見變形(①-⑤基礎(chǔ)必須掌握)：

@a2+b2=(a+6)2-2ab=(a-6)?+2ab②(a+6)?=(a+4ab

(3)(a-fe)2=(<z+/>)2-4ab(4)(a+Z,)2+(a-Z))2=2(a2+b2)(5)(^a+b)~-^a-b)~=4ab

4)完全平方公式的推導(dǎo)

①用多項式的乘法推導(dǎo)完全平方公式：

(a+b)~=+b^a+b)=a2+ab+ab+b1=a2+2ab+b2

(a-6)-=^a-b^a-b^-a2—ab—ab+b2=a2-2ab+b2

②通過面積法推導(dǎo)完全平方公式：

①如圖甲所示是一個邊長為a+b的正方形，面積為(。+6)2,它的面積還可以看成是由兩個

小正方形與兩個長方形的和，即/+2仍+人2,所以可以得到(a+b)2=/+2a6+〃；

②如圖乙所示，邊長為如6的小正方形的面積是(。-它的面積還可以看成是由大的正

方形面積減去兩個小的長方形面積，即/一成-儀0-6)=°2一2"+62,所以可以得到

試卷第9頁，共28頁

8.整式的混合運算

定義：含有整式的加減、乘除及乘方的多種運算叫做整式的混合運算.

運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時，先算括號里的，去括號時，先去小括號,

再去中括號，最后去大括號.

針對訓(xùn)練

（2024?山東泰安?中考真題）

11.下列運算正確的是（）

A.2x2y-3xy2=-x2yB.4x8y2-i-2x2y2=2x4

C.（x-y）（-x-y）=x2-y2D.（x2j3）2=x4y6

（2024?河北?中考真題）

12.若a,6是正整數(shù)，且滿足岑士2"士…上二二1￡二型：,則。與6的關(guān)系正確的是

8個2a相加8個2'相乘

（）

A.a+3=8Z?B.3。=86C.a+3=bsD.3a=8+6

（2024?四川德陽?中考真題）

13.若一個多項式加上/+3xy-4,結(jié)果是3孫+2/-5,則這個多項式為

（2023?江蘇南京?中考真題）

14.計算2,x4“的結(jié)果是

（2024?甘肅?中考真題）

試卷第10頁，共28頁

15.先化簡，再求值：［(2a+6)2-(2a+?(2a-6)卜26,其中〃=2,b=_}

考點四因式分解

1.因式分解

定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個

多項式分解因式.

【補充說明】

1)因式分解分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三

個要素缺一不可.

2)要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.

3)因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式

乘法是一種運算，且因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.

2.公因式

定義：多項式的各項中都含有相同的因式，我們把這個相同的因式就叫做公因式.

注意：公因式可以是一個單項式，也可以是一個多項式.

3.提公因式法分解因式

定義：如果多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外，將多項式寫成

公因式與另一個多項式的乘積的形式，這種因式分解的方法叫提公因式法，即：

ma+mb+me=m(a+6+c).

實質(zhì)：乘法分配律的逆用.

關(guān)鍵：準確找出多項式各項的公因式.

4.公因式法分解因式

定義：運用平方差公式、完全平方公式將一個多項式分解因式的方法叫作公式法.

逆用平方差法分解因式：a2-b1=[a+b)[a-b)

逆用完全平方公式分解因式：x2±2ab+b2=(a±b)2

5.因式分解的一般步驟：

試卷第11頁，共28頁

一提二套三檢查

針對訓(xùn)練

（2023?四川攀枝花?中考真題）

16.以下因式分解正確的是（）

A.ax2-a=a^x2-1^B.m3+m=m^m2+1^

C.+2x-3=無（x+2）-3D.x?+2x-3=（x-3）（x+l）

（2023?河北?中考真題）

17.若左為任意整數(shù)，則（2人+3>-止的值總能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

（2024?山東淄博?中考真題）

18.若多項式4x2-加孫+9/能用完全平方公式因式分解，則小的值是.

（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）

19.因式分解3ox2—6axy+3ay2=.

（2024?江蘇徐州?中考真題）

20.若rm=2,m-n=l,則代數(shù)式機,-加〃2的值是.

