2025版高考數學大二輪復習第二部分專題5解析幾何增分強化練二十八文

PAGE1-增分強化練(二十八)1．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點F為拋物線y2＝4x的焦點，P，Q是橢圓C上的兩個動點，且線段PQ長度的最大值為4.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面積的最小值．解析：(1)∵y2＝4x的焦點為(1,0)，∴橢圓C的右焦點F為(1,0)，即c＝1，又|PQ|的最大值為4，因此|PQ|＝2a＝4，∴a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，所以橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①當P，Q為橢圓頂點時，易得△OPQ的面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，②當P，Q不是橢圓頂點時，設直線OP的方程為y＝kx(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))，得x2＝eq\f(12,3＋4k2)，所以|OP|＝eq\r(k2＋1)eq\r(\f(12,3＋4k2))，由OP⊥OQ，得直線OQ的方程為：y＝－eq\f(1,k)x，所以|OQ|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)eq\r(\f(12,3＋4\f(1,k2)))＝eq\r(1＋k2)eq\r(\f(12,3k2＋4))，所以S△OPQ＝eq\f(1,2)|OP|·|OQ|＝6eq\r(\f(k2＋12,3＋4k23k2＋4))＝6eq\r(\f(k2＋12,12k4＋25k2＋12))＝6eq\r(\f(1,12＋\f(k2,k2＋12)))，eq\f(k2＋12,k2)＝k2＋eq\f(1,k2)＋2≥4，當且僅當k2＝1時等號成立，所以0<eq\f(k2,k2＋12)≤eq\f(1,4)，所以eq\f(12,7)≤S△OPQ<eq\r(3)，綜上，△OPQ面積的最小值為eq\f(12,7).2．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點，點P(eq\f(2\r(6),3)，eq\f(\r(3),3))滿意eq\o(PF,\s\up11(→))1·eq\o(PF,\s\up11(→))2＝0.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l經過橢圓C的右焦點與橢圓相交于M，N兩點，設O為坐標原點，直線OM，直線l，直線ON的斜率分別為k1，k，k2，且k1，k，k2成等比數列，求k1·k2的值．解析：(1)依題意F1(－c,0)，∴eq\o(PF,\s\up11(→))1·eq\o(PF,\s\up11(→))2＝－c2＋3＝0，即c＝eq\r(3)，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝1，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設直線l的方程為y＝k(x－eq\r(3))，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1,y＝kx－\r(3)))，得(1＋4k2)x2－8eq\r(3)k2x＋4(3k2－1)＝0，則x1＋x2＝eq\f(8\r(3)k2,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(12k2－4,1＋4k2)，∵k1，k，k2成等比數列，∴k1·k2＝k2＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(k2x1－\r(3)x2－\r(3),x1x2)，則eq\r(3)(x1＋x2)＝3，即eq\f(8\r(3)k2,1＋4k2)＝eq\r(3)，解得k2＝eq\f(1,4)，故k1k2＝eq\f(1,4).3．已知拋物線C：y2＝2px(0<p<1)上的點P(m,1)到其焦點F的距離為eq\f(5,4).(1)求C的方程；(2)已知直線l不過點P且與C相交于A，B兩點，且直線PA與直線PB的斜率之積為1，證明：l過定點．解析：(1)由題意，得2pm＝1，即m＝eq\f(1,2p).由拋物線的定義，得|PF|＝m－(－eq\f(p,2))＝eq\f(1,2p)＋eq\f(p,2).由題意，知eq\f(1,2p)＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,4)，解得p＝eq\f(1,2)或p＝2(舍去)．所以C的方程為y2＝x.(2)證明：由(1)得P(1,1)．設l：x＝ny＋t，由于直線l不過點P(1,1)，所以n＋t≠1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝x，,x＝ny＋t))消去x并整理得y2－ny－t＝0.由題意，判別式Δ＝n2＋4t>0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝n，①y1y2＝－t，②則kPAkPB＝eq\f(y1－1,x1－1)·eq\f(y2－1,x2－1)＝eq\f(y1－1,y\o\al(2,1)－1)·eq\f(y2－1,y\o\al(2,2)－1)＝eq\f(1,y1y2＋y1＋y2＋1).由題意，得y1y2＋(y1＋y2)＋1＝1，即y1y2＋(y1＋y2)＝0，③將①②代入③得－t＋n＝0，即t＝n.所以l：x＝n(y＋1)．明顯l過定點(0，－1)．4．已知拋物線E：x2＝2py(p>0)上一點P的縱坐標為4，且點P到焦點F的距離為5.(1)求拋物線E的方程；(2)如圖，設斜率為k的兩條平行直線l1，l2分別經過點F和H(0，－1)，l1與拋物線E交于A，B兩點，l2與拋物線E交于C，D兩點．問：是否存在實數k，使得四邊形ABDC的面積為4eq\r(3)＋4？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．解析：(1)由拋物線的定義知，點P到拋物線E的準線的距離為5.∵拋物線E的準線方程為y＝－eq\f(p,2)，∴4＋eq\f(p,2)＝5，解得p＝2，∴拋物線E的方程為x2＝4y.(2)由已知得，直線l1：y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx－4＝0，Δ1＝16(k2＋1)>0恒成立，|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(16k2＋1)＝4(k2＋1)．直線l2：y＝kx－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx＋4＝0，由Δ2＝16(k2－1)>0得k2>1，|CD|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(16k2－1)＝4eq\r(k2＋1k2－1).又直線l1，l2間的距離d＝eq\f(2,\r(k2＋1))