（2023?四川內(nèi)江?中考真題）

21.在△4BC中，ZA、2B、/C的對邊分別為a、b、c,且滿足

a2+|c-101+7^^=120-36,貝UsinB的值為.

題型精研?考向洞悉

4題型精研?考

命題點一整式及其相關(guān)計算

試卷第12頁，共28頁

題型01實際問題中的代數(shù)式.

方法技巧■代數(shù)式的書寫要求：

1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘，通常把乘號寫成“?”或省略不寫；數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號.

2）字母與數(shù)字相乘時，通常把數(shù)字寫在字母的前面；如果字母前面的數(shù)字是1或-1時，通

常省略不寫.

3）除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù).

4）若代數(shù)式的最后結(jié)果含有加、減運算，則要將整個式子用括號括起來，再寫單位.

（2022,湖南長沙,中考真題）

22.為落實“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動.現(xiàn)需購

買甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價

為8元/本，設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（）

A.8x元B.10（100-x）元C.8（100-x）元D.（100-8x）元

（2023?江蘇?中考真題）

23.若圓柱的底面半徑和高均為。，則它的體積是（用含。的代數(shù)式表示）.

（2022?河北?中考真題）

24.如圖，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒.

（1）甲盒中都是黑子，共10個，乙盒中都是白子，共8個，嘉嘉從甲盒拿出。個黑子放入

乙盒，使乙盒棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍，則。=；

（2）設(shè)甲盒中都是黑子，共用（，”>2）個，乙盒中都是白子，共2加個，嘉嘉從甲盒拿出

“（1<”機）個黑子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數(shù)比甲盒所剩棋子數(shù)多個；接下來,

嘉嘉又從乙盒拿回。個棋子放到甲盒，其中含有x（O<x<。）個白子，此時乙盒中有y個黑

子，則上的值為.

X

試卷第13頁，共28頁

（2023?山東臨沂?中考真題）

25.大學(xué)生小敏參加暑期實習(xí)活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一

臺和1500元現(xiàn)金，當她工作滿20天后因故結(jié)束實習(xí)，結(jié)算工資時公司給了她一臺該型平板

電腦和300元現(xiàn)金.

⑴這臺〃■型平板電腦價值多少元？

（2）小敏若工作加天，將上述工資支付標準折算為現(xiàn)金，她應(yīng)獲得多少報酬（用含心的代數(shù)

式表示）？

題型02求代數(shù)式的值.

■.方法技巧??求代數(shù)式的值的步驟：

1）代入：將指定的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，代入數(shù)值時，必須將相應(yīng)的字母換成數(shù)值，

其他的運算符號、原來的數(shù)字和運算順序都不能改變，同時對原來省略的乘號要進行還原；

2）計算：按照代數(shù)式指定的運算關(guān)系計算出結(jié)果，運算時，要分清運算種類及運算順序，

先乘方，再乘除，后加減，有括號要先算括號里面的.

（2024?四川?中考真題）

26.已知尤？+2x=3,那么2x?+4x-5的值是.

（2024?江蘇徐州?中考真題）

27.若以〃=2,m-n=l,則代數(shù)式優(yōu)機〃2的值是.

（2024?山東濟寧?中考真題）

4b

28.已知/一26+1=0,則丁二的值是___.

a+\

（2023?湖北隨州?中考真題）

試卷第14頁，共28頁

29.已知關(guān)于x的一元二次方程2/_3x=T的兩個實數(shù)根分別為％和工2,則西+尤2-中2的

值為.

題型03整式的加減

（2024?甘肅蘭州?中考真題）

30.計算：2a（a-1）-2/=（）

A.aB.—aC.2aD.-2a

（2024?四川廣元?中考真題）

31.如果單項式-彳2扣了3與單項式2/「一"的和仍是一個單項式，則在平面直角坐標系中點

（見〃）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（2023?湖北宜昌?中考真題）

32.在日歷上，某些數(shù)滿足一定的規(guī)律.如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含

4個數(shù)字的方框部分，設(shè)右上角的數(shù)字為a,則下列敘述中正確的是（）.

日一二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.左上角的數(shù)字為a+1B.左下角的數(shù)字為。+7

C.右下角的數(shù)字為。+8D.方框中4個位置的數(shù)相加，結(jié)果是4的倍

數(shù)

（2023?河北?中考真題）

33.現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示某同學(xué)分別用

6張卡片拼出了兩個矩形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3,其面積分別為E，邑.

試卷第15頁，共28頁

圖1

⑵比較d與$2的大小，并說明理由.

題型04累的混合運算

方法技巧1J計算時可能用到以下公式:

mnm+nnn

1)a-a=a2)=屋"3){ab}'=ab

【注意】同底數(shù)幕的運算法則只適用于同底數(shù)幕的乘除，當?shù)讛?shù)不同時要看能否化成同底數(shù),

若不能則不能用同底數(shù)幕的運算法則進行計算.

（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）

34.下列運算中，結(jié)果正確的是（）

33633663

A.m-m=mB.m+m=mC.D.m+加2=m

（2024?山西?中考真題）

35.下列各式中，運算結(jié)果為6m4的是（）

A.3m+3m3B.（-3，/）C.12m5-r2mD.-2m3-3m

（2024?上海?中考真題）

36.計算：（4/7=.

試卷第16頁，共28頁

(2024?天津?中考真題)

37.計算的結(jié)果為

題型05整式的乘除

方法技巧整式的乘除法

單項式

X單項

式例：系數(shù)相乘，字母相乘

(-2x3y2)

單項式

x多項

式例：

利用乘法分配律，化為單項式X單項式

(-3，%

多項式

X多項1.要按一定順序進行，注意做到不重不漏，確定積中每項的符號時，按“同號得

式例：

正，異號得負”的法則確定.2.多項式與多項式相乘，仍得多項式，有同類項時

；加一］

(5要合并同類項.

單項式

十單項

運算順序：首先將系數(shù)相除，然后將同底數(shù)暴相除，最后將被除式中單獨有的字

式例：

母連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式，系數(shù)相除時要注意先確定商的符號.

na3b2x3

多項式1.多項式除以單項式所得商的項數(shù)與多項式的項數(shù)一致，在計算時不要漏項；

試卷第17頁，共28頁

十單項2.計算時，多項式的各項要包括它前面的符號，注意符號的變化.

式例：

（12a3-6

（2024?西藏?中考真題）

38.下列運算正確的是（）

A.x-2x=xB.x(x+3)=x2+3

C.（-2—）3=-8/D.3/.4/=12/

（2024?四川德陽?中考真題）

39.下列計算正確的是（）

A.a2-a3=a6B.——6)=—Q+6

C.Q（Q+1）=/+1D.(6Z+b)2=a?+Z)2

（2023?山東青島?中考真題）

40.計算：=

（2024?重慶?中考真題）

41.計算：

-Q）+（Q-1乂。+2）；

（2）fl+^-V/2-4.

（x-2Jx2-4x+4

題型06乘法公式的應(yīng)用

（2023?四川攀枝花?中考真題）

42.我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來解釋很多代數(shù)恒等式.給出以下4組圖形及相應(yīng)的代

數(shù)恒等式:

①(a+=a2+2ab+b2=a?—2ctb+b?

試卷第18頁，共28頁

③(a+b)(a-b)=a2(4)(a-ft)2=(a+b)2-4ab

其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

（2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）

43.已知2a2一°一3=0,則(2』+3)(2。-3)+(2。-1>的值是()

A.6B.-5C.-3D.4

（2024?四川樂山?中考真題）

44.已知a-6=3,ab=10,則/+〃=.

（2023?浙江?中考真題）

45.如圖，分別以6,%,7?為邊長作正方形，已知加>”且滿足a機一加=2,an+bm=4.

試卷第19頁，共28頁

（2）若圖1陰影部分的面積為3,圖2四邊形/BCD的面積為5,則圖2陰影部分的面積

是?

（2023?四川成都?中考真題）

46.定義：如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)加，”的平方差，且〃.〃>1,則稱這個正

整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”.例如，16=52-32,16就是一個智慧優(yōu)數(shù)，可以利用

/-/=（加+“）（機一⑶進行研究.若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個智慧優(yōu)數(shù)是；

第23個智慧優(yōu)數(shù)是.

題型07整式的化簡求值

方法技巧一般這類題會利用整體代入法/間接代入法求值,

［整體代入法］從題中條件中不易直接得到某個字母的具體值，可以將原式化為己知條件中字

母間的關(guān)系，然后將某個式子的值作為一個整體代入計算.

［間接代入法］將已知的代數(shù)式化簡后，再將已知字母的值代入化簡后的代數(shù)式中計算求值.

［賦值法］給未知數(shù)賦予一些特殊值，將其代入等式中，得到所求代數(shù)式的形式，從而求出代

數(shù)式的值.一般情況下，多是代入-1、0、1這三個值.

（2024?四川成都?中考真題）

47.若加，力為實數(shù)，且（加+4『+J^=0,貝加+〃y的值為.

（2023?遼寧沈陽?中考真題）

48.當a+6=3時，代數(shù)式2（。+26）-（3a+56）+5的值為.

（2024?山東德州?中考真題）

49.已知。和6是方程2024X—4=0的兩個解，貝I/+2023。一6的值為.

（2023?四川涼山?中考真題）

50.已知，_2x-l=0,貝1|3--10/+5工+2027的值等于.

（2023?四川涼山?中考真題）

（1、2023

22022

51.先化簡，再求值：（2x+y）-（2x+j）（2x-y）-2j（x+y）,其中尤=］,,v=2.

（2024?北京?中考真題）

52.已知a-6-1=0,求代數(shù)式3（,”2?+小的值.

a--2ab+b~

題型08整式的混合運算

試卷第20頁，共28頁

(2022?江蘇無錫?中考真題)

53.計算：

⑴ijx(-6)-cos60"；

(2)a(a+2)-(a+b)(q-b)-6(b-3).

(2023?甘肅蘭州?中考真題)

54.計算：(X+2〉)(X-2J)7(3F).

(2022?重慶?中考真題)

55.若一個四位數(shù)M的個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M去掉個位與十位數(shù)字后得到

的兩位數(shù)，則這個四位數(shù)M為“勾股和數(shù)”.

例如：M=2543,3?+42=25,二2543是“勾股和數(shù)”;

又如：”=4325,?.5+22=29,29W43,；.4325不是“勾股和數(shù)”.

(1)判斷2022,5055是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；

(2)一個“勾股和數(shù)”M的千位數(shù)字為。，百位數(shù)字為6,十位數(shù)字為c,個位數(shù)字為“，記

G(M)=等，9")』版"。：.一刈.當G(M),尸(“)均是整數(shù)時，求出所有滿足

條件的M.

題型09判斷因式分解的正誤

(2023?山東?中考真題)

56.下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是()

A.（a+3）~=+9B./-4a+4=-4）+4

C.5ax2-5ay2=5a（x+j）（x-D.a?—2a-8=（Q-2）（Q+4）

（2023?湖南益陽?中考真題）

57.下列因式分解正確的是（）

A.2/—4a+2=2（a-l『B./+〃=Q（〃+b）

C.4a2-b2=（4Q+6）（4Q-6）D.a3b-ab3=ab（a-

（2024?河北秦皇島?一模）

58.對于①2x—肛=x（2—歹），②卜_3）2=2-6x+9,從左到右的變形，表述正確的是

試卷第21頁，共28頁

A.都是因式分解B.都是乘法運算

C.①是因式分解，②是乘法運算D.①是乘法運算，②是因式分解

（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測）

59.將多項式“4式-？”因式分解,結(jié)果為（2加+3）（2加-3）,則“？，，是（）

A.3B.-3C.9D.-9

題型10因式分解

方法技巧

?提二套三檢查

（2024?山東淄博?中考真題）

60.若多項式4/-冽孫+9/能用完全平方公式因式分解，則切的值是.

（2023?浙江嘉興?中考真題）

61.一個多項式，把它因式分解后有一個因式為（x+1）,請你寫出一個符合條件的多項

式：?

（2024?山東威海?中考真題）

62.因式分解：（x+2）（x+4）+l=.

（2023?黑龍江綏化?中考真題）

63.因式分解：x2+xy-xz-yz=.

題型11因式分解的應(yīng)用

（2023?河北?中考真題）

64.若左為任意整數(shù)，貝?。荩?左+3>—4/的值總能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

（2023?湖南?中考真題）

65.已知實數(shù)加、X1、起滿足：（必1-2）（妙2-2）=4.

試卷第22頁，共28頁

①若加=；,X]=9,則無2=.

②若加、為、%為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對（%42）有個

（2023?浙江嘉興?中考真題）

66.觀察下面的等式：32-12=8xl,52-32=8X2,72-52=8X3,92-72=8X4,---

⑴寫出192-172的結(jié)果.

（2）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含〃的等式表示，〃為正整數(shù)）

（3）請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的.

（2024?福建?中考真題）

_、，bc

67.已知實數(shù)。也c,〃2,〃滿足3機+〃=—,mn=—.

aa

（1）求證：爐一12也為非負數(shù)；

⑵若見mc均為奇數(shù)，見〃是否可以都為整數(shù)？說明你的理由.

（2022?青海西寧?中考真題）

68.八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

將2a-3ab-4+66因式分解.

【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式=（2。-3a6）-（4一66）=。（2-36）-2（2-36）=（2-36）（。一2）

解法二：原式=（2a—4）—（?iab-66）=2（a—2）—3b（a-2）=（a-2）（2—3b）

【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再

利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法.分組分解法

在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用.（溫馨提示：因式分解一定

要分解到不能再分解為止）

【類比】

（1）請用分組分解法將/-/+工+.因式分解；

【挑戰(zhàn)】

（2）請用分組分解法將ax+/-2a6-6x+Z）2因式分解；

【應(yīng)用】

（3）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理.如圖，“趙爽弦圖”是由

四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形.若直角三角形的兩條直

試卷第23頁，共28頁

角邊長分別是。和”。＞為，斜邊長是3,小正方形的面積是1.根據(jù)以上信息，先將

a4-2/6+201bl-2a/+/因式分解，再求值.

命題點二規(guī)律探索及新定義問題

題型01圖形類規(guī)律探索

（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）

69.如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個圖有4個三角

形.第2個圖有7個三角形，第3個圖有10個三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個

圖中三角形的個數(shù)是（）

△

△△△△

△△△△△△△……

△△△△△△△△△

第1個52個個

A.2022B.2023C.2024D.2025

（2023?四川綿陽?中考真題）

70.如下圖，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形

中“?”的個數(shù)為外,第2幅圖形中々,，，的個數(shù)為出，第3幅圖形中“?”的個數(shù)為〃3，…，以此

1111

類推，那么]+%+[+…;一的值為（）

%

第1幅圖第2幅圖第3幅圖第4幅圖

20-61-589-431

2184840760

（2024?四川涼山?中考真題）

71.閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題:

試卷第24頁，共28頁

下圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點

第〃行有"個點……

⑨⑨⑨號

博錚辱匐⑨

燧隨網(wǎng)越1?隨

容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前4行的點數(shù)之和為10.

⑴探索：三角點陣中前8行的點數(shù)之和為,前15行的點數(shù)之和為,那么，前”

行的點數(shù)之和為

(2)體驗：三角點陣中前”行的點數(shù)之和(填“能”或“不能”)為500.

(3)運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照

第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第"排2〃盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多

少排？

(2023?安徽?中考真題)

72.【觀察思考】

◎

◎

?*?◎**◎

◎◎*◎◎**◎◎***◎

◎*◎*◎◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】

請用含〃的式子填空：

⑴第"個圖案中“◎”的個數(shù)為二

⑵第1個圖案中“★”的個數(shù)可表示為彳，第2個圖案中“★”的個數(shù)可表示為半，第3個圖

3x44x5

案中“★，，的個數(shù)可表示為一，第4個圖案中“★”的個數(shù)可表示為一，……,第”個圖案

中“★”的個數(shù)可表示為.

【規(guī)律應(yīng)用】

(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)〃，使得連續(xù)的正整數(shù)之和

1+2+3+…+〃等于第"個圖案中“◎”的個數(shù)的2倍.

題型02數(shù)字類規(guī)律探索

(2024?江蘇徐州?中考真題)

試卷第25頁，共28頁

73.觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5?7個數(shù)可能為（）

A.48、58、68B.58、78、98C.76、156、316D.78、158、318

（2024?四川德陽?中考真題）

74.將一組數(shù)收,2,n,2亞,&U,26,…，而，…，按以下方式進行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

則第八行左起第1個數(shù)是（）

A.7&B.872C.屈D.4療

（2023?西藏?中考真題）

75.按一定規(guī)律排列的單項式：5a,8a2,11/,Ma”,….則按此規(guī)律排列的第"個單

項式為.（用含有〃的代數(shù)式表示）

（2023-黑龍江大慶?中考真題）

76.1261年，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，

人們將這個數(shù)表稱為“楊輝三角”.

1（a+b）l=a+b

I121]（a+b）2-a2+2ab+b2

1331（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

14641（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，m+田7展開的多項式中各項系數(shù)

之和為___.

題型03數(shù)式中的新定義問題

■一方法技巧.解題方法:新定義運算的規(guī)律其實是這幾種規(guī)律當中最為簡單的一種,

因為其規(guī)律都是由題目給出的，想要找到其規(guī)律，需要從所給的條件當中進行簡單的推

論.這時候就考驗大家的觀察能力，以及對數(shù)字的敏感程度.

（2024?河北?中考真題）

77.“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數(shù)乘法運算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡單

試卷第26頁，共28頁

的加法運算.淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132x23,運算結(jié)

果為3036.圖2表示一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)相乘，表格中部分數(shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2

中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行推斷，正確的是（）

3036

圖1圖2

A.“20”左邊的數(shù)是16B.“20”右邊的“口”表示5

C.運算結(jié)果小于6000D.運算結(jié)果可以表示為4100。+1025

（2023?重慶?中考真題）

78.在多項式x-y-z-加-"（其中x>y>z>〃z>"）中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕

對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操

作”.例如：x-y-\z-m\-n=x-y-z+m-n,\x-y\-z-\m-n\=x-y-z-m+n,….下

列說法：

①存在“絕對操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；

②不存在，，絕對操作，,，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；

③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結(jié)果.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

（2023?四川廣安?中考真題）

79.定義一種新運算：對于兩個非零實數(shù)。、人。※6=工+*.若2※（-2）=1,則（-3蟀3

ab

的值是.

（2024?重慶?中考真題）

80.我們規(guī)定：若一個正整數(shù)A能寫成病一〃，其中心與"都是兩位數(shù)，且機與"的十位數(shù)

字相同，個位數(shù)字之和為8,則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成/一〃的過程，稱為“方減分

解”.例如：因為602=25?-23,25與23的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字5與3的和為8,所以602

是“方減數(shù)”，602分解成602=25?-23的過程就是“方減分解”.按照這個規(guī)定，最小的“方

試卷第27頁，共28頁

減數(shù)”是.把一個“方減數(shù)”A進行“方減分解"，即/="/-〃，將〃7放在〃的左邊組成

一個新的四位數(shù)8,若3除以19余數(shù)為1,且2〃?+〃=k2（左為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)

A為.

（2022?湖南長沙?中考真題）

81.當今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大.保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應(yīng)

用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威

力.看似“碼碼相同"，實貝『'碼碼不同”.通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小

方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200

個方格作為數(shù)據(jù)碼.根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，這200個方格可以生成22。。個不同的數(shù)據(jù)二維碼,

現(xiàn)有四名網(wǎng)友對22°°的理解如下：

YKDS（永遠的神）：2?。。就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；

DDDD（懂的都懂）：220°等于2002;

JXND（覺醒年代）：22°°的個位數(shù)字是6；

0GW（強國有我）:我知道*=1024,103=1000,所以我估計國00比106。大.

其中對2刑的理解錯誤的網(wǎng)友是（填寫網(wǎng)名字母代號）.

試卷第28頁，共28頁

1.c

【分析】本題考查了代數(shù)式的意義，用語言表達代數(shù)式的意義，一定要理清代數(shù)式中含有的

各種運算及其順序.根據(jù)-3x中的運算關(guān)系解答即可.

【詳解】解：代數(shù)式-3x的意義可以是-3與x的積.

故選C.

2.11

【分析】本題考查了已知字母的值求代數(shù)式的值，得出條件的等價形式是解題關(guān)鍵.

由小一2a-